1. Kaidah pencacahan digunakan untuk menghitung kemungkinan hasil suatu percobaan dan meliputi kaidah perkalian, permutasi, dan kombinasi.
2. Contoh penerapan kaidah pencacahan adalah menghitung jumlah lintasan dari kota A ke kota C melalui kota B dengan melibatkan 3 kota dan beberapa pilihan lintasan.
3. Rumus dan contoh lainnya melibatkan faktorial, permutasi unsur, permut
70 soal dan pembahasan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlakMuhammad Arif
Β
Soal dan pembahasan meliputi konsep nilai mutlak, fungsi nilai mutlak persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak. Sebagai bahan belaajr matematika wajib kelas X SMA/MA.
70 soal dan pembahasan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlakMuhammad Arif
Β
Soal dan pembahasan meliputi konsep nilai mutlak, fungsi nilai mutlak persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak. Sebagai bahan belaajr matematika wajib kelas X SMA/MA.
Barisan dan Deret
Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola (aturan) tertentu.
Misalnya : 1, 3, 5, 7, 9, β¦
Berdasarkan pola barisan tersebut, diperoleh penjumlahan berikut: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + β¦
Penjumlahan suku-suku dari barisan-barisan tersebut dinamakan deret bilangan.
Barisan Aritmatika
Barisan Aritmatika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b.
Suku ke-n barisan aritmetika
Jika suku pertama = = a dan beda = b, maka :
: suku ke-n barisan aritmetika
a : suku pertama
n : banyak suku
b : beda/selisih
Deret Aritmatika
Jika pada barisan aritmetika tanda β,β diganti dengan tanda β+β maka didapat deret aritmetika. Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan.
Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya adalah sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk permasalahan dalam berbagai operasi dan persamaan dalam matematika. Oleh karena itu, diperlukan sistem bilangan baru yaitu sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks terdiri dari bilangan kompleks, fungsi analitik, fungsi elementer, integral fungsi kompleks, deret kompleks, dan metode pengintegralan residu.
Dalam sistem bilangan kompleks fungsi elementer sangat penting dan sebagai penunjang untuk mempelajari sistem bilangan kompleks yang lainnya. Fungsi elementer diantaranya, fungsi linear, fungsi pangkat, fungsi bilinear, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi hiperbola. Pemahaman tentang fungsi elementer sendiri sangat diperlukan dalam menganalisis suatu kurva secara geometris.
Dalam makalah ini akan dibahas tentang Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks.
Barisan dan Deret
Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola (aturan) tertentu.
Misalnya : 1, 3, 5, 7, 9, β¦
Berdasarkan pola barisan tersebut, diperoleh penjumlahan berikut: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + β¦
Penjumlahan suku-suku dari barisan-barisan tersebut dinamakan deret bilangan.
Barisan Aritmatika
Barisan Aritmatika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b.
Suku ke-n barisan aritmetika
Jika suku pertama = = a dan beda = b, maka :
: suku ke-n barisan aritmetika
a : suku pertama
n : banyak suku
b : beda/selisih
Deret Aritmatika
Jika pada barisan aritmetika tanda β,β diganti dengan tanda β+β maka didapat deret aritmetika. Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan.
Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya adalah sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk permasalahan dalam berbagai operasi dan persamaan dalam matematika. Oleh karena itu, diperlukan sistem bilangan baru yaitu sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks terdiri dari bilangan kompleks, fungsi analitik, fungsi elementer, integral fungsi kompleks, deret kompleks, dan metode pengintegralan residu.
Dalam sistem bilangan kompleks fungsi elementer sangat penting dan sebagai penunjang untuk mempelajari sistem bilangan kompleks yang lainnya. Fungsi elementer diantaranya, fungsi linear, fungsi pangkat, fungsi bilinear, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi hiperbola. Pemahaman tentang fungsi elementer sendiri sangat diperlukan dalam menganalisis suatu kurva secara geometris.
Dalam makalah ini akan dibahas tentang Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks.
Sebuah buku foto yang berjudul Lensa Kampung Ondel-Ondelferrydmn1999
Β
Indonesia, negara kepulauan yang kaya akan keragaman budaya, suku, dan tradisi, memiliki Jakarta sebagai pusat kebudayaan yang dinamis dan unik. Salah satu kesenian tradisional yang ikonik dan identik dengan Jakarta adalah ondel-ondel, boneka raksasa yang biasanya tampil berpasangan, terdiri dari laki-laki dan perempuan. Ondel-ondel awalnya dianggap sebagai simbol budaya sakral dan memainkan peran penting dalam ritual budaya masyarakat Betawi untuk menolak bala atau nasib buruk. Namun, seiring dengan bergulirnya waktu dan perubahan zaman, makna sakral ondel-ondel perlahan memudar dan berubah menjadi sesuatu yang kurang bernilai. Kini, ondel-ondel lebih sering digunakan sebagai hiasan atau sebagai sarana untuk mencari penghasilan. Buku foto Lensa Kampung Ondel-Ondel berfokus pada Keluarga Mulyadi, yang menghadapi tantangan untuk menjaga tradisi pembuatan ondel-ondel warisan leluhur di tengah keterbatasan ekonomi yang ada. Melalui foto cerita, foto feature dan foto jurnalistik buku ini menggambarkan usaha Keluarga Mulyadi untuk menjaga tradisi pembuatan ondel-ondel sambil menghadapi dilema dalam mempertahankan makna budaya di tengah perubahan makna dan keterbatasan ekonomi keluarganya. Buku foto ini dapat menggambarkan tentang bagaimana keluarga tersebut berjuang untuk menjaga warisan budaya mereka di tengah arus modernisasi.
ppt landasan pendidikan Alat alat pendidikan PAI 9_
Β
Kaidah pencacahan oleh Kelompok 1
1.
2.
3. Kaidah pencacahan adalah suatu cara atau aturan untuk
menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi
dalam suatu percobaan. Secara umum cara menemukan
banyaknya hasil yang mungkin muncul pada suatu
percobaan adalah dengan menggunakan pendekatan-
pendekatan berikut.
1. Kaidah perkalian
2. Permutasi
3. Kombinasi
Pengertian
4.
5. Contoh :
Dari kota A menuju ke kota B ada 3 pilihan lintasan, sedangkan
dari kota B ke kota C ada 4 pilihan lintasan. Berapa pilihan
lintasan dari kota A ke kota C bila melalui kota B?
Jawab:
Banyaknya lintasan dari kota A ke kota C melalui kota B adalah
AB1 β BC1 AB2 β BC1 AB3 β BC1
AB1 β BC2 AB2 β BC2 AB3 β BC2
AB1 β BC3 AB2 β BC3 AB3 β BC3
AB1 β BC4 AB2 β BC4 AB3 β BC4
Ada 3 X 4 = 12 pilihan lintasan dari kota A ke kota C melalui kota
B
1.
6. Contoh:
Amalia memiliki 4 buah kemeja, 2 buah celana
panjang dan 3 sepatu. Ada berpa cara ia dapat
berpakaian lengkap?
Jawab:
Kemeja yang dapat dipilih Amalia ada 4 cara, celana
panjang 2 cara dan sepatu 3 cara.
Jadi,ada 4 x 2 x 3 = 24 cara Amalia dapat berpakaian
lengkap
2.
7. Contoh:
Berapa cara yang dapat diperoleh untuk memilih posisi seorang
tekong, apit kiri, dan apit kanan dari 15 atlet sepak takraw pelatnas
SEA GAMES jika tidak ada posisi yang rangkap? (Tekong adalah
pemain sepak takraw yang melakukan sepak permulaan).
Jawaban :
β’ Untuk posisi tekong.
Posisi tekong dapat dipilih dengan 15 cara dari 15 atlet pelatnas
yang tersedia.
β’ Untuk posisi apit kiri.
Dapat dipilih dengan 14 cara dari 14 atlet yang ada (1 atlet lagi
tidak terpilih karena menjadi tekong).
β’ Untuk posisi apit kanan.
Cara untuk memilih apit kanan hanya dengan 13 cara dari 13 atlet
yang ada (2 atlet tidak dapat dipilih karena telah menjadi tekong
dan apit kiri).
Dengan demikian, banyak cara yang dilakukan untuk memilih
posisi dalam regu sepak takraw adalah 15 Γ 14 Γ 13 = 2.730 cara.
Ingatlah :
Apabila terdapat n buah tempat yang akan diduduki oleh n orang,
terdapat :
3.
8. Contoh:
Dari angka-angka:1,2,3,4,5,6,7 akan disusun suatu bilangan yang
terdiri dari 3 angka, dengan angka tidak boleh diulang.Banyaknya
bilangan yang dapat disusun adalah...
Jawab:
Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka,maka
terdapat aturan sbb:
*Angka ratusan: sebanyak 7 angka (1,2,3,4,5,6,7)
*Angka puluhan:sebanyak 6 angka(diisi angka selain angka 1 yang
sudah digunakan sebagai ratusan: 2,3,4,5,6,7
*Angka Satuan:sebanyak 5 angka(diisi angka selain angka 1 yang
sudah digunakan sebagai ratusan dan angka 2 yang sudah
digunakan sebagai angka puluhan:3,4,5,6)
Sehingga bisa dinyatakan dengan tabel sebagai berikut:
Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka tidak boleh
Angka
Ratusan
Angka
Puluhan
Angka
Satuan
7 6 5
4.
9. Dari uraian tersebut dapat kita peroleh suatu kesimpulan :
Jika terdapat buah tempat yang tersedia dengan:
n1 = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama.
n2 = banyaknya cara mengisi tempat kedua, setelah tempat pertama
terisi.
n3 = banyaknya cara mengisi tempat ketiga, setelah tempat pertama
dan kedua terisi, dan
nk = banyaknya cara mengisi tempat ke β k, setelah tempat-tempat
sebelumnya terisi.
Maka banyaknya cara untuk mengisi k tempat yang tersedia adalah
n1 x n2 x n3 x ...nk
Aturan ini yang dimaksud sebagai aturan pengisian tempat yang
10.
11. Pengertian Notasi Faktorial
Faktorial adalah hasil perkalian semua bilangan bulat
positif dari 1 sampai dengan n disebut n faktorial dan
diberi notasi βn!β (dibaca βn faktorialβ).
n! = 1 Γ 2 Γ 3 Γβ¦Γ (n β 2) Γ (n β 1) Γ n
atau
n! = n Γ (n β 1) Γ (n β 2) Γβ¦Γ 3 Γ 2 x 1
14. Pengertian Permutasi
Permutasi yaitu suatu susunan unsur-unsur
yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada
permutasi urutan diperhatikan, sehingga:
AB β BA
15. A. Permutasi Unsur
SamaSetiap unsur pada permutasi tidak boleh digunakan
lebih dari satu kali, kecuali jika dinyatakan secara khusus.
Banyaknya permutasi dari n unsur yang memuat k
unsur yang sama,....,m unsur yang sama (k + l +...+ m β€ n)
dapat ditentukan dengan rumus :
!!...!
!
mlk
n
P ο½
16. Contoh:
Berapa banyaknya kata yang terdiri dari 10 huruf yang dapat
disusun dari kata MATEMATIKA
Jawab:
Banyaknya seluruh huruf ada 10, artinya n = 10
Banyaknya huruf-huruf yang sama ada 3, yaitu M, A, dan T,
artinya r = 3.
Huruf M ada 2 buah artinya k1 = 2, huruf A ada 3 buah artinya
k2 = 3,dan huruf T yang sama ada 2 buah artinya k3 = 2
Banyaknya susunan kata yang terdiri dari huruf
MATEMATIKA adalah
6.
17. B. Permutasi k Unsur dari
n UnsurSusunan k unsur dari n unsur yang berlainan dengan
memperhatikan urutan disebut k unsur dari n unsur (k β€ n).
Misalkan kita diminta menyusun tiga huruf dari A,B,dan C
akan disusun 2 huruf dengan urutan yang berbeda, maka
susunan yang diperoleh adalah AB,AC,BA,BC,CA, dan CB.
Seluruhnya ada 6 susunan yang berbeda yang setiap
susunannya disebut permutasi 2 unsur dari 3 unsur yang
tersedia. Rumus :
)!(
!
),(
kn
n
knP
ο
ο½
18. Contoh
Tiga orang wiraniaga dicalonkan untuk mengisi kekosongan jabatan
kepala cabang di dua kota. Tentukan banyak cara untuk memilih dua
kepala cabang dari tiga orang wiraniaga tersebut, dengan menggunakan
rumus permutasi.
Jawab:
P(3, 2), dengan n = 3 (banyak wiraniaga) dan k = 2 (banyak wiraniaga
terpilih).
Jadi, terdapat 6 cara
7.
19. C. Permutasi
Siklis
Penentuan susunan melingkar dapat diperoleh dengan
menetapkan satu objek pada satu posisi, kemudian
menentukan kemungkinan posisi objek lain yang sisa,
sehingga bila tersedia n unsur berbeda maka :
)!1( οο½ n
Banyaknya permutasi siklis
dari n unsur
20. Contoh:
a.Delapan orang ilmuwan duduk melingkar di sebuah meja bundar untuk
membahas sebuah proyek tertentu. Berapa banyak cara agar para
ilmuwan dapat duduk melingkar dengan urutan yang berbeda?
Susunan kedelapan ilmuwan itu adalah (8β1)! = 7! = 5.040 cara.
b.Ada berapa cara 5 gelas warna yang mengitari meja kecil, dapat
menempati kelima tempat dengan urutan yang berlainan?
Jawaban:
Banyaknya cara duduk ada (5 β 1) ! = 4 ! =4. 3 . 2 . 1 = 24 cara.
8.
21.
22.
23. 1)Seorang siswa akan melakukan perjalanan dari kata P-S yang melalui
kota K. Dari kota P ada 3 jalan menuju kota K. Sedangkan dari kota K ke
kota S ada 5 jalan. Tentukan berapa banyak cara siswa tersebut untuk
sampai ke tujuan?
2)Terdapat angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
a).Tentukan banyaknya susunan bilangan ganjil yang dapat di susun dari
angka tersebut, jika bilangan tersebut terdiri dari 4 angka
b). Dari soal di atas tentukan banyaknya susunan bilangan genap yang
terdiri dari 5 angka dan lebih kecil dari 50.000
3)Menjelang Pergantian kepengurusan BEM STMIK Tasikmalaya akan
dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua),
calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada berapa
pasang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?
4) Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8
orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu
duduk dikursi tertentu.
5)Berapa banyakkah bilangan yang dibentuk dari 2 angka berbeda yang
dapat kita susun dari urutan angka 4,8,2,3,dan5?
24.
25. 1)Seorang siswa akan melakukan perjalanan dari kata P-S yang melalui
kota K. Dari kota P ada 3 jalan menuju kota K. Sedangkan dari kota K ke
kota S ada 5 jalan. Tentukan berapa banyak cara siswa tersebut untuk
sampai ke tujuan.
Jawab:
= 3 x 5
= 15
2)Terdapat angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
a).Tentukan banyaknya susunan bilangan ganjil yang dapat di susun dari
angka tersebut, jika bilangan tersebut dari 4 angka
Jawab:
bilangan ganjil = 5.
= 9 x 10 x 10 x 5
= 4500
b). Dari soal di atas tentukan banyaknya susunan bilangan genap yang
terdiri dari 5 angka dan lebih kecil dari 50.000
Jawab:
= 4 x 10 x 10 x 10 x5
= 20.000
26. 3)Menjelang Pergantian kepengurusan BEM STMIK Tasikmalaya akan
dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua),
calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada berapa
pasang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?
Jawaban:
6P2 = 6!/(6-2)!
= (6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1)
= 720/24
= 30 cara
4) Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8
orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu
duduk dikursi tertentu.
Jawaban:
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang
dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)!
= 7!/4!
= 7.6.5
= 210 cara
27. 5)Berapabanyakkahbilanganyang dibentukdari 2 angkaberbedayang
dapatkitasusundariurutanangka 4,8,2,3,dan5?
P(5,2)=
π!
πβπ !
=
πΓπΓπΓπΓπ
πΓπΓπ
=
πππ
π
=20
Maka ada 20 cara yang
dapatdilakukanuntukmenyusunbilangtersebutmenjadi 2 angka yang
berbeda