Dokumen ini membahas konsep dasar dan teori probabilitas, termasuk ruang sampel, probabilitas bersyarat, dan teorema Bayes. Selain itu, dijelaskan mengenai variabel acak diskrit, distribusi probabilitas, kovarians, dan aplikasinya dalam keuangan. Topik utama meliputi cara menghitung probabilitas sederhana, gabungan, dan menggunakan tabel kontingensi.

1. PROBABILITAS DASAR
dan
DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT
BAB 4

2. TOPIK PEMBAHASAN
• Konsep Dasar Probabilitas
- Ruang sampel dan peristiwa, Probabilitas
sederhana, Probabilitas gabungan.
• Probabilitas Bersyarat
- Independensi statistik, Probabilitas marjinal.
• Teorema Bayes
• Probabilitas variabel acak diskrit
• Kovarians dan aplikasinya dalam keuangan
• Distribusi binomial
• Distribusi poisson
• Distribusi hipergeometrik

3. Konsep Dasar Probabilitas
Probabilitas adalah peluang kemungkinan terjadinya
sebuah peristiwa (event) yang akan terjadi di masa
mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai
1 atau dalam persentase.
Rumus : P (E) = X/N
P: Probabilitas
E: Event (Kejadian)
X: Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa)
N: Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi
Contoh : sebuah dadu untuk keluar mata ‘lima’
saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah
1/6 (karena banyaknya permukaan dadu adalah
6)

4. Konsep Dasar Probabilitas
• Ruang sampel (S) :
• Merupakan gabungan
dari semua
kemungkinan dalam
suatu masalah
probabilitas.
*CONTOH;
Ruang sampel pelemparan
dadu 1 kali
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
• Peristiwa (Event) :
• Merupakan himpunan
bagian dari ruang sampel.
*CONTOH;
- Eksperimen : melempar
dadu 1 kali
- Peristiwa A : Hasil
pelemparan dadu berupa
angka genap =
{ 2, 4, 6}
n(A) = 3
Lanjutan

5. Ruang Sampel (S)
• Koleksi dari semua hasil yang mungkin
- misalnya : Semua enam wajah dari dadu:
• - misalnya : Semua 52 kartu yang di tumpuk:
Konsep Dasar Probabilitas
Lanjutan

6. Peristiwa (Event)
• Peristiwa sederhana
- Hasil dari ruang sampel dengan
satu karakteristik
-misalnya: Sebuah kartu merah
dari setumpuk kartu
• Peristiwa Gabungan
- Melibatkan dua hasil secara
bersamaan
- misalnya: Sebuah as yang juga
merah dari setumpuk kartu
Memvisualisasikan
Peristiwa
• Tabel kontingensi
• Diagram pohon
As Bukan As Total
Hitam 2 24 26
merah 2 24 26
Total 4 48 52
As
kartu merah
kartu hitam
Bukan As
Bukan As
AsDeck penuh Kartu
Konsep Dasar ProbabilitasLanjutan

7. • Probabilitas Sederhana adalah suatu peristiwa
yang hanya memuat 1 elemen
• Probabilitas Gabungan : peritiwa tidak saling
bebas adalah probabilitas terjadinya dua atau
lebih peristiwa secara berurutan (bersamaan)
dan peristiwa-peristiwa itu saling
mempengaruhi.
*Jika dua peristiwa A dan B gubungan,
probabilitas terjadinya peristiwa tersebut
adalah P(A dan B) = P(A  B) = P(A) x P(B/A)
Konsep Dasar Probabilitas
Lanjutan

8. Peristiwa sederhana
• Peristiwa dari Segitiga
Peristiwa Gabungan
Ada 5 segitiga dalam
koleksi ini dari 18 objek
• Peristiwa segitiga DAN berwarna biru
Dua segitiga yang
berwarna biru

9. Peristiwa Khusus

1. Kejadian/peristiwa Kosong
(Null Event)
– Club & Diamond pada tarikan
1 kartu
2. Komplemen dari peristiwa
– Untuk setiap Kejadian A,
Seluruh peristiwa tidak
dalam A : A’
3. Peristiwa Mutually Exclusive
– Peristiwa yang tidak terjadi
serentak
4. Peristiwa saling eksklusif
- Dua peristiwa tidak bisa terjadi
bersama-sama
*misalnya : - A: ratu wajik; B: ratu
klub
- Peristiwa A dan B ini saling
bertolak
- Peristiwa Secara bersama lengkap
- Salah satu peristiwa harus terjadi
- Seperangkat peristiwa meliputi
ruang sampel secara keseluruhan
*misalnya : - A: semua kartu As; B:
semua kartu hitam; C: semua
wajik; D: semua hati
- peristiwa A, B, C dan D secara
bersama lengkap
- peristiwa B, C dan D juga secara
bersama lengkapNull Event

10. Tabel Kontingensi
As Bukan As Total
Merah 2 24 26
Hitam 2 24 26
Total 4 48 52
Sebuah Deck dari 52 KartuAs Merah
Ruang sampel
Diagram Pohon
Peristiwa yang mungkin
Deck Kartu
lengkap
Kartu
merah
Kartu
hitam
As
Bukan As
As
Bukan As

11. Menghitung Probabilitas Gabungan
• Probabilitas dari Peristiwa gabungan, A dan B: P(A dan B) = P(A∩B)
= jumlah hasil dari kedua A dan B
jumlah total hasil yang mungkin di ruang sampel
Misalnya : P(kartu merah dan As) = 2 As Merah = 1
52 jumlah kartu 26
Peluang gabungan Dengan menggunakan tabel Kontingensi
Peristiwa
Peristiwa
Total
B1 B2
A1 P(A1 dan B1) P(A1 dan B2) P(A1)
A2 P(A2 dan B1) P(A2 dan B2) P(A2)
Total P(B1) P(B2) 1
Peluang gabungan Peluang Marjinal yang (sederhana)

12. Menghitung Probabilitas
Majemuk
Probabilitas dari peristiwa senyawa, A
atau B: P(A atau B) = P(A U B)
= jumlah hasil dari A atau B atau keduanya
jumlah hasil dalam ruang sampel
Misalnya : P(kartu merah atau As)
4 As + 26 kartu merah – 2 As merah
52 jumlah nomor pada kartu
= 28 = 7
52 13
Probabilitas Majemuk
(Penambahan Aturan)
P(A1 or B1 ) = P(A1) + P(B1) - P(A1 and B1)
Peristiwa
Peristiwa
Total
B1 B2
A1 P(A1 and B1) P(A1 and B2) P(A1)
A2 P(A2 and B1) P(A2 and B2) P(A2)
Total P(B1) P(B2) 1
Untuk peristiwa yang mutually
Eksklusif: P (A atau B) = P (A) + P (B)

13. Probabilitas Bersyarat
Probabilitas bersyarat peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas
terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus terjadi
dan peristiwa-peristiwa tersebut saling mempengaruhi.
• Independensi statistik Dua peristiwa dikatakan independen (bebas)
jika terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa satu tidak
mempengaruhi atau tidak dipengaruhi oleh peristiwa yang lain. Jika X
dan Y merupakan dua peristiwa yang independen, maka probabilitas
untuk terjadinya kedua peristiwa tersebut adalah : P(X ∩ Y) = P(X) x (Y)
• Probabilitas marjinal peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas
terjadinya suatu peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan
terjadinya peristiwa lain dan peristiwa tersebut saling mempengaruhi.
*Jika dua peristiwa A adalah marjinal, probabilitas terjadinya peristiwa
A tersebut adalah
P(A) = P(B  A) = P(Ai) x P(B/Ai), i = 1, 2, 3, …..

14. Menghitung Probabilitas Bersyarat
Probabilitas kejadian A mengingat bahwa
peristiwa B telah terjadi:
P(A | B) = P(A and B)
P(B)
Misalnya:
P(Kartu merah diberikan bahwa itu
adalah As)
= 2 As merah = 1
4 As 2

15. Probabilitas Bersyarat Dengan Menggunakan
Tabel Kontingensi
Tipe
Warna
Total
Merah Hitam
As 2 2 4
Bukan As 24 24 48
Total 26 26 52
P(As | Merah) = P(As dan Merah) = 2/52 = 2
P(Merah) 26/52 26

16. Probabilitas Bersyarat Statistik
Independensi
• Probabilitas (peluang) bersyarat:
P(A|B) = P(A and B)
P(B)
• Aturan perkalian
P(A and B) = P(A|B) P(B)
= P(B|A) P(A)
• Kegiatan A dan B independen jika
P(A|B) = P(A)
Atau P(B|A) = P(B)
Atau P(A dan B) = P(A) P(B)
• Peristiwa A dan B adalah independen ketika probabilitas dari
satu peristiwa, A, tidak terpengaruh oleh peristiwa lain, B.

17. TEOREMA BAYES
• Merupakan probabilitas bersyarat dari suatu
kejadian yang terjadi setelah adanya kejadian
lain.
P(B i |A) = P(A|B i)P(B i)
P(A|B1)P(B1)+•••+P(A|Bk) P(Bk)
= P(B i dan A)
P(A)
{Kegiatan yang sama}
Misalnya: kantong A berisi 5 bola biru dan 3 bola kuning,
sedangkan kantong B berisi 2 bola biru dan 6 bola
kuning. Dengan teori Bayes, kita dapatkan nilai
probabilitas untuk pengambilan bola biru dari kantong
A adalah 5/7.

18. Bayes Teorema Menggunakan Tabel
Kontingensi
Lima puluh persen dari peminjam melunasi pinjaman mereka. Dari
mereka yang dibayar, 40% memiliki gelar sarjana. Sepuluh persen dari
mereka yang gagal memiliki gelar sarjana. Berapa probabilitas bahwa
peminjam yang dipilih secara acak yang memiliki gelar sarjana akan
membayar kembali pinjaman?
P(R)=.50 P(C|R)=.4 P(C|Ṝ)=.10
P(R|C)=? Membayar kembali Membayar kembali TOTAL
Perguruan tinggi .2 .05 .25
Perguruan tinggi .3 .45 .75
TOTAL .5 .5 1.0
 
   
       
  
     
|
|
| |
.4 .5 .2
.8
.4 .5 .1 .5 .25
P C R P R
P R C
P C R P R P C R P R


  


19. Probabilitas Variabel Acak Diskrit
• Variabel acak :
– Hasil dari eksperimen dinyatakan secara numerik
– misalnya: Aduk mati dua kali; menghitung berapa kali jumlah 4 muncul (0,
1 atau 2 kali).
• Distribusi probabilitas variabel acak diskrit menggambarkan bagaimana suatu
probabilitas didistribusikan terhadap nilai-nilai dari variabel acak tersebut.
Untuk variabel diskrit X, distribusi probabilitas didefinisikan dengan fungsi
probabilitas dan dinotasikan sebagai p(x). Fungsi probabilitas p(x) menyatakan
probabilitas untuk setiap nilai variabel acak X.
• Variabel acak diskrit:
– Diperoleh dengan menghitung (1, 2, 3, dll)
– Biasanya jumlah terbatas nilai yang berbeda
– misalnya: Aduk koin lima kali; menghitung jumlah ekor (0, 1, 2, 3, 4, atau 5
kali).

20. Contoh Distribusi
Probabilitas Diskrit
© 2002 Prentice-Hall, Inc.
Chap 4-20
Distribusi kemungkinan
Nilai Kemungkinan
0 1/4 = .25
1 2/4 = .50
2 1/4 = .25
T
Acara: Aduk dua koin Menghitung jumlah ekor
T T
Distribusi
Probabilitas Diskrit
• Daftar semua
kemungkinan [X j, p
(X j)] pasangan
- X j = nilai variabel
random
- P (Xj) =probabilitas
yang terkait dengan
nilai
• Mutually eksklusif (tidak ada kesamaan)
• Kolektif lengkap (tidak ditinggalkan)
   0 1 1j jP X P X  
T

21. Mengukur Summary
• Nilai yang diharapkan (mean)
- Rata-rata tertimbang dari distribusi probabilitas
- Misalnya: Aduk 2 koin, menghitung jumlah ekor, menghitung diharapkan
nilai
• Perbedaan
– Berat rata-rata kuadrat deviasi terhadap mean
–
• Misalnya Toss dua koin, menghitung jumlah ekor, varians menghitung
   j j
j
E X X P X   
 
        0 2.5 1 .5 2 .25 1
j j
j
X P X 
   

     
222
j jE X X P X      
  
   
           
22
2 2 2
0 1 .25 1 1 .5 2 1 .25 .5
j jX P X  
      


22. Kovarians adalah suatu pengukur yang menyatakan variasi bersama dari
dua variable acak. Kovarians antara dua variabel acak diskrit X dan Y
dinotasikan dengan xy dan didefinisikan sebagai berikut dimana
Xi = nilai variable acak X ke-i
Yi = nilai variable acak Y ke-i
P(xi, yi) = probabilitas terjadinya xi dan yi
i = 1, 2, …, N
• σXY = ∑ P(X𝑖Y𝑖)
X : variabel acak diskrit
X 𝑖 : 𝑖 th hasil dari X
Y : variabel acak diskrit
Y𝑖 : 𝑖th hasil dari Y
P(X𝑖Y𝑖) : probabilitas terjadinya hasil 𝑖th dari X dan hasil 𝑖th dari Y
Kovarians dan Aplikasinya dalam Keuangan
Xi – E(X)

23. Kovarians dan Aplikasinya dalam Keuangan
Nilai harapan dari penjumlahan dua variable acak adalah sama dengan penjumlahan dari
nilai harapan masing-masing variabel acak. => E(X + Y) = E(X) + E(Y)
Varians dari penjumlahan dua variabel acak adalah sama dengan jumlah varians dari
masing-masing variabel ditambah dua kali kovarians.
Setelah mendefinisikan kovarians, dll, maka dapat menerapkan konsep-konsep tersebut
pada studi mengenai sekelompok asset yang merujuk pada apa yang disebut sebagai
portfolio. Dengan menanamkan investasi yang disebarkan pada tidak hanya satu
perusahaan, investor mengkombinasikan pengembalian dan meminimumkan resiko.
Dalam studi portfolio, kita menggunakan penimbang untuk setiap jenis investasi dengan
proporsi asset pada investasi tersebut. Hal ini memungkinkan kita untuk menghitung
portfolio expected return dan portfolio risk.
Portfolio expected return untuk investasi dua asset sama dengan penimbang bagi asset
X dikalikan dengan expected return dari asset X ditambah dengan penimbang bagi asset
Y dikalikan dengan expected return asset Y.
E(P) = E(X) + (1 - ) E(Y)
Dimana => E(P) = portfolio expected return E(X) = expected return asset X
w = proporsi nilai portfolio dari asset X E(Y) = expected return asset Y
(1 - ) = proporsi nilai portfolio dari asset Y
Lanjutan

24. Komputasi Mean untuk
Pengembalian Investasi
Kembali per $ 1.000 untuk dua jenis
investasi
Investasi
P (Xi Yi) kondisi
ekonomi
Dow
Jones
dana X
Pertumbuhan
Stock Y
.2 Resesi - $ 100 - $ 200
.5 Stabil Ekonomi + 100 + 50
.3 Memperluas
Ekonomi
+ 250 + 350
          100 .2 100 .5 250 .3 $105XE X      
          200 .2 50 .5 350 .3 $90YE Y      
Menghitung Variance
untuk Pengembalian
Investasi
Investasi
P (Xi Yi) kondisi
ekonomi
Dow Jones
dana X
Pertumbuhan
Stock Y
.2 Resesi - $ 100 - $ 200
.5 Stabil
Ekonomi
+ 100 + 50
.3 Memperluas
Ekonomi
+ 250 + 350
           
2 2 22
100 105 .2 100 105 .5 250 105 .3
14,725 121.35
X
X


      
 
           
2 2 22
200 90 .2 50 90 .5 350 90 .3
37,900 194.68
Y
Y


      
 

25. Distribusi Probabilitas Binomial
Digunakan untuk probabilitas yang bersifat diskrit,
dengan asumsi:
1. Terdapat n kejadian pada sampling variabel acak
2. Hasil dari n independent antara satu dengan lainnya
3. Hanya ada dua kemungkinan hasil
4. Probabilitas setiap hasil konstant dari satu
pengambilan sampel terhadap pengambilan sampel
berikutnya
• Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi = p
• Probabilitas tidak berhasil/kegagalan = q=1-p
• Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi tepat
x kali dalam setiap perlakuan (x berhasil dan n-x
gagal) = b

26. Distribusi Probabilitas Binomial
• 'N' uji identik
– Misalnya: 15 kali pelemparan koin; sepuluh bola lampu yang
diambil dari gudang
• Dua hasil saling eksklusif pada setiap persidangan
– Misalnya: Kepala atau ekor di setiap lemparan koin; bola lampu
cacat atau tidak cacat
• Uji independen
– Hasil dari satu percobaan tidak mempengaruhi hasil yang lain
• Probabilitas konstan untuk setiap percobaan
– Misalnya: Probabilitas mendapatkan ekor adalah sama setiap
kali kita melemparkan koin
• Dua metode pengambilan sampel
– Populasi tak terbatas tanpa penggantian
– Populasi terbatas dengan penggantian
Lanjutan

27. Fungsi Distribusi Probabilitas Binomial
P(X)= n! . pˣ(1-p) ⁿ-ˣ
X!(n-X)!
P(X) : probabilitas keberhasilan X diberikan n dan p
X : jumlah "keberhasilan" dalam sampel (X = 0,1, ..., n)
P : probabilitas dari setiap "kesuksesan“
n: ukuran sampel
• Ekor di 2 lemparan dari Coin
X P(X)
0 1/4 = .25
1 2/4 = .50
2 1/4 = .25

28. Karakteristik Distribusi Binomial
• Mean
-
- Misalnya:
• Varians dan Standar Deviasi
-
- Misalnya:
Distribusi Binomial dalam PHStat
• PHStat | probabilitas & prob.
distribusi | binomium
• Misalnya di excel spreadsheet
 E X np  
 5 .1 .5np   
 
 
2
1
1
np p
np p


 
 
    1 5 .1 1 .1 .6708np p     
n = 5 p = 0.1
0
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5
X
P(X)

29. Distribusi Probabilitas Poisson
Distribusi Poisson adalah suatu Observasi yang
dapat dilakukan pada kejadian diskret dalam suatu area
kesempatan.
*contoh: Jumlah telepon panggilan perjam pada kantor polisi; jumlah
laporan kehilangan kopor perhari pada suatu airport, dll
Merupakan pendekatan terhadap distribusi binomial jika n>> dan
p<<  n.p ≤10
Proses Poisson:
– Peristiwa diskrit dalam "interval"
• Probabilitas One Sukses dalam interval stabil
• Probabilitas Lebih dari satu Sukses di interval ini adalah 0
Probabilitas keberhasilan adalah independen dari interval silang
– misalnya: jumlah pelanggan tiba di 15 menit
– misalnya: jumlah cacat per kasus lampu

30. Fungsi Distribusi Probabilitas Poisson
P (X)= e¯ 𝜆ˣ
X!
P(X) : probabilitas X "sukses"
diberikan 𝜆
X : jumlah "keberhasilan" per
unit
𝜆 : diharapkan (rata-rata) jumlah
"keberhasilan“
𝑒 : 2,71828 (basis log alamiah)
• Misalnya: Cari probabilitas
untuk 4 pelanggan yang
sampai di 3 menit saat jumlah
keberhasilannya adalah 3,6.
 
3.6 4
3.6
.1912
4!
e
P X

 
Poisson Distribusi di PHStat
• PHStat | probabilitas & prob.
distribusi | Poisson
• Misalnya di excel spreadsheet

31. Karakteristik
Distribusi Poisson
• Mean
–
• Standar Deviasi
dan Variance
–
 
 
1
N
i i
i
E X
X P X
 

 
 
2
    
= 0.5
= 6
0
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
0
.2
.4
.6
0 2 4 6 8 10
X
P(X)

32. Distribusi
Hipergeometrik
• "N" uji coba dalam
sampel yang diambil
dari populasi terbatas
ukuran N
• Sampel diambil tanpa
adanya penggantian
• Percobaan yang
bergantung
• Berkaitan dengan
menemukan
probabilitas
keberhasilan "X" dalam
sampel itu di mana
terdapat "A"
keberhasilan di dalam
populasi
Fungsi Distribusi
Hipergeometrik
P(X)=
P(X) : probabilitas bahwa keberhasilan X
diberikan n, N, dan A
n : ukuran sampel
N : ukuran populasi
A : jumlah "keberhasilan" dalam
populasi
X : jumlah "keberhasilan" dalam sampel
Misalnya. 3 Lampu yang dipilih dari 10.
Dari 10 ada 4 rusak. Berapa probabilitas
bahwa 2 dari 3 operator yang rusak?
A
X
N – A
N – X
N
n
 
4 6
2 1
2 .30
10
3
P
   
   
    
 
 
 

33. Karakteristik Distribusi
hipergeometrik
• Mean
–
• Variance dan Standard
Deviasi
 
A
E X n
N
  
 
 
2
2
2
1
1
nA N A N n
N N
nA N A N n
N N


 


 


Faktor
Koreksi
Hingga
Populasi
Distribusi hipergeometrik
di PHStat
• PHStat | probabilitas &
prob. distribusi |
Hipergeometrik ...
• Misalnya di excel
spreadsheet

34. RANGKUMAN BAB
• Dibahas konsep
probabilitas dasar
– Ruang sampel dan
peristiwa, probabilitas
sederhana, dan probabilitas
gabungan
• Probabilitas bersyarat
didefinisikan
– Independensi statistik,
probabilitas marjinal
• Teoremadibahas Bayes's
• Ditujukan probabilitas
dari variabel acak diskrit
• Ditetapkan kovarians dan
dibahas penerapannya di
bidang keuangan
• Dibahas distribusi
binomial
• Distribusi Poisson
ditujukan
• Dibahas distribusi
hipergeometrik