Kombinasi, Permutasi dan Peluang
Dokumen ini membahas tentang kaidah penghitungan kombinasi dan permutasi serta konsep peluang. Kombinasi dan permutasi digunakan untuk menghitung berbagai kemungkinan pengambilan dan penyusunan unsur-unsur dari suatu kelompok. Sedangkan peluang digunakan untuk mengukur kemungkinan terjadinya suatu kejadian acak.
1. Kombinasi, Permutasi dan Peluang
Disusun Oleh : Kelompok 4
Nama : Aisyah Turidho (06081281520073)
: Reno Sutriono (06081381520044)
: M. Rizky Tama Putra (06081381419045)
Mata Kuliah : Statistika Dasar
Dosen : Prof. Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si
: Puji Astuti, S.Pd., M.Sc
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Program Studi Matematika
Universitas Sriwijaya Palembang
2016
2. i
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI.................................................................................................................................i
KOMBINASI, PERMUTASI DAN PELUANG............................................................................. 1
A. KAIDAH PENCACAHAN....................................................................................................1
1. Faktorial ........................................................................................................................... 1
2. Diagram Pohon ................................................................................................................. 1
3. Aturan Pengisian Tempat...................................................................................................2
4. Permutasi dan Kombinasi...................................................................................................2
4.1 Permutasi...................................................................................................................... 2
a. Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama.................................................................3
b. Permutasi Siklis (Sirkuler).............................................................................................. 4
4.2 Kombinasi..................................................................................................................... 4
B. PELUANG (Probabilitas) ......................................................................................................5
1. Pendekatan Perhitungan Probabilitas................................................................................... 5
a. Pendekatan Klasik .........................................................................................................5
b. Konsep Frekuensi Relatif ............................................................................................... 6
2. Komplemen Suatu Kejadian ............................................................................................... 7
3. Interseksi Dua Kejadian .....................................................................................................7
4. Union Dua Kejadian ..........................................................................................................8
DAFTAR PUSTAKA................................................................................................................. 10
3. 1
KOMBINASI, PERMUTASI DAN PELUANG
A. KAIDAH PENCACAHAN
1. Faktorial
Faktorial merupakan hasil kali bilangan asli dari 1 sampai dengan n, ditulis π!
(dibaca n faktorial).
1! = 1
2! = 2 .1
3! = 3 . 2 .1
4! = 4 . 3 .2 .1
5! = 5 . 4 .3 .2 . 1
Kesimpulan:
π! = π ( π β 1)( π β 2)( π β 3)β¦ 3 . 2.1, π β π΄
2. Diagram Pohon
Dalam diagram pohon, setiap hasil dari percobaan diwakili sebagai cabang dari
geometri yang berbentuk seperti pohon.
Contohnya pelemparan koin sebanyak dua kali. Pada kasus tersebut hasil dari
pelemparan koin terdapat 4 kemungkinan seperti pada diagram pohon berikut:
Diagram pohon itu memiliki empat ranting dimana masing-masing cabang
merupakan hasil percobaan. Jika percobaan diperluas untuk tiga lemparan maka
akan menghasilkan delapan hasil: HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, dan
TTT.
4. 2
Teknik ini bisa dilanjutkansistematis untuk memberikan hasil untuk n kali
pelemparan koin. Perhatikan bahwa 2 lemparan memiliki 4 hasil dan 3 kali
lemparan memiliki 8 hasil. n lemparan memiliki 2 π
hasil yang mungkin.
Aturan pencacahan untuk percobaan dua langkah menyatakan bahwa jika langkah
pertama adalah π1 dan langkah kedua adalah π2, maka percobaan dapat
menghasilkan (π1)(π2). Jika ditambahkan langkah ketiga yaitu dengan π3, maka
percobaan dapat menghasilkan (π1)(π2)(π3). Penghitungan aturan inipu berlaku
untuk eksperimen yang terdiri dari sejumlah lemparan. Untuk dua kali pelemparan
koin, jumlah hasil untuk percobaan adalah 2 x 2 = 4 dan untuk tiga kali lemparan,
jumlah hasil percobaannya adalah 2 x 2 x 2 = 8.
Penghitungan aturan dapat digunakan untuk mengetahui jumlah hasil dari
eksperimen dan kemudian diagram pohon dapat digunakan untuk benar-benar
mewakili hasil.
3. Aturan Pengisian Tempat
Aturan ini dibuat dengan membuat tabel. Contohnya pada kasus berikut ini: Untuk
tampil paa acara konser AFI di Palembang, Tia 3 baju berwarna yaitu merah,
kuning dan hijau serta membawa dua celana panjang berwarna putih dan biru.
Dengan berapa cara Tia dapat tampil dengan memakai pasangan baju dan celana
tersebut?
Baju Celana
3 macam 2 macam
Banyak pasangan baju dan celana ada 3 Γ 2 = 6 πππ πππ.
Kesimpulan dari diagram pohon dan aturan pengisian tempat adalah banyak cara
menghitung suatu percobaan maka: ( π1)( π2)( π3)β¦ (π π)
4. Permutasi dan Kombinasi
Banyak percobaan dalam statistik melibatkan pemilihan himpunan yang lebih
besar dari kelompok item. Untuk kasus semacam ini, digunakan aturan permutasi
dan kombinasi.
4.1 Permutasi
Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah cara penyusunan unsur-unsur
tersebut yang berbeda dengan memperhatikan urutannya (tempatnya). Banyak
permutasi yang terdiri n unsur disusun r unsur adalah:
ππ
π
=
π!
(π β π)!
, π β€ π
5. 3
Contoh soal:
1. Seorang presiden, wakil presiden, dan bendahara harus dipilih dari
sekelompok 10 orang. Berapa banyak pilihan yang berbeda yang
mungkin?
Dari 10 orang akan dipilih 3 orang berarti π = 10, π = 3
π3
10
=
10!
(10β3)!
= 10 Γ 9 Γ 8 = 720 cara
2. Suatu daftar memuat 10 rencana investasi yang dikemukakan oleh direksi
perusahaan kepada suatu dewan komisaris, dimana setiap anggota dewan
komisaris diminta untuk memberikan rank atau penilaian terhadap 5
rencana investasi tersebut yang dianggap feasible. Ada berapa cara ranking
dari 10 rencana investasi kalau diambil 5 setiap kali.
Dari 10 rencana investasi akan dinilai 5 rencana investasi berarti π = 10, π =
5
π5
10
=
10!
(10β5)!
= 10 Γ 9 Γ 8 Γ 7 Γ 6 = 30.240 cara ranking.
a. Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama
Jika dari n unsur terdapat:
π1 unsur yang sama, π2 unsur yang sama, π3 unsur yang sama, dan
seterusnya. Maka secara umum banyaknya permutasi yang berlainan dapat
disimpulkan sebagai berikut:
π =
π!
π1! . π2! . π3! β¦ π π !
, ππππππ π1 + π2 + π3 + β― + π π β€ π
Contoh soal: Dengan berapa cara huruf-huruf dari kata βASAβ dapat
disusun?
Bila contoh soal diatas diselesaikan dengan cara menyusun huruf tersebut
satu per satu maka:
π΄1 π΄2 π
π΄2 π΄1 π
π΄1 ππ΄2
π΄2 ππ΄1
ππ΄1 π΄2
ππ΄2 π΄1
AAS
ASA
SAA
6. 4
Dari penyususnan diatas dapat dilihat bawah banyaknya cara penyusunan
huruf tersebut ada 3 cara.
Bila diselesaikan dengan rumus permutasi unsur yang sama maka:
Jumlah huruf tersebut π = 3 dan Unsur yang sama dari huruf tersebut
yaitu huruf A berarti π1 = 2
π =
3!
2!
= 3 cara
b. Permutasi Siklis (Sirkuler)
Permutasi siklis adalah permutasi yang terdapat bila unsur-unsur
ditempatkan dalam suatu lingkaran menurut arah putar tertentu.
Banyak permutasi siklis dari n unsur yang berbeda adalah:
ππ = (π β 1)!
Contoh soal: Berapa banyak susunan yang terjadi jika A,B,C,D disusun
melingkar?
Bila contoh diatas diselesaikan dengan cara menyusun secara melingkar
huruf tersebut satu per satu maka:
Jadi, banyak penyusunannya ada 6 cara.
Bila diselesaikan dengan rumus permutasi siklis maka:
ππ = (4 β 1)! = 3! = 3 Γ 2 Γ 1 = 6 ππππ
4.2 Kombinasi
Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah cara penyusunan unsur-unsur
tersebut yang berbeda tanpa memperhatikan urutannya.
Banyak kombinasi yang terdiri dari n unsur dan disusun r unsur.
πΆπ
π
=
π!
( π β π)! π!
, π β€ π
7. 5
Contoh soal:
1. Tentukanlah banyaknya cara untuk memilih 3 orang siswa sebagai petugas
pengibar bendera hari Senin yang dipilih dari 20 orang siswa anggota
Barata kelas I!
πΆ3
20
=
20!
(20β3)!3!
=
20!
17!3!
=
20Γ19Γ18
3Γ2Γ1
= 20 Γ 19 Γ 3 = 1140 ππππ
2. Suatu populasi terdiri dari n elemen: π1 , π2 , β¦, π π. Untuk menyelidiki
karakteristik dari populasi tersebut diambil sampel yang dipilih secara
acak sebanyak r elemen: π1 , π2 ,β¦ , π π. Berapa banyaknya sampel yang
dapat diperoleh dari populasi ini jika π = 3 dan π = 2 ?
πΆ2
3
=
3!
(3β2)!2!
= 3 sampel
3 sampel tersebut adalah π1 , π2 ; π1 , π3 πππ π2 , π3
B. PELUANG (Probabilitas)
Peluang atau probabilitas adalah suatu nilai yang dipergunakan untuk mengukur
tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak.
Dalam probabilitas, dikenal 3 istilah yaitu eksperimen, hasil (outcome) dan kejadian
(event). Eksperimen adalah observasi terhadap objek atau kegiatan untuk memperoleh
beberapa ukuran, hasil adalah suatu hasil khusus dari sebuah eksperimen, dan
kejadian adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil dari sebuah eksperimen.
1. Pendekatan Perhitungan Probabilitas
Ada dua pendekatan dalam menghitung probabilitas yaitu pendekatan yang
bersifat objektif dan subjektif. Pendekatan subjektif berkaitan dengan penilaian
seseorang yang dinyatakan dalam bentuk opini atau pendapat. Pendekatan objektif
dibagi menjadi 2, yaitu pendekatan klasik dan pendekatan frekuensi relatif.
a. Pendekatan Klasik
Perhitungan probabilitas secara klasik didasarkan pada asumsi bahwa seluruh
hasil dari suatu eksperimen mempunyai kemungkinan (peluang) yang sama.
Dari definisi klasik, dapat kita simpulkan bahwa untuk peristiwa E, π( πΈ) =
π
π
dengan n = sampel kejadian E dan N = sampel semua kejadian.
Paling kecil n = 0 berarti tidak ada kejadian E dan paling banyak n = N yang
berarti semua yang terjadi adalah peristiwa E. Paling kecil peluang peristiwa E
berharga 0 dan paling besar satu. 0 β€ π(πΈ) β€ 1
8. 6
Jika πΈΜ menyatakan bukan peristiwa E maka:
π( πΈ) + π( πΈΜ ) = 1 , karena suatu peluang paling besar berharga. Berarti,
π( πΈΜ ) = 1 β π(πΈ).
Peristiwa E dan πΈΜ merupakan dua peristiwa yang saling asing atau saling
ekslusif, karena terjadinya E menghindarkan terjadinya πΈΜ dan
sebaliknya.Peristiwa sejenis ini dihubungkan dengan kata atau.
b. Konsep Frekuensi Relatif
Suatu peluang dalam daftar distribusi frekuensi dinyatakan dengan frekuensi
relatif.
X F fr
π1
π2
.
.
.
ππ
.
.
.
π π
π1
π2
.
.
.
ππ
.
.
.
ππ
Jumlah β ππ = π β ππ = 1
Dimana ππ = πππππ’πππ π πππππ‘ππ
ππ = πΎπππππππ π
P(ππ) =
ππ
π
Contoh soal: Pada suatu penelitian terhadap 65 karyawan yang bekerja di
perusahaan swasta, salah satu karakteristik, besarnya gaji/upah bulanan
digambarkan sebagai berikut:
Tingkat Upah Bulanan Karyawan Suatu Perusahaan Swasta
X 55 65 75 85 95 105 115
F 8 10 16 14 10 5 2
Apabila kita kebetulan bertemu dengan salah satu karyawan tersebut,
berapakah besarnya probabilitas bahwa upahnya 65 ribu rupiah? 105 ribu
rupiah?
π( π = 65) =
π2
π
=
10
65
= 0,15 ππ‘ππ’ 15%
π( π = 105) =
π6
π
=
5
65
= 0,07 ππ‘ππ’ 7%
12. 10
DAFTAR PUSTAKA
Dalimah. (2013). Bahan Belajar Matematika Kelas XI IPA SMA/MA Semester Ganjil.
Palembang: SMA Negeri 18. Hlm. 88, 93-94, 97-99 dan 104-112
Stephs, Larry J. (1998). Schaum Outlines Beginning of Statistics. Omaha : Library of
Congress Cataloging in Publication Data. Hlm. 63-64 dan 71-74
Sudjana. (2002). Metoda Statistika. Edisi 6. Bandung: Tarsito.Hlm. 116-117
Supranto, J. (2008). Statistik: Teori dan Aplikasi. Jilid 1. Edisi 7. Jakarta: Erlangga. Hlm.
319-322, 329-331, 340 dan 357-361
Tim Ganesha Operation. (2014). Pasti Bisa Matematika untuk Sekolah Menengah Atas Kelas
X. Jakarta: Penerbit Duta. Hlm.154