Dokumen tersebut membahas berbagai ukuran pemusatan dan letak data, seperti rata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata harmonik, modus, median, quartil, desil dan persentil beserta rumus dan contoh soalnya."

1. Ukuran Pemusatan Data
Created by:
Aisyah Turidho (06081281520073)
Reno Sutriono (06081381520044)
M.Rizky Tama Putra
(06081381419045)

2. Ukuran Pemusatan dan Letak Data
Ukuran Pemusatan Data
• Rata-rata hitung
• Rata-rata ukur
• Rata-rata harmonik
• Modus
• Median
Ukuran Letak Data
• Quartil
• Desil
• Persentil

3. Ukuran Pemusatan Data
 alat atau parameter yang digunakan
dalam menafsirkan suatu gejala yang akan
diteliti berdasarkan hasil pengolahan data
yang terkumpul

4. Rata-Rata
Rata-rata merupakan nilai yang mewakili kumpul
data yaitu nilai yang kurang dari nilai itu, nilai yang
lebih dari nilai itu dan nilai itu sendiri.
Contoh:
- Ani cantik
- Rina tidak cantik
- Dini sangat cantik
Kesimpulannya: Rata-rata perempuan itu cantik

5. Rata-Rata Hitung (Mean)
Mean dari sekumpulan data adalah jumlah dari
kumpulan bilangan dibagi banyak bilangan
tersebut.
Rumus utk menghitung mean:
Untuk data tunggal
Untuk daftar distribusi frekuensi tunggal
Untuk daftar distribusi frekuensi kelompok

6. Mean (lanjutan)
• Untuk data tunggal seperti: x1, x2, x3,.....,xn.
Maka:
𝑥 =
𝑥 𝑖
𝑛
Contoh (1) Tentukan rata-rata dari nilai siswa
sebagai berikut: 70, 69, 45, 80 dan 56!
𝑥 =
𝑥 𝑖
𝑛
=
70+69+45+80+56
5
= 64

7. Mean (Lanjutan)
• Untuk daftar distribusi frekuensi tunggal dan
kelompok:
𝑥 =
𝑓 𝑖 𝑥 𝑖
𝑓 𝑖
Contoh soal pada daftar
distribusi frekuensi
tunggal
Contoh soal pada daftar
distribusi frekuensi
kelompok

8. Mean (Lanjutan)
Untuk mencari rata-rata hitung daftar distribusi
frekuensi kelompok dpt digunakan cara sandi:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑝
𝑓𝑖 𝑐𝑖
𝑓𝑖
Contoh soal pada daftar
distribusi frekuensi
kelompok

9. Contoh soal Mean(2):
Tentukan Mean dari:
xi fi
70 5
69 6
45 3
80 1
56 1
xi fi fixi
70 5 350
69 6 414
45 3 135
80 1 80
56 1 56
Jumlah 16 1035

10. Dari tabel, dapat kita lihat 𝑓𝑖 𝑥𝑖 = 1035 dan
𝑓𝑖 = 16. Sehingga:
𝑥 =
𝑓 𝑖 𝑥 𝑖
𝑓 𝑖
=
1035
16
= 64,6

11. Contoh Soal Mean (3):
Tentukan rataan hitung dari:
Kelas fi
31 – 40 1
41 – 50 2
51 – 60 5
61 – 70 15
71 – 80 25
81 – 90 20
91 – 100 12
Jumlah 80
Penyelesaian Cara biasa
Penyelesaian Cara sandi

12. Penyelesaian cara biasa:
Kelas fi xi fixi
31 – 40 1 35,5 35,5
41 – 50 2 45,5 91
51 – 60 5 55,5 277,5
61 – 70 15 65,5 982,5
71 – 80 25 75,5 1887,5
81 – 90 20 85,5 1710
91 – 100 12 95,5 1146
Jumlah 80 - 6130

13. Dari tabel, dapat kita lihat 𝑓𝑖 𝑥𝑖 = 6130 dan 𝑓𝑖
= 80. Sehingga:
𝑥 =
𝑓 𝑖 𝑥 𝑖
𝑓 𝑖
=
6130
80
= 76,62

14. Penyelesaian cara sandi:
Nilai fi xi ci fici
31 – 40 1 35,5 −4 −4
41 – 50 2 45,5 −3 −6
51 – 60 5 55,5 −2 −10
61 – 70 15 65,5 −1 −15
71 – 80 25 75,5 0 0
81 – 90 20 85,5 1 20
91 – 100 12 95,5 2 24
Jumlah 80 - - 9

15. Dari tabel, dapat kita lihat 𝑓𝑖 𝑐𝑖 = 9 dan 𝑓𝑖 =
80. Panjang kelasnya adalah 10. Sehingga:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑝
𝑓𝑖 𝑐𝑖
𝑓𝑖
= 75,5 + 10
9
80
= 76,62

16. Rata-Rata Ukur (Geometrik Mean)
• Rata-rata ukur dipakai jika perbandingan tiap
dua data berurutan tetap atau hampir tetap.
Rumus untuk menghitung rata-rata ukur:
Untuk data tunggal
Untuk daftar distribusi frekuensi

17. Rata-Rata Ukur (lanjutan)
• Untuk data x1, x2, x3,.....,xn. Maka:
𝐺 = 𝑛
𝑥1. 𝑥2. 𝑥3 … . 𝑥 𝑛
• Untuk bilangan-bilangan bernilai besar, lebih baik
digunakan logaritma yang dirumuskan sebagai berikut
log 𝐺 =
log 𝑥 𝑖
𝑛
Contoh (1)  Hitunglah rata-rata ukur 3 buah data berikut:
x1 = 2, x2 = 4 dan x3 = 8 ! Penyelesaian cara
biasa
Penyelesaian cara
logaritma

18. Penyelesaian Cara biasa:
x1 = 2
x2 = 4
x3 = 8
𝐺 = 3
𝑥1. 𝑥2. 𝑥3
=
3
2.4.8
= 4

19. Penyelesaian Cara Logaritma:
x1 = 2, x2 = 4 dan x3 = 8
log 𝐺 =
log 2+log 4+log 8
3
log 𝐺 =
0,301 + 0,6021 + 0,9031
3
log 𝐺 = 0,6021
log 𝐺 = log 4
G = 4

20. Rata-Rata Ukur (Lanjutan)
• Untuk data yang telah disusun dalam daftar
distribusi frekuensi, digunakan rumus sebagai
berikut:
log 𝐺 =
(𝑓𝑖 log 𝑥𝑖)
𝑓𝑖
Contoh soal

21. Contoh soal Rata-Rata Ukur (2)
Tentukan rata-rata ukur dari:
Kelas fi
31 – 40 1
41 – 50 2
51 – 60 5
61 – 70 15
71 – 80 25
81 – 90 20
91 – 100 12
Jumlah 80

22. Penyelesaian:
Nilai fi xi 𝐥𝐨𝐠 𝒙𝒊 𝒇𝒊
𝐥𝐨𝐠 𝒙𝒊
31 – 40 1 35,5 1,5502 1,5502
41 – 50 2 45,5 1,658 3,316
51 – 60 5 55,5 1,7443 8,7215
61 – 70 15 65,5 1,8162 27,243
71 – 80 25 75,5 1,8779 46,9475
81 – 90 20 85,5 1,932 38,64
91 – 100 12 95,5 1,98 23,76
Jumlah 80 - - 150,1782

23. Dari tabel, dapat kita lihat 𝑓𝑖 log 𝑥𝑖 = 150,1782
dan 𝑓𝑖 = 80.
log 𝐺 =
(𝑓𝑖 log 𝑥𝑖)
𝑓𝑖
log 𝐺 =
150,1782
80
= 1,8772
G = 75,37

24. Rata-Rata Harmonik
kebalikan dari rataan hitung dengan
bilangannya merupakan kebalikan dari
kumpulan bilangan tersebut.
Rumus untuk mencari rata-rata harmonik:
Untuk data tunggal
Untuk daftar distribusi frekuensi

25. Rata-Rata Harmonik (lanjutan)
Untuk data tunggal:
𝐻 =
𝑛
1
𝑥𝑖
Contoh (1): Hitung rata-rata harmonik untuk
kumpulan data: 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12!

26. Penyelesaian:
𝐻 =
𝑛
1
𝑥𝑖
=
7
1
3
+
1
5
+
1
6
+
1
6
+
1
7
+
1
10
+
1
12
= 5,87

27. Rata-Rata Harmonik (lanjutan)
Untuk daftar distribusi frekuensi:
𝐻 =
𝑓𝑖
𝑓𝑖
𝑥𝑖
Contoh Soal

28. Contoh Soal Rata-Rata Harmonik (2)
Tentukan rata-rata harmonik dari:
Kelas fi
31 – 40 1
41 – 50 2
51 – 60 5
61 – 70 15
71 – 80 25
81 – 90 20
91 – 100 12
Jumlah 80

29. Penyelesaian:
Kelas fi xi 𝒇𝒊
𝒙𝒊
31 – 40 1 35,5 0,0282
41 – 50 2 45,5 0,044
51 – 60 5 55,5 0,0901
61 – 70 15 65,5 0,229
71 – 80 25 75,5 0,3311
81 – 90 20 85,5 0,2339
91 – 100 12 95,5 0,1256
Jumlah 80 - 1,0819

30. Dari tabel, dapat kita lihat
𝑓 𝑖
𝑥 𝑖
= 1,0819 dan
𝑓𝑖 = 80. Sehingga:
𝐻 =
𝑓𝑖
𝑓𝑖
𝑥𝑖
=
80
1,0819
= 73,91

31. Modus
Nilai yang paling banyak muncul dalam
kumpulan data
Contoh (1)  Berapakah modus dari data 12, 34, 14, 34, 28, 34,
34, 28, 14 !
Bila diubah dalam bentuk tabel maka:
xi fi
12 1
14 2
28 2
34 4
Modus dari data
tersebut adalah 34

32. Modus (lanjutan)
Untuk daftar distribusi frekuensi kelompok:
𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑝
𝑑1
𝑑1 + 𝑑2
p = panjang kelas modus
b = batas bawah kelas modus
d1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi
kelas sebelum kelas modus
d2 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas
sesudah modus
Contoh Soal

33. Median
nilai tengah dari kumpulan data yang sudah
diurutkan berdasarkan bilangan terkecil ke
terbesar.
Cara mencari median:
Untuk data tunggal
Untuk daftar distribusi frekuensi

34. Median (Lanjutan)
Untuk data tunggal dengan banyak data ganjil:
Untuk data tunggal dengan banyak data genap:

35. Median (lanjutan)
Untuk daftar distribusi frekuensi:
𝐿𝑒𝑡𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛 =
1
2
(𝑛 + 1)
𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑝
𝑛
2
− 𝑓𝑘
𝑓𝑚
b = batas bawah kelas median
P = panjang kelas
f k = frekuensi kumulatif sebelum kelas median
fm = frekuensi kelas modus
Contoh soal

36. Contoh soal modus dan median (2) :
Tentukan modus dan median dari:
Kelas fi
31 – 40 1
41 – 50 2
51 – 60 5
61 – 70 15
71 – 80 25
81 – 90 20
91 – 100 12
Jumlah 80

37. Penyelesaian:
Nilai fi fk
31 – 40 1 1
41 – 50 2 3
51 – 60 5 8
61 – 70 15 23
71 – 80 25 48
81 – 90 20 68
91 – 100 12 80
Jumlah 80 -
Penyelesaian
Modus
Penyelesaian
Median

38. • Kelas modus = 71 – 80
• b = 70,5
• p = 10
• d1 = 25 – 15 = 10
• d2 = 25 – 20 = 5
𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑝
𝑑1
𝑑1 + 𝑑2
= 70,5 + 10
10
10+5
= 77,17

39. • Kelas median: 71 – 80
• b = 70,5
• p = 10
• fk = 23
• fm = 25
𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑝
𝑛
2
− 𝑓 𝑘
𝑓 𝑚
= 70,5 + (10)
40 −23
25
= 77,3

40. Ukuran Letak Data
Ukuran letak data biasanya dinyatakan dalam
bentuk fraktil. Fraktil merupakan nilai-nilai yang
membagi seperangkat data yang telah terurut
menjadi beberapa bagian yang sama.

41. Quartil
Membagi data jadi 4 bagian
Untuk data tunggal:
𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄𝑖 = 𝐷𝑎𝑡𝑢𝑚 𝑘𝑒
𝑖(𝑛+1)
4
Baru dapat dicari quartilnya.
Contoh soal

42. Quartil (lanjutan)
Untuk daftar distribusi frekuensi kelomopok:
𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄𝑖 = 𝐷𝑎𝑡𝑢𝑚 𝑘𝑒
𝑖(𝑛+1)
4
𝑄𝑖 = 𝑏 + 𝑝
𝑖𝑛
4
− 𝑓 𝑘
𝑓 𝑄
, i = 1, 2, 3
Contoh soal

43. Desil
Membagi data jadi 10 bagian.
Untuk data tunggal:
𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝐷𝑖 = 𝐷𝑎𝑡𝑢𝑚 𝑘𝑒
𝑖(𝑛+1)
10
Baru dapat dicari desilnya.
Contoh soal

44. Desil (Lanjutan)
Untuk daftar distribusi frekuensi kelompok:
𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝐷𝑖 = 𝐷𝑎𝑡𝑢𝑚 𝑘𝑒
𝑖(𝑛+1)
10
𝐷𝑖 = 𝑏 + 𝑝
𝑖𝑛
10
− 𝑓 𝑘
𝑓 𝐷
, i = 1, 2, 3,...,9

45. Persentil
Membagi data jadi 100 bagian.
Untuk data tunggal:
𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑃𝑖 = 𝐷𝑎𝑡𝑢𝑚 𝑘𝑒
𝑖(𝑛+1)
100
Baru dapat dicari persentilnya.
Contoh soal

46. Persentil (lanjutan)
Untuk daftar distribusi frekuensi kelompok:
𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑃𝑖 = 𝐷𝑎𝑡𝑢𝑚 𝑘𝑒
𝑖(𝑛+1)
100
𝑃𝑖 = 𝑏 + 𝑝
𝑖𝑛
100
− 𝑓 𝑘
𝑓𝑝
, i = 1, 2, 3,...,99

47. Contoh soal ukuran letak data (1)
Tentukan kuartil 3; desil 3 serta persentil 25 dari
data berikut: 350, 400, 450, 550, 600, 600, 600,
650, 700 dan 750!
Penyelesaian
Quartil
Penyelesaian
Desil
Penyelesaian
Persentil

48. Penyelesaian Quartil:
• 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄3 = 𝐷𝑎𝑡𝑢𝑚 𝑘𝑒
3(10+1)
4
= 8
1
4
Artinya 𝑄3 terletak diantara data kedelapan dan data
kesembilan. Dengan pendekatan datum interpolasi
berikut.
• 𝑄3 = 𝑥8 +
1
4
𝑥9 − 𝑥8
= 650 +
1
4
700 − 650 = 662,5

49. Penyelesaian Desil:
• 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝐷3 = 𝑑𝑎𝑡𝑢𝑚 𝑘𝑒
3(10+1)
10
= 3
3
10
Artinya desil ketiga terletak di antara data ketiga
dan keempat, sehingga:
• 𝐷3= 𝑥3 +
3
10
𝑥4 − 𝑥3
= 450 +
3
10
550 − 450 = 480

50. Penyelesaian persentil:
• 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑃25 = 𝑑𝑎𝑡𝑢𝑚 𝑘𝑒
25(10+1)
100
= 2
3
4
Artinya persentil ke-25 terletak di antara data
kedua dan ketiga, sehingga:
• 𝑃25 = 𝑥2 +
3
4
𝑥3 − 𝑥2
= 400 +
3
4
450 − 400 = 437,5

51. Contoh soal Quartil (2):
Tentukan kuartil 3 dari :
Nilai fi fk
31 – 40 1 1
41 – 50 2 3
51 – 60 5 8
61 – 70 15 23
71 – 80 25 48
81 – 90 20 68
91 –
100
12 80
Jumlah 80 -

52. Penyelesaian:
• 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄3 =
3(80+1)
4
= 60,75
• Kelas kuartil: 81 – 90
• b = 80,5
• p = 10
• fk = 48
• fQ = 20
𝑄3 = 𝑏 + 𝑝
3𝑛
4
− 𝑓 𝑘
𝑓 𝑄
= 80,5 + (10)
60 −48
20
= 86,5

53. TERIMA KASIH