Modul ini membahas tentang teori peluang dan kaidah pencacahan yang terdiri dari aturan pengisian tempat, permutasi, dan kombinasi. Teori peluang berkaitan dengan perhitungan kemungkinan terjadinya suatu kejadian berdasarkan ruang sampel dan jumlah kejadian. Kaidah pencacahan digunakan untuk menghitung berapa banyak kejadian dari suatu peristiwa besar.

1. Modul ke:
Fakultas
Program Studi
Matematika 2
Teori Peluang
Beny Nugraha, MT, M.Sc
02FAKULTAS
TEKNIK
TEKNIK
ELEKTRO

2. Pendahuluan
• Teori peluang berkaitan dengan perhitungan
kemungkinan terjadinya suatu kejadian.
• Suatu kejadian merupakan bagian dari suatu
kejadian yang lebih besar atau ruang sample.
• Untuk menentukan peluang suatu kejadian
perlu menentukan terlebih dahulu berapa
banyak kejadian itu dapat terjadi dan berapa
banyak ruang sampelnya dapat terjadi.

3. Kaidah Pencacahan
• Untuk menentukan berapa banyak kejadian
dari suatu peristiwa besar, dapat
menggunakan Kaidah Pencacahan. Kaidah
Pencacahan dibagi lagi menjadi tiga, yaitu:
1. Aturan Pengisian Tempat
2. Permutasi
3. Kombinasi

4. Aturan Pengisian Tempat
• Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam m cara dan
kejadian kedua dapat terjadi dalam n cara, maka
banyaknya kejadian dari gabungan kedua kejadian
tersebut adalah mn cara.
• Kaidah pencacahan umum : Jika suatu kejadian dapat
terjadi dalam n1 cara, dan jika kejadian tersebut
diikuti oleh kejadian kedua yang dapat terjadi dalam
n2 cara, jika kedua kejadian tersebut diikuti oleh
kejadian ketiga yang dapat terjadi dalam n3 cara, …
demikian seterusnya, maka k kejadian yang terjadi
secara berurutan tersebut dapat terjadi dalam ( n1 x
n2 x n3 x … x nk ) cara.

5. Aturan Pengisian Tempat
• Contoh:
Dari rumah Rizky menuju Mercubuana kampus Meruya
bisa melalui 3 jalan yang berbeda. Kemudian dari
kampus Meruya ke kampus Menteng bisa melalui 4
jalan yang berbeda. Maka berapakah total banyaknya
jalan yang bisa ditempuh Rizky dari rumahnya menuju
kampus Menteng, tapi melalui kampus Meruya terlebih
dahulu?
Jawab:
Jumlah Jalan Total = Banyak Jalan Rumah-Meruya x
Banyak Jalan Meruya-Menteng
= 3 x 4 = 12 Jalan

6. Aturan Pengisian Tempat
• Contoh:
Jika diketahui ada lima buah angka 0, 1, 2, 3, dan 4 yang ingin disusun
menjadi suatu bilangan yang terdiri atas 4 angka. Berapa banyak
bilangan yang dapat disusun apabila angka-angka itu tidak boleh
berulang?
Jawab:
• Angka pertama (sebagai ribuan) dapat dipilih dari empat angka yaitu
1, 2, 3, dan 4. Misalnya terpilih angka 2. Karena angka-angka itu
tidak boleh berulang, maka angka kedua (sebagai ratusan) dapat
dipilih dari empat angka, yaitu 0, 1, 3 dan 4. Misalnya terpilih angka
0. Angka ketiga (sebagai puluhan) dapat dipilih dari tiga angka, yaitu
1, 3, dan 4. Misalkan yang terpilih angka 1. Angka keempat (sebagai
satuan) dapat dipilih dari dua angka, yaitu 3, dan 4.
• Jadi, seluruhnya ada 4 x 4 x 3 x 2 = 96 bilangan yang dapat disusun
dengan angka-angka yang tidak boleh berulang.

7. Aturan Pengisian Tempat
• Faktorial: digunakan untuk mempermudah perhitungan
peluang suatu kejadian. Faktorial dari sebuah bilangan x
dinotasikan sebagai x!. Cara menghitungnya adalah dengan
mengalikan seluruh bilangan dari x hingga 1.
• Contoh:
0 ! = 1
1 ! = 1
2 ! = 2 x 1 = 2
4 ! = 4 x 3 x 2 x 1 = 12
• Dari kesemua contoh di atas dapat disimpulkan bahwa rumus
menghitung faktorial adalah:

8. Aturan Pengisian Tempat
• Contoh:

9. Permutasi
• Permutasi dari sejumlah objek adalah susunan
objek tersebut dalam urutan berhingga.
Banyak permutasi dari k unsur yang diambil
dari n unsur yang tersedia dapat dihitung
dengan rumus:
• Susunan harus diperhatikan karena nPk ≠ kPn.

10. Permutasi
• Contoh:
1.
2. Dalam suatu perlombaan balap sepeda yang terdiri
dari 7 orang akan diambil 3 orang sebagai juara yaitu :
juara I, juara II dan juara III. Tentukan kemungkinan
susunan juara yang terjadi!

11. Permutasi
• Contoh:
3. Berapa banyaknya permutasi dari pengambilan 5
buah kartu dalam sebuah dek kartu yang berisikan 52
buah kartu?

12. Permutasi Siklis
• Permutasi Siklis: banyaknya permutasi n objek
yang disusun secara melingkar adalah (n–1)!
Contoh:
Terdapat 4 orang yang duduk mengelilingi
sebuah meja bundar. Tentukan banyaknya cara
mereka duduk.
Jawab:
Dengan permutasi siklis: (4-1)! = 3! = 3x2x1 = 6
cara.

13. Permutasi Siklis
Jawaban dari contoh juga dapat digambarkan
sebagai berikut:

14. PR!!!
PR#2:
Terdapat 5 orang dalam sebuah
kelompok yang sedang berdiskusi dan
duduk mengelilingi sebuah meja
bundar. Tentukan banyaknya cara
mereka duduk!

15. Permutasi
• Permutasi dengan beberapa unsur yang sama
bisa dihitung dengan rumus:
Contoh:
Berapakah banyaknya susunan huruf yang dapat
dibentuk dari kata “MERCUBUANA”?

16. Permutasi
Jawab:
MERCUBUANA
Jumlah huruf: n = 10
Banyaknya huruf yang sama: Huruf U = n1 = 2 &
Huruf A = n2 = 2.
Jadi:

17. Kombinasi
• Kombinasi adalah susunan dari sekelompok
objek tanpa memperhatikan susunannya atau
urutannya. Sehingga:
AB = BA , ABC = ACB = CBA.
• Banyaknya kombinasi dari r objek yang diambil
dari n objek yang tersedia dinotasikan dengan
nCr atau C (n,r) atau Cn,r.

18. Kombinasi
Contoh:
1.
2. Berapakah kombinasi lima huruf dari huruf A-
Z?
Total huruf A-Z = 26 huruf. Maka:
26C5 = 65780 kombinasi.

19. Kombinasi
Contoh:
3. Berapa banyaknya cara untuk memilih 3 siswa SMP
dan 4 siswa SMA dari sebuah sekolah kursus dengan 18
siswa SMP, dan 20 siswa SMA untuk bernyanyi?
Jawab:
3 Siswa SMP dapat dipilih dalam 18C3 cara.
4 siswa SMA dapat dipilih dalam 20C4 cara.
Siswa SMP dan SMA dapat dipilih dalam 18C3 dikalikan
20C4 cara:
18C3 x 20C4 = 3.953.520 cara.

20. Permutasi vs Kombinasi
• Perbedaan mencolok antara Permutasi dan
Kombinasi adalah jika Permutasi maka perbedaan
urutan menjadikan perbedaan makna, sementara di
Kombinasi perbedaan urutan tidak akan menjadikan
perbedaan makna.
• Contoh: pada huruf{a,b,c} pengambilan 2 unsur dari 3
unsur jika menggunakan permutasi maka akan
diperoleh hasil ab, ba, ac, ca, bc, cb. Tetapi jika
menggunakan kombinasi hasil yang diperoleh adalah
ab, ca, bc.

21. Permutasi vs Kombinasi
• Contoh yang menggambarkan Permutasi:
Ada nomor kendaraan di Indonesia yaitu AB (Jogjakarta
dan sekitarnya), tetapi apabila dibalik maka menjadi BA
(Padang), maka terlihat perbedaan maknanya.
• Contoh yang menggunakan Kombinasi:
Pada gambar di atas terdapat dua titik A dan B yang
dihubungkan oleh satu garis. Garis AB sama dengan
garis BA, yang berarti tidak menyebabkan perbedaan
makna.

22. Teori Peluang
• Percobaan
Sifat dasar percobaan adalah setiap jenis
percobaan mempunyai kemungkinan hasil atau
peristiwa (kejadian) yang akan terjadi.

23. Teori Peluang
• Ruang Sampel
Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil
yang mungkin pada suatu percobaan
dilambangkan dengan S. Titik Sampel adalah
elemen-elemen (anggota-anggota) dari ruang
sampel

24. Teori Peluang
• Kejadian
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang
sampel atau bagian dari hasil percobaan yang
diinginkan.

25. Teori Peluang
• Cara menentukan peluang kejadian:
Misalnya S adalah ruang sampel dari suatu
percobaan dengan setiap anggota S memiliki
kesempatan muncul yang sama. Andaikan A
adalah suatu kejadian dengan banyaknya
kejadian n(A), maka peluang kejadian A adalah:

26. Teori Peluang
Di mana:
n(A) : banyak anggota dalam kejadian A
n(S) : banyak anggota dalam himpunan ruang
sampel S
• Untuk setiap kejadian A dari ruang sampel S,
maka sifat-sifat dasar peluang:
– 0 ≤ P(A) ≤ 1
– Jika A = S, maka P(A) = 1

27. Teori Peluang
Contoh:
Pengambilan sebuah kartu dilakukan secara acak dari
kotak dengan 52 kartu. Misalkan A adalah kejadian
diperoleh “sebuah kartu as merah” dan B adalah
kejadian diperoleh “sebuah hati”. Tentukan P(A) dan
P(B)!
Jawab:
Kartu AS merah ada 2 buah, maka:
P(A)=2/52
Jumlah seluruh kartu hati ada 13 buah, maka:
P(B)=13/52

28. Teori Peluang
Contoh:
Sebuah kotak berisi 20 kelereng, 5 berwarna merah dan
12 berwarna kuning serta sisanya berwarna hijau.
Maka:
• Peluang terambil 1 kelereng berwarna merah adalah
5/20,
• Peluang terambil 1 kelereng berwarna kuning adalah
12/20, dan
• Peluang terambil 1 kelereng berwarna hijau adalah
3/20

29. Teori Peluang
Contoh:
Sebuah dadu dilempar satu kali. Kejadian A adalah
munculnya angka genap dan kejadian B adalah munculnya
angka yang habis dibagi tiga. Tentukan P(A) dan P(B). Dan
tentukan juga peluang muncul angka genap atau angka yang
habis dibagi tiga.
Jawab:
• S: {1,2,3,4,5,6}, n(S) = 6
• A adalah kejadian muncul angka genap: {2,4,6}, n(A) = 3.
P(A) = 3/6 = 1/2
• B adalah kejadian muncul angka yang habis dibagi 3: {3,
6}, n(B) = 2. P(B) = 2/6 =1/3

30. Teori Peluang
Contoh:
Sebuah dadu dilempar satu kali. Kejadian A adalah
munculnya angka genap dan kejadian B adalah munculnya
angka yang habis dibagi tiga. Tentukan P(A) dan P(B). Dan
tentukan juga peluang muncul angka genap atau angka yang
habis dibagi tiga.
Jawab:
• Peluang A atau B dapat dihitung dengan rumus:
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= P(A) + P(B) – [P(A) x P(B)]
= 1/2 + 1/3 – 1/6
= 2/3

31. Terima Kasih
Beny Nugraha, MT, M.Sc