1. Medan Magnetik sebagai Medan Listrik
Seperti yang kita ketahui, suatu muatan listrik jika diam hanya menghasilkan medan
listrik, dan jika bergerak akan menghasilkan suatu jenis medan tambahan, yaitu medan
magnetik. Kita akan menyebut muatan yang menghasilkan medan-medan ini sebagai
muatan sumber (source charge). Selain itu, juga kita ketahui bahwa suatu muatan yang
bergerak dalam medan magnetik akan mengalami suatu gaya magnetik, dan muatan
berada dalam medan listrik akan mengalami gaya listrik, baik muatan tersebut dalam
keadaan diam maupun bergerak. Kita akan menyebut muatan yang kita tinjau ini sebagai
muatan uji (test charge). Untuk suatu muatan uji yang berada dalam medan listrik dan
medan magnet sekaligus, kita ketahui gaya total yang dialaminya diberikan oleh rumus:
q q= + = + ×tot e mF F F E u B (1)
dimana E menyatakan medan listrik, B menyatakan medan magnetik, u menyatakan
kecepatan muatan uji, dan q menyatakan besar muatan uji.
Sekarang, jika kita berpindah dari kerangka laboratorium ke kerangka diam muatan
sumber, maka muatan uji tidak mengalami gaya magnetik (dalam kerangka ini, B' = 0),
dan gaya total yang dialami muatan uji adalah ' ' 'q= =tot eF F E . Walaupun demikian,
menurut prinsip relativitas kedua gaya total ini (Ftot dan Ftot') harus sama, setelah melalui
transformasi gaya relativistik.
Pada soal ini, kita akan membuktikan kesamaan ini. Dalam pengerjaan soal, anda
mungkin akan membutuhkan rumus-rumus transformasi Lorentz. Rumus-rumus tersebut
disediakan pada lampiran.
Pertama, kita akan meninjau kembali keabsahan rumus gaya Coulomb:
2q=eF E
Dimana
1
3
q
k
r
=E r (2)
dimana q1 adalah muatan sumber, q2 adalah muatan uji, r adalah vektor dari q1 ke q2.
Dalam laboratorium, asalkan muatan sumber yang digunakan diam, rumus ini terbukti
benar, berapapun kecepatan muatan uji. Namun untuk muatan sumber yang bergerak,
rumus ini tidak memberikan hasil yang benar.

2. a) Tinjau suatu muatan sumber q1 yang bergerak dengan kecepatan v pada sumbu x
dan pada saat t = 0 melalui pusat koordinat. Pada koordinat (x, y, z) terdapat
muatan uji q2 yang diam. Dalam kerangka ini, gaya yang bekerja pada q2 hanyalah
gaya listrik. Dengan melakukan transformasi koordinat ke kerangka diam q1,
buktikan bahwa perumusan yang benar untuk gaya listrik yang bekerja pada q2
(dalam kerangka lab) adalah:
2q=eF E
Dimana
( )
22 2 21
3
, '
'
q
k r x y z
r
γ γ= = + +E r (3)
Untuk mendapatkan rumus ini, anda harus mengambil suatu asumsi. Hal ini
dikarenakan keserempakan dalam suatu kerangka tidaklah merupakan
keserempakan dalam kerangka lain.
Perhatikan bahwa gaya ini berarah radial. Diskusikan keistimewaan dibalik
kenyataan ini! Ingatlah bahwa menurut prinsip relativitas Einstein, tidak ada
informasi yang dapat merambat lebih cepat dari cahaya.
b) Sekarang, tinjaulah kasus seperti soal a) namun untuk q2 yang bergerak dengan
kecepatan sembarang u. Buktikan bahwa gaya total yang dialami oleh q2 dapat
ditulis sebagai:
q q= + = + ×tot e mF F F E u B (4)
dimana
1
3
'
q
k
r
γ= vE r (5)
2
c
= ×
1
B v E (6)
Perhatikan bahwa kita telah memisahkan komponen gaya yang bergantung dan
tidak bergantung pada kecepatan q2. Komponen gaya yang tidak bergantung pada
kecepatan q2 kita simpulkan sebagai gaya listrik Fe, dan komponen gaya yang
bergantung pada kecepatan q2 kita simpulkan sebagai gaya magnetik Fm dengan
medan magnetik seperti pada rumus (6).

3. Jika kesimpulan kita ini benar, maka kita telah membuktikan bahwa medan
magnetik sebenarnya merupakan medan listrik dalam kerangka diam muatan
sumber.
Untuk membuktikan bahwa kesimpulan kita di atas adalah benar, kita akan
menurunkan rumus B untuk suatu penghantar berarus i, yang besarnya bisa
didapat dari hukum Ampere:
0
2
i
B
r
µ
π
= (7)
dan arahnya diberikan oleh aturan tangan kanan.
c) Pertama, buktikan bahwa medan listrik akibat suatu kawat dengan muatan per
satuan panjang λ adalah 2
2k
r
λ
=E r , berapapun kecepatan gerak kawat pada arah
panjangnya. Untuk mempermudah, langsung gunakan bentuk E pada rumus (5).
d) Suatu kawat penghantar adalah netral, sehingga dapat dimodelkan sebagai
gabungan dari dua kawat bermuatan, dengan muatan per satuan panjang masing-
masing adalah λ dan –λ. Jika penghantar tersebut mengalirkan arus i, maka dapat
dianggap kawat bermuatan negatif bergerak berlawanan dengan arah arus dengan
kecepatan v sedemikian sehingga i = vλ. Dengan menggunakan hasil-hasil yang
telah didapat, buktikan bahwa medan magnetik yang didapat dari rumus (6)
adalah sama dengan medan yang didapat dari hukum Ampere.
Solusi Medan Magnet sebagai Medan Listrik
a) Kita akan menghitung gaya yang dikerjakan q1 pada q2 ketika q1 tepat melewati
pusat koordinat (t1 = t2 = 0). Dari transformasi Lorentz, dengan mengambil kejadian
pertama pada koordinat q1 (0,0,0,0) dan kejadian kedua pada koordinat q2 (x,y,z,0)
kita dapatkan:
( )
2 2
'
'
'
'
x x v t x
y y y
z z z
v x vx
t t
c c
γ γ
γ γ
∆ = ∆ − ∆ =
∆ = ∆ =
∆ = ∆ =
∆ 
∆ = ∆ − = − ÷
 
(1)

4. Kedua kejadian di atas tidak terjadi pada waktu yang sama dalam kerangka S'. Untuk
mendefinisikan gaya oleh q1 pada q2, kita perlu mengambil suatu asumsi untuk
menyamakan waktu kedua kejadian. Di dalam kerangka S', q1 selalu berada pada
koordinat ruang yang sama, kita akan ambil koordinat ini (0,0,0). Berarti ketika
1 2 2
' '
vx
t t
c
γ= = − , selisih koordinat ruang kedua muatan pada persamaan (1) masih
benar. Dengan demikian, kita ambil koordinat q1 pada (0,0,0, 2
vx
c
γ− ) dan koordinat q2
pada ( xγ , y, z, 2
vx
c
γ− ).
Pada kerangka S' kita dapat menggunakan rumus gaya Coulomb biasa:
1 2
3
q q
k
r
=F r (2)
Kita dapatkan komponen-komponen gaya sebagai berikut:
1 2 1 2 1 23 3 3
' , ' , '
' ' '
x y z
x y z
F kq q F kq q F kq q
r r r
γ
= = = (3)
Dimana ( )
22 2 2
'r x y zγ= + +
Lalu dengan transformasi gaya, dan dengan mengambil ˆ' v= −u i , kita dapatkan:

5. ( )2
2
2
2
' '
'
'
1
'
'
'
1
'
'
'
1
x
x x
x
y
y y
x
z
z z
x
v
F
cF F
u v
c
F
F F
u v
c
u
F F
u v
c
γ
γ
γ
γ
+ ×
= =
+
= =
+
= =
+
F u
Dengan demikian, kita dapatkan:
( )1 2
3
1 2
3
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
'
'
x y zF F F
q q
k x y z
r
q q
k
r
γ
γ
= + +
= + +
=
F i j k
i j k
r
(4)
Perhatikan gambar di bawah.
Gaya ini berarah radial (medan listriknya juga), menurut prinsip relativitas Einstein,
tidak ada tidak ada informasi yang dapat merambat lebih cepat dari cahaya, maka
medan E yang sampai pada titik P sekarang tidaklah mungkin berasal dari muatan
sumber pada posisi sekarang (X). Medan ini harus berasal dari muatan pada titik
sebelum X, misalkan titik ini adalah X', maka waktu yang dibutuhkan oleh informasi
(dalam hal ini medan listrik) untuk merambat dari X' ke P adalah sama dengan waktu
q1 bergerak dari X' ke X. Tetapi kita lihat dari hasil perhitungan bahwa medan tersebut
berarah radial dari koordinat q1 sekarang, untuk muatan sumber yang bergerak
dengan kecepatan konstan, seolah-olah alam telah “menghitung” dimana muatan
sumber akan berada ketika medan yang dihasilkannya mecapai titik yang ditinjau, dan
menghasilkan medan yang berarah radial dari posisi tersebut.

6. Perhatikan bahwa informasi yang dilepaskan muatan sumber dalam perjalanan antara
X' dan X akan mencapai titik P setelah informasi yang berasal dari X'. Jika setelah
mencapai X' muatan sumber tidak meneruskan geraknya dengan kecepatan konstan,
maka pada saat medan yang dihasilkannya pada X' mencapai titik P, muatan sumber
tidak berada pada X, namun medan E masih akan berarah radial dari titik X.
b) Dalam mengerjakan soal ini, kita akan membutuhkan transformasi kecepatan
untuk mendapatkan kecepatan q2 dalam kerangka S', u'.
2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ, ' ' ' '
' , ' , '
1 1 1
x y z x y z
yx z
x y z
x x x
u u u u u u
uu v u
u u u
u v u v u v
c c c
γ γ
= + + = + +
−
= = =
− − −
u i j k u i j k
Sama seperti kasus a), kita akan mengambil ketika 1 2 2
' '
vx
t t
c
γ= = −
Dalam kerangka S', komponen gaya yang bekerja pada q2 adalah sama seperti pada
rumus (3)
1 2 1 2 1 23 3 3
' , ' , '
' ' '
x y z
x y z
F kq q F kq q F kq q
r r r
γ
= = =
Dimana ( )
22 2 2
'r x y zγ= + +
Lalu, komponen-komponen gaya pada kerangka S didapat dengan transformasi:

7. ( )2
2
2 2
2 2
2 2
1 2
3
2 2
' '
'
1
' '
' ' '
' '
1 1
' '
' '' 1 1
x
x
x
y z
x y z
x x
y z
x x
v
F
cF
vu
c
vu vu
c cF F F
vu vu
c c
vu vu
q q y zc ck x
vu vur
c c
γ
γ γ
+ ×
=
+
= + +
+ +
 
 ÷
= + + ÷
 ÷+ + ÷
 
F u
Sekarang perhatikan bahwa
2 2
2 2 2
2
2 2
2
2
2
' 1
1 1
1 1
1
1
'
1
x x
x xx
x
x
vu u v v c v
vu vuc c c vu
c c
vu
vu c
c
γ
γ
 
 ÷− −
+ = + = = ÷
−   ÷− − ÷   
 
= − ÷
 +
Sehingga Fx dapat kita tuliskan
2 21 2
3 2 2 2 2
2 2
1 2
3 2 2
1 1
' 1 1
'
y x xz
x
x x
y z
u vu vuq q uy v z v
F k x
u v u vr c c c c
c c
vuq q vu
k x y z
r c c
γ γ
γ γ γ
γ γ
γ
    
 ÷ ÷  ÷   
= + − + − ÷ ÷  ÷ ÷  ÷
    ÷ ÷  ÷− − ÷
    
 
= + + ÷
 
Lalu Fy dan Fz ditulis sebagai:
21 2 1 2
3 2 3 2
2
21 2 1 2
3 2 3 2
2
'
1 1
' ' '1
'
1 1
' ' '1
y x x
y
x
x xz
z
x
F vu vuq q q qy
F k k y
u v r c r c
c
vu vuF q q q qz
F k k z
u v r c r c
c
γ
γ γ
γ
γ
γ γ
γ
     
= = − = − ÷  ÷  ÷
    +
     
= = − = − ÷  ÷  ÷
    +
Maka kita dapatkan F adalah

8. ( )
1 2
3 2 2
1 2
3 2
1 2
3 2
1 2 1 2
3 3 2 2 2 2
2 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ
'
ˆ1
'
ˆ1
'
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
' '
x y z
y z
x
x
y x xz
F F F
vuq q vu
k x y z
r c c
vuq q
k y
r c
vuq q
k z
r c
vu vu vuq q q q vu
k x y z k y z y z
r r c c c c
q q
γ
γ
γ
γ γ
= + +
 
= + + ÷
 
 
+ − ÷
 
 
+ − ÷
 
  
= + + + + − − ÷ ÷
  
= + ×
F i j k
i
j
k
i j k i j k
E u B
Dengan
1
3
'
q
k
r
γ= vE r
2
c
= ×
1
B v E
c) Untuk kawat yang bergerak dengan kecepatan v pada arah panjangnya, medan
listrik pada jarak r dari kawat adalah:
( )( )
( )
( )( )
3/ 222
3/ 222
2
2
d
k dx
r x
k dx
r x
k
r
λ
γ
γ
λ
γ
γ
λ
∞
−∞
∞
−∞
=
= −
+
 
 ÷
=  ÷
 ÷+
 
=
∫
∫
∫
E E
r x
r
r
d) Dari hasil c), kita simpulkan bahwa medan listrik dari kedua kawat (λ dan −λ)
akan saling meniadakan. Dan yang tersisa hanyalah medan magnetik B:

9. ( )
2
0 0
0 0 2
0
0 0 2
0
0
1 1
,
2 1
, , , adalah arah arus
4
1
2
2
c
c
k
k v i i
r
r
i
r
µ ε
λ
µ ε λ
πε
µ ε λ
πε
µ
π
= × =
 
= × − = = − ÷
 
= − ×
=
B v E
v r v
v r
B
Dengan arah B yang juga mengikuti aturan tangan kanan.

10. ( )
2
0 0
0 0 2
0
0 0 2
0
0
1 1
,
2 1
, , , adalah arah arus
4
1
2
2
c
c
k
k v i i
r
r
i
r
µ ε
λ
µ ε λ
πε
µ ε λ
πε
µ
π
= × =
 
= × − = = − ÷
 
= − ×
=
B v E
v r v
v r
B
Dengan arah B yang juga mengikuti aturan tangan kanan.