Dokumen menjelaskan tentang mekanika Lagrangian dengan fokus pada persamaan gerak sistem pegas menggunakan metode Lagrange. Persamaan Euler-Lagrange digunakan untuk mencari solusi persamaan gerak, termasuk aplikasi untuk sistem konservatif dan tidak konservatif. Metode ini melibatkan pemilihan koordinat dan perhitungan energi kinetik serta potensial untuk menentukan persamaan diferensial gerak.

1. Artikel langrangean, Barep Fredy P, M0213016
Fisika,Universitas Sebelas Maret
23/12/2014
Mekanika Lagrangean
𝐿 = 𝑇 − 𝑉
𝐹 = 𝑚 𝑎
𝒎 𝒙̈ = −𝒌 𝒙
Pada sistem pegas diatas akan berlaku persamaan Hooke : 𝑭 = −𝒌𝒙
Persamaan gerak pegas diberikan oleh persamaan :
𝐹 = 𝑚 𝑎
−𝑘 𝑥 = 𝑚 𝑥̈ (2)
atau dapat ditulis,
𝑚
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝑘𝑥 = 0
𝑚
𝑑
𝑑𝑡
(𝑥̇) + 𝑘𝑥 = 0
𝒅
𝒅𝒕
𝒎𝒙̇ = −𝒌𝒙 (3)

2. Artikel langrangean, Barep Fredy P, M0213016
Fisika,Universitas Sebelas Maret
23/12/2014
sehingga, persamaan Euler Lagrangian
𝒅
𝒅𝒕
(
𝝏𝓛
𝝏𝒙̇
) =
𝝏𝓛
𝝏𝒙
(4)
Dalam persamaan gerak menggunakan metode Lagrange dapat dicari dengan melihat
persamaan Euler Lagrange dan persamaan gerak pegas di atas yaitu :
𝜕ℒ
𝜕𝑥̇
= 𝑚𝑥̇ ;
𝜕ℒ
𝜕𝑥
= −𝑘𝑥 (5)
Kemudian kita dicari solusi masing-masing persamaan (5) menjadi :
𝜕ℒ
𝜕𝑥̇
= 𝑚𝑥̇
𝜕ℒ = 𝑚𝑥̇ 𝜕𝑥̇
∫ 𝜕ℒ = 𝑚 ∫ 𝑥̇ 𝑑𝑥̇
ℒ = 𝑚 (
1
2
𝑥̇2
)
𝑇 =
1
2
𝑚𝑥̇2
𝜕ℒ
𝜕𝑥
= −𝑘𝑥
𝜕ℒ = −𝑘𝑥 𝜕𝑥
∫ 𝜕ℒ = −𝑘 ∫ 𝑥 𝑑𝑥
ℒ = −𝑘 (
1
2
𝑥2
)
𝑉 = −
1
2
𝑘𝑥2
sehingga persamaan gerak pegas
ℒ =
1
2
𝑚𝑥̇2
−
1
2
𝑘𝑥2
(6)
Dengan metode Lagrange ini kita dapat mencari solusi persamaan gerak dan juga kita dapat
mencari persamaan gerak dari solusi persamaan geraknya (lihat persamaan 6), dan persamaan
geraknya diberikan oleh persamaan Euler Lagrange (lihat persamaan 4). Diperoleh :
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕
𝜕𝑥̇
(
1
2
𝑚𝑥̇2
−
1
2
𝑘𝑥2
)) =
𝜕
𝜕𝑥
(
1
2
𝑚𝑥̇2
−
1
2
𝑘𝑥2
)
𝑑
𝑑𝑡
(
1
2
𝑚 2𝑥̇) =
1
2
𝑘 2𝑥
𝑑
𝑑𝑡
𝑚𝑥̇ = −𝑘𝑥

3. Artikel langrangean, Barep Fredy P, M0213016
Fisika,Universitas Sebelas Maret
23/12/2014
𝑚
𝑑𝑥̇
𝑑𝑡
= −𝑘𝑥
𝒎𝒙̈ = −𝒌𝒙 (7)
Gaya Umum untuk Sistem Konservatif
Jika sebuah gaya bekerja pada sebuah partikel dalam sebuah medan gaya konservatif,
maksudnya besar gaya konservatif tidak ditentukan oleh lintasan sehingga besarnya gaya
tersebut dinyatakan oleh persamaan :
𝐹𝑖 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑥 𝑖
(8)
dimana V menyatakan sebuah fungsi energi potensial. Oleh karena itu perumusan gaya umum
dapat dinyatakan
𝑄 𝑘 = − (
𝜕𝑉
𝜕𝑥 𝑖
𝜕𝑥 𝑖
𝜕𝑞 𝑘
) (9)
Merupakan turunan parsial 𝑉 terhadap 𝑞 𝑘, maka
𝑄 𝑘 = − (
𝜕𝑉
𝜕𝑞 𝑘
) (10)
Misalkan, kita menggunakan koordinat polar,𝑞1 = 𝑟 ;𝑞2 = 𝜃, maka gaya umum dapat
dinyatakan dengan 𝑄 𝑟 = 𝜕𝑉
𝜕𝑟⁄ ; 𝑄 𝜃 = 𝜕𝑉
𝜕𝜃⁄ . Jika 𝑉 merupakan fungsi 𝑟 saja (dalam kasus
gaya sentral), maka 𝑄 𝜃 = 0.
Persamaan diferensial gerak untuk suatu sistem konservatif dapat dicari jika kita
ketahui fungsi Lagrangian dalam bentuk koordinat tertentu. Di sisi lain, jika gaya rampatan
tidak konservatif, misalkan nilainya adalah '
kQ , maka kita dapat menuliskan
k
kk
q
V
QQ


 '
(11)
Selanjutnya kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi Lagrangian 𝓛 = 𝑻 − 𝑽, dan menuliskan
persamaan diferensial gerak dalam bentuk
k
k
k q
L
Q
q
L
dt
d




 '

(12)
'
k
k k
d L L
Q
dt q q
 
 
  (13)

4. Artikel langrangean, Barep Fredy P, M0213016
Fisika,Universitas Sebelas Maret
23/12/2014
Contoh Aplikasi Metode Lagrange
Prosedur umum yang dipakai untuk mencari persamaan diferensial gerak dari sebuah
sistem adalah sebagai berikut:
1. Pilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan konfigurasi sistem.
2. Cari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut beserta turunannya terhadap waktu.
3. Jika sistem tersebut konservatif, cari energi potensial V sebagai fungsi koordinatnya, atau
jika sistem tersebut tidak konservatif, cari koordinat umum Qk.
4. Persamaan deferensial gerak selanjutnya dapat dicari dengan menggunakan persamaan di
atas.
Beberapa contoh pemakaian metode Lagrange
1. Sebuah pendulum dengan terbuat dari pegas dengan massa m.
Pegas terikat kuat pada garis bidang datar (massa pegas diabaikan) dengan panjang pegas
adalah 𝑙 + 𝑥 kamudian pegas tersebut ditarik sejauh 𝜃.
Gambar 2.3 Pendulum
𝑇 =
1
2
𝑚(𝑥̇2
+ (𝑙 + 𝑥)2
𝜃̇2
)
𝑉 = −
1
2
𝑘𝑥2
+ 𝑚𝑔(𝑙 + 𝑥)𝑐𝑜𝑠𝜃
Persaman Lagrange
ℒ = 𝑇 + 𝑉
ℒ =
1
2
𝑚(𝑥̇2
+ (𝑙 + 𝑥)2
𝜃̇2
) + (−
1
2
𝑘𝑥2
+ 𝑚𝑔(𝑙 + 𝑥)𝑐𝑜𝑠𝜃)
ℒ =
1
2
𝑚(𝑥̇2
+ (𝑙 + 𝑥)2
𝜃̇2
) + 𝑚𝑔(𝑙 + 𝑥)𝑐𝑜𝑠𝜃 −
1
2
𝑘𝑥2

5. Artikel langrangean, Barep Fredy P, M0213016
Fisika,Universitas Sebelas Maret
23/12/2014
Persamaan gerak
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕ℒ
𝜕𝑥̇
) =
𝜕ℒ
𝜕𝑥
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚𝑥̇) = 𝑚(𝑙 + 𝑥)𝜃̇2
+ 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑘𝑥
𝑚𝑥̈ = 𝑚(𝑙 + 𝑥)𝜃̇2
+ 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑘𝑥
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕ℒ
𝜕𝜃̇
) =
𝜕𝑦
𝜕𝜃
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚(𝑙 + 𝑥)2
𝜃̇) = 𝑚𝑔(−𝑠𝑖𝑛𝜃)(𝑙 + 𝑥)
𝑚(𝑙 + 𝑥)𝜃̈ + 2𝑚𝑥̇ 𝜃̇ = −𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛𝜃