Makalah ini membahas perumuman Teorema Stokes di R4. Teorema Stokes menghubungkan integral garis batas suatu daerah dengan integral luas daerah tersebut. Makalah ini menggunakan parameterisasi dan teorema Green di bidang untuk memperluas Teorema Stokes ke R4, dengan menghubungkan integral garis batas benda berdimensi dua di R4 dengan integral volume benda tersebut.

1. Wono Setya Budhi
Perumuman Teorema Stokes di R4
Abstrak
Makalah ini membahas tentang teorema dasar kalkulus untuk benda
berdimensi dua, tiga dan empat di R4. Pembahasan dilakukan secara
sederhana tanpa menggunakan bentuk diferensial
Abstract
This paper discusses the basic theorem of calculus on two-, three- and
fourdimensional bodies in R4 without involvement of differential forms.
1
Pendahuluan
Teorema Dasar Kalkulus memberikan cara
menghitung integral suatu fungsi kontinu
pada daerah batas [a,b] dan dinyatakan
sebagai
b
∫ f ( x ) dx = F ( x )
b
a
(1)
a
dengan turunan F adalah f. Fungsi yang
diintegrasikan berkaitan dengan fungsi
turunan, dengan arti seperti telah kita
pelajari di kalkulus. Hal yang serupa
dengan daerah integralnya. Di ruas kiri,
kita berkaitan dengan interval dan di ruas
kanan berkaitan dengan turunannya., yaitu
batas interval. Perhatikan bahwa terdapat
perbedaan arah pada persamaan. Untuk
daerah integral, mulai dari interval ke
turunannya atas batas dari interval. Tetapi
untuk fungsi, mulai dari fungsi f ke lawan
dari turunannya. Dengan cara ini kita
dapat melihat hal yang sama pada teorema
dasar kalkulus di bidang, yaitu teorema
Green. Misalkan Ω daerah terhubung di
bidang, P dan Q dua fungsi yang
mempunyai turunan parsial, maka
 ∂P ∂Q 
∫∫  ∂y − ∂x dxdy = ∂Ω ( Pdx + Qdy ) (2)
∫

Ω 
I N T E G R A L, vol . 6 no 1, April 2001
dengan ∂Ω batas daerah Ω.
Jika kita mulai dari ruas kiri, maka yang
diintegralkan diubah dengan proses lawan
dari turunan, dan untuk daerah integral, di
ruas kanan adalah batas dari daerah
pengintegralan di ruas kiri.
Perluasan teorema dasar kalkulus di ruang
mempunyai bentuk sebagai Teorema
Divergensi Gauss. Misalkan
r
r
r
r
F( x, y, z) =P( x, y, z) i +Q( x, y, z) j +R( x, y, z) k (3)
suatu fungsi vektor di ruang yang
mempunyai turunan, Ω benda (terhubung)
di ruang maka
∫∫∫
Ω
r r
Ñ × F dxdydz = ∫∫ F × n dA
∂Ω
(4)
dengan ∂Ω batas permukaan benda Ω, dA
!
integral permukaan, dan n = ( n1 , n2 , n3 )
adalah vektor normal permukaan. Sekali
lagi kita melihat proses yang sama, yang
diintegralkan mengalami proses lawan dari
turunan dan daerah integralnya mengalami
proses turunan yaitu menjadi batas.
Teorema divergensi Gauss ini dapat ditulis
sebagai
19

2. 2
 ∂P ∂Q ∂R 
∫∫∫  ∂x + ∂y + ∂z  dV = ∫∫ ( Pn + Qn + Rn ) dA


Ω
1
∂Ω
2
3
 ∂P ∂Q ∂R 
∫∫∫  ∂x + ∂y + ∂z  dxdydz = ∫∫ ( Pdydz + Qdxdz + Rdxdy)


Ω
∂Ω
(5)
Berdasarkan bentuk divergensi, kita
dengan mudah memperumum ini ke
dimensi lebih lanjut, karena hasil kali titik
mempunyai perumuman ke dimensi lebih
tinggi.
Tetapi di R3, kita juga mengenal teorema
Stokes yang menghubungkan daerah
integral berdimensi dua di R3 dengan
batasnya. Dalam bentuk vektor, teorema
dapat disajikan sebagai
r
∫∫ ( Ñ × F ) × n dA = ∫
r
Ω
∂Ω
r r
F × T ds
∂Ω
( Pt
1
+ Qt2 + Rt3 ) ds
ˆ →
ϕ : Ω R4
(u, v) " ( x(u, v) , y (u, v) , z (u, v) , t (u, v))
∫
∂Ω
 P ( x, y, z, t ) dx + Q ( x, y, z , t ) dy + 

 R ( x, y, z, t ) dz + S ( x, y, z , t ) dt 



∫ ( F (u, v ) du + G (u, v ) dv )
∂x
∂u
∂y
+ Q ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) , t ( u , v ))
∂u
∂z
+ R ( x ( u , v ) , y (u , v ) , z ( u , v ) , t ( u , v ) )
∂u
∂t
+ S ( x (u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) , t (u , v ))
∂u
F ( u , v ) = P ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) , t ( u , v ))
(7)
batas
dan
r
F = ( P, Q, R ) . Selanjutnya, ruas kanan
pada persamaan dapat diganti menjadi
∂Ω
∂x
∂v
∂y
+ Q ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) , t ( u , v ))
∂v
∂z
+ R ( x ( u , v ) , y (u , v ) , z ( u , v ) , t ( u , v ) )
∂v
∂t
+ S ( x (u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) , t (u , v ))
∂v
G ( u , v ) = P ( x (u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) , t (u , v ))
(8)
Makalah ini bermaksud untuk memberikan
perumuman Teorema Stokes di R4.
20
(12)
dan
 ∂R ∂Q

 ∂P ∂R
 − n1 dA+ − n2 dA+
∂y ∂z 
∂z ∂x 



∫∫Ω ∂Q ∂P

 − n3 dA

 ∂x ∂y 



= ∫ ( Pdx +Qdy + Rdz)
(9)
dimana
r
n = ( n1 , n2 , n3 ) adalah vektor
r
normal permukaan, T = (t1 , t2 , t3 ) vektor
lengkungan
(8)
dengan ∂Ω adalah lengkungan yang
merupakan batas dari Ω. Dengan
mensubstitusikan parameter di atas, maka
integral garis menjadi
dengan
singgung
(7)
merupakan
parameterisasi
tersebut,
ˆ
dengan (u,v) koordinat di Ω ⊂ R 2 dan
4
(x,y,z,t) koordinat di R .
Kemudian, kita akan mencari integral
garis
ˆ
∂Ω
 ∂R ∂Q 

 ∂P ∂R 
 ∂y − ∂z  n1 dA +  ∂z − ∂x  n2 dA + 





∫∫Ω  ∂Q ∂P 


 −  n3 dA

 ∂x ∂y 



=∫
Salah satu cara memperumum teorema
Stokes ini di R4 adalah menggunakan
prinsip induksi. Misalkan Ω adalah benda
dimensi dua di R4, maka mereka dapat
diparameterisasi dengan menggunakan dua
variabel. Misalkan
(6)
dengan Ω benda berdimensi dua di R3 dan
∂Ω lengkungan yang merupakan batas dari
Ω. Bentuk ini tidak mudah untuk diperluas
ke dimensi yang lebih tinggi karena
operasi hasil kali vektor × hanya dikenal
dalam R3. Teorema Stokes dalam
koordinat x, y, z adalah
Perumuman Teorema Stokes
(13)
ˆ
serta ∂Ω merupakan batas dari himpunan
ˆ
Ω.
I N T E G R A L, vol . 6 no 1, April 2001

3. Selanjutnya,
dengan
menggunakan
teorema Green di bidang, kita mempunyai
∫
( F (u , v ) du + G (u , v ) dv ) =
ˆ
∂Ω
∫∫
ˆ
Ω
 ∂G ∂F
−

 ∂u ∂v

 dudv

∂G ∂F
−
∂u ∂v
(1.19)
dengan p dapat diganti dengan x, y, z atau
u harus positif, maka kita dapat
menentukan isi ruas kanan dari integral
garis. Misalkan saja, koefisien dari
(1.15)
Untuk singkatnyapenulisan, kita akan
menuliskan
P ( x (u , v ) , y (u , v ) , z (u , v ) , t (u , v ))
= P (u , v )
∂p 
∂v 

∂q 
∂v 

(14)
Oleh karena itu kita cari nilai
A=
 ∂p
 ∂u

 ∂q
 ∂u

 ∂x
 ∂u

 ∂y
 ∂u

∂x 
∂v 

∂y 
∂v 

(1.10)
adalah
(1.16)
maka
∂P ∂x ∂Q ∂y ∂R ∂z ∂S ∂t
+
+
+
∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v
∂P ∂x ∂Q ∂y ∂R ∂z ∂S ∂t
−
−
−
−
∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u
(1.17)
A=
 ∂Q ∂P 
−


 ∂x ∂y 
(1.11)
Dengan demikian, ruas kanan akan berisi
∫∫
Ω
 ∂Q ∂P 
−

 dxdy
 ∂x ∂y 
(1.12)
Tetapi
∂P ∂P ∂x ∂P ∂y ∂P ∂z ∂P ∂t
=
+
+
+
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂u ∂t ∂u
∂P ∂P ∂x ∂P ∂y ∂P ∂z ∂P ∂t
=
+
+
+
∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂v ∂t ∂v
(1.18)
dan hal serupa untuk Q, R dan S.
Substitusikan hasil ini pada bentuk A,
makan akan diperoleh (kalau perlu dengan
bantuan program komputer yang mampu
melakukan komputasi simbolik) bentuk
yang snagat panjang. Jika kita ambil
orientasi tertentu, misalkan
I N T E G R A L, vol . 6 no 1, April 2001
Jika kita hitung lengkap, maka
 P( x, y, z, t ) dx + Q( x, y, z, t ) dy +
∫∂Ω R( x, y, z,t ) dz + S ( x, y, z,t ) dt 




 ∂Q ∂P 

 ∂R ∂P 
 −  dxdy +  −  dxdz + 
 ∂x ∂z 
 ∂x ∂y 

 ∂S ∂P 

 −  dxdt

 ∂x ∂t 
 (1.23)
= ∫∫ 

Ω




+ ∂R − ∂Q  dydz +  ∂S − ∂Q  dydt +
  ∂y ∂z 

 ∂y ∂t 


 ∂S − ∂R  dzdt

 ∂z ∂t 





21

4. Hal yang sama dapat kita lakukan dari
integral luas menjadi integral volume di
R4. Misalkan Ω ⊂ R4 benda berdimensi
tiga di R4 dan batasnya benda berdimensi
dua, maka
 Pdxdy + Qdxdz + Rdxdt + 

∂Ω  Sdydz + Tdydt + Udzdt


 ∂P ∂Q ∂S 

−
+

 dxdydz + 
 ∂z ∂y ∂x 

 ∂P ∂R ∂T 



−
+
 dxdydt
 ∂t ∂y ∂x 

= ∫∫∫ 
 (1.24)
Ω
 ∂Q ∂R ∂U 
+ 
−
+
dxdzdt + 
  ∂t ∂z ∂x 




 ∂S − ∂T + ∂U  dydzdt

 ∂t ∂z ∂y 




∫∫
 P dxdydz + Q dxdydt + 

∂Ω  R dxdzdt + S dydzdt


 ∂P ∂Q 
 − ∂t + ∂z + 
dxdydzdt
= ∫ ∫∫∫ 
Ω ∂R
∂S


 ∂y + ∂x



∫∫∫
(1.25)
dengan Ω ⊂ R4 benda dimensi empat dan
batasnya benda berdimensi tiga.
Daftar Pustaka
1.
2.
Thomas, Finney, Calculus and
Analytic Geometry, Addison Wesley,
8th edition, 1992.
Abraham, Marsden, Ratiu, Manifolds,
Tensor, Analysis and Applications,
Springer Verlag, 1988
Penulis
dengan P, Q, R, S, T, U.
Sedangkan integral volume menjadi
integral penuh di R4 mempunyai bentuk
22
Dr. Wono Setya Budi adalah dosen
pengajar pada jurusan Matematika,
FMIPA ITB.
I N T E G R A L, vol . 6 no 1, April 2001