Komputasi untuk Sains dan Teknik
-Menggunakan Matlab-

Supriyanto Suparno
( Website: http://supriyanto.fisika.ui.ac.id )
( ...
Untuk
Muflih Syamil
Hasan Azmi
Farah Raihanah
Nina Marliyani
Usia bukan ukuran kedewasaan
(Supriyanto, 2006)

Ketekunan adalah jalan yang terpercaya untuk mengantarkan kita menuju kes...
Kata Pengantar

Perubahan adalah suatu keniscayaan. Aksioma itu berlaku juga pada buku ini — yang mulai
ditulis pada tahun...
iv
Daftar Isi

Lembar Persembahan

i

Kata Pengantar

iii

Daftar Isi

iii

Daftar Gambar

viii

Daftar Tabel

x

1 Pendahulu...
vi
2.5.5

Perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.5.6

Komputasi perkalian ma...
vii
5.8.4
5.9

Metode Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

PDP Hiperbolik . . . ....
viii
7.7

Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8 Aplikasi Elim...
Daftar Gambar

1.1

Data perubahan kecepatan terhadap waktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Data peru...
DAFTAR GAMBAR

x
5.4

Rangkaian RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

5.5
...
Daftar Tabel

4.1

Polinomial Legendre untuk n=2,3,4 dan 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1

Solusi yang...
xii

DAFTAR TABEL
Bab 1

Pendahuluan

 Objektif :
⊲ Mengenal cara inisialisasi variabel.
⊲ Mengenal operasi matematika.
⊲ Mengenal fungsi-fu...
BAB 1. PENDAHULUAN

2

Nama suatu variabel tidak harus hanya satu huruf, melainkan dapat berupa sebuah kata.
Misalnya kita...
1.3. MENGENAL CARA MEMBUAT GRAFIK

3

Jika kita hendak mengamati perubahan kecepatan mobil balap dari detik pertama disaat...
BAB 1. PENDAHULUAN

4
10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Gambar 1.1: Data perubahan kecepatan ...
1.4. BARIS-BARIS PEMBUKA

1.4

5

Baris-baris pembuka

Ketika anda membuat script di komputer, anda mesti menyadari bahwa ...
BAB 1. PENDAHULUAN

6

1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Gamb...
1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR

7

Gelombang berfrekuensi 5 Hz
1
0.8
0.6

Amplitudo

0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0....
BAB 1. PENDAHULUAN

8
14
15

theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 2
y2 = A2 * sin(2*pi*f2*t + theta2); % persamaan gelomb...
1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR

9

16
17

y3 = y1 + y2;

% superposisi gelombang

18
19

figure

20
21
22
23
24
2...
BAB 1. PENDAHULUAN

10

1.6

Latihan

1. Jarak tempuh mobil balap yang bergerak dengan percepatan 2 m/dt2 dari posisi diam...
1.6. LATIHAN

11

4. Sebuah bola konduktor pejal memiliki jari-jari sebesar 0,75 meter. Kuat medan listrik
yang terukur pa...
BAB 1. PENDAHULUAN

12

(g) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai medan harus meningkat ketika mendekati
x = -1)
(h)...
1.6. LATIHAN

13

11. Sebuah bola pejal memiliki jari-jari sebesar 0,75 meter. Kuat medan listrik yang terukur
pada permuk...
14

BAB 1. PENDAHULUAN
Bab 2

Matrik dan Komputasi

 Objektif :
⊲ Mengenalkan matrik, vektor dan jenis-jenis matrik.
⊲ Mendeklarasikan elemen-ele...
BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

16
Contoh 2: Matrik B3×2



1 3


B = 5 9
2 4

dimana masing-masing elemennya adalah b1...
2.4. MACAM-MACAM MATRIK

17

Sedangkan untuk matrik B3×2 , sesuai Contoh 2 adalah
clear all
clc

1
2
3

B(1,1)
B(1,2)
B(2,...
BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

18
1
2

clear all
clc

3
4
5

A=[ 3 8 5
6 4 7 ];

6
7

AT = A’;

2.4.2 Matrik bujursangkar
Ma...
2.4. MACAM-MACAM MATRIK

19

2.4.6 Matrik upper-triangular
Matrik upper-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh ...
BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

20

Pada elemen diagonal aii matrik A, |7|  |2|+|0|, lalu |5|  |3|+|−1|, dan |−6|  |5|+|0|. M...
2.5. OPERASI MATEMATIKA

21

dijumlahkan dengan matrik A2×3 , lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrik D2×3
D=A+C

3 8 5
...
BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

22

Jelas terlihat, ketika indeks i masih bernilai 1, indeks j sudah berubah dari nilai 1 sam...
2.5. OPERASI MATEMATIKA

23

16
17
18
19
20

% ---menampilkan matrik A, C dan D---A
C
D

Pada baris ke-9 dan ke-13, saya m...
BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

24
16
17
18

A
C
D

Coba anda pahami dari baris ke-9, mengapa indeks i hanya bergerak dari 1 ...
2.5. OPERASI MATEMATIKA

E =

=
=

25


1 3
3 8 5 

5 9
6 4 7
2 4

3.1 + 8.5 + 5.2 3.3 + 8.9 + 5.4
6.1 + 4.5 + 7.2 6...
BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

26
yang polanya sama

ei.. = ai.. .b... + ai.. .b... + ai.. .b...
ei.. = ai.. .b... + ai.. .b...
2.5. OPERASI MATEMATIKA

27

sama, dimana k bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 3, atau kita nyatakan k=1,2,3.
eij = ...
BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

28

Sejenak, mari kita amati dengan cermat statemen dari baris ke-9 sampai ke-12 sambil dikai...
2.5. OPERASI MATEMATIKA

1
2

29

clear all
clc

3
4
5

A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A
B = [1 3; 5 9; 2 4]; %...
30
7
8
9
10
11

BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

% ---proses perkalian matrik---E(1,1)=0;
for k=1:3
E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1...
2.5. OPERASI MATEMATIKA
30
31
32
33

31

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A
B
E

Sekarang coba anda perhatikan stateme...
BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

32
for j=1:2
E(i,j)=0;
end

9
10
11
12

% j bergerak dari 1 sampai 2

end

13
14
15
16
17
18
...
2.5. OPERASI MATEMATIKA
30
31
32
33

33

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A
B
E

Cermatilah, statemen dari baris ke-21...
BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

34
for k=1:3
E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);
end

16
17
18
19

end

20
21
22
23
24
25
26

i=2;
f...
2.5. OPERASI MATEMATIKA

35

mencari tahu dimana letak kesalahannya. Hanya dengan cara begitu ilmu programming ini
akan bi...
BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

36
dimana elemen-elemen vektor-kolom y memenuhi
m

aij xj

yi =

(2.16)

j=1

dengan i=1,2,. ...
2.5. OPERASI MATEMATIKA
4
5

A = [3 8 5; 6 4 7];
x = [2; 3; 4];

37

% inisialisasi matrik A
% inisialisasi vektor x

6
7
...
BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

38

Dengan cara yang sama, baris ke-13 dimodifikasi menjadi
1
2

clear all
clc

3
4
5

A = [3 ...
2.6. PENUTUP
4
5

A = [3 8 5; 6 4 7];
x = [2; 3; 4];

39
% inisialisasi matrik A
% inisialisasi vektor x

6
7
8
9
10

% --...
BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

40

2.7

Latihan

1. Diketahui matrik A, matrik B, dan vektor x sebagai berikut


1

3

−6

...
Bab 3

Fungsi

 Objektif :
⊲ Mengenalkan fungsi internal.
⊲ Membuat fungsi ekstenal.
⊲ Membuat fungsi ekternal untuk penju...
BAB 3. FUNGSI

42

 

4 3 8 6
2 6 7 2

 

D = 5 1 2 3 + 9 1 3 8
6 7 9 1
5 8 4 7

Tentu saja bisa, asal indeks ...
3.2. FUNGSI EKSTERNAL PENJUMLAHAN MATRIK

43

size. Matrik A dijadikan parameter input fungsi size. Fungsi size berguna un...
BAB 3. FUNGSI

44

1
2
3
4
5
6
7
8
9

function D=jumlah(A,C)
dim=size(A);
n=dim(1);
m=dim(2);
for i=1:n
for j=1:m
D(i,j)=A...
3.3. FUNGSI EKSTERNAL PERKALIAN MATRIK

45

9
10
11
12
13

% ---menampilkan matrik V, W dan U---W
V
U

Periksa hasilnya, b...
46

BAB 3. FUNGSI

Dengan demikian, source code tersebut dapat dioptimasi menjadi
1
2

clear all
clc

3
4
5

A = [3 8 5; 6...
3.4. FUNGSI EKSTERNAL PERKALIAN MATRIK DAN VEKTOR-KOLOM

1
2

47

clear all
clc

3
4
5

A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi...
BAB 3. FUNGSI

48
Dengan demikian, source code tersebut dapat dioptimasi menjadi
1
2

clear all
clc

3
4
5

A = [3 8 5; 6 ...
3.5. PENUTUP
8

49

y = kalivektor(A,x);

9
10
11
12

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A
x

Silakan anda periksa hasil...
BAB 3. FUNGSI

50

2. Diketahui gelombang elektromagnetik bergerak dari medium 1 (permitivitas ǫ1 = 1) ke
medium 2 (permit...
Bab 4

Integral Numerik

 Objektif :
⊲ Mengenalkan metode Trapezoida
⊲ Mengenalkan metode Simpson
⊲ Mengenalkan metode Com...
BAB 4. INTEGRAL NUMERIK

52

f(x)

f(x)

f(x1)
f(x0)

x0=a

x1=b

x0=a

x1=b

Gambar 4.1: Metode Trapezoida. Gambar sebela...
4.2. METODE SIMPSON

53

f(x)

f(x)

f(x2)
f(x1)
f(x0)
h
h

x0=a

x1=b

x0=a

x1

x2=b

Gambar 4.2: Metode Simpson. Gambar...
BAB 4. INTEGRAL NUMERIK

54

4.3

Peran faktor pembagi, n

Kalau diamati lebih teliti, akan kita dapatkan bahwa interval [...
4.4. METODE COMPOSITE-SIMPSON
4
5
6

55

% -- batas integrasi -a = 0;
b = 2;

7
8
9
10
11
12
13
14

x0 = a;
x4 = b;
h = (b...
BAB 4. INTEGRAL NUMERIK

56

f(x)

h

x0=a x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7 xn=b

Gambar 4.3: Metode Composite Simpson. Kurva fu...
4.5. ADAPTIVE QUARDRATURE

57

dimana h = (b − a)/n dan xj = a + jh, untuk j = 1, ..., n/2, dengan x0 = a dan xn = b. Form...
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Supriyanto s   komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Supriyanto s komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia

6,745 views

Published on

0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
6,745
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
350
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Supriyanto s komputasi untuk sains dan teknik menggunakan matlab edisi 4 - universitas indonesia

  1. 1. Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- Supriyanto Suparno ( Website: http://supriyanto.fisika.ui.ac.id ) ( Email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com ) Edisi IV Revisi terakhir tgl: 23 Desember 2011 Departemen Fisika-FMIPA, Univeristas Indonesia Dipublikasikan pertama kali pada September 2007
  2. 2. Untuk Muflih Syamil Hasan Azmi Farah Raihanah Nina Marliyani
  3. 3. Usia bukan ukuran kedewasaan (Supriyanto, 2006) Ketekunan adalah jalan yang terpercaya untuk mengantarkan kita menuju kesuksesan (Supriyanto, 2007)
  4. 4. Kata Pengantar Perubahan adalah suatu keniscayaan. Aksioma itu berlaku juga pada buku ini — yang mulai ditulis pada tahun 2005. Mulai 24 juli 2010, edisi ke-4 ini diluncurkan dalam rangka mengubah sasaran tujuan dari buku edisi ke-3. Penekanan penulisan edisi ke-3 adalah ingin memperkenalkan sebanyak mungkin metode numerik kepada mahasiswa tingkat sarjana di Departemen Fisika, Universitas Indonesia. Hasil evaluasi proses perkuliahan menunjukkan bahwa diskusi matematis terlalu dominan dibandingkan diskusi aplikasi metode numerik pada masalah fisika. Oleh karena itu saya memutuskan untuk memperbesar porsi pembahasan aplikasi metode numerik sehingga beberapa metode numerik yang diulas pada edisi ke-3 dengan sengaja dihilangkan dalam edisi ke-4 ini. Rujukan utama buku edisi-4 ini tetap bersumber pada buku teks standar yang sangat populer di dunia komputasi, yaitu buku yang ditulis oleh Richard L. Burden dan J. Douglas Faires dengan judul Numerical Analysis edisi ke-7, diterbitkan oleh Penerbit Brooks/Cole, Thomson Learning Academic Resource Center. Namun demikian, buku ini telah dilengkapi dengan sejumlah contoh aplikasi komputasi pada upaya penyelesaian problem-problem fisika. Walaupun buku ini masih jauh dari sempurna, namun semoga ia dapat menyumbangkan kontribusi yang berarti untuk kebangkitan ilmu pengetahuan pada diri anak bangsa Indonesia yang saat ini sedang terpuruk. Saya wariskan buku ini untuk siswa dan mahasiswa Indonesia dimanapun mereka berada. Anda berhak memanfaatkan buku ini. Saya izinkan anda untuk meng-copy dan menggunakan buku ini selama itu ditujukan untuk belajar dan bukan untuk tujuan komersial. Bagi yang ingin berdiskusi, memberikan masukan, kritikan dan saran, silakan dikirimkan ke email: supri92@gmail.com Akhirnya saya ingin mengucapkan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada Dede A Djuhana yang telah berkenan memberikan format L TEX-nya sehingga tampilan tulisan pada buku ini benar-benar layaknya sebuah buku yang siap dicetak. Tak lupa, saya pun berterima kasih kepada seluruh mahasiswa yang telah mengambil mata kuliah Komputasi Fisika dan Anaisis Numerik di Departemen Fisika, FMIPA, Universitas Indonesia atas diskusi yang berlangsung selama kuliah. Kepada seluruh mahasiswa dari berbagai universitas di Timur dan di Barat Indonesia juga saya ungkapkan terima kasih atas pertanyaan-pertanyaan yang turut memperkaya isi buku ini. Depok, 24 Juli 2010 Supriyanto Suparno iii
  5. 5. iv
  6. 6. Daftar Isi Lembar Persembahan i Kata Pengantar iii Daftar Isi iii Daftar Gambar viii Daftar Tabel x 1 Pendahuluan 1 1.1 Inisialisasi variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Perhitungan yang berulang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Mengenal cara membuat grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Baris-baris pembuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Membuat 2 grafik dalam satu gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Matrik dan Komputasi 15 2.1 Mengenal matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Vektor-baris dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Inisialisasi matrik dalam memori komputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Macam-macam matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.1 Matrik transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.2 Matrik bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4.3 Matrik simetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4.4 Matrik diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4.5 Matrik identitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4.6 Matrik upper-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.7 Matrik lower-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.8 Matrik tridiagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.9 Matrik diagonal dominan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.10 Matrik positive-definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Operasi matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5.1 Penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5.2 Komputasi penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5.3 Perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5.4 Komputasi perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 v
  7. 7. vi 2.5.5 Perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.6 Komputasi perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.6 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.7 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 Fungsi 41 3.1 Fungsi internal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Fungsi eksternal penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Fungsi eksternal perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4 Fungsi eksternal perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.5 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.6 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4 Integral Numerik 51 4.1 Metode Trapezoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2 Metode Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.3 Peran faktor pembagi, n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3.1 Source code metode integrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.4 Metode Composite-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.5 Adaptive Quardrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.6 Gaussian Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.6.1 Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.6.2 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5 Diferensial Numerik 61 5.1 Metode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.2 Metode Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.2.1 Aplikasi: Pengisian muatan pada kapasitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.3 Latihan I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.4 Metode Finite Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.4.1 Script Finite-Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.4.2 Aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.5 Latihan II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.6 Persamaan Diferensial Parsial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.7 PDP eliptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.7.1 Contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.7.2 Script Matlab untuk PDP Elliptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.7.3 Contoh kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 PDP parabolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.8.1 Metode Forward-difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.8.2 Contoh ketiga: One dimensional heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.8.3 Metode Backward-difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.8
  8. 8. vii 5.8.4 5.9 Metode Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 PDP Hiperbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.9.1 Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.10 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6 Metode Iterasi 113 6.1 Kelebihan Vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.2 Pengertian Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.2.1 6.2.2 Script perhitungan norm tak hingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.2.3 6.3 Script perhitungan norm dua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Perhitungan norm-selisih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.3.1 6.3.2 Stopping criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.3.3 6.4 Script metode iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Fungsi eksternal iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.4.1 6.4.2 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.4.3 6.5 Script iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Script iterasi Gauss-Seidel dalam Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Iterasi dengan Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.5.1 Algoritma Iterasi Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 7 Metode Eliminasi Gauss 143 7.1 Sistem persamaan linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.2 Teknik penyederhanaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.2.1 7.2.2 7.3 Cara menghilangkan sebuah variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Permainan indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Triangularisasi dan Substitusi Mundur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.3.1 7.3.2 7.4 Contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Contoh kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Matrik dan Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 7.4.1 Matrik Augmentasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 7.4.2 Penerapan pada contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.4.3 Source-code dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.4.4 Optimasi source code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.4.5 Pentingnya nilai n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7.4.6 Jangan puas dulu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.4.7 Pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.5 Function Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.6 Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.6.1 Menghitung arus listrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.6.2 Mencari invers matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
  9. 9. viii 7.7 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8 Aplikasi Eliminasi Gauss pada Masalah Inversi 8.1 Inversi Model Garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 8.1.1 8.2 177 Script matlab inversi model garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Inversi Model Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 8.2.1 Script matlab inversi model parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 8.3 Inversi Model Bidang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 8.4 Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 8.4.1 Menghitung gravitasi di planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 9 Metode LU Decomposition 195 9.1 Faktorisasi matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 9.2 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 10 Interpolasi 205 10.1 Interpolasi Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 10.2 Interpolasi Cubic Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 11 Metode Newton 217 11.1 Definisi akar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 11.2 Metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 11.3 Script metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 11.4 Fungsi ber-input vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 11.5 Fungsi ber-output vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 11.6 Fungsi ber-output matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 11.7 Metode Newton untuk sistem persamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 11.8 Aplikasi: Mencari pusat gempa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 12 Metode Monte Carlo 229 12.1 Penyederhanaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 13 Inversi 233 13.1 Inversi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 13.2 Inversi Non-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Daftar Pustaka 238 14 Lampiran 241 14.1 Script Iterasi Jacobi, jcb.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 14.2 Script Iterasi Gauss-Seidel, itgs.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Indeks 243
  10. 10. Daftar Gambar 1.1 Data perubahan kecepatan terhadap waktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Data perubahan kecepatan terhadap waktu dengan keterangan gambar . . . . . 4 1.3 Grafik gelombang berfrekuensi 5 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Grafik yang dilengkapi dengan keterangan sumbu-x dan sumbu-y serta judul . . 7 1.5 Grafik yang dilengkapi dengan font judul 14pt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 Dua buah grafik dalam sebuah gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7 Tiga buah grafik dalam sebuah gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.1 Metode Trapezoida. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f (x) dengan batas bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara metode Trapesoida menghitung integral dengan cara menghitung luas area integrasi, dimana luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f (x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan teliti, ada area kecil dibawah garis kurva dan diatas garis miring yang berada diluar bidang trapesium. Metode Trapesoida tidak menghitung luas area kecil tersebut. Disinilah letak kelemahan metode trapezoida. 4.2 52 Metode Simpson. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f (x) dengan batas bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara metode Simpson menghitung luas area integrasi, dimana area integrasi di bawah kurva 4.3 f (x) dibagi 2 dalam batas interval a − x1 dan x1 − b dengan lebar masing-masing adalah h 53 Metode Composite Simpson. Kurva fungsi f (x) dengan batas bawah integral adalah a dan batas atas b. Luas area integrasi dipecah menjadi 8 area kecil dengan lebar masingmasing adalah h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 56 Kiri: Kurva y(t) dengan pasangan titik absis dan ordinat dimana jarak titik absis sebesar h. Pasangan t1 adalah y(t1 ), pasangan t2 adalah y(t2 ), begitu seterusnya. Kanan: Garis singgung yang menyinggung kurva y(t) pada t=a, kemudian berdasarkan garis singgung tersebut, ditentukan pasangan t1 sebagai w1 . Perhatikan gambar itu sekali lagi! w1 dan y(t1 ) beda tipis alias tidak sama persis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 62 Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan (5.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode euler, yaitu nilai wi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 66 Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan (5.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode Runge Kutta orde 4, yaitu nilai wi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix 70
  11. 11. DAFTAR GAMBAR x 5.4 Rangkaian RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.5 Kurva pengisian muatan q (charging) terhadap waktu t . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.6 Kurva suatu fungsi f (x) yang dibagi sama besar berjarak h. Evaluasi kurva yang dilakukan Finite-Difference dimulai dari batas bawah X0 = a hingga batas atas x6 = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.7 Skema grid lines dan mesh points pada aplikasi metode Finite-Difference . . . . . . 88 5.8 Susunan grid lines dan mesh points untuk mensimulasikan distribusi temperatur pada lempeng logam sesuai contoh satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 90 Sebatang logam dengan posisi titik-titik simulasi (mesh-points) distribusi temperatur. Jarak antar titik ditentukan sebesar h = 0, 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.10 Interval mesh-points dengan jarak h = 0, 1 dalam interval waktu k = 0, 0005 . . . . . . . 97 5.11 Posisi mesh-points. Arah x menunjukkan posisi titik-titik yang dihitung dengan forwarddifference, sedangkan arah t menunjukkan perubahan waktu yg makin meningkat . . . . 98 8.1 Sebaran data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 8.2 Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . 181 8.3 Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . 186 8.4 Grafik data pengukuran gerak batu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 8.5 Grafik hasil inversi parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 10.1 Sejumlah titik terdistribusi pada koordinat kartesian. Masing-masing titik memiliki pasangan koordinat (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 10.2 Kurva interpolasi cubic spline yang menghubungkan semua titik . . . . . . . . . 209 10.3 Sejumlah polinomial cubic yaitu S0 , S1 , S2 ... dan seterusnya yang saling sambungmenyambung sehingga mampu menghubungkan seluruh titik . . . . . . . . . . . 209 10.4 Profil suatu object . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 10.5 Sampling titik data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 10.6 Hasil interpolasi cubic spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 10.7 Hasil interpolasi lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 11.1 Fungsi dengan dua akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah, yaitu pada x = −2 dan x = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 11.2 Fungsi dengan satu akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah, yaitu pada x = −1, 2599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 12.1 Lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 12.2 Dart yang menancap pada bidang lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . . . . 230 12.3 Dart yang menancap pada bidang 1/4 lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . 231
  12. 12. Daftar Tabel 4.1 Polinomial Legendre untuk n=2,3,4 dan 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Solusi yang ditawarkan oleh metode euler wi dan solusi exact y(ti ) serta selisih antara keduanya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 70 Perbandingan antara hasil perhitungan numerik lewat metode Runge Kutta dan hasil perhitungan dari solusi exact, yaitu persamaan (5.16) . . . . . . . . . . . . . 5.4 65 Solusi yang ditawarkan oleh metode Runge Kutta orde 4 (wi ) dan solusi exact y(ti ) serta selisih antara keduanya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 58 75 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi. Kolom ke-2 adalah solusi analitik/exact, kolom ke-3 dan ke-5 adalah solusi numerik forward-difference. Kolom ke-4 dan ke-6 adalah selisih antara solusi analitik dan numerik . . . . . . . . . . . . . . 101 5.5 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi dengan metode backwarddifference dimana k = 0, 01 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu (t) dalam 1-dimensi dengan metode backward-difference dan Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.1 Hasil akhir elemen-elemen vektor x hingga iterasi ke-10 . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.2 Hasil perhitungan norm2-selisih hingga iterasi ke-10 . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.3 Hasil Iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.4 Hasil perhitungan iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.5 Hasil perhitungan iterasi Relaksasi dengan ω = 1, 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 8.1 Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . . . . . . 177 8.2 Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . . . . . . 182 8.3 Data ketinggian terhadap waktu dari planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 11.1 Data Gempa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 xi
  13. 13. xii DAFTAR TABEL
  14. 14. Bab 1 Pendahuluan Objektif : ⊲ Mengenal cara inisialisasi variabel. ⊲ Mengenal operasi matematika. ⊲ Mengenal fungsi-fungsi dasar. ⊲ Mengenal cara membuat grafik. 1.1 Inisialisasi variabel Salah satu perbedaan utama antara komputer dan kalkulator adalah pemanfaatan variabel dalam proses perhitungan. Kebanyakan kalkulator tidak menggunakan variabel dalam proses perhitungan; sebaliknya, komputer sangat memanfaatkan variable dalam proses perhitungan. Misalnya kita ingin mengalikan 2 dengan 3. Dengan kalkulator, langkah pertama yang akan kita lakukan adalah menekan tombol angka 2, kemudian diikuti menekan tombol ×, lalu menekan tombol angka 3, dan diakhiri dengan menekan tombol =; maka keluarlah hasilnya berupa angka 6. Kalau di komputer, proses perhitungan seperti ini dapat dilakukan dengan memanfaatkan variabel. Pertama-tama kita munculkan sebuah variabel yang diinisialisasi1 dengan angka 2, misalnya A = 2. Kemudian kita munculkan variabel lain yang diinisialisasi dengan angka 3, misalnya B = 3. Setelah itu kita ketikkan A ∗ B; maka pada layar monitor akan tampil angka 6. Bahkan kalau mau, hasil perhitungannya dapat disimpan dalam variabel yang lain lagi, misalnya kita ketiikan C = A ∗ B; maka hasil perhitungan, yaitu angka 6 akan disimpan dalam variable C. Script2 matlab untuk melakukan proses perhitungan seperti itu adalah sebagai berikut A = 2; B = 3; C = A * B 1 2 inisialisasi adalah proses memberi nilai awal pada suatu variabel Script adalah daftar baris-baris perintah yang akan dikerjakan (di-eksekusi) oleh komputer 1
  15. 15. BAB 1. PENDAHULUAN 2 Nama suatu variabel tidak harus hanya satu huruf, melainkan dapat berupa sebuah kata. Misalnya kita ingin menyatakan hukum Newton kedua, yaitu F = ma, dimana m adalah massa, a adalah percepatan dan F adalah gaya. Maka, script matlab dapat ditulis seperti berikut ini massa = 2; percepatan = 3; gaya = massa * percepatan Atau bisa jadi kita memerlukan variabel yang terdiri atas dua patah kata. Dalam hal ini, kedua kata tadi mesti dihubungkan dengan tanda underscore. Misalnya begini besar_arus = 2; beda_potensial = 3; nilai_hambatan = beda_potensial / besar_arus Semua contoh di atas memperlihatkan perbedaan yang begitu jelas antara penggunaan komputer dan kalkulator dalam menyelesaikan suatu perhitungan. Saya akan tunjukkan perbedaan yang lebih tegas lagi pada bagian berikut ini. 1.2 Perhitungan yang berulang Di dalam matlab, suatu variabel dapat diinisialisasi dengan urutan angka. Misalnya jika variabel t hendak diinisialisasi dengan sejumlah angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10, caranya sangat mudah, cukup dengan mengetikkan t = 0:10; Angka 0 pada script di atas merupakan nilai awal; sedangkan angka 10 adalah nilai akhir. Contoh lainnya, jika anda hanya menginginkan bilangan genap-nya saja, cukup ketikkan t = 0:2:10; Disini, angka 2 bertindak sebagai nilai interval dari 0 sampai 10. Sehingga angka-angka yg muncul hanyalah 0, 2, 4, 6, 8 dan 10. Andaikata anda menginginkan urutan angka yang terbalik, maka yang perlu anda lakukan adalah t = 10:-2:0; sehinggan angka yang muncul adalah 10, 8, 6, 4, 2 dan 0. Adakalanya proses perhitungan meminta kita untuk memulainya dari angka kurang dari nol, misalnya t = -10:3:4; maka angka-angka yang tersimpan pada variabel t adalah -10, -7, -4, -1 dan 2. Dengan adanya kemampuan dan sekaligus kemudahan inisialisasi urutan angka seperti ini, maka memudahkan kita melakukan perhitungan yang berulang. Sebagai contoh, kita ingin mensimulasikan perubahan kecepatan mobil balap yang punya kemampuan akselerasi 2 m/dt2 . Rumus gerak lurus berubah beraturan sangat memadai untuk maksud tersebut v = vo + at (1.1)
  16. 16. 1.3. MENGENAL CARA MEMBUAT GRAFIK 3 Jika kita hendak mengamati perubahan kecepatan mobil balap dari detik pertama disaat sedang diam hingga detik ke-5, kita dapat menghitung perubahan tersebut setiap satu detik, yaitu pada t = 1 ⇒ v1 = (0) + (2)(1) ⇒ 2m/dt pada t = 2 ⇒ v2 = (0) + (2)(2) ⇒ 4m/dt pada t = 3 ⇒ v3 = (0) + (2)(3) ⇒ 6m/dt pada t = 4 ⇒ v4 = (0) + (2)(4) ⇒ 8m/dt pada t = 5 ⇒ v5 = (0) + (2)(5) ⇒ 10m/dt Script matlab untuk tujuan di atas adalah a = 2; t = 1:5; vo = 0; v = vo + a * t Jarak tempuh mobil juga dapat ditentukan oleh persamaan berikut 1 s = vo t + at2 2 (1.2) Untuk menentukan perubahan jarak tempuh tersebut, script sebelumnya mesti ditambah satu baris lagi 1 2 3 4 a = 2; t = 1:5; vo = 0; s = vo * t + 1/2 * a * t.^2 Ada hal penting yang perlu diperhatikan pada baris ke-4 di atas, yaitu penempatan tanda ˆ titik pada t.2. Maksud dari tanda titik adalah setiap angka yang tersimpan pada variabel t ˆ harus dikuadratkan. Jika anda lupa menempatkan tanda titik, sehingga tertulis t2, maka script tersebut tidak akan bekerja. 1.3 Mengenal cara membuat grafik Seringkali suatu informasi lebih mudah dianalisis setelah informasi tersebut ditampilkan dalam bentuk grafik. Pada contoh mobil balap tadi, kita bisa menggambar data perubahan kecepatan mobil terhadap waktu dengan menambahkan satu baris lagi seperti ditunjukkan oleh script dibawah ini 1 2 3 4 5 a = 2; t = 1:5; vo = 0; v = vo + a * t plot(t,v,’o’)
  17. 17. BAB 1. PENDAHULUAN 4 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Gambar 1.1: Data perubahan kecepatan terhadap waktu Jika script tersebut di-run, akan muncul Gambar 1.1. Untuk melengkapi keterangan gambar, beberapa baris perlu ditambahkan 2 3 4 5 6 7 8 a = 2; t = 1:5; vo = 0; v = vo + a * t; plot(t,v,’o’); xlabel(’Waktu (dt)’); ylabel(’Kecepatan (m/dt)’) title(’Data Kecepatan vs Waktu’) Data Kecepatan vs Waktu 10 9 8 Kecepatan (m/dt) 1 7 6 5 4 3 2 1 1.5 2 2.5 3 Waktu (dt) 3.5 4 4.5 5 Gambar 1.2: Data perubahan kecepatan terhadap waktu dengan keterangan gambar
  18. 18. 1.4. BARIS-BARIS PEMBUKA 1.4 5 Baris-baris pembuka Ketika anda membuat script di komputer, anda mesti menyadari bahwa script yang sedang anda buat akan memodifikasi isi memory komputer. Oleh karena itu saya menyarankan agar sebelum kalkulasi anda bekerja, maka anda harus pastikan bahwa memory komputer dalam keadaan bersih. Cara membersihkannya, di dalam matlab, adalah dengan menuliskan perintah clear. Alasan yang sama diperlukan untuk membersihkan gambar dari layar monitor. Untuk maksud ini, cukup dengan menuliskan perintah close. Sedangkan untuk membersihkan teks atau tulisan di layar monitor, tambahkan saja perintah clc. Saya biasa meletakkan ketiga perintah tersebut pada baris-baris awal sebagai pembukaan bagi suatu script matlab. Inilah contohnya, 1 2 3 clear close clc 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a = 2; t = 1:5; vo = 0; v = vo + a * t; plot(t,v,’o’); xlabel(’Waktu (dt)’); ylabel(’Kecepatan (m/dt)’) title(’Data Kecepatan vs Waktu’) 1.5 Membuat 2 grafik dalam satu gambar Misalnya, sebuah gelombang dinyatakan oleh persamaan y = A sin(2πf t + θ) dimana A = amplitudo; f = frekuensi; t = waktu; θ = sudut fase gelombang. Jika suatu gelombang beramplitudo 1 memiliki frekuensi tunggal 5 Hz dan sudut fase-nya nol, maka script untuk membuat grafik gelombang tersebut adalah 1 2 3 clc clear close 4 5 6 7 8 9 A = 1; % amplitudo f = 5; % frekuensi theta = 0; % sudut fase gelombang t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001 y = A * sin(2*pi*f*t + theta); % persamaan gelombang 10 11 plot(t,y) % menggambar grafik persamaan gelombang Grafik di atas muncul karena ada fungsi plot(t,y) yang diletakkan dibaris paling akhir pada script. Modifikasi script perlu dilakukan untuk memberi penjelasan makna dari sumbu-x dan sumbu-y serta memberikan judul grafik
  19. 19. BAB 1. PENDAHULUAN 6 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Gambar 1.3: Grafik gelombang berfrekuensi 5 Hz 1 2 3 clc clear close 4 5 6 7 8 9 A = 1; % amplitudo f = 5; % frekuensi theta = 0; % sudut fase gelombang t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001 y = A * sin(2*pi*f*t + theta); % persamaan gelombang 10 11 12 13 14 plot(t,y) % menggambar grafik persamaan gelombang xlabel(’Waktu, t (detik)’); % melabel sumbu-x ylabel(’Amplitudo’); % melabel sumbu-y title(’Gelombang berfrekuensi 5 Hz’); % judul grafik Untuk memperbesar font judul grafik, tambahkan kata fontsize(14) pada title(), contohnya title(’fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’); % judul grafik Bila kita perlu menggambar dua buah grafik, contoh script berikut ini bisa digunakan 1 2 3 clc clear close 4 5 t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001 6 7 8 9 10 A1 = 1; % amplitudo gelombang 1 f1 = 5; % frekuensi gelombang 1 theta1 = 0; % sudut fase gelombang 1 y1 = A1 * sin(2*pi*f1*t + theta1); % persamaan gelombang 1 11 12 13 A2 = 1; f2 = 3; % amplitudo gelombang 2 % frekuensi gelombang 2
  20. 20. 1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR 7 Gelombang berfrekuensi 5 Hz 1 0.8 0.6 Amplitudo 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Waktu, t (detik) 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Gambar 1.4: Grafik yang dilengkapi dengan keterangan sumbu-x dan sumbu-y serta judul Gelombang berfrekuensi 5 Hz 1 0.8 0.6 Amplitudo 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Waktu, t (detik) 0.6 0.7 0.8 Gambar 1.5: Grafik yang dilengkapi dengan font judul 14pt 0.9 1
  21. 21. BAB 1. PENDAHULUAN 8 14 15 theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 2 y2 = A2 * sin(2*pi*f2*t + theta2); % persamaan gelombang 2 16 17 figure 18 19 20 21 22 23 subplot(2,1,1) plot(t,y1) % menggambar grafik persamaan gelombang 1 xlabel(’Waktu, t (detik)’); ylabel(’Amplitudo’); title(’fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’); 24 25 26 27 28 29 subplot(2,1,2) plot(t,y2) % menggambar grafik persamaan gelombang 2 xlabel(’Waktu, t (detik)’); ylabel(’Amplitudo’); title(’fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4’); Gelombang berfrekuensi 5 Hz Amplitudo 1 0.5 0 −0.5 −1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Waktu, t (detik) 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.8 0.9 1 Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4 Amplitudo 1 0.5 0 −0.5 −1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Waktu, t (detik) 0.6 0.7 Gambar 1.6: Dua buah grafik dalam sebuah gambar Sekarang, jika kita ingin melihat tampilan superposisi kedua gelombang di atas, maka script berikut ini bisa digunakan 1 2 3 clc clear close 4 5 t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001 6 7 8 9 10 A1 = 1; % amplitudo gelombang 1 f1 = 5; % frekuensi gelombang 1 theta1 = 0; % sudut fase gelombang 1 y1 = A1 * sin(2*pi*f1*t + theta1); % persamaan gelombang 1 11 12 13 14 15 A2 = 1; % amplitudo gelombang 2 f2 = 3; % frekuensi gelombang 2 theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 2 y2 = A2 * sin(2*pi*f2*t + theta2); % persamaan gelombang 2
  22. 22. 1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR 9 16 17 y3 = y1 + y2; % superposisi gelombang 18 19 figure 20 21 22 23 24 25 subplot(3,1,1) plot(t,y1) % menggambar grafik persamaan gelombang 1 xlabel(’Waktu, t (detik)’); ylabel(’Amplitudo’); title(’fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’); 26 27 28 29 30 31 subplot(3,1,2) plot(t,y2) % menggambar grafik persamaan gelombang 2 xlabel(’Waktu, t (detik)’); ylabel(’Amplitudo’); title(’fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4’); 32 36 37 Gelombang berfrekuensi 5 Hz Amplitudo 35 subplot(3,1,3) plot(t,y3) % menggambar grafik superposisi gelombang xlabel(’Waktu, t (detik)’); ylabel(’Amplitudo’); title(’fontsize{14} Superposisi gelombang 5 Hz dan 3 Hz’); 1 0 −1 0 0.2 0.4 0.6 Waktu, t (detik) 0.8 1 Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4 Amplitudo 34 1 0 −1 0 0.2 0.4 0.6 Waktu, t (detik) 0.8 1 Superposisi gelombang 5 Hz dan 3 Hz Amplitudo 33 2 0 −2 0 0.2 0.4 0.6 Waktu, t (detik) 0.8 Gambar 1.7: Tiga buah grafik dalam sebuah gambar 1
  23. 23. BAB 1. PENDAHULUAN 10 1.6 Latihan 1. Jarak tempuh mobil balap yang bergerak dengan percepatan 2 m/dt2 dari posisi diam ditentukan oleh rumus berikut 1 s = vo t + at2 2 Buatlah script untuk menggambarkan grafik jarak tempuh terhadap waktu dimulai dari t = 0 hingga t = 20 dt. 2. Sebuah elektron memasuki area yang dipengaruhi oleh medan listrik seperti gambar berikut dimana diketahui besar muatan elektron = 1,6×10−19 C, massa elektron = 9,11×10−31 kg, kecepatan v = 3×106 m/dt, kuat medan listrik E = 200 N/C , dan panjang plat ℓ = 0,1 meter. Posisi koordinat elektron memenuhi persamaan x = vt y=− 1 eE 2 t 2 m dimana percepatan a= eE m Buatlah script untuk menentukan variasi posisi elektron (x, y) terhadap waktu (t), mulai dari t = 0 detik hingga t = 3,33×10−8 detik dengan interval waktu 3,33×10−10 detik. 3. Berkali-kali bola ditendang dari depan gawang ke tengah lapangan oleh penjaga gawang yang sedang berlatih. Misalnya bola ditendang sedemikian rupa sehingga bola selalu bergerak dengan kecepatan awal 5 m/dt. Diketahui konstanta gravitasi adalah 9,8 m/dt2 . (a) Plot variasi ketinggian maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 30o hingga 60o dengan interval 5o . Persamaan untuk menghitung ketinggian maksimum adalah hmaks = 2 vo sin2 α 2g (1.3) (b) Plot variasi jangkauan maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 30o hingga 60o dengan interval 5o . Persamaan untuk menghitung jangkauan maksimum adalah xmaks = 2 vo sin 2α g (c) Buatlah fungsi eksternal untuk masing-masing persamaan di atas. (1.4)
  24. 24. 1.6. LATIHAN 11 4. Sebuah bola konduktor pejal memiliki jari-jari sebesar 0,75 meter. Kuat medan listrik yang terukur pada permukaan kulit bola diketahui sebesar 890 N/C dan mengarah ke pusat bola. Dengan memanfaatkan hukum Gauss, tentukan: (a) Tuliskan script matlab untuk menggambarkan kurva kuat medan listrik vs jarak, mulai dari 0 meter hingga 10 meter. (b) Plot gambar kurva-nya 5. Tuliskan sebuah script untuk menggambar superposisi gelombang yang terbentuk dari 9 gelombang berfrekuensi 9 Hz, 18 Hz, 27 Hz, 35 Hz, 47 Hz, 57 Hz, 65 Hz, 74 Hz dan 82 Hz. 6. Sebuah kapasitor 8 µF dan sebuah induktor sebesar 25 mH, masing-masing dihubungkan ke sumber tegangan bolak-balik 150 Volt dengan frekuensi 60 Hz. (a) Tentukan nilai reaktansi kapasitif pada rangkaian (a); dan reaktansi induktif pada rangkaian (b). (b) Tuliskan script matlab untuk menggambarkan kurva arus dan tegangan pada rangkaian (a); kemudian plot gambar kurva-nya. (c) Tuliskan script matlab untuk menggambarkan kurva arus dan tegangan pada rangkaian (b); kemudian plot gambar kurva-nya. 7. Muatan Q1 sebesar 4µC terletak pada x = -1; sementara Q2 = 4µC terletak pada x = 1. Buatlah script matlab untuk tujuan: (a) menghitung medan listrik pada x = -2 (b) menghitung medan listrik pada x = 0 (cek: dititik ini, medannya harus NOL) (c) menghitung medan listrik pada x = 2 (cek: besar medan harus sesuai dengan point pertanyaan (a)) (d) menghitung medan listrik pada -1 x 1 dengan interval 0.1 (e) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai medan terkecil ada di x = 0; dan nilai medan meningkat ketika mendekati x = -1 atau x = 1) (f) menghitung medan listrik pada -10 x -1 dengan interval 0.1
  25. 25. BAB 1. PENDAHULUAN 12 (g) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai medan harus meningkat ketika mendekati x = -1) (h) menghitung medan listrik pada 1 x 10 dengan interval 0.1 (i) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai medan harus meningkat ketika mendekati x = 1) (j) plot kurva medan listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1 8. Muatan Q1 sebesar 4µC terletak pada x = -1; sementara Q2 = 20µC terletak pada x = 1. Buatlah script matlab untuk tujuan: (a) plot kurva medan listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1 (b) menghitung medan listrik pada x = 0 (cek: dititik ini, medannya TIDAK NOL; dimanakah posisi yang medannya NOL ?) (c) mencari titik x yang medan-nya nol pada -1 x 1 (d) mencari titik-titik x yang medannya bernilai 20000 9. Muatan Q1 sebesar 4µC terletak pada x = -1; sementara Q2 = 4µC terletak pada x = 1. Buatlah script matlab untuk tujuan: (a) menghitung potensial listrik pada x = -2 (b) menghitung potensial listrik pada x = 0 (c) menghitung potensial listrik pada x = 2 (cek: besar potensial harus sama dengan point pertanyaan (a)) (d) menghitung medan listrik pada -1 x 1 dengan interval 0.1 (e) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial listrik terkecil ada di x = 0; dan nilai potensial listrik meningkat ketika mendekati x = -1 atau x = 1) (f) menghitung potensial listrik pada -10 x -1 dengan interval 0.1 (g) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial listrik harus meningkat ketika mendekati x = -1) (h) menghitung potensial listrik pada 1 x 10 dengan interval 0.1 (i) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial harus meningkat ketika mendekati x = 1) (j) plot kurva potensial listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1 10. Muatan Q1 sebesar 4µC terletak pada x = -1; sementara Q2 = -20µC terletak pada x = 1. Buatlah script matlab untuk tujuan: (a) plot kurva potensial listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1 (b) menghitung potensial listrik pada x = 0
  26. 26. 1.6. LATIHAN 13 11. Sebuah bola pejal memiliki jari-jari sebesar 0,75 meter. Kuat medan listrik yang terukur pada permukaan bola diketahui sebesar 890 N/C dan mengarah keluar bola. Dengan memanfaatkan hukum Gauss, tentukan: (a) Total muatan yang terdapat pada kulit bola (b) Apakah muatan-nya positif atau negatif ? (c) Kuat medan listrik pada jarak 1 meter dari pusat bola (d) Kuat medan listrik pada jarak 0,5 meter dari pusat bola (e) Buatlah script matlab untuk menggambarkan kurva kuat medan listrik terhadap jarak mulai dari pusat bola sampai ke jarak 3 meter
  27. 27. 14 BAB 1. PENDAHULUAN
  28. 28. Bab 2 Matrik dan Komputasi Objektif : ⊲ Mengenalkan matrik, vektor dan jenis-jenis matrik. ⊲ Mendeklarasikan elemen-elemen matrik ke dalam memori komputer. ⊲ Mengenalkan operasi penjumlahan dan perkalian matrik. ⊲ Membuat script operasi matrik. 2.1 Mengenal matrik Notasi suatu matrik berukuran n x m ditulis dengan huruf besar dan dicetak tebal, misalnya An×m . Huruf n menyatakan jumlah baris, dan huruf m jumlah kolom. Suatu matrik tersusun atas elemen-elemen yang dinyatakan dengan huruf kecil lalu diikuti oleh angka-angka indeks, misalnya aij . Indeks i menunjukkan posisi baris ke-i dan indeks j menentukan posisi kolom ke-j.   a11 a12 . . . a1m   a21 A = (aij ) =  .  .  . a22 . . .  . . . a2m  .  .  .  (2.1) an1 an2 . . . anm Pada matrik ini, a11 , a12 , ..., a1m adalah elemen-elemen yang menempati baris pertama. Sementara a12 , a22 , ..., an2 adalah elemen-elemen yang menempati kolom kedua. Contoh 1: Matrik A2×3 A= 3 8 5 6 4 7 dimana masing-masing elemennya adalah a11 = 3, a12 = 8, a13 = 5, a21 = 6, a22 = 4, dan a23 = 7. 15
  29. 29. BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI 16 Contoh 2: Matrik B3×2   1 3   B = 5 9 2 4 dimana masing-masing elemennya adalah b11 = 1, b12 = 3, b21 = 5, b22 = 9, b31 = 2, dan b32 = 4. 2.2 Vektor-baris dan vektor-kolom Notasi vektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil dan dicetak tebal. Suatu matrik dinamakan vektor-baris berukuran m, bila hanya memiliki satu baris dan m kolom, yang dinyatakan sebagai berikut a = a11 a12 . . . a1m = a1 a2 . . . am (2.2) Sedangkan suatu matrik dinamakan vektor-kolom berukuran n, bila hanya memiliki satu kolom dan n baris, yang dinyatakan sebagai berikut  a11   a1       a21   a2  a= . = .   .  .  .  . an1 an 2.3 (2.3) Inisialisasi matrik dalam memori komputer Sebelum dilanjutkan, saya sarankan agar anda mencari tahu sendiri bagaimana cara membuat m-file di Matlab dan bagaimana cara menjalankannya. Karena semua source code yang terdapat dalam buku ini ditulis dalam m-file. Walaupun sangat mudah untuk melakukan copy-paste, namun dalam upaya membiasakan diri menulis source code di m-file, saya anjurkan anda menulis ulang semuanya. Dalam Matlab terdapat 3 cara inisialisasi matrik. Cara pertama1 , sesuai dengan Contoh 1, adalah clear all clc 1 2 3 A(1,1) A(1,2) A(1,3) A(2,1) A(2,2) A(2,3) A 4 5 6 7 8 9 10 1 = = = = = = 3; 8; 5; 6; 4; 7; Cara ini bisa diterapkan pada bahasa C, Fortran, Pascal, Delphi, Java, Basic, dll. Sementara cara kedua dan cara ketiga hanya akan dimengerti oleh Matlab
  30. 30. 2.4. MACAM-MACAM MATRIK 17 Sedangkan untuk matrik B3×2 , sesuai Contoh 2 adalah clear all clc 1 2 3 B(1,1) B(1,2) B(2,1) B(2,2) B(3,1) B(3,2) B 4 5 6 7 8 9 10 = = = = = = 1; 3; 5; 9; 2; 4; Cara kedua relatif lebih mudah dan benar-benar merepresentasikan dimensi matriknya, dimana jumlah baris dan jumlah kolom terlihat dengan jelas. clear all clc 1 2 3 A=[ 3 8 5 6 4 7 ]; 4 5 6 B=[ 1 3 5 9 2 4 ]; 7 8 9 Cara ketiga jauh lebih singkat, namun tidak menunjukkan dimensi matrik lantaran ditulis hanya dalam satu baris. clear all clc 1 2 3 A=[ 3 8 5 ; 6 4 7 ]; B=[ 1 3 ; 5 9 ; 2 4]; 4 5 2.4 Macam-macam matrik 2.4.1 Matrik transpose Operasi transpose terhadap suatu matrik akan menukar elemen-elemen kolom menjadi elemenelemen baris. Notasi matrik tranpose adalah AT atau At . Contoh 3: Operasi transpose terhadap matrik A A= 3 8 5 6 4 7   3 6   AT = 8 4 5 7 Dengan Matlab, operasi transpose cukup dilakukan dengan menambahkan tanda petik tunggal di depan nama matriknya
  31. 31. BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI 18 1 2 clear all clc 3 4 5 A=[ 3 8 5 6 4 7 ]; 6 7 AT = A’; 2.4.2 Matrik bujursangkar Matrik bujursangkar adalah matrik yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Contoh 4: Matrik bujursangkar berukuran 3x3 atau sering juga disebut matrik bujursangkar orde 3   1 3 8   A = 5 9 7 2 4 6 2.4.3 Matrik simetrik Matrik simetrik adalah matrik bujursangkar yang elemen-elemen matrik transpose-nya bernilai sama dengan matrik asli-nya. Contoh 5: Matrik simetrik   2 −3 7 1   −3 5 6 −2   A= 6 9 8 7  1 −2 8 10  2  −3 A = 7  T 1 −3 7 1   6 −2  6 9 8  −2 8 10 5 2.4.4 Matrik diagonal Matrik diagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali elemen-elemen diagonalnya. Contoh 6: Matrik diagonal orde 3  11 0  A =  0 29 0 0 0   0 61 2.4.5 Matrik identitas Matrik identitas adalah matrik bujursangkar yang semua elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali elemen-elemen diagonal yang seluruhnya bernilai 1. Contoh 7: Matrik identitas orde 3   1 0 0   I = 0 1 0 0 0 1
  32. 32. 2.4. MACAM-MACAM MATRIK 19 2.4.6 Matrik upper-triangular Matrik upper-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen dibawah elemen diagonal bernilai 0 (nol). Contoh 8: Matrik upper-triangular  3  0 A= 0  0  6 2 1  4 1 5  0 8 7  0 0 9 2.4.7 Matrik lower-triangular Matrik lower-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen diatas elemen diagonal bernilai 0 (nol). Contoh 9: Matrik lower-triangular  0    32 −2 0 0   A= 8 7 11 0   −5 10 6 9  12 0 0 2.4.8 Matrik tridiagonal Matrik tridiagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen bukan 0 (nol) berada disekitar elemen diagonal, sementara elemen lainnya bernilai 0 (nol). Contoh 10: Matrik tridiagonal   3 6 0 0   2 −4 1 0   A= 0 5 8 −7   0 0 3 9 2.4.9 Matrik diagonal dominan Matrik diagonal dominan adalah matrik bujursangkar yang memenuhi n |aii | j=1,j=i |aij | (2.4) dimana i=1,2,3,..n. Coba perhatikan matrik-matrik berikut ini   7 2 0   A = 3 5 −1 0 5 −6   −3   B =  4 −2 0  −3 0 1 6 4
  33. 33. BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI 20 Pada elemen diagonal aii matrik A, |7| |2|+|0|, lalu |5| |3|+|−1|, dan |−6| |5|+|0|. Maka matrik A disebut matrik diagonal dominan. Sekarang perhatikan elemen diagonal matrik B, |6| |4| + | − 3|, | − 2| |4| + |0|, dan |1| | − 3| + |0|. Dengan demikian, matrik B bukan matrik diagonal dominan. 2.4.10 Matrik positive-definite Suatu matrik dikatakan positive-definite bila matrik tersebut simetrik dan memenuhi xT Ax 0 (2.5) Contoh 11: Diketahui matrik simetrik berikut  2  A = −1 0 −1 0 2   −1 −1 2 untuk menguji apakah matrik A bersifat positive-definite, maka xT Ax = x1 x2 x3 = x1 x2 x3    x1    −1 2 −1 x2  0 −1 2 x3   2x1 − x2   −x1 + 2x2 − x3  −x2 + 2x3 2 −1 0 = 2x2 − 2x1 x2 + 2x2 − 2x2 x3 + 2x2 1 2 3 = x2 + (x2 − 2x1 x2 + x2 ) + (x2 − 2x2 x3 + x2 ) + x2 1 1 2 2 3 3 = x2 + (x1 − x2 )2 + (x2 − x3 )2 + x2 1 3 Dari sini dapat disimpulkan bahwa matrik A bersifat positive-definite, karena memenuhi x2 + (x1 − x2 )2 + (x2 − x3 )2 + x2 0 1 3 kecuali jika x1 =x2 =x3 =0. 2.5 Operasi matematika 2.5.1 Penjumlahan matrik Operasi penjumlahan pada dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila kedua matrik tersebut berukuran sama. Misalnya matrik C2×3 C= 9 5 3 7 2 1
  34. 34. 2.5. OPERASI MATEMATIKA 21 dijumlahkan dengan matrik A2×3 , lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrik D2×3 D=A+C 3 8 5 D = 6 4 7 + 9 5 3 7 2 1 3+9 8+5 5+3 = 6+7 4+2 7+1 12 13 8 = 13 6 8 Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matrik, operasi penjumlahan antara matrik A2×3 dan C2×3 , bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matrik tersebut, yaitu d11 d12 d13 d21 d22 d23 = a11 + c11 a12 + c12 a13 + c13 a21 + c21 a22 + c22 a23 + c23 Dijabarkan satu persatu sebagai berikut d11 = a11 + c11 d12 = a12 + c12 d13 = a13 + c13 (2.6) d21 = a21 + c21 d22 = a22 + c22 d23 = a23 + c23 Dari sini dapat diturunkan sebuah rumus umum penjumlahan dua buah matrik dij = aij + cij (2.7) dimana i=1,2 dan j=1,2,3. Perhatikan baik-baik! Batas i hanya sampai angka 2 sementara batas j sampai angka 3. Kemampuan anda dalam menentukan batas indeks sangat penting dalam dunia programming. 2.5.2 Komputasi penjumlahan matrik Berdasarkan contoh operasi penjumlahan di atas, indeks j pada persamaan (2.7) lebih cepat berubah dibanding indeks i sebagaimana ditulis pada 3 baris pertama dari Persamaan (2.6), d11 = a11 + c11 d12 = a12 + c12 d13 = a13 + c13
  35. 35. BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI 22 Jelas terlihat, ketika indeks i masih bernilai 1, indeks j sudah berubah dari nilai 1 sampai 3. Hal ini membawa konsekuensi pada script pemrograman, dimana looping untuk indeks j harus diletakkan di dalam looping indeks i. Aturan mainnya adalah yang looping-nya paling cepat harus diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping terluar adalah looping yang indeksnya paling jarang berubah. Bila anda masih belum paham terhadap kalimat yang dicetak tebal, saya akan berikan contoh source code dasar yang nantinya akan kita optimasi selangkah demi selangkah. OK, kita mulai dari source code paling mentah berikut ini. 1 2 clear all clc 3 4 A=[3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matrik B 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 % ---proses penjumlahan matrik---D(1,1)=A(1,1)+C(1,1); D(1,2)=A(1,2)+C(1,2); D(1,3)=A(1,3)+C(1,3); D(2,1)=A(2,1)+C(2,1); D(2,2)=A(2,2)+C(2,2); D(2,3)=A(2,3)+C(2,3); 15 16 17 18 19 % ---menampilkan matrik A, C dan D---A C D Tanda % berfungsi untuk memberikan komentar atau keterangan. Komentar atau keterangan tidak akan diproses oleh Matlab. Saya yakin anda paham dengan logika yang ada pada bagian % —proses penjumlahan matrik—- dalam source code di atas. Misalnya pada baris ke-9, elemen d11 adalah hasil penjumlahan antara elemen a11 dan c11 , sesuai dengan baris pertama Persamaan 2.6. Tahap pertama penyederhanaan source code dilakukan dengan menerapkan perintah for end untuk proses looping. Source code tersebut berubah menjadi 1 2 clear all clc 3 4 A=[3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matrik B 5 6 7 8 9 10 11 % ---proses penjumlahan matrik---for j=1:3 D(1,j)=A(1,j)+C(1,j); end 12 13 14 15 for j=1:3 D(2,j)=A(2,j)+C(2,j); end
  36. 36. 2.5. OPERASI MATEMATIKA 23 16 17 18 19 20 % ---menampilkan matrik A, C dan D---A C D Pada baris ke-9 dan ke-13, saya mengambil huruf j sebagai nama indeks dimana j bergerak dari 1 sampai 3. Coba anda pikirkan, mengapa j hanya bergerak dari 1 sampai 3? Modifikasi tahap kedua adalah sebagai berikut 1 2 clear all clc 3 4 A=[3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matrik B 5 6 7 8 9 10 11 12 % ---proses penjumlahan matrik---i=1 for j=1:3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); end 13 14 15 16 17 i=2 for j=1:3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); end 18 19 20 21 22 % ---menampilkan matrik A, C dan D---A C D Saya gunakan indeks i pada baris ke-9 dan ke-14 yang masing-masing berisi angka 1 dan 2. Dengan begitu indeks i bisa menggantikan angka 1 dan 2 yang semula ada di baris ke-11 dan ke-16. Nah sekarang coba anda perhatikan, statemen pada baris ke-10, ke-11 dan ke-12 sama persis dengan statemen pada baris ke-15, ke-16 dan ke-17, sehingga mereka bisa disatukan kedalam sebuah looping yang baru dimana i menjadi nama indeksnya. 1 2 clear all clc 3 4 A=[3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matrik B 5 6 7 8 9 10 11 12 13 % ---proses penjumlahan matrik---for i=1:2 for j=1:3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); end end 14 15 % ---menampilkan matrik A, C dan D----
  37. 37. BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI 24 16 17 18 A C D Coba anda pahami dari baris ke-9, mengapa indeks i hanya bergerak dari 1 sampai 2? Source code di atas memang sudah tidak perlu dimodifikasi lagi, namun ada sedikit saran untuk penulisan looping bertingkat dimana sebaiknya looping terdalam ditulis agak menjorok kedalam seperti berikut ini 1 2 clear all clc 3 4 A=[3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matrik B 5 6 7 8 9 10 11 12 13 % ---proses penjumlahan matrik---for i=1:2 for j=1:3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); end end 14 15 16 17 18 % ---menampilkan matrik A, C dan D---A C D Sekarang anda lihat bahwa looping indeks j ditulis lebih masuk kedalam dibandingkan looping indeks i. Semoga contoh ini bisa memperjelas aturan umum pemrograman dimana yang looping-nya paling cepat harus diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping terluar adalah looping yang indeksnya paling jarang berubah. Dalam contoh ini looping indeks j bergerak lebih cepat dibanding looping indeks i. 2.5.3 Perkalian matrik Operasi perkalian dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila jumlah kolom matrik pertama sama dengan jumlah baris matrik kedua. Jadi kedua matrik tersebut tidak harus berukuran sama seperti pada penjumlahan dua matrik. Misalnya matrik A2×3 dikalikan dengan matrik B3×2 , lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrik E2×2 E2×2 = A2×3 .B3×2
  38. 38. 2.5. OPERASI MATEMATIKA E = = = 25   1 3 3 8 5   5 9 6 4 7 2 4 3.1 + 8.5 + 5.2 3.3 + 8.9 + 5.4 6.1 + 4.5 + 7.2 6.3 + 4.9 + 7.4 53 101 40 82 Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matrik, operasi perkalian antara matrik A2×3 dan B3×2 , bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matrik tersebut, yaitu e11 e12 e21 e22 = a11 .b11 + a12 .b21 + a13 .b31 a11 .b12 + a12 .b22 + a13 .b32 a21 .b11 + a22 .b21 + a23 .b31 a21 .b12 + a22 .b22 + a23 .b32 Bila dijabarkan, maka elemen-elemen matrik E2×2 adalah e11 = a11 .b11 + a12 .b21 + a13 .b31 (2.8) e12 = a11 .b12 + a12 .b22 + a13 .b32 (2.9) e21 = a21 .b11 + a22 .b21 + a23 .b31 (2.10) e22 = a21 .b12 + a22 .b22 + a23 .b32 (2.11) Sejenak, mari kita amati perubahan pasangan angka-angka indeks yang mengiringi elemen e, elemen a dan elemen b mulai dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11). Perhatikan perubahan angka-indeks-pertama pada elemen e seperti berikut ini e1.. = .. e1.. = .. e2.. = .. e2.. = .. Pola perubahan yang sama akan kita dapati pada angka-indeks-pertama dari elemen a e1.. = a1.. .b... + a1.. .b... + a1.. .b... e1.. = a1.. .b... + a1.. .b... + a1.. .b... e2.. = a2.. .b... + a2.. .b... + a2.. .b... e2.. = a2.. .b... + a2.. .b... + a2.. .b... Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf i sebagai pengganti angka-angka indeks
  39. 39. BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI 26 yang polanya sama ei.. = ai.. .b... + ai.. .b... + ai.. .b... ei.. = ai.. .b... + ai.. .b... + ai.. .b... ei.. = ai.. .b... + ai.. .b... + ai.. .b... ei.. = ai.. .b... + ai.. .b... + ai.. .b... dimana i bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan i=1,2. Selanjutnya, masih dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11), marilah kita perhatikan perubahan angka-indeks-kedua pada elemen e dan elemen b, ei1 = ai.. .b..1 + ai.. .b..1 + ai.. .b..1 ei2 = ai.. .b..2 + ai.. .b..2 + ai.. .b..2 ei1 = ai.. .b..1 + ai.. .b..1 + ai.. .b..1 ei2 = ai.. .b..2 + ai.. .b..2 + ai.. .b..2 Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf j sebagai pengganti angka-angka indeks yang polanya sama eij = ai.. .b..j + ai.. .b..j + ai.. .b..j eij = ai.. .b..j + ai.. .b..j + ai.. .b..j eij = ai.. .b..j + ai.. .b..j + ai.. .b..j eij = ai.. .b..j + ai.. .b..j + ai.. .b..j dimana j bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan j=1,2. Selanjutnya, masih dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11), mari kita perhatikan perubahan angkaindeks-kedua elemen a dan angka-indeks-pertama elemen b, dimana kita akan dapati pola sebagai berikut eij = ai1 .b1j + ai2 .b2j + ai3 .b3j eij = ai1 .b1j + ai2 .b2j + ai3 .b3j eij = ai1 .b1j + ai2 .b2j + ai3 .b3j eij = ai1 .b1j + ai2 .b2j + ai3 .b3j Dan kita bisa mencantumkan huruf k sebagai pengganti angka-angka indeks yang polanya
  40. 40. 2.5. OPERASI MATEMATIKA 27 sama, dimana k bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 3, atau kita nyatakan k=1,2,3. eij = aik .bkj + aik .bkj + aik .bkj eij = aik .bkj + aik .bkj + aik .bkj eij = aik .bkj + aik .bkj + aik .bkj eij = aik .bkj + aik .bkj + aik .bkj Kemudian secara sederhana dapat ditulis sebagai berikut eij = aik .bkj + aik .bkj + aik .bkj (2.12) Selanjutnya dapat ditulis pula formula berikut 3 aik bkj eij = (2.13) k=1 dimana i=1,2; j=1,2; dan k=1,2,3. Berdasarkan contoh ini, maka secara umum bila ada matrik An×m yang dikalikan dengan matrik Bm×p , akan didapatkan matrik En×p dimana elemen-elemen matrik E memenuhi m aik bkj eij = (2.14) k=1 dengan i=1,2,. . . ,n; j=1,2. . . ,p; dan k=1,2. . . ,m. 2.5.4 Komputasi perkalian matrik Mari kita mulai lagi dari source code paling dasar dari operasi perkalian matrik sesuai dengan contoh di atas. 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B 6 7 8 9 10 11 % ---proses perkalian matrik---E(1,1)=A(1,1)*B(1,1)+A(1,2)*B(2,1)+A(1,3)*B(3,1); E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2); E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1); E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2); 12 13 14 15 16 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E
  41. 41. BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI 28 Sejenak, mari kita amati dengan cermat statemen dari baris ke-9 sampai ke-12 sambil dikaitkan dengan bentuk umum penulisan indeks pada perkalian matrik yaitu eij = aik .bkj + aik .bkj + aik .bkj (2.15) Dari sana ada 4 point yang perlu dicatat: • elemen e memiliki indeks i dan indeks j dimana indeks j lebih cepat berubah dibanding indeks i. • pada baris statemen ke-8 sampai ke-11 ada tiga kali operasi perkalian dan dua kali operasi penjumlahan yang semuanya melibatkan indeks i, indeks j dan indeks k. Namun indeks k selalu berubah pada masing-masing perkalian. Jadi indeks k paling cepat berubah dibanding indeks i dan indeks j. • elemen a memiliki indeks i dan indeks k dimana indeks k lebih cepat berubah dibanding indeks i. • elemen b memiliki indeks k dan indeks j dimana indeks k lebih cepat berubah dibanding indeks j. Tahapan modifikasi source code perkalian matrik tidak semudah penjumlahan matrik. Dan mengajarkan logika dibalik source code perkalian matrik jauh lebih sulit daripada sekedar memodifikasi source code tersebut. Tapi akan saya coba semampu saya lewat tulisan ini walau harus perlahan-lahan. Mudah-mudahan mudah untuk dipahami. Saya mulai dengan memecah operasi pada statemen baris ke-8 yang bertujuan menghitung nilai E(1, 1) 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B 6 7 8 9 10 11 % ---proses perkalian matrik---% ---E(1,1) dihitung 3 kali E(1,1)=A(1,1)*B(1,1); E(1,1)=E(1,1)+A(1,2)*B(2,1); E(1,1)=E(1,1)+A(1,3)*B(3,1); 12 13 14 15 16 % ---E(1,2); E(2,1); dan E(2,2) masih seperti semula E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2); E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1); E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2); 17 18 19 20 21 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E Agar baris ke-9 memiliki pola yang sama dengan baris ke-11 dan ke-12, upaya yang dilakukan adalah
  42. 42. 2.5. OPERASI MATEMATIKA 1 2 29 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B 6 7 8 9 10 11 12 % ---proses perkalian matrik---% ---E(1,1) dihitung 3 kali E(1,1)=0; E(1,1)=E(1,1)+A(1,1)*B(1,1); E(1,1)=E(1,1)+A(1,2)*B(2,1); E(1,1)=E(1,1)+A(1,3)*B(3,1); 13 14 15 16 17 % ---E(1,2); E(2,1); dan E(2,2) masih seperti semula E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2); E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1); E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2); 18 19 20 21 22 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E Dari sini kita bisa munculkan indeks k 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B 6 7 8 9 10 11 % ---proses perkalian matrik---E(1,1)=0; for k=1:3 % k bergerak dari 1 sampai 3 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1); end 12 13 14 15 16 % ---E(1,2); E(2,1); dan E(2,2) masih seperti semula E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2); E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1); E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2); 17 18 19 20 21 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E Kemudian cara yang sama dilakukan pada E(1, 2), E(2, 1), dan E(2, 2). Anda mesti cermat dan hati-hati dalam menulis angka-angka indeks!!! 1 2 clear all clc 3 4 5 6 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B
  43. 43. 30 7 8 9 10 11 BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI % ---proses perkalian matrik---E(1,1)=0; for k=1:3 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1); end 12 13 14 15 16 E(1,2)=0; for k=1:3 E(1,2)=E(1,2)+A(1,k)*B(k,2); end 17 18 19 20 21 E(2,1)=0; for k=1:3 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1); end 22 23 24 25 26 E(2,2)=0; for k=1:3 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2); end 27 28 29 30 31 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E Inisialisasi elemen-elemen matrik E dengan angka nol, bisa dilakukan diawal proses perkalian yang sekaligus memunculkan indeks i dan j untuk elemen E 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B 6 7 8 9 10 11 12 % ---proses perkalian matrik---for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 2 E(i,j)=0; end end 13 14 15 16 for k=1:3 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1); end 17 18 19 20 for k=1:3 E(1,2)=E(1,2)+A(1,k)*B(k,2); end 21 22 23 24 for k=1:3 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1); end 25 26 27 28 29 for k=1:3 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2); end
  44. 44. 2.5. OPERASI MATEMATIKA 30 31 32 33 31 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E Sekarang coba anda perhatikan statemen pada baris ke-15 dan ke-19, lalu bandingkan indeks i dan indeks j pada elemen E. Indeks mana yang berubah? Ya. Jawabannya adalah indeks j. Dengan demikian kita bisa munculkan indeks j 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B 6 7 8 9 10 11 12 % ---proses perkalian matrik---for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 2 E(i,j)=0; end end 13 14 15 16 17 j=1; for k=1:3 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j); end 18 19 20 21 22 j=2; for k=1:3 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j); end 23 24 25 26 for k=1:3 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1); end 27 28 29 30 for k=1:3 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2); end 31 32 33 34 35 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E Lihatlah, statemen dari baris ke-15 sampai ke-17 memiliki pola yang sama dengan statemen dari baris ke-20 sampai ke-22, sehingga mereka bisa disatukan kedalam looping indeks j 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B 6 7 8 % ---proses perkalian matrik---for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2
  45. 45. BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI 32 for j=1:2 E(i,j)=0; end 9 10 11 12 % j bergerak dari 1 sampai 2 end 13 14 15 16 17 18 for j=1:2 for k=1:3 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j); end end 19 20 21 22 for k=1:3 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1); end 23 24 25 26 for k=1:3 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2); end 27 28 29 30 31 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E Sekarang coba sekali lagi anda perhatikan statemen pada baris ke-21 dan ke-25, lalu bandingkan indeks i dan indeks j pada elemen E. Indeks mana yang berubah? Ya. Jawabannya tetap indeks j. Dengan demikian kita bisa munculkan juga indeks j disana 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B 6 7 8 9 10 11 12 % ---proses perkalian matrik---for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 2 E(i,j)=0; end end 13 14 15 16 17 18 for j=1:2 for k=1:3 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j); end end 19 20 21 22 23 j=1; for k=1:3 E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j); end 24 25 26 27 28 29 j=2; for k=1:3 E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j); end
  46. 46. 2.5. OPERASI MATEMATIKA 30 31 32 33 33 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E Cermatilah, statemen dari baris ke-21 sampai ke-23 memiliki pola yang sama dengan statemen dari baris ke-25 sampai ke-27, sehingga mereka pun bisa disatukan kedalam looping indeks j 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B 6 7 8 9 10 11 12 % ---proses perkalian matrik---for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 2 E(i,j)=0; end end 13 14 15 16 17 18 for j=1:2 for k=1:3 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j); end end 19 20 21 22 23 24 for j=1:2 for k=1:3 E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j); end end 25 26 27 28 29 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E Akhirnya kita sampai pada bagian akhir tahapan modifikasi. Perhatikan baris ke-16 dan ke-22. Indeks i pada elemen E dan A bergerak dari 1 ke 2, sehingga indeks i bisa dimunculkan 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B 6 7 8 9 10 11 12 % ---proses perkalian matrik---for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 2 E(i,j)=0; end end 13 14 15 i=1; for j=1:2
  47. 47. BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI 34 for k=1:3 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j); end 16 17 18 19 end 20 21 22 23 24 25 26 i=2; for j=1:2 for k=1:3 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j); end end 27 28 29 30 31 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E Sekarang, statemen dari baris ke-15 sampai ke-19 memiliki pola yang sama dengan statemen dari baris ke-22 sampai ke-26. Mereka bisa disatukan oleh looping indeks i 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B 6 7 8 9 10 11 12 % ---proses perkalian matrik---for i=1:2 for j=1:2 E(i,j)=0; end end 13 14 15 16 17 18 19 20 for i=1:2 for j=1:2 for k=1:3 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j); end end end 21 22 23 24 25 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E Inilah hasil akhir dari tahapan-tahapan modifikasi yang selanjutnya saya sebut sebagai proses optimasi. Upaya yang baru saja saya perlihatkan, sebenarnya penuh dengan jebakan-jebakan kesalahan, terutama jika anda kurang cermat membaca indeks dan pola. Upaya seperti itu memerlukan konsentrasi dan perhatian yang tidak sebentar. Upaya semacam itu tidak semudah meng-copy hasil akhir optimasi. Walaupun bisa di-copy, namun saya menyarankan agar anda mencoba melakukan proses optimasi itu sekali lagi di komputer tanpa melihat catatan ini dan tanpa bantuan orang lain. Kalau anda gagal, cobalah berfikir lebih keras untuk mencari jalan keluarnya. Jika masih tetap gagal, silakan lihat catatan ini sebentar saja sekedar untuk
  48. 48. 2.5. OPERASI MATEMATIKA 35 mencari tahu dimana letak kesalahannya. Hanya dengan cara begitu ilmu programming ini akan bisa menyatu pada diri anda. 2.5.5 Perkalian matrik dan vektor-kolom Operasi perkalian antara matrik dan vektor-kolom sebenarnya sama saja dengan perkalian antara dua matrik. Hanya saja ukuran vektor-kolom boleh dibilang spesial yaitu m x 1, dimana m merupakan jumlah baris sementara jumlah kolomnya hanya satu. Misalnya matrik A, pada contoh 1, dikalikan dengan vektor-kolom x yang berukuran 3 x 1 atau disingkat dengan mengatakan vektor-kolom x berukuran 3, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan vektor-kolom y y = Ax y = = =   2 3 8 5   3 6 4 7 4 3.2 + 8.3 + 5.4 6.2 + 4.3 + 7.4 50 52 Sekali lagi, tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing, operasi perkalian antara matrik A dan vektor-kolom x, bisa juga dinyatakan dalam indeksnya masing-masing, yaitu y1 y2 = a11 .x1 + a12 .x2 + a13 .x3 a21 .x1 + a22 .x2 + a23 .x3 Bila dijabarkan, maka elemen-elemen vektor-kolom y adalah y1 = a11 .x1 + a12 .x2 + a13 .x3 y2 = a21 .x1 + a22 .x2 + a23 .x3 kemudian secara sederhana dapat diwakili oleh rumus berikut 3 aij xj yi = j=1 dimana i=1,2. Berdasarkan contoh tersebut, secara umum bila ada matrik A berukuran n x m yang dikalikan dengan vektor-kolom x berukuran m, maka akan didapatkan vektor-kolom y berukuran n x 1
  49. 49. BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI 36 dimana elemen-elemen vektor-kolom y memenuhi m aij xj yi = (2.16) j=1 dengan i=1,2,. . . ,n. 2.5.6 Komputasi perkalian matrik dan vektor-kolom Mari kita mulai lagi dari source code paling dasar dari operasi perkalian antara matrik dan vektor-kolom sesuai dengan contoh di atas 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4]; % inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x 6 7 8 9 % ---proses perkalian matrik dan vektor---y(1,1)=A(1,1)*x(1,1)+A(1,2)*x(2,1)+A(1,3)*x(3,1); y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1); 10 11 12 13 14 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A x y Sejenak, mari kita amati dengan cermat statemen dari baris ke-8 dan ke-9 sambil dikaitkan dengan bentuk umum penulisan indeks pada perkalian antara matrik dan vektor-kolom yaitu yi1 = aij .xj1 + aij .xj1 + aij .xj1 (2.17) Dari sana ada 3 point yang perlu dicatat: • elemen y dan elemen x sama-sama memiliki indeks i yang berpasangan dengan angka 1. • pada baris statemen ke-8 dan ke-9 ada tiga kali operasi perkalian dan dua kali operasi penjumlahan yang semuanya melibatkan indeks i dan indeks j. Namun indeks j selalu berubah pada masing-masing perkalian. Jadi indeks j lebih cepat berubah dibanding indeks i. • elemen a memiliki indeks i dan indeks j dimana indeks j lebih cepat berubah dibanding indeks i. Kita mulai dengan memecah operasi pada statemen baris ke-8 yang bertujuan menghitung nilai y(1, 1) 1 2 3 clear all clc
  50. 50. 2.5. OPERASI MATEMATIKA 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4]; 37 % inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x 6 7 8 9 10 % ---proses perkalian matrik dan vektor---y(1,1)=A(1,1)*x(1,1); y(1,1)=y(1,1)+A(1,2)*x(2,1); y(1,1)=y(1,1)+A(1,3)*x(3,1); 11 12 y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1); 13 14 15 16 17 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A x y Agar baris ke-8 memiliki pola yang sama dengan baris ke-9 dan ke-10, upaya yang dilakukan adalah 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4]; % inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x 6 7 8 9 10 11 % ---proses perkalian matrik dan vektor---y(1,1)=0; y(1,1)=y(1,1)+A(1,1)*x(1,1); y(1,1)=y(1,1)+A(1,2)*x(2,1); y(1,1)=y(1,1)+A(1,3)*x(3,1); 12 13 y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1); 14 15 16 17 18 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A x y Dari sini kita bisa munculkan indeks j 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4]; % inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x 6 7 8 9 10 11 % ---proses perkalian matrik dan vektor---y(1,1)=0; for j=1:3 y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1); end 12 13 y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1); 14 15 16 17 18 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A x y
  51. 51. BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI 38 Dengan cara yang sama, baris ke-13 dimodifikasi menjadi 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4]; % inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x 6 7 8 9 10 11 % ---proses perkalian matrik dan vektor---y(1,1)=0; for j=1:3 y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1); end 12 13 14 15 16 y(2,1)=0; for j=1:3 y(2,1)=y(2,1)+A(2,j)*x(j,1); end 17 18 19 20 21 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A x y Inisialisasi vektor y dengan angka nol dapat dilakukan diawal proses perkalian, sekaligus memunculkan indeks i 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4]; % inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x 6 7 8 9 10 % ---proses perkalian matrik dan vektor---for i=1:2 y(i,1)=0; end 11 12 13 14 for j=1:3 y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1); end 15 16 17 18 for j=1:3 y(2,1)=y(2,1)+A(2,j)*x(j,1); end 19 20 21 22 23 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A x y Kemudian, untuk menyamakan pola statemen baris ke-13 dan ke-17, indeks i kembali dimunculkan 1 2 3 clear all clc
  52. 52. 2.6. PENUTUP 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4]; 39 % inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x 6 7 8 9 10 % ---proses perkalian matrik dan vektor---for i=1:2 y(i,1)=0; end 11 12 13 14 15 i=1; for j=1:3 y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1); end 16 17 18 19 20 i=2; for j=1:3 y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1); end 21 22 23 24 25 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A x y Akhir dari proses optimasi adalah sebagai berikut 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4]; % inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x 6 7 8 9 10 % ---proses perkalian matrik dan vektor---for i=1:2 y(i,1)=0; end 11 12 13 14 15 16 for i=1:2 for j=1:3 y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1); end end 17 18 19 20 21 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A x y 2.6 Penutup Demikianlah catatan singkat dan sederhana mengenai jenis-jenis matrik dasar dan operasi penjumlahan dan perkalian yang seringkali dijumpai dalam pengolahan data secara numerik. Semuanya akan dijadikan acuan atau referensi pada pembahasan topik-topik numerik yang akan datang.
  53. 53. BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI 40 2.7 Latihan 1. Diketahui matrik A, matrik B, dan vektor x sebagai berikut  1 3 −6 −2    5 9 7 5.6    A= 2 4 8 −1    2.3 1.4 0.8 −2.3  8 1 4 21    3 10 5 0.1   B= 7 −2 9 −5   2.7 −12 −8.9 5.7  0.4178    −2.9587   x= 56.3069    8.1 (a) Buatlah script untuk menyelesaikan penjumlahan matrik A dan matrik B. (b) Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrik A dan matrik B. (c) Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrik A dan vektor x. (d) Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrik B dan vektor x.
  54. 54. Bab 3 Fungsi Objektif : ⊲ Mengenalkan fungsi internal. ⊲ Membuat fungsi ekstenal. ⊲ Membuat fungsi ekternal untuk penjumlahan matrik. ⊲ Membuat fungsi ekternal untuk perkalian matrik. 3.1 Fungsi internal Pada bab terdahulu kita sudah melakukan proses optimasi penjumlahan matrik dengan source code akhir seperti ini 1 2 clear all clc 3 4 5 A=[3 8 5; 6 4 7]; C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matrik A % inisialisasi matrik B 6 7 8 9 10 11 12 % ---proses penjumlahan matrik---for i=1:2 for j=1:3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); end end 13 14 15 16 17 % ---menampilkan matrik A, C dan D---A C D Pertanyaan yang segera muncul adalah apakah source code tersebut bisa digunakan untuk menyelesaikan penjumlahan matrik yang dimensinya bukan 2x3 ? Misalnya D=A+C 41
  55. 55. BAB 3. FUNGSI 42     4 3 8 6 2 6 7 2     D = 5 1 2 3 + 9 1 3 8 6 7 9 1 5 8 4 7 Tentu saja bisa, asal indeks i bergerak dari 1 sampai 3 dan indeks j bergerak dari 1 sampai 4. Lihat source code berikut 1 2 clear all clc 3 4 5 A=[4 3 8 6; 5 1 2 3; 6 7 9 1]; C=[2 6 7 2; 9 1 3 8; 5 8 4 7]; % inisialisasi matrik A % inisialisasi matrik B 6 7 8 9 10 11 12 % ---proses penjumlahan matrik---for i=1:3 for j=1:4 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); end end 13 14 15 16 17 % ---menampilkan matrik A, C dan D---A C D Walaupun bisa digunakan, namun cara modifikasi seperti itu sangat tidak fleksibel dan beresiko salah jika kurang teliti. Untuk menghindari resiko kesalahan dan agar lebih fleksibel, source code tersebut perlu dioptimasi sedikit lagi menjadi 1 2 clear all clc 3 4 5 A=[4 3 8 6; 5 1 2 3; 6 7 9 1]; C=[2 6 7 2; 9 1 3 8; 5 8 4 7]; % inisialisasi matrik A % inisialisasi matrik B 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 % ---proses penjumlahan matrik---dim=size(A); n=dim(1); m=dim(2); for i=1:n for j=1:m D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); end end 16 17 18 19 20 % ---menampilkan matrik A, C dan D---A C D Perhatikan, ada tambahan 3 statemen yaitu mulai dari baris ke-8 sampai ke-10. Sementara baris ke-11 dan ke-12 hanya mengalami sedikit perubahan. Statemen di baris ke-8 bermaksud mendeklarasikan variabel dim untuk diisi oleh hasil perhitungan fungsi internal yang bernama
  56. 56. 3.2. FUNGSI EKSTERNAL PENJUMLAHAN MATRIK 43 size. Matrik A dijadikan parameter input fungsi size. Fungsi size berguna untuk menghitung jumlah baris dan jumlah kolom dari matrik A. Hasilnya adalah dim(1) untuk jumlah baris dan dim(2) untuk jumlah kolom. Pada baris ke-9, variabel n dideklarasikan untuk menerima informasi jumlah baris dari dim(1), sementara variabel m diisi dengan informasi jumlah kolom dari dim(2) pada baris ke-10. Adapun baris ke-11 dan ke-12 hanya mengubah angka indeks batas atas, masing-masing menjadi n dan m. Sekarang kalau kita balik lagi menghitung penjumlahan matrik dari contoh sebelumnya yang berukuran 2x3, maka source code akan seperti ini 1 2 clear all clc 3 4 5 A=[3 8 5; 6 4 7]; C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matrik A % inisialisasi matrik B 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 % ---proses penjumlahan matrik---dim=size(A); n=dim(1); m=dim(2); for i=1:n for j=1:m D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); end end 16 17 18 19 20 % ---menampilkan matrik A, C dan D---A C D Ajaib bukan!? Tidak ada statemen yang berubah kecuali hanya pada baris ke-4 dan ke-5. Perubahan itu tidak bisa dihindari karena memang di kedua baris itulah deklarasi elemen-elemen matrik A dan matrik C dilakukan. 3.2 Fungsi eksternal penjumlahan matrik Saatnya kita memasuki topik tentang pembuatan fungsi eksternal. Dari source code yang terakhir tadi, mari kita ambil bagian proses penjumlahan matrik-nya saja 1 2 3 4 5 6 7 8 dim=size(A); n=dim(1); m=dim(2); for i=1:n for j=1:m D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); end end Kita akan jadikan potongan source code ini menjadi fungsi eksternal, dengan menambahkan statemen function seperti ini
  57. 57. BAB 3. FUNGSI 44 1 2 3 4 5 6 7 8 9 function D=jumlah(A,C) dim=size(A); n=dim(1); m=dim(2); for i=1:n for j=1:m D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); end end kemudian ia harus di-save dengan nama jumlah.m. Sampai dengan langkah ini kita telah membuat fungsi eksternal dan diberi nama fungsi jumlah. Sederhana sekali bukan? Untuk menguji kerja fungsi eksternal tersebut, coba jalankan source code berikut ini 1 2 clear all clc 3 4 5 A=[3 8 5; 6 4 7]; C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matrik A % inisialisasi matrik B 6 7 8 % ---proses penjumlahan matrik---D=jumlah(A,C) 9 10 11 12 13 % ---menampilkan matrik A, C dan D---A C D atau anda jalankan source code yang berikut ini 1 2 clear all clc 3 4 5 A=[4 3 8 6; 5 1 2 3; 6 7 9 1]; C=[2 6 7 2; 9 1 3 8; 5 8 4 7]; % inisialisasi matrik A % inisialisasi matrik B 6 7 8 % ---proses penjumlahan matrik---D=jumlah(A,C) 9 10 11 12 13 % ---menampilkan matrik A, C dan D---A C D atau coba iseng-iseng anda ganti matrik-nya menjadi 1 2 clear all clc 3 4 5 V=[4 3; 5 1]; W=[2 6; 9 3]; % inisialisasi matrik V % inisialisasi matrik W 6 7 8 % ---proses penjumlahan matrik---U=jumlah(V,W)
  58. 58. 3.3. FUNGSI EKSTERNAL PERKALIAN MATRIK 45 9 10 11 12 13 % ---menampilkan matrik V, W dan U---W V U Periksa hasilnya, betul atau salah? Pasti betul! Kesimpulannya adalah setelah fungsi eksternal berhasil anda dapatkan, maka seketika itu pula anda tidak perlu menggubrisnya lagi. Bahkan anda tidak perlu mengingat nama matrik aslinya yang tertulis di fungsi jumlah yaitu matrik A, matrik C dan matrik D. Ditambah lagi, source code anda menjadi terlihat lebih singkat dan elegan. Dan kini, perhatian anda bisa lebih difokuskan pada deklarasi matrik-nya saja. 3.3 Fungsi eksternal perkalian matrik Mari kita beralih ke perkalian matrik. Kita akan membuat fungsi eksternal untuk perkalian matrik. Berikut ini adalah source code perkalian matrik hasil akhir optimasi yang telah ditulis panjang lebar pada bab sebelumnya 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B 6 7 8 9 10 11 12 % ---proses perkalian matrik---for i=1:2 for j=1:2 E(i,j)=0; end end 13 14 15 16 17 18 19 20 for i=1:2 for j=1:2 for k=1:3 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j); end end end 21 22 23 24 25 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E Source code tersebut digunakan untuk menghitung perkalian matrik berikut E2×2 = A2×3 · B3×2 Dan kita bisa sepakati simbol indeks m, n, dan p untuk men-generalisir dimensi matrik Em×n = Am×p · Bp×n
  59. 59. 46 BAB 3. FUNGSI Dengan demikian, source code tersebut dapat dioptimasi menjadi 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 % ---proses perkalian matrik---dim=size(A); m=dim(1); p=dim(2); dim=size(B); n=dim(2); for i=1:m for j=1:n E(i,j)=0; end end 18 19 20 21 22 23 24 25 for i=1:m for j=1:n for k=1:p E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j); end end end 26 27 28 29 30 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E Selanjutnya kita ambil bagian proses perkalian matrik nya untuk dibuat fungsi eksternal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 function E=kali(A,B) dim=size(A); m=dim(1); p=dim(2); dim=size(B); n=dim(2); for i=1:m for j=1:n E(i,j)=0; end end 12 13 14 15 16 17 18 19 for i=1:m for j=1:n for k=1:p E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j); end end end lalu di-save dengan nama kali.m, maka terciptalah fungsi eksternal yang bernama fungsi kali. Kemudian coba anda uji fungsi kali tersebut dengan menjalankan source code berikut
  60. 60. 3.4. FUNGSI EKSTERNAL PERKALIAN MATRIK DAN VEKTOR-KOLOM 1 2 47 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B 6 7 8 % ---proses perkalian matrik---E = kali(A,B) 9 10 11 12 13 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E Silakan anda periksa hasil perhitungannya. Pasti betul! Anda bisa mencoba perkalian matrik lainnya dengan menggunakan source code tersebut. Bahkan anda bisa mengganti nama matriknya untuk selain A, B dan E. 3.4 Fungsi eksternal perkalian matrik dan vektor-kolom Mari kita beralih ke perkalian matrik dan vektor-kolom. Kita akan membuat fungsi eksternal untuk perkalian matrik dan vektor-kolom. Berikut ini adalah source code perkalian matrik dan vektor-kolom hasil akhir optimasi yang telah ditulis panjang lebar pada bab sebelumnya 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4]; % inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x 6 7 8 9 10 % ---proses perkalian matrik dan vektor---for i=1:2 y(i,1)=0; end 11 12 13 14 15 16 for i=1:2 for j=1:3 y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1); end end 17 18 19 20 21 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A x y Source code tersebut digunakan untuk menghitung perkalian matrik dan vektor-kolom berikut y2×1 = A2×3 · x3×1 Dan kita bisa sepakati simbol indeks m dan n untuk men-generalisir dimensi matrik ym×1 = Am×n · xn×1
  61. 61. BAB 3. FUNGSI 48 Dengan demikian, source code tersebut dapat dioptimasi menjadi 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4]; % inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x 6 7 8 9 10 11 12 13 % ---proses perkalian matrik dan vektor---dim=size(A); m=dim(1); n=dim(2); for i=1:m y(i,1)=0; end 14 15 16 17 18 19 for i=1:m for j=1:n y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1); end end 20 21 22 23 24 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A x y Selanjutnya kita ambil bagian proses perkalian matrik dan vektor nya untuk dibuat fungsi eksternal 1 2 3 4 5 6 7 function y=kalivektor(A,x) dim=size(A); m=dim(1); n=dim(2); for i=1:m y(i,1)=0; end 8 9 10 11 12 13 for i=1:m for j=1:n y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1); end end lalu di-save dengan nama kalivektor.m, maka terciptalah fungsi eksternal yang bernama fungsi kalivektor. Kemudian coba anda uji fungsi kalivektor tersebut dengan menjalankan source code berikut 1 2 clear all clc 3 4 5 A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4]; % inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x 6 7 % ---proses perkalian matrik dan vektor----
  62. 62. 3.5. PENUTUP 8 49 y = kalivektor(A,x); 9 10 11 12 % ---menampilkan matrik A, B dan E---A x Silakan anda periksa hasil perhitungannya. Pasti betul! Anda bisa mencoba perkalian matrik dan vektor-kolom dengan angka elemen yang berbeda menggunakan source code tersebut. Bahkan anda bisa mengganti nama matrik dan vektor nya untuk selain A, x dan y. 3.5 Penutup Ada tiga pilar yang harus dikuasai oleh seorang calon programmer. Pertama, ia harus tahu bagaimana cara mendeklarasikan data. Kedua, ia harus tahu bagaimana mendayagunakan flow-control, yang dalam bab ini dan bab sebelumnya menggunakan pasangan for-end. Dan ketiga, ia harus bisa membuat fungsi eksternal. Tidak ada yang melarang anda beralih ke Fortran, atau ke Delphi, atau ke C++, atau ke Python, atau bahasa pemrograman apa saja. Saran saya, ketika anda berkenalan dengan suatu bahasa pemrograman, yang pertama kali anda lakukan adalah menguasai ketiga pilar itu. Insya Allah ia akan membantu anda lebih cepat mempelajari bahasa pemrograman yang sedang anda geluti. Penguasaan atas ketiga pilar tersebut akan mengarahkan programmer untuk membuat source code yang bersifat modular atau extention. Ini adalah modal untuk memasuki apa yang disebut object oriented programming. Sesungguhnya Matlab memiliki banyak fungsi internal yang bisa langsung dipakai. Anda bisa coba sendiri suatu saat nanti. Kekuatan bahasa pemrograman salah satunya terletak pada seberapa kaya dia memilik banyak fungsi. Library adalah kata lain untuk fungsi. Jadi, suatu bahasa pemrograman akan semakin unggul bila dia memiliki semakin banyak library. Menurut saya, yang terdepan saat ini masih dimenangkan oleh Python. Dengan Python, source code anda akan bisa berjalan di Windows, Linux dan Machintos serta beberapa platform lainnya. 3.6 Latihan 1. Diketahui gelombang elektromagnetik bergerak dari medium 1 (permitivitas ǫ1 = 1) ke medium 2 (permitivitas, ǫ2 = 80) dengan sudut datang (θI ) bervariasi dari 0 o hingga 70 o . Persamaan koefisien refleksi gelombang elektromagnetik adalah sbb: EoR = EoI α−β α+β = ǫ2 ǫ1 cos θI − ǫ2 ǫ1 − sin2 θI ǫ2 ǫ1 cos θI + ǫ2 ǫ1 − sin2 θI (a) Buatlah script untuk menghitung koefisien refleksi dengan interval sudut per 5 o (b) Buatlah gambar grafik Koefisien Refleksi vs Sudut (c) Buatlah fungsi eksternal untuk perhitungan koefisien refleksi tersebut.
  63. 63. BAB 3. FUNGSI 50 2. Diketahui gelombang elektromagnetik bergerak dari medium 1 (permitivitas ǫ1 = 1) ke medium 2 (permitivitas, ǫ2 = 80) dengan sudut datang (θI ) bervariasi dari 0 o hingga 70 o . Persamaan koefisien transmisi gelombang elektromagnetik adalah sbb: EoT = EoI 2 α+β = 2 ǫ2 ǫ1 cos θI + ǫ2 ǫ1 − sin2 θI (a) Buatlah script untuk menghitung koefisien transmisi dengan interval sudut per 5 o (b) Buatlah gambar grafik Koefisien Transmisi vs Sudut (c) Buatlah fungsi eksternal untuk perhitungan koefisien transmisi tersebut. 3. Soal berikut ini berkaitan dengan superposisi gelombang (a) Buatlah script untuk mem-plot gelombang sinusoidal berfrekuensi 200 Hz dengan amplitudo 10 dalam fungsi waktu (t) dari 0 ms sampai 10 ms. (b) Lanjutkan script yang tadi dengan menambahkan script baru untuk menggambar gelombang sinusoidal berfrekuensi 500 Hz dengan amplitudo 6; kemudian di-plot pada grafik yang sama. (c) Lanjutkan script yang tadi dengan menambahkan script baru untuk menggambar gelombang sinusoidal berfrekuensi 1000 Hz dengan amplitudo 6; kemudian di-plot pada grafik yang sama. (d) Lanjutkan script yang tadi dengan menambahkan script baru untuk menggambar superposisi ketiga gelombang di atas; kemudian di-plot pada grafik yang sama. (e) Buatlah fungsi eksternal hanya untuk ketiga persamaan gelombang-nya saja. Sementara perhitungan superposisi dan plot grafik tetap ditulis pada main program.
  64. 64. Bab 4 Integral Numerik Objektif : ⊲ Mengenalkan metode Trapezoida ⊲ Mengenalkan metode Simpson ⊲ Mengenalkan metode Composite-Simpson ⊲ Mengenalkan metode Adaptive Quardrature ⊲ Mengenalkan metode Gaussian Quadrature 4.1 Metode Trapezoida Integral terhadap suatu fungsi, f(x), yang dievaluasi dari a hingga b dapat dinyatakan oleh rumus berikut ini b f (x)dx (4.1) a Pendekatan numerik yang paling dasar dalam memecahkan masalah integral adalah metode Trapezoida, yang dirumuskan sebagai berikut b f (x)dx = a h3 h [f (x0 ) + f (x1 )] − f ′′ (ξ) 2 12 (4.2) dimana x0 = a, x1 = b dan h = b − a. Akan tetapi, suku yang terakhir pada ruas kanan dimana terdapat faktor turunan ke-2, f ′′ , seringkali diabaikan dengan tujuan agar persamaan (4.2) menjadi lebih sederhana. b f (x)dx = a h [f (x0 ) + f (x1 )] 2 (4.3) Akibatnya pendekatan Trapezoida hanya bekerja efektif pada fungsi-fungsi yang turunan keduanya bernilai nol (f ′′ = 0). Gambar (4.1) memperlihatkan prinsip metode trapezoida dalam bentuk grafik. Sementara, script berikut ini dibuat berdasarkan persamaan (4.3). 51
  65. 65. BAB 4. INTEGRAL NUMERIK 52 f(x) f(x) f(x1) f(x0) x0=a x1=b x0=a x1=b Gambar 4.1: Metode Trapezoida. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f (x) dengan batas bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara metode Trapesoida menghitung integral dengan cara menghitung luas area integrasi, dimana luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f (x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan teliti, ada area kecil dibawah garis kurva dan diatas garis miring yang berada diluar bidang trapesium. Metode Trapesoida tidak menghitung luas area kecil tersebut. Disinilah letak kelemahan metode trapezoida. 1 2 clear all clc 3 4 5 a = ... b = ... %batas bawah integral; %batas atas integral; 6 7 8 9 x0 = a; x1 = b; h = b-a; 10 11 12 % -- metode trapezoida -Int_trapezoida = h/2*(f(x0)+f(x1)) Dengan fungsi eksternal fungsi f(x) adalah 1 2 function y = f(x) y = ... % rumus fungsi yang di-integralkan; 4.2 Metode Simpson Metode pendekatan yang lebih baik dibanding metode Trapezoida dalam integral numerik adalah metode Simpson yang diformulasikan sebagai berikut b f (x)dx = a h h5 [f (x1 ) + 4f (x2 ) + f (x3 )] − f 4 (ξ) 3 90 (4.4) dengan x1 = a, x3 = b, dan x2 = a + h dimana h = (b − a)/2. Jika suku terakhir diabaikan, maka b f (x)dx = a h [f (x1 ) + 4f (x2 ) + f (x3 )] 3 (4.5) Gambar (4.2) memperlihatkan prinsip metode trapezoida dalam bentuk grafik. Sementara, script berikut ini dibuat berdasarkan persamaan (4.5).
  66. 66. 4.2. METODE SIMPSON 53 f(x) f(x) f(x2) f(x1) f(x0) h h x0=a x1=b x0=a x1 x2=b Gambar 4.2: Metode Simpson. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f (x) dengan batas bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara metode Simpson menghitung luas area integrasi, dimana area integrasi di bawah kurva f (x) dibagi 2 dalam batas interval a − x1 dan x1 − b dengan lebar masing-masing adalah h 1 2 clc clear all 3 4 5 a = ... %batas bawah integrasi ; b = ... %batas atas integrasi ; 6 7 8 9 10 x1 = a; x3 = b; h = (b-a)/2; x1 = a + h; 11 12 13 % -- metode simpson -Int_simpson = h/3*(f(x1)+4*f(x2)+f(x3)) Contoh Metode Trapezoida untuk fungsi f pada interval [0,2] adalah 2 0 f (x)dx ≈ f (0) + f (2) dimana x0 = 0, x1 = 2 dan h = 2 − 0 = 2. Sedangkan metode Simpson untuk fungsi f pada interval [0,2] adalah 2 0 f (x)dx ≈ 1 [f (0) + 4f (1) + f (2)] 3 dengan x0 = 0, x2 = 2, dan x1 = a + h = 1 dimana h = (b − a)/2 = 1. Tabel berikut ini memperlihatkan evaluasi integral numerik terhadap beberapa fungsi dalam interval [0,2] beserta solusi exact-nya. Jelas terlihat, metode Simpson lebih baik dibanding Trapezoida. Karena hasil intergral numerik metode Simpson lebih mendekati nilai exact f (x) Nilai exact Trapezoida Simpson x2 2,667 4,000 2,667 x4 6,400 16,000 6,667 1/(x + 1) 1,099 1,333 1,111 √ 1 + x2 2,958 3,236 2,964 sin x 1,416 0,909 1,425 ex 6,389 8,389 6,421
  67. 67. BAB 4. INTEGRAL NUMERIK 54 4.3 Peran faktor pembagi, n Kalau diamati lebih teliti, akan kita dapatkan bahwa interval [0,2] telah dibagi 2 pada metode Simpson, sementara pada metode Trapesoida tidak dibagi sama sekali. Sebenarnya dengan membagi interval lebih kecil lagi, maka error -nya akan semakin kecil. Misalnya, banyaknya pembagian interval dinyatakan dengan n ketika n = 1: Trapesioda x2 h h3 [f (x1 ) + f (x2 )] − f ′′ (ξ) 2 12 (4.6) h h5 [f (x1 ) + 4f (x2 ) + f (x3 )] − f 4 (ξ) 3 90 (4.7) f (x)dx = x1 ketika n = 2: Simpson x3 f (x)dx = x1 ketika n = 3: Simpson tiga-per-delapan x4 f (x)dx = x1 3h 3h5 4 [f (x1 ) + 3f (x2 ) + 3f (x3 ) + f (x4 )] − f (ξ) 8 80 (4.8) ketika n = 4: x5 f (x)dx = x1 8h7 6 2h [7f (x1 ) + 32f (x2 ) + 12f (x3 ) + 32f (x4 ) + 7f (x5 )] − f (ξ) 45 945 4.3.1 Source code metode integrasi Source code untuk persamaan (4.8) disajikan sebagai berikut 1 2 clc clear all 3 4 5 6 % -- batas integrasi -a = 0; b = 2; 7 8 9 10 11 12 13 x0 = a; x3 = b; h = (b-a)/3; x1 = a + h; x2 = a + 2*h; % --------------------- 14 15 16 % -- metode simpson 3/8 -Int_38 = 3*h/8*(f(x0)+3*f(x1)+3*f(x2)+f(x3)) Sementara, source code untuk persamaan (4.9) disajikan sebagai berikut 1 2 3 clc clear all (4.9)
  68. 68. 4.4. METODE COMPOSITE-SIMPSON 4 5 6 55 % -- batas integrasi -a = 0; b = 2; 7 8 9 10 11 12 13 14 x0 = a; x4 = b; h = (b-a)/4; x1 = a + h; x2 = a + 2*h; x3 = a + 3*h; % --------------------- 15 16 17 % -- metode simpson n=4 -Int_n4 = 2*h/45*(7*f(x0)+32*f(x1)+12*f(x2)+32*f(x3)+7*f(x4)) Perbandingan tingkat akurasi hasil perhitungan seluruh metode integral numerik yang sudah dibahas adalah sebagai berikut x2 2,667 4,000 2,667 2,667 2,667 f (x) Nilai exact Trapezoida Simpson n=2 Simpson n=3 Simpson n=4 x4 6,400 16,000 6,667 6,519 6,400 1/(x + 1) 1,099 1,333 1,111 1,105 1,099 √ 1 + x2 2,958 3,236 2,964 2,960 2,958 sin x 1,416 0,909 1,425 1,420 1,416 ex 6,389 8,389 6,421 6,403 6,389 Keempat bentuk persamaan integral numerik di atas dikenal dengan closed Newton-Cotes formulas. Keterbatasan metode Newton-Cotes terlihat dari jumlah pembagian interval. Di atas tadi pembagian interval baru sampai pada n = 4. Bagaimana bila interval evaluasinya dipersempit supaya solusi numeriknya lebih mendekati solusi exact? Atau dengan kata lain n 4. 4.4 Metode Composite-Simpson Persamaan (4.9) terlihat lebih rumit dibandingkan persamaan-persamaan sebelumnya. Bisakah anda bayangkan bentuk formulasi untuk n = 5 atau n = 6 dan seterusnya? Pasti akan lebih kompleks dibandingkan persamaan (4.9). Metode Composite Simpson menawarkan cara mudah menghitung intergal numerik ketika nilai n 4. Perhatikan contoh berikut, tentukan solusi numerik dari 4 x 0 e dx. Metode Simpson dengan h = 2 (atau interval evaluasi integral dibagi 2 , n = 2) memberikan hasil 4 0 ex dx ≈ 2 0 e + 4e2 + e4 = 56, 76958 3 Padahal solusi exact dari integral tersebut adalah e4 − e0 = 53, 59815, artinya terdapat er- ror sebesar 3,17143 yang dinilai masih terlampau besar untuk ditolerir. Bandingkan dengan
  69. 69. BAB 4. INTEGRAL NUMERIK 56 f(x) h x0=a x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 xn=b Gambar 4.3: Metode Composite Simpson. Kurva fungsi f (x) dengan batas bawah integral adalah a dan batas atas b. Luas area integrasi dipecah menjadi 8 area kecil dengan lebar masing-masing adalah h. metode yang sama namun dengan h = 1 (atau interval evaluasi integral dibagi 4 , n = 4) 4 2 ex dx = ex dx 2 0 0 4 ex dx + 1 0 1 2 e + 4e + e2 + e + 4e3 + e4 3 3 1 0 e + 4e + 2e2 + 4e3 + e4 = 3 = 53, 86385 ≈ Hasil ini memperlihatkan error yang makin kecil, yaitu menjadi 0,26570. Jadi dengan memperkecil h, error menjadi semakin kecil dan itu artinya solusi integral numerik semakin mendekati solusi exact. Sekarang kita coba kecilkan lagi nilai h menjadi h = 1 2 (atau interval evaluasi in- tegral dibagi 8 , n = 8), 4 1 ex dx = 3 ex dx + 2 1 0 0 2 ex dx + 4 ex dx + ex dx 3 1 0 1 e + 4e1/2 + e + e + 4e3/2 + e2 + 6 6 1 2 1 3 e + 4e5/2 + e3 + e + 4e7/2 + e4 6 6 1 0 e + 4e1/2 + 2e + 4e3/2 + 2e2 + 4e5/2 + 2e3 + 4e7/2 + e4 = 6 = 53, 61622 ≈ dan seperti yang sudah kita duga, error -nya semakin kecil menjadi 0,01807. Prosedur ini dapat digeneralisir menjadi suatu formula sebagai berikut n/2 x2j j=1 b x2j−2 f (x)dx = a f (x)dx n/2 = j=1 h5 h [f (x2j−2 ) + 4f (x2j−1 ) + f (x2j )] − f (4) (ξj ) 3 90 (4.10)
  70. 70. 4.5. ADAPTIVE QUARDRATURE 57 dimana h = (b − a)/n dan xj = a + jh, untuk j = 1, ..., n/2, dengan x0 = a dan xn = b. Formula ini dapat direduksi menjadi b f (x)dx = a  h f (x0 ) + 2 3 (n/2)−1  n/2 f (x2j ) + 4 j=1 j=1 f (x2j−1 ) + f (xn ) − h5 90 n/2 f (4) (ξj ) (4.11) j=1 Formula ini dikenal sebagai metode Composite Simpson. 4.5 Adaptive Quardrature Metode composite mensyaratkan luas area integrasi dibagi menjadi sejumlah region dengan jarak interval yang seragam yaitu sebesar nilai h. Akibatnya, bila metode composite diterapkan pada fungsi yang memiliki variasi yang tinggi dan rendah sekaligus, maka interval h yang kecil menjadi kurang efektif, sementara interval h yang besar mengundang error yang besar pula. Metode Adaptive Quadrature muncul untuk mendapatkan langkah yang paling efektif dimana nilai interval h tidak dibuat seragam, melainkan mampu beradaptasi sesuai dengan tingkat variasi kurva fungsinya. Misalnya kita bermaksud mencari solusi numerik dari integral b a f (x)dx dengan toleransi ǫ 0. Sebagai langkah awal adalah menerapkan metode Simpson dimana step size h = (b − a)/2 b a f (x)dx = S(a, b) − h5 (4) f (µ) 90 (4.12) dengan h [f (a) + 4f (a + h) + f (b)] 3 S(a, b) = Langkah berikutnya adalah men b h f (a) + 4f 6 f (x)dx = a h 2 − 4.6 4 a+ h 2 + 2f (a + h) + 4f a+ 3h 2 + f (b) (b − a) (4) f (˜) µ 180 (4.13) Gaussian Quadrature Suatu integral dapat ditransformasi kedalam bentuk Gaussian quadrature melalui formulasi berikut 1 b f f (x)dx = a −1 (b − a)t + (b + a) 2 (b − a) dt 2 (4.14) dimana perubahan variabel memenuhi t= 2x − a − b 1 ⇔ x = [(b − a)t + a + b] b−a 2 Berikut adalah table polinomial Legendre untuk penyelesaian Gaussian quadrature (4.15)

×