Makalah ini membahas transformasi Fourier multi-dimensi dan aplikasinya dalam komputerisasi tomografi aksial. Transformasi Fourier dua dimensi dari dinding Dirac dan fungsi lainnya dijelaskan secara matematis. Kemudian transformasi Fourier digunakan untuk mengubah proyeksi sinar X menjadi citra dua dimensi dalam tomografi komputer.

1. TRANSFORMASI FOURIER
MULTI-DIMENSI
CENDRA PUSPA NUSWANTRI (3125071818)
Prodi Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Jakarta
JANUARI 2012

2. KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas
karunia dan rahmat-Nya, penulis dapat menyelesaikan makalah ini dengan
baik dan tepat waktu.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada bapak dosen pembimbing yang
telah memberikan bimbingan dalam pembuatan makalah ini. Penulis juga
mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan dukun-
gan dan bantuan yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
Tujuan penulis membuat makalah ini adalah untuk menunjukkan hubungan
dari Transformasi Fourier Multi-dimensi dan juga untuk melengkapi
tugas akhir pada mata kuliah Variabel Kompleks yang diberikan oleh dosen
pembimbing mata kuliah ini.
Demikian penulis menyelesaikan makalah ini. Apabila ada kekurangan
dalam pembuatan makalah ini, mohon dimaklumi karena penulis masih dalam
tahap belajar. Dan apabila ada saran, harap disampaikan kepada penulis agar
dalam pembuatan makalah berikutnya, penulis dapat menyelesaikannya den-
gan lebih baik.
Januari 2012
Penulis
i

3. 1. PENGANTAR TRANSFORMASI FOURIER
Transformasi Fourier, dinamakan oleh Joseph Fourier sebagai kebalikan
dari transformasi integral dari satu fungsi ke fungsi lainnya. Fungsi yang ked-
ua, yang disebut Transformasi Fourier, memberikan koefisien dari fungsi basis
sinusoidal (lawan dari frekuensi mereka) sehingga dapat digabungkan kembali
untuk mendapatkan fungsi asli. Penggabungan kembali dari fungsi basis sinu-
soidal disebut invers Transformasi Fourier. Ada banyak variasi yang berhubun-
gan dekat dari transformasi ini tergantung jenis fungsi yang ditransformasikan.
Transformasi Fourier merupakan metode sederhana untuk menentukan kan-
dungan frekuensi dari sebuah sinyal. Transformasi Fourier pada dasarnya
membawa sinyal dari dalam kawasan waktu (time-domain) ke dalam kawasan
frekuensi (frekuensi-domain). Pada sisi lain transformasi fourier dapat dipan-
dang sebagai alat yang mengubah sinyal menjadi jumlahan sinusoidal dengan
beragam frekuensi. Transformasi Fourier menggunakan basis sinus dan kosinus
yang memiliki frekuensi berbeda. Hasil Transformasi Fourier adalah distribusi
densitas spektral yang mencirikan amplitudo dan fase dari beragam frekuensi
yang menyusun sinyal. Hal ini merupakan salah satu kegunaan Transformasi
Fourier, yaitu untuk mengetahui kandungan frekuensi sinyal.
Transformasi Fourier Diskrit (TFD) adalah salah satu bentuk trans-
formasi Fourier di mana sebagai ganti integral, digunakan penjumlahan. Dalam
matematika sering pula disebut sebagai transformasi Fourier berhingga (finite
Fourier transform), yang merupakan suatu transformasi Fourier yang banyak
diterapkan dalam pemrosesan sinyal digital dan bidang-bidang terkait untuk
menganalisa frekuensi-frekuensi yang terkandung dalam suatu contoh sinyal
atau isyarat, untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial, dan untuk
melakukan sejumlah operasi, misalnya saja operasi-operasi konvolusi. TFD
ini dapat dihitung secara efesien dalam pemanfaataannya menggunakan algo-
ritma Transformasi Fourier Cepat (TFC).
Dikarenakan TFC umumnya digunakan untuk menghitung TFD, dua isti-
lah ini sering dipertukarkan dalam penggunaannya, walaupun terdapat perbe-
daan yang jelas antara keduanya: ”TFD” merujuk pada suatu transformasi
matematik bebas atau tidak bergantung bagaimana transformasi tersebut di-
hitung, sedangkan ”TFC” merujuk pada satu atau beberapa algoritma efesien
untuk menghitung TFD. Lebih jauh, pembedaan ini menjadi semakin mem-
bingungkan, misalnya dengan sinonim ”transformasi fourier berhingga” (dalam
bahasa Inggris finite Fourier transform dibandingkan dengan fast Fourier trans-
form yang sama-sama memiliki singkatan FFT), yang mendahului penggunaan
istilah ”transformasi fourier cepat” (Cooley et al., 1969). Untungnya dalam
bahasa Indonesia, hal ini tidak terlalu membingungkan.
Secara umum bentuk dari Transformasi Fourier adalah sebagai berikut
Definisi 1
Transformasi Fourier dari fungsi f (t), terdefinisi untuk setiap bilangan riil
1

4. t ≥ 0 adalah fungsi F (s), terdefinisi sebagai
+∞
F (s) = e−st f (t)dt. (1)
−∞
dimana s adalah bilangan kompleks s = iω, untuk bilangan riil ω.
2. TRANSFORMASI FOURIER MULTI-DIMENSI
Transformasi Fourier banyak diterapkan untuk ilmu fisika. Ketika penggu-
naannya dalam kehidupan sehari-hari kita dihadapkan pada kondisi dimensi
banyak. Misal dimensi ruang, waktu, temperatur, potensial listrik dan lain
sebagainya. Untuk tujuan inilah maka Transformasi Fourier dapat lebih ter-
pakai. Keberadaan transformasi ini bukanlah mempersulit melainkan dapat
berguna untuk mengungkapkan apa saja yang terjadi di alam sekitar kita se-
cara geometri. Di sini akan diberikan beberapa fungsi dan ide cemerlang dalam
memanipulasi Transformasi Fourier Multi-dimensi.
2.1 Dinding Dirac
Fungsinya dideskripsikan sebagai
f (x, y) = δ (x − a)
dan bernilai nol dimana-mana kecuali saat x = a dimana ini tak hingga. Ini
akan membentuk sebuah bidang tegak jika sepanjang garis f kita tarik garis
sejajar sumbu y. Lihat gambar 1. Transformasi Fourier dua dimensi diberikan
∞ ∞
φ(p, q) = δ (x − a) e2πipx e2πiqy dxdy
x=−∞ y=−∞
∞
= e2πipa e2πiqy dy
y=−∞
2πipa
= e δ(q)
dimana memiliki sebuah amplitudo kompleks dan bernilai nol kecuali di q = 0.
Gambar 1. Dinding Dirac sederhana
2

5. Pasangan dari dinding Dirac ini sama dengan sumbu y dengan transformasi
Fourier oleh:
φ (p, q) = 2δ (q) cos2πpa.
Dinding yang berdiri pada sebuah garis inklinasi terhadap sumbu y dengan
sudut ditulis sebagai f ((x, y) = δ (lx + my − c), dimana l = cos, m = sin dan
c adalah jarak tegak titik terhadap garis. Fungsi δ bernilai nol di sepanjang
sumbu x,y kecuali di transformasi Fourier dua dimensi berikut:
∞ ∞
φ (p, q) = δ (lx + my − c) e2πipx e2πiqy dx
x=−∞ y=−∞
Dengan mengintegralkan terhadap y maka dihasilkan
∞
1
φ (p, q) = e2πipx e2πiq(c−lx)/m dx
m x=−∞
Ingat bahwa di sini ”integration” hanyalah sebuah perpindahan sederhana
variabel eksponensial oleh argumen pada fungsi δ. Selanjutnya akan disusun
ulang menjadi: array tanpa nomor
∞
1 2πiqc/m
φ (p, q) = e e2πix(p−lq/m) dx
m x=−∞
2πiqc/m
= e δ (mp − lq)
dimana selalu bernilai nol kecuali pada saat mp − lq = 0 di garis p dan q.
Gambar 2. Transformasi Fourier pada sepasang dinding Dirac
3

6. Sama seperti pengintegrasian pada y, sekarang kita integrasikan fungsi ter-
hadap x maka kita dapatkan
e2πipc/l δ (mp − lq)
Faktor periodenya sebesar 1/c dan ini merupakan ukuran panjang dari mp −
lq = 0 di ruang p dan q. Anggap u = p = m konjugate terhadap c, panjang
l
q
garis dan fungsi di atas merupakan fungsi sinusoid berperiode 1/c sepanjang
dinding Dirac. Pada transformasi Fourier dimensi satu panjang garis akan
menjadi fungsi delta berjarak c dimana terdapat titik lc dan mc di ruang x
dan y. Fungsi δ akan diabaikan pada garis mx − ly = 0.
Perhatikan bahwa akan menjadi sulit untuk membayangkan bahwa p dan q
aksis bersama x dan y aksis. Pada kasus ini, transformasi Fourier dinding Dirac
akan mengabaikan bahwa garis p dan q saling tegak lurus terhadap dinding di
bidang x dan y.
Sepasang dinding Dirac dianggap terbentuk dari bidang masing-masing
akan memiliki transformasi Fourier dimensi dua
δ (lx + my − c) + δ (lx + my + c) ˙
δ (mp − lq) 2cos2πqc/m
yang dapat dikatakan bahwa dinding Dirac merupakan sinusoidal dengan am-
plitudo yang berubah dan mengabaikan garis mp − lq = 0. Perhatikan bah-
wa pada superposisi dua bidang ini, fungsi dan transformasi saling berkaitan
dengan posisi mereka pada ruang, tidak ada kaitan bagaimana sistem koordi-
natnya.
2.2 Komputerisasi Aksial Tomografi
Aplikasi khusus transformasi Fourier kali ini adalah untuk mendapatkan
komputerisasi transverse aksial scanning tomografi seperti contohnya pada
CAT-scanning atau C-T scanning. Bayangkan sebuah dinding Dirac diambil
selapis bidang dia dimensi yang memiliki fungsi F (x, y) dengan mengabaikan
sumbu x dan y (lihat gambar 3a). Jika dinding berdiri pada garis lx+my −c =
0 maka hasilnya akantetap nol dimanapun kecuali di garis ini sendiri. Di garis
yang berdiri pada dinding Dirac (Gambar 3b) dengan amplitudo yang kini
berubah karena F (x, (c − lx)/m). Integral garis (Gambar 3c) diperoleh seba-
gai berikut:
∞
Pl (c) = F (x, y)δ(lx + my − c)ds (2)
−∞
(dimana ds adalah elemen garis sepanjang garis yang ada pada l), yang tergan-
tung pada l dan c. Pl (c) diketahui sebagai transformasi Radon pada F (x, y).
Dapat dibayangkan seperti yang sebelumnya bahwa fungsi δ dari amplitudo
Pl (c) berdiri pada garismx − ly = 0 berjarak c dari titik origin. Dengan c seba-
gai variabel akan menjadikan fungsi sepanjang garis c yang akhirnya disebut
sebagai projection dari F (x, y) yang bersesuaian dengan dimana cos = l.
Sekarang sudut akan diputar dari 0 menuju π, variasi fungsi Pl (c) akan
berubah sebagai Q(x, y) pada dimensi dua dengan sumbu x dan y.
4

7. Gambar 3. Ilustrasi langkah-langkah komputerisasi aksial tomografi
Ada hal yang lebih menarik, bagaimanapun fungsi hasilnya merupakan
transformasi Fourier berdimensi satu dari Pl (c) sepanjang garis mx − ly = 0,
c sebagai variabel pada bidang x dan y dan u adalah konjugat pada bidang p
danq. Di bidang p danq ini transformasi Fourier φl (u) akan diabaikan ketika
mp − lq = 0 yang berakibat sama pada mx − ly = 0 di bidang x dan y.
5

8. Ini menjadikan transformasi Fourier dengan fungsi dimensi dua Φ ∗ (p, q) =
φl (lu, mu) (Gambar 3e) yang menunjukkan perubahan dari 0 ke π.
Kita akan menunjukkan fakta bahwa Φ(p, q) adalah transformasi Fourier
dua dimensi dari F (x, y).
Pertama tulis δ(lx + my − c) sebagai integral transformasi Fourier satu
dimensi, gunakan c sebagai variabel dan u sebagai konjugat.
∞
δ(lx + my − c) = e2πi(lx+my−c)u du
u=−∞
∞
= e2πi(lx+my) e−2πicu du
u=−∞
dan jika kita masukkan persamaan 2 maka
∞ ∞ ∞
Pl (c) = F (x, y) e2πiu(lx+my) e−2πicu dudxdy
x=−∞ y=−∞ u=−∞
dan kemudian susun ulang menjadi
∞ ∞ ∞
F (x, y)e2πiu(lx+my)dxdy e−2πicu du
u=−∞ x=−∞ y=−∞
Dengan formulasi Φ(ul, um) transformasi Fourier dua dimensi dari F (x, y) dan
berdasar gambar 3e bahwa pada bidang p dan q, ul = p dan um = q. Sehingga
∞
Pl (c) = Φ (ul, um) e−2πicu du
−∞
dimana ∞
Φ(il, um) = Φ(p, q) = Pl (c)e2πicu dc
−∞
Ini masih transformasi satu dimensi dan Φ(p, q) sepanjang garis mp − lq = 0.
Di transformasi Radon disebut teorema projection slice.
Dengan demikian jika diketahui bahwa Pl (c) untuk semua azimuth , dari 0
ke π, dan merupakan himpunan komplet pada transformasi dimensi satu dan
fungsi dimensi dua Φ(p, q) diketahui. Fungsi origin F (x, y) menjadi
∞ ∞
F (x, y) = Φ(p, q)e−2πi(px+qy) dpdq
−∞ −∞
6

9. Bibliografi
[1] Champeney, D.C. A Handbook of Fourier Theorems . Cambridge Univer-
sity Press. 1987
[2] Titchmarsh, E.C. An Introduction to the Theory of Fourier Integrals.
Clarendon Press, Oxford. 1962
[3] James, J.F. A Student’s Guide to Fourier Transforms 2nd Edition. Cam-
bridge University Press. 2002
7