Bab 9 membahas analisis keadaan tunak sinusoidal, termasuk konsep phasor, impedansi, dan solusi keadaan tunak sinusoidal dengan menggunakan representasi phasor. Metode ini memungkinkan pencarian tegangan dan arus sebagai fungsi waktu untuk rangkaian listrik pada keadaan tunak sinusoidal."

1. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
BAB 9
ANALISIS KEADAAN TUNAK SINUSOIDAL
Setelah mempelajari Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal, Anda diharapkan:
1. Memahami konsep bilangan kompleks dan berbagai representasinya, yakni
representasi Cartesian dan polar.
2. Memahami konsep solusi keadaan tunak sinusoidal (sinusoidal steady-state).
3. Memahami konsep phasor.
4. Memahami konsep impedansi.
ht
5. Mampu mencari solusi keadaan tunak sinusoidal dengan menggunakan phasor
tp
dan mengubahnya ke solusi pada domain waktu.
://
6. Memahami konsep fungsi rangkaian keadan tunak sinusoidal (network function).
ru
7. Memahami aplikasi teorema superposisi untuk mencari solusi keadaan tunak
m
sinusoidal.
ah
8. Memahami aplikasi teorema Thevenin untuk mencari solusi keadaan tunak
sinusoidal.
-b
9. Memahami aplikasi teorema Norton untuk mencari solusi keadaan tunak
el
sinusoidal.
aj
10. Memahami rangkaian resonansi.
a
11. Memahami konsep energi dan daya (daya rata-rata, daya reaktif, dan daya sesaat)
r.o
pada keadaan tunak sinusoidal.
rg
12. Memahami teorema transfer daya maksimum
13. Mengenal rangkaian tiga fasa.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 212

2. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
1. Untuk rangkaian pada P9.1a.
a. Tulis sebuah persamaan diferensial orde dua dalam variabel vo.
b. Gunakan phasor untuk memperoleh solusi keadaan tunak sinusoidal
(sinusoidal steady-state) untuk vo(t) dan iL(t).
1Ω iC
+
1
i s ( t ) = cos(t + 45°) iL F vo
2
−
1H
ht
P9.1a
tp
Solusi
://
1•
a. Dari hukum KCL diperoleh i s = i L + i c ⇔ is = iL + vo ...(1)
ru
2
di
m
Dari hukum KVL diperoleh v R + v L = v o ⇔ iL + L = vo ...(2)
dt
ah
•• •
 •

Manipulasi persamaan (1) dan (2) menghasilkan v o + v o + 2v o = 2 i s + i s  ...(3)
 
-b
el
b. Dalam bentuk representasi phasor dapat ditulis
aj
[ ]
v o ( t ) = Re Vo e jωt dengan Vo = Vom exp( j∠Vom ) ,
a r.o
[ ] [ ] ( )
•
i s = Re I s e jωt , dan i s = Re jωI s e jωt dengan I s = exp j∠45 ° dan ω = 1.
rg
Substitusi representasi phasor ini ke persamaan (3) menghasilkan
2(1 + j)e j45°
[( jω) 2
]
+ ( jω) + 2 Vo = 2[1 + jω]I s atau Vo =
1+ j
= 2e j45° ...(4)
Representasi phasor Vo pada persamaan (4) dapat diubah ke domain waktu
[ ] [
menjadi v o ( t ) = Re Vo e jωt = Re 2e j45 e jt = 2 cos(t + 45 ° )
°
]
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 213

3. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
1
Representasi phasor dari persamaan (1) adalah I L = I s − jωVo sehingga
2
° °
I L = e j45 − je j45 = 2 [ ]
⇔ i L ( t ) = Re 2e jt = 2 cos(t )
2. Ulangi pertanyaan 1 untuk rangkaian pada P9.2a.
2Ω 1H iL
+
v s ( t ) = cos(2t + 30°) 1Ω 1F vo
ht
−
tp
://
P9.2a
ru
m
Solusi
ah
•• •
a. Persamaan diferensial v o + 3 v o + 3v o = v s
-b
b. v o ( t ) = 0,164 cos(2 t − 69,46°) dan i L ( t ) = 0,367 cos(2 t − 6,025°)
el
aj
3. Untuk rangkaian pada P9.3a.
a
a. Tentukan driving-point impedance Z(jω).
r.o
b. Hitung nilai impedansi pada saat ω = 0 dan ω = 1 rad/detik. Nyatakan
impedansi ini dalam bentuk amplitudo dan fasa.
c. Jelaskan dengan penalaran fisik nilai impedansi untuk ω = 0 dan ω = ∞.
rg
i
+
1
1Ω F
2
v
Z 4Ω 2H
−
P9.3a
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 214

4. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
Solusi
a. Mula-mula, cari terlebih dahulu impedansi paralel antara resistor 1Ω dan
kapasitor dan impedansi paralel resistor 4Ω dan induktor. Z(jω) merupakan
impedansi seri dari kedua impedansi tersebut.
1 1 2 4 jω 2 + 4 jω
Z( jω) = + = + ⇔ Z( jω) = ...(1)
1 + jω
1
2
1
4 + 2 j ω 2 + jω 2 + j ω
1
2 + jω
2 + 4j
b. Dari persamaan (1) tampak Z(j0°) = 1∠0° dan Z( j1) = = 2∠36,87°
2+ j
c. Pada saat ω = 0, kapasitor menjadi open-circuit dan induktor menjadi short-
circuit sehingga Z(j0) = 1 Ω.
ht
Pada saat ω = ∞, kapasitor menjadi short-circuit dan induktor menjadi open-
tp
circuit sehingga Z(j∞) = 4 Ω.
://
Anda juga akan memperoleh hasil yang sama dari persamaan (1).
ru
4. Bila sebuah sumber arus i s ( t ) = 1 + cos t + cos 2 t diberikan ke one-port pada
m
P9.4a, tentukan tegangan port pada keadaan tunak.
ah
C1 = 1F
-b
R 1 = 1Ω L1 = 1H
i
el
+
aj
R 2 = 1Ω
a
v
r.o
−
rg
Z
P9.4a
Solusi
Solusi ini akan lebih mudah diperoleh bila kita bekerja menggunakan representasi
phasor. Cari terlebih dahulu Zeq untuk one-port tersebut dan kemudian nilai
tegangan keadaan tunak dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan
V = Z eq ( jω)I s (Perhatikan bahwa I = Is)
V 1
Z eq = = R 1 + X L1 + (X C1 // R 2 ) ⇔ Z eq ( jω) = 1 + ω + atau
I 1 + jω
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 215

5. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
jω 3 + ω 2 + 2
Z eq ( jω) = ...(1)
ω2 + 1
Perhatikan bahwa sumber arus i terdiri dari tiga komponen. Cari terlebih dahulu
tanggapan tegangan terhadap masing-masing komponen arus.
i s 1 = 1, ω = 0 ⇔ Z( j0) = 2 ⇔ V1 = Z.I s1 = 2.1∠0° = 2
3+ j  3 + j 10 j18, 43°
i s 2 = cos t , ω = 1 ⇔ Z( j1) = ⇔ V2 =  .1∠0° = e
2  2  2
6 + 8j  6 + 8j j53,13°
i s 3 = cos 2 t , ω = 2 ⇔ Z( j2) = ⇔ V3 =  .1∠0° = 2e
5  5 
ht
tp
Berdasarkan teorema superposisi, tegangan one-port kedaaan tunak V merupakan
penjumlahan dari V1, V2, dan V3.
://
ru
10
V = V1 + V2 e jt + V3 e j2 t ⇔ v( t ) = Re[V ] = 2 + cos( t + 18,43°) + 2 cos(2t + 53,13°)V
2
m
ah
5. Untuk rangkaian pada P9.5a, hitung tegangan keadaan tunak v sebagai
fungsi waktu.
-b
1Ω 2Ω
el
aj
+
sin t 1 v cos 3t
a
H 1F
2
r.o
−
rg
P9.5a
Solusi
Gunakan prinsip superposisi untuk mencari nilai v. Perhatikan bahwa kedua
sumber memiliki frekuensi yang berbeda.
• Mula-mula, set is = 0 (lihat P9.5b). Perhatikan bahwa pada rangkaian P9.5b,
nilai ω = 3 rad/detik.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 216

6. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
1 1
− j
 1  1 2 3
Z1 = 1 + jω  // , dengan ω = 3 rad / s sehingga diperoleh Z1 =
 2  jω 7
1+ j
6
Z1
V1 = .1∠0° ⇔ V1 = 0,188∠ − 72,35°
Z1 + 2
[ ]
v1 ( t ) = Re V1e j3 t = 0,188 cos(3t − 72,35°) ...(1)
1Ω 2Ω 1 1Ω 2 2Ω
+ +
ht
1 1∠0° 1∠ − 90° 1
H v1 1F H v2 1F
2 2
tp
− −
://
Z1
ru
P9.5b P9.5c
m
• Kemudian, set vs = 0 (lihat P9.5c). Perhatikan bahwa pada rangkaian P9.5c
ah
nilai ω = 1 rad/detik. (mengapa fasa sumber arus adalah -90°?)
-b
2E 1
Hukum KCL di titik 1: (E 1 − E 2 ) + = 1∠ − 90° ...(2)
jω
el
E
aj
Hukum KCL di titik 2: (E 2 − E 1 ) + 2 + jωE 2 = 0 ...(3)
2
a r.o
Penyelesaikan persamaan (2) dan (3) menghasilkan E 2 = 0,312∠ − 51,34° .
rg
Dari P9.5c tampak V2 = E 2 = 0,312∠ − 51,34° sehingga
[ ]
v 2 ( t ) = Re V2 e jt = 0,312 cos( t − 51,34°)
Berdasarkan teorema superposisi, maka
V = V1e j3t + V2 e jt ⇔ v( t ) = Re[V ] = v1 ( t ) + v 2 ( t )
Jadi v( t ) = v1 ( t ) + v 2 ( t ) = 0,188 cos(3t − 72,35°) + 0,132 cos( t − 51,34°)
6. Rangkaian yang ditunjukkan pada P9.6a berada pada keadaan tunak
sinusoidal, es(t) = 9cos10t dan is(t) = 2cos[10t – (π/3)]. Untuk rangkaian yang
berada di sebelah kiri terminal 1 dan 1’, cari
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 217

7. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
a. Rangkaian pengganti Thevenin.
b. Rangkaian pengganti Norton.
c. Hitung nilai v untuk R = 1 Ω dan R = 10 Ω (Nyatakan jawaban Anda
sebagai sebuah fungsi nilai nyata dari waktu).
1Ω 0,2H 1
+
es (t ) is (t) 0,1F R v( t )
−
1'
ht
P9.6a
tp
://
Solusi
ru
a. Gunakan representasi phasor untuk menyelesaikan soal ini.
m
1Ω 2j 1Ω 2j
I
ah
+ +
-b
−j VOC −j V
9∠0° 2∠ − 60°
el
− −
aj
P9.6b P9.6c
a r.o
• Mula-mula, cari terlebih dahulu tegangan open-circuit VOC (lihat P9.6b)
rg
Dengan menggunakan teorema superposisi diperoleh
−j 1 π
VOC = .9∠0° + ( .2∠ − ).(− j) ⇔ VOC = 7,18∠ − 54,83°
1− j 1− j 3
[ ]
v oc ( t ) = Re VOC e j10 t = 7,18 cos(10 t − 54,83°)
• Cari impedansi pengganti Thevenin (lihat P9.6c, perhatikan bahwa es(t) = 0
dan is(t) = 0).
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 218

8. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
V 1 3
Z TH = = (1 // − j) + 2 j ⇔ Z TH == + j = 1,58∠71,56°
I 2 2
Jadi rangkaian pengganti Thevenin adalah V = 1,58∠71,56 ° I + 7,18∠ − 54,83°
(lihat P9.6d)
I I
Z eq Z eq
+ +
1,58∠71,56° +
VOC 7,18∠ − 54,83° V ISC Yeq V VOC R V
0,63∠ − 71,56° 4,54∠ − 126,39° −
− −
ht
P9.6d P9.6e P9.6f
tp
b. Dari rangkaian pengganti Thevenin diperoleh
://
ru
V  VOC 
V = I.Z eq + VOC ⇔ I = + −  = G eq V + I sc
m
Z eq  Z eq 
 
ah
Jadi rangkaian pengganti Norton adalah I = 0,633∠ − 71,56 ° V − 4,54∠ − 126,39 °
-b
(lihat P9.6e)
el
aj
c. Dengan menggunakan rangkaian pengganti Thevenin, rangkaian P9.6a digambar
kembali seperti pada P9.6f.
a r.o
R
V= VOC
R + Zeq
rg
[ ]
R = 1Ω, V = 3,88∠ − 99,83° ⇔ v( t ) = Re Ve j10 t = 3,38 cos(10 t − 99,83°)
[
R = 10Ω, V = 6,77∠ − 62,96° ⇔ v( t ) = Re Ve j10 t = 6,77 cos(10 t − 62,96°)]
7. Rangkaian linier tak-berubah waktu (linear time-invariant) pada P9.7a
berada pada keadaan tunak. Untuk menentukan arus keadaan tunak
induktor i, gunakan teorema Thevenin untuk
a. Tentukan tegangan open-circuit voc pada terminal 1 dan 1’ ketika
induktor di-open-circuit.
b. Tentukan Zeq, impedansi pengganti/ ekivalen yang dilihat oleh induktor.
c. Tentukan arus kedaan tunak i.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 219

9. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
1F 2v1
1
i
+
v s = cos t 1Ω v1 i s ( t ) = 1A 1H
−
1'
P9.7a
Solusi
ht
a. Gunakan teorema superposisi untuk mencari tegangan open-circuit VOC.
tp
Tegangan open circuit akibat is adalah VOC1 = 3V
://
3
ru
Tegangan open-circuit akibat vs adalah VOC 2 = ∠45 °
2
m
[ ] ( )
ah
3 2
Jadi v oc = Re VOC1 + VOC 2 e jt = 3 + cos t + 45 °
2
-b
3 untuk ω = 0
el
3 
b. Impedansi pengganti Z eq ( jω) = = 3
1 + jω  (1 − j) untuk ω = 1
aj
2
a
c. Pasang induktor 1 H ke rangkaian pengganti Thevenin. Dengan teorema
r.o
superposisi diperoleh
rg
• Untuk ω = 0, Zeq = 3
VOC1 3
I1 = = = 1A ⇔ i1 ( t ) = Re[I1 ] = 1
Z eq + X L 3 + 0
Perhatikan, kita hanya mengambil komponen VOC untuk ω = 0 ( VOC1)
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 220

10. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
3
• Untuk ω = 1, Zeq = (1 − j)
2
3
2∠45°
I2 =
VOC 2
=
Z eq (1j) + 1 j 3
2 [ ] (
= 1,342∠63,43° ⇔ i 2 ( t ) = Re I 2 e jt = 1,342 cos t + 63,43° )
(i − j) + j
2
(
Berdasarkan teorema superposisi, i( t ) = i1 ( t ) + i 2 ( t ) = 1 + 1,342 cos t + 63,43° )
8. Gunakan teorema Thevenin untuk mencari arus keadaan tunak i sebagai
fungsi nyata dari waktu untuk rangkaian pada P9.8a.
a
ht
1
C1 = F
tp
L = 1H 200
5Ω
://
i 1'
10 cos 20t 1
ru
1
R = 20Ω C2 = F
m
200
b
ah
P9.8a
-b
el
Solusi
aj
• Tegangan phasor open-circuit VOC pada terminal 1-1’ (lepaskan resistor 5 Ω)
a r.o
R 20
E1 = .10∠0 ° = .10∠10° = 5 − 5 j
R + XL 20 + 20 j
rg
' X C2 − 10 j
E1 = .10∠0 ° = .10∠0° = 5
X C 2 + X C1 − 10 j − 10 j
sehingga VOC = E 1 − E 1' = −5 j = 5∠ − 90°
• Impedansi pengganti Thevenin Z eq = (X L // R ) + (X C1 // X C 2 ) . Perhatikan
bahwa karena tegangan di-short-circuit maka tegangan di titik a dan b adalah
sama.
Impedansi pengganti Thevenin Z eq = (20 j // 20 ) + (− 10 j // − 10 j) = 11,18∠26,57 °
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 221

11. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
1 VOC
Z eq • Arus phasor I = = 0,316∠ − 108,43°
+ I
Z eq + 5
11,18∠26,57°
atau dalam representasi domain waktu
V 5Ω
VOC 5∠ − 90°
[ ] (
i( t ) = Re Ie j20 t = 0,316 cos 20t − 108,43° )
−
1'
P9.8b
ht
9. Perhatikan rangkaian terkopel yang ditunjukkan pada P9.9a. Tentukan
a. Driving point impedance, V1/ I1.
tp
b. Impedansi transfer (transfer impedance) V2/I1.
c. Rasio tegangan transfer (transfer voltage ratio) V2/V1.
://
ru
M = 1H M = 1H
i1 i1 1 i3 i4 2
+ +
m
+ +
+ +
v1 v2 v1 v2
ah
1Ω vx 1F 2v x 1Ω 1Ω vx 1F 2v x 1Ω
− 2H 1H − − 2H 1H −
− −
-b
P9.9a P9.9b
el
aj
Solusi
a
a. Rangkaian pada P9.9a digambar kembali seperti pada P9.9b. Dari P9.9b tampak
r.o
V1 V
rg
KCL di titik 1: I1 = + 1 + I3 ⇔ I1 = V1 + jωV1 + I 3
1 1 / jω
V2
KCL di titik 2: 2Vx = I 4 + ⇔ 2V1 = I 4 + V2
1
Karakteristik induktor terkopel dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut
 j j 
 V1  2 jω jω  I 3   I 3  − V 
 =   ⇔   =  ω ω  1 
   jω I 4  I 4   j 2 j
V2   jω     −  V2 
 
 ω ω
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 222

12. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
V1 ω 2 − 2 jω
Manipulasi persamaan-persamaan di atas menghasilkan =
(
I1 3ω 2 − 1 + j ω3 − ω )
V2 2ω 2 − j ω
b. Impedansi transfer =
(
I1 3ω 2 − 1 + j ω3 − ω )
V2 2ω − j
c. Rasio tegangan transfer =
V1 ω − 2 j
10. Untuk rangkaian resonansi pada P9.10a,
a. Hitung frekuensi resonansi ωo dan nilai Q.
b. Hitung driving-point impedance Z(jω).
c. Plot |Z(jω)| dan ∠ Z(jω) terhadap ω/ωo.
ht
tp
i1 i1 1
://
+ + iL
iC iR
ru
v1 870pF 2 kΩ 0.14mH v1 870pF 2 kΩ 0.14mH
m
− −
ah
Z( jω) Z( jω)
-b
el
P9.10a P9.10b
aj
Solusi
a r.o
a. Rangkaian pada P9.10a digambar kembali seperti pada P9.10b.
Dari KCL di titik 1 diperoleh
rg
dv L v L di
iC + iR + iL = i ⇔ C + + i L = i di mana v L = L L
dt R dt
•• •
Manipulasi persamaan di atas menghasilkan LC i L + GL i L + i L = i ...(1)
Persamaan diferensial orde dua dapat ditulis dalam bentuk standar
•• •
x + 2α x + ω o x = u s ( t )
2
...(2) di mana ωo adalah frekuensi resonansi.
Dengan membandingkan persamaan (1) dan (2) diperoleh
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 223

13. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
1 1
ωo = = = 2,87.10 6 rad / det ik
−3 −12
LC 0,14.10 .870.10
Anda juga dapat mencari frekuensi resonansi denagn menggunakan admitansi
1  1 
rangkaian. Y( jω) = G + jωC + = G + j ωC −  ...(3)
jω L  ωL 
Resonansi terjadi pada frekuensi ωo, yakni ketika suku imajiner admitansi menjadi
nol. Dari persamaan (3) diperoleh
1 1
ωo = = = 2,87.10 6 rad / det ik
−3 −12
LC 0,14.10 .870.10
ht
tp
ωo ω
://
Dari definisi Q = = o = ωo RC
2α G / C
ru
m
Jadi Q = ωo RC = 2,87.106.(2.103 )(870.10 −12 ) ≈ 4,98 ≈ 5
ah
1
b. Dari persamaan (3) diperoleh Y( jω) = jωC + + G . Karena Z(jω) = 1/ Y(jω)
-b
jω L
el
1 1 jωRL
maka diperoleh Z( jω) = = =
aj
1
jω j ω C + + 1 R (1 − LCω2 ) + jωL
a
R jωL
r.o
ωj
Z( jω) = ...(4)
rg
2.10 − 2,44.10 ω 2 + j(0,14.10 −3 ω)
3 −10
c. Persamaan (4) dapat ditulis kembali dalam bentuk
R
Z( jω) = dengan R = 2.10 3 Ω, ω o = 2,87.10 6 rad / det ik , Q = 5
 ω ωo 
1 + jQ  − 
 ωo ω 
Plot Z(jω) dan ∠Z(jω) masing-masing tampak pada P9.10c dan P9.10d.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 224

14. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
Z( jω), (10 3 ) ∠Z( jω), (°)
2 100
1 .8 80
1 .6 60
1 .4 40
1 .2 20
ω
1 0
ωo
0 .8 -2 0
0 .6 -4 0
0 .4 -6 0
0 .2 -8 0
0 -1 0 0
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
ω
P9.10c P9.10d
ht
ωo
tp
11. Untuk kurva resonansi dari rangkaian paralel RLC yang ditunjukkan pada
://
P9.11a,
a. Tentukan nilai R, L, dan C
ru
b. Perilaku resonansi yang sama tetap ingin dipertahankan, namun pusat
frekuensi sekarang berada pada 20 kHz. Nilai maksimum |Z(jω)| adalah
m
0,1 MΩ. Tentukan nilai R, L, dan C yang baru.
ah
-b
| Z( jω) | (Ω)
el
10
7,07
aj
a r.o
ω, rad / det ik
rg
10
9,9 10,1
P9.11a
Solusi
a. R = 10 Ω, C = 0,5 F, dan L = 20 mH
b. Perhatikan bahwa nilai Q adalah sama. R = 0,1 MΩ, C = 3,98 nF, dan
L = 15,91 mH.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 225

15. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
12. Untuk rangkaian pada P9.12a,
a. Hitung tanggapan keadaan tunak sinusoidal i untuk es = sin ωt untuk nilai
ω = 2 dan ω = 2,02, dan ω = 2,04 rad/detik. Nyatakan hasil tersebut
sebagai fungsi waktu.
b. Hitung energi yang tersimpan dalam kapasitor dan induktor sebagai
fungsi waktu untuk ω = 2, ω = 2,02, dan ω = 2,04 rad/detik.
c. Hitung daya rata-rata yang terdisipasi pada resistor untuk ω = 2 dan
ω = 2,02, dan ω = 2,02 rad/detik.
1H 0,04Ω 0,25F 1H 0,04Ω 0,25F
i i
+
+ v C (t ) −
v
ht
es (t ) es (t )
tp
−
://
Z( jω)
P9.12a P9.12b
ru
Solusi
m
ah
a. Rangkaian P9.12a digambar kembali seperti pada P9.12b.
-b
 4 Es 1.∠ − 90 ° −j
Dari P9.12b tampak Z( jω) = 0,04 + j ω −  dan I = = =
 ω Z( jω) Z( jω) Z( jω)
el
aj
Perhatikan bahwa sesuai dengan konvensi representasi phasor yang menggunakan
a
bagian nyata (real) suatu bilangan kompleks, maka sumber es = sin ωt harus
r.o
diubah ke bentuk kosinus , yakni es = cos (ωt – 90).
rg
ω = 2; I =
−j
0,04
[ ]
⇔ i( t ) = Re Ie j2 t = 25 cos(2t − 90°)
ω = 2,02; I =
−j
0,04 + 0,04 j
[ ]
⇔ i( t ) = Re Ie j2,02 t = 17,67 cos(2,02t − 135°)
ω = 2,04; I =
−j
0,04 + 0,08 j
[ ]
⇔ i( t ) = Re Ie j2, 04 t = 11,18 cos(2,04t − 153,43°)
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 226

16. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
 1  − j4I

b. Dalam representasi phasor, Vc = I =

 jωC  ω
1 2
Energi yang tersimpan pada kapasitor ε C ( t ) = Cv c ( t )
2
1
Energi yang tersimpan pada induktor ε L ( t ) = Li 2 ( t )
L
2
Energi yang tersimpan pada kapasitor dan induktor untuk berbagai frekuensi
dirangkum pada T9.12a.
ω (rad/s) εL(t) εC(t) Pav (W)
2 156,25(1 − cos 4 t ) 156,25(1 + cos 4 t ) 12,5
ht
2,02 78,06(1 − sin 4,04 t ) 76,56(1 + sin 4 t ) 6,24
tp
2,04 31,25[1 + cos(4,08t − 306,86 )] 30,03[1 + cos(4,08t + 233,13)] 2,5
://
ru
T9.12a
m
c. Daya rata-rata yang terdisipasi pada resistor dapat dihitung dengan persamaan
ah
1 2
Pav = I m R . Nilai Pav untuk berbagai ω tanpak pada tabel T9.12a.
2
-b
13. Sebuah transmitter telepon dengan resistansi keluaran Ro = 600 Ω dipasang
el
ke sebuah transmission line yang dimodelkan dengan rangkaian ladder yang
tak berhingga seperti pada P9.13a. Tentukan nilai R untuk transfer daya
aj
maksimum.
a r.o
Ro R R R
rg
vs R R R R eq
R eq
P9.13a P9.13b
Solusi
Mula-mula cari impedansi pengganti Zeq rangkaian ladder tak berhingga tersebut.
Menurut teorema transfer daya maksimum, bila Z eq = Z o maka transfer daya
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 227

17. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
maksimum dari vs ke Zeq akan terjadi. Untuk impedansi yang hanya mengandung
komponen nyata saja, maka kondisi tersebut dapat ditulis menjadi Req = Ro (dalam
rangkaian ini, resistansi sumber Zo hanya berisi komponen nyata, yakni Ro).
Resistansi pengganti resistansi ladder yang tak berhingga tersebut dapat dicari
dengan metode (lihat P9.13b)
RR eq
R eq = R + ⇔ R eq − RR eq − R 2 = 0
2
...(1)
R + R eq
Apakah Anda melihat kemiripan metode pencarian resistansi pengganti pada
persamaan (1) dengan metode penjumlahan x = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + ........
ht
yang dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan x = 7 + x ).
tp
://
Bila hanya nilai resistansi positif yang diizinkan, maka akar persamaan kuadrat
R
( )
ru
dari persamaan (1) adalah R eq = 1 + 5 = 1,62R .
2
m
Agar terjadi transfer daya maksimum, maka
ah
600 Ω
-b
R eq = R o = 600Ω ⇔ 1,62R = 600 Ω ⇔ R = = 370,82 Ω
1,62
el
14. Sebuah beban Z di-supply oleh dua sumber energi seperti pada P9.14a.
aj
Tentukan nilai Z yang akan menyerap daya rata-rata maksimum, dan
a
tentukan daya rata-rata yang diserap oleh nilai Z tersebut.
r.o
rg
1mH
10Ω
 π
Z 10µF 10 cos10 4 t + 
 2
( )
200 cos 10 4 t
P9.14a
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 228

18. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
Solusi
Cari terlebih dahulu rangkaian pengganti Thevenin yang dilihat oleh Z, yakni
V = ZeqI + VOC. Transfer daya maksimum akan terjadi untuk Z = Z eq
Zeq = 10 – 10j dan v OC ( t ) = 100 2 (cos10 4 t − 45 ° )
Jadi Z = Z eq = 10 + 10 j
Daya rata-rata yang diserap Z adalah Pav = 250W
15. Untuk rangkaian yang ditunjukkan paad P9.15a, resistansi RL sama dengan
RG/2.
ht
a. Tentukan daya yang ditransfer ke RL bila terkoneksi langsung ke
generator.
tp
b. Untuk meningkatkan transfer daya, rangkaian kopling pada P9.15a
://
digunakan sebagai sebuah divais impedance matching. Tentukan
hubungan L1, L2, dan L3 yang harus dipenuhi agar terjadi transfer daya
ru
maksimum.
m
c. Misalkan Anda mengganti two-port pada (b) dengan sebuah
transformator ideal, tentukan perbandingan jumlah lilitan pada
ah
transformator untuk memaksimumkan transfer daya rata-rata
maksimum.
-b
RG L1 L2 RG
el
IL
aj
L3 RL RL
a
vG vG
r.o
rg
P9.15a P9.15b
Solusi
a. Bila RL terkoneksi langsung ke generator, rangkaian tampak pada P9.15b.
VG
IL = ...(1). Substitusi persamaan (1) dan syarat R L = R G / 2 ke
RG + RL
1
persamaan daya rata-rata Pav = I 2 R L menghasilkan
L
2
2
1 VG V2
Pav = .R L . = G
2 ( R G + R L ) 2 9R G
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 229

19. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
b. Impedansi pengganti/ ekivalen yang dilihat oleh RL adalah (lihat P9.15c )
RG L1 L2 RG
n1 : n 2 i
+
L3 vG v RL
−
Z eq Z eq
P9.15c P9.15d
Z eq = X L 2 + [(R G + X L1 ) // X L 3 ] = jωL 2 + [(R G + jωL1 ) // jωL 3 ]
ht
1
tp
Zeq = jωL 2 +
1 1
+
://
jωL3 R G + jωL1
ru
m
Dari teorema transfer daya maksimum, bila beban RL adalah nyata, maka
ah
transfer daya maksimum terjadi bila RL = Zeq , jadi
-b
1
 ω 4 [L 2 (L1 + L 3 ) + L1 L 3 ]2 + ω 2 R G (L 2 + L 3 ) 2  2
2
R L = Z eq =
el


 R G + ω 2 ( L1 + L 3 ) 2
2


aj
a
c. Bila two-port diganti dengan sebuah transformator ideal, rangkaian tampak
pada P9.15d.
r.o
Impedansi ekivalen yang dilihat oleh RL (lihat P9.15d) adalah
rg
2
v n 
= Z eq = R G  2
n  (lihat kembali solusi pada pertanyaan 12 Bab 5)

i  1 
Agar terjadi transfer daya maksimum, maka harus dipenuhi syarat
2
n  R n2 2
R L = Z eq ⇔ RG 2
n  = RL = G
 ⇔ =
 1  2 n1 2
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 230

20. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
16. Sebuah beban yang terdiri dari tiga buah impedansi identik Z = 10∠-45° Ω
yang tersambung secara ∆ disambungkan ke sebuah sumber tiga fasa 220 V
(P9.16a). Tentukan arus line Ia, Ib, dan Ic, dan arus yang melalui setiap
impedansi Z.
Ib
a I ab
Z b
Ia
I bc
ht
I ca
tp
Ic c
://
ru
P9.16a
m
Solusi
ah
Dengan mengambil Va-b sebagai referensi, yakni ∠Va − b = 0° , maka
-b
Vab 220∠0°
Vab = 220∠0° dan I ab = = = 22∠45°A
el
Z 10∠ − 45°
aj
Vbc 220∠ − 120°
a
Vbc = 220∠ − 120° dan I bc = = = 22∠ − 75°A
Z 10∠ − 45°
r.o
V ca 220∠ − 240°
rg
Vca = 220∠ − 240° dan I ca = = = 22∠ − 195°A
Z 10∠ − 45°
KCL di titik a: I a = Iab − I ca = 22∠45° − 22° − 195° = 22 3∠15°A
KCL di titik b: I b = I bc − I ab = 22∠ − 75° − 22∠45° = 22 3∠ − 105°A
KCL di titik c: I c = I ca − I bc = 22∠ − 195° − 22∠ − 75° = 22 3∠ − 225°A
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 231

21. Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal
17. Tiga buah impedansi identik Z = 10∠45° Ω tersambung secara Y pada
sebuah sumber tiga fasa 220 V ditunjukkan pada P9.17a. Tentukan tegangan
fasa Van, Vbn, Vcn, dan arus line Ia, Ib, dan Ic. Tentukan pula daya total yang
diberikan ke ketiga impedansi tersebut.
Ib
a
b
Ia
n
ht
tp
Z
://
ru
c
Ic
m
ah
P9.17a
-b
Solusi
el
220
aj
Van = ∠ − 30°V dan I a = 12,7∠ − 75°A .
3
a r.o
220
Vbn = ∠ − 150V dan I b = 12,7∠ − 195°A .
3
rg
220
Vcn = ∠ − 270°V dan I c = 12,7∠ − 315°A .
3
Daya total adalah 3420 W.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 232