Distribusi Probabilitas Continue Refrensi : Bpk.Yanuar Se.MM

1. Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB YANUAR, SE. MM
STATISTIK II
STATISTIK II
MATERI :DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU
FAKULTAS/JURUSAN : FE / MANAJEMEN
SEMESTER/TAHUN AKADEMIK : GANJIL / 2004/2005
MODUL/TATAP MUKA KE : 4 (KEEMPAT)
PENYUSUN : YANUAR,SE.,MM.
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS:
Diharapkan mahasiswa mampu:
1. Membedakan distribusi probabilitas diskrit dan kontinu
2. Mendefinisikan distribusi probabilitas Kontinu
3. Mampu melakukan perhitungan rata-rata hitung varian dan standar deviasi dari
distribusi probabilitas kontinu
DAFTAR MATERI PEMBAHASAN
Distribusi Probabilitas Kontinu
a. Pengertian dan Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal
b. Distribusi Probabilitas Normal Standar
c. Penerapan Distribusi Probabilitas Normal Standar
d. Pendekatan Normal Terhadap Binomial
MODUL 4 / PERTEMUAN KEEMPAT
DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU

2. Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB YANUAR, SE. MM
STATISTIK II
A. Pengertian dan Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal
Distribusi probabilitas normal sebagai distribusi variabel acak kontinu mempunyai
nilai yang jumlahnya tidak terbatas dalam skala atau jarak tertentu.. Distribusi normal
mempunyai nilai sepanjang interval, biasanya berupa bilangan pecahan dan datanya
dihasilkan dari pengukuran.
Distribusi probabilitas normal dan kurva normal sering disebut distribusi dan kurva
Gauss. Distribusi ini merupakan salah satu yang paling penting dan banyak digunakan.
Kurva normal dapat digambarkan sebagai berikut.
Kurva Normal berbentuk simetris dan masing-masing sisi identik
- ~ + ~
Beberapa karakteristik dari kurva normal adalah:
1. Kurva berbentuk genta atau lonceng dan memiliki satu puncak yang terletak di tengah.
Nilai rata-rata hitung (µ) sama dengan median (Md) dan modus (Mo). Nilai µ = Md =
Mo yang berada di tengah membelah kurva menjadi dua bagian, yaitu 50 % di bawah
nilai µ = Md = Mo dan 50 % di atas nilai µ = Md = Mo.
2. Bila kurva dilipat menjadi dua bagian dengan nilai tengah rata-rata sebagai pusat
lipatan, maka kurva akan menjadi dua bagian yang sama.
3. Kurva normal bersifat asimptotis, yaitu menurun kearah kiri (-~) dan ke arah kanan
(+~) namun tidak pernah menyentuh nol, hanya mendekati nilai nol.
4. Modus pada sumbu mendatar membuat fungsi mencapai puncaknya atau maksimum
pada X = µ
5. Luas daerah di bawah kurva normal tetapi di atas sumbu mendatar = 1, ½ di sebelah
kiri µ dan ½ di sebelah kanan µ.
µ = Md = Mo
Kurva memanjang hingga + ∼Kurva memanjang hingga - ∼

3. Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB YANUAR, SE. MM
STATISTIK II
Jenis-Jenis Distribusi Probabilitas Normal
Distribusi probabilitas normal sangat dipengaruhi oleh nilai rata-rata hitung (µ) dan
standar deviasinya (σ). Makin besar nilai σ, kurva makin rendah dan makin kecil nilai σ
kurva makin runcing.
Leptokurtik Mesokurtik Platikurtik
B. Distribusi Probabilitas Normal Baku
Ada beberapa jenis dari kurva normal, yaitu sebagai berikut.
1. Kurva normal dengan µ sama dan σ berbeda
2. Kurva normal dengan µ berbeda dan σ sama
3. Kurva normal dengan µ dan σ berbeda
Apabila nilai dari µ dan X sedemikian banyak karena menempati sepanjang interval nilai,
maka sangatlah tidak mungkin untuk menyediakan distribusi probabilitas secara lengkap
sebagaimana distribusi probabilitas binomial dan Poisson. Namun demikian, permasalahan
tersebut dapat diselesaikan dengan distribusi normal baku.
Distribusi normal baku : distribusi probabilitas acak normal dengan nilai tengah 0 dan
simpangan baku 1.
Mengubah distribusi probabilitas normal umum menjadi distribusi normal baku dapat
ditempuh dengan rumus:
Z =
σ
µX −
Di mana:
1. Kurva normal dengan puncak
tidak mendatar dan tidak
meruncing disebut mesokurtik
2. Kurva dengan puncak yang
mendatar disebut platikurtik
3. Kurva dengan puncak yang
tinggi (runcing) disebut
leptokurtik
ketiga kurva mempunyai nilai µ
yang sama namun nilai σ berbeda.
2,58
3,76
4,08

4. Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB YANUAR, SE. MM
STATISTIK II
Z : Skor Z atau nilai normal baku σ : Standar deviasi suatu distribusi
X : Nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran µ : Nilai rata-rata hitung
Bila X berada di antara X = x1 dan X = x2, maka variabel acak Z akan berada di antara nilai
Z1 =
σ
µX1 −
Z2 =
σ
µX2 −
Karena semua nilai x1 dan x2 mempunyai nilai padanan Z1 dan Z2, maka luas
daerah yang mengambarkan nilai probabilitas di bawah kurva X antara X1 dan X2 sama
dengan luas daerah di bawah kurva Z antara Z = Z1 dan Z = Z2. Dengan demikian nilai X
dan Z dapat dinyatakan sebagai berikut:
P (X1 < X < X2 ) = ( Z1 < Z < Z2 )
Untuk melihat luas di bawah kurva normal, dapat dilihat pada tabel (daftar) luas di bawah
kurva normal yang ada pada lampiran buku-buku statistik. Misalnya mencari luas di bawah
kurva normal dari nilai Z = 1,16 diperoleh angka 0,3770
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0000 0040 0080 0120 0160 0199 0239 0279 0319 0359
0,1 0398 0636
0,2 0793 1026
0,3 1179 1406
..... .....
1,1 3770
.....
1,5 4342 4406
.....
3,9 5000 5000 5000
Beberapa contoh penggunaan daftar normal baku
1. Antara nilai Z = 0 dan nilai Z = 2,15
2. Antara nilai Z = 0 dan nilai Z = - 1,860 2,15
Gunakan daftar. Di bawah z pada kolom
kiri cari 2,1 dan di atas sekali angka 5.
Dari 2,1 maju ke kanan dan dari 5
menurun. Didapat 4842. Luas daerah
yang dicari, lihat daerah yang diarsir =
0,4842

5. Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB YANUAR, SE. MM
STATISTIK II
3. Antara nilai Z = - 1,50 dan nilai Z = 1,82
4. Antara nilai Z = 1,40 dan nilai Z = 2,65
5. Antara nilai Z = 1,96 ke kiri
- 1,86 0
Karena z bertanda negatif, maka pada
grafiknya diletakkan di sebelah kiri 0.
Untuk daftar digunakan z = 1,86. Di
bawah z kolom kiri didapatkan 1,8 dan di
atas angka 6. Dari 1,8 ke kanan dan dari
6 ke bawah, didapat 4686. Luas daerah =
daerah yang diarsir = 0,4686
- 1,50 0 1,82
Dari grafik terlihat bahwa kita perlu
mencari 2 kali lalu dijumlahkan.
Mengikuti cara (1) untuk z = 1,82 dan
cara (2) untuk z = - 1,50 masing-masing
didapat 0,4656 dan 0,4332.
Luas daerah = daerah yang diarsir =
0,4332 + 0,4656 = 0,8988
0 2,65
Yang dicari adalah luas dari z = 0 sampai
z = 2,65 dikurangi luas dari z = 0 sampai
z = 1,40.
Dengan cara seperti di atas, masing-
masing didapat 0,4960 dan 0,4192
Luas yang dicari = 0,4960 – 0,4192 =
0,0768
1,40
0 1,96
Luasnya sama dengan dari z = 0 ke kiri
(=0,5) ditambah luas dari z = 0 sampai ke
z = 1,96. Untuk z = 1,96 diperoleh
0,4750.
Luas daerah = 0,5 + 0,4750 = 0,9750

6. Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB YANUAR, SE. MM
STATISTIK II
6. Dari z = 1,96 ke kanan
Dari grafik no. 5 dapat dilihat bahwa yang dicari merupakan daerah yang tidak diarsir.
Ini sama dengan luas dari z = 0 ke kanan (=0,5) dikurangi luas dari z = 0 sampai z =
1,96 yang besarnya 0,4750.
Luas = 0,5 – 0,4750 = 0,0250
7. Untuk mencari harga z bila luasnya diketahui, dilakukan langkah sebaliknya. Misalnya ,
jika luas = 0,4931, maka dalam badan daftar dicari 4931 lalu menuju ke pinggir sampai
pada kolom z, didapat 2,4 dan menuju ke atas sampai batas z didapat angka 6. Harga z =
2,46
Contoh
Sebanyak 20 perusahaan termasuk dalam harga saham pilihan pada bulan Maret 2003.
harganya berkisar antara Rp. 160 – 870 per lembar. Berapa probabilitas harga saham antara
500 sampai 600 per lembar jika diketahui nilai rata-rata hitung = 490 dan standar deviasi =
144.
Penyelesaian:
µ = 490 σ = 144 X1= 500 X2 = 600
Z1 =
σ
µX1 −
Z2 =
σ
µX2 −
Z1 =
144
490500 −
Z2 =
144
490600 −
= 0,07 = 0,76
Jadi probabilitas harga saham pada kisaran 500 – 600 adalah 0,2505 atau 25,05 %
0
Yang dicari adalah luas dari z = 0 sampai
z = 0,76 dikurangi luas dari z = 0 sampai
z = 0,07.
Dari daftar diperoleh masing-masing
0,0279 dan 0,2764
Luas yang dicari = 0,2784 – 0,0279 =
0,2505
0,07 0,76

7. Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB YANUAR, SE. MM
STATISTIK II
Luas Di Bawah Kurva Normal
-3 -2 -1 0 1 2 3
1. Kira-kira 68,27 % ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara
µ + σ dan µ - σ
2. Ada 95,45 % kasus terletak dalam daerah dua simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu
antara µ + 2 σ dan µ - 2 σ
3. Hampir 99,73 % dari kasus ada dalam daerah tiga simpangan baku sekitar rata-rata,
yaitu antara µ + 3 σ dan µ - 3 σ
Contoh Soal
1. PT gunung Sari mengklaim bahwa rata-rata berat buah mangga mutu B adalah 350
gram dengan standar deviasi 50 gram. Bila berat mangga mengikuti distribusi normal,
berapa probabilitas bahwa berat buah mangga mencapai kurang dari 250 gram,
sehingga akan diprotes oleh konsumen?
Penyelesaian:
68,27 %
95,45 %
99,73 %
µ - σµ - 2σµ - 3σ µ + 1σ µ + 2σ µ + 3σz = 0
-2 0
µ = 350 σ = 50 X = 250
Z =
50
350250 −
= - 2,00
Dari daftar diperoleh 0,4772
Luas = 0,5 – 0,4772 = 0,0228
Jadi probabilitas di bawah 250 gram
adalah 0,0228 atau 2,28 %. Dengan kata
lain, probabilitas akan di protes karena
berat kurang dari 250 gram = 2,28 %

8. Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB YANUAR, SE. MM
STATISTIK II
2. PT Mercubuana mempunyai karyawan 200 orang dengan umur rata-rata 35 tahun dan
standar deviasi 5 tahun. Direksi memutuskan untuk memberikan pelatihan
kepemimpinan pada karyawan dengan umur 40 – 45 tahun untuk manejer level
menengah. Berapa banyak karyawan yang harus mengikuti pelatihan?
Penyelesaian:
Jadi jumlah karyawan yang harus ditraining adalah = 0,1359 x 200 = 27 orang
Untul distribusi binomial yang cukup besar dan n(1 – p) > 5, maka dapat digunakan
distribusi normal denga µ = np dan standar deviasi σ = √npq
Z =
npq
npX −
Untuk mengubah pendekatan dari binomial ke normal diperlukan faktor koreksi yang
besarnya 0,5.selain syarat binomial terpenuhi, yaitu (a) hanya terdapat dua peristiwa, (b)
peristiwa bersifat independen, (c) besarnya probabilitas sukses dan gagal sama setiap
percobaan, dan (d) data merupakan hasil perhitungan. Faktor koreksi ini diperlukan untuk
mentransformasikan dari binomial menuju normal yang merupakan variabel acak kontinu
Faktor Koreksi Kontinuitas : Nilai koreksi kontinuitas sebesar 0,5 yang dikurangkan dan
ditambahkan pada data yang diamati
Contoh
Seorang pedagang buah setiap hari membeli 300 kg buah di Pasar Induk Kramat Jati.
Probabilitas buah tersebut laku dijual adalah 80 % dan 20 % kemungkinan tidak laku dan
busuk. Berapa probabilitas buah sebanyak 250 kg laku dijual dan tidak busuk?
-2 0
µ = 35 σ = 5 X1 = 40 X2 = 45
Z1 =
5
3540 −
Z2 =
5
3545 −
= 1,00 = 2,00
Dari daftar diperoleh
= 0,3413 = 0,4772
Luas = 0,4772 – 0,3413 = 0,1359
2,001,00

9. Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB YANUAR, SE. MM
STATISTIK II
Penyelesaian:
n = 300, probabilitas laku, p = 0,8 q = 0,2
µ = np = 300 x 0,8 = 240
σ = √npq = √ 300 x 0,8 x 0,2 = 6,93
X = 250 kg dan dikurangi faktor koreksi 0,5 sehingga X = 249,5
Z =
93,6
240249,5 −
= 1,37 dari daftar diperoleh 0,4147
Soal
Berikut adalah pendapatan per kapita rata-rata penduduk Indonesia tahun 1996 sampai
2002
Tahun Pendapatan perkapita rata-rata (ribuan)
1996 2.751
1997 3.181
1998 4.955
1999 5.915
2000 6.228
2001 7.161
2002 8.140
Rata-rata 5.476
Standar deviasi 1.986
a. Hitunglah probabilitas pendapatan di bawah 3.000
b. Hitunglah probabilitas pendapatan antara 4.000 – 6.000
c. Hitunglah pendapatan terendah dari 10% penduduk yang berpendapatan tertinggi
d. Apabila pemerintah akan membantu 15% penduduk yang berpendapatan terendah,
berapa batas maksimalnya?
0
Jadi probabilitas sama dengan luas kurva
= 0,5 + 0,4147 = 0,9147
Jadi harapan buah laku 250 kg adalah
91,47 %.
1,37