hitung distribusi normal

1. U
a
k
n
u r
U
a n K
a
e c o n d o n g a n ( S k e w
u
n e s
s
s
i
)
s
d k u r n K e r u n c i n g a n ( K r t o )
D i s i a p k a n o l e h : B a m b a n g S u t r i s n o , S . E . , M . S . M .
bambang.sutrisno@umj.ac.id

2. U k u r a n K e c o n d o n g a n ( S k e w n e s s )
❑ Ukuran kecondongan merupakan tingkat ketidaksimetrisan atau
kejauhan simetri dari sebuah distribusi.
Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan
❑
besarnya (Mean ≠ Median ≠ Modus), sehingga
modus yang tidak sama
distribusi akan
condong.
terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan
2

3. U k u r a
(
n
S
K e c o
e
n
s
d
s
o
)
n g a n
k e w n
Rumus Kecondongan:
3
Kurva Simetris
Md
=Md=Mo
X

4. Ukuran Kecondongan (Skewness)
❑ Kecondongan sebuah grafik dapat dilihat dari nilai mean, median, dan
modusnya.
Apabila:
1. Mean = Median = Modus maka kurva simetris
2. Modus < Median < Mean maka kurva condong positif (condong ke kanan)
3. Mean < Median < Modus maka kurva condong negatif (condong ke kiri)

5. U k u r a
(
n
S
K e c o n d o n g a n
k e w n e s s )
❑ Nilai Sk akan berkisar dari -3 sampai +3, apabila nilai Sk negatif
menunjukkan kurva menceng ke kiri atau menceng negatif, sebaliknya jika
Sk positif, maka kurva condong ke kanan atau condong positif. Apabila Sk
nilainya sama dengan 0 (nol)
nol,
maka
akan
kurvanya
semakin
simetris. Kurva dengan nilai
Sk semakin mendekati mendekati kurva berbentuk
normal.
4

6. U k u r a n K e r u n c i n g a n ( K u r t o s i s )
❑Keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang
secara relatif terhadap suatu distribusi normal.
biasanya diambil
❑Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam yaitu:
1. Leptokurtik (4 > 3)
Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi.
2. Platikurtik (4 < 3)
Merupakan distribusi
3. Mesokurtik (4 = 3)
Merupakan distribusi
yang memiliki puncak hampir mendatar.
yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar.
5

7. U k u r a n K e r u n c i n g a n ( K u r t o s i s )
6
K
eruncingan Kurva
Plat
ykurt
ic Mesokurtic
Leptokurtic

8. U k u r a n K
(4)
e r u n c i n g a n ( K u r t o s i s )
❑ Koefisien kurtosis untuk data berkelompok adalah:
dimana:
α4
n
f
X
μ
σ
=
=
=
=
=
=
koefisien kurtosis
jumlah data
jumlah frekuensi kelas
nilai tengah kelas
nilai rata-rata hitung
standar deviasi
data
8

9. CONTOH SOAL
Perhatikan distribusi frekuensi di bawah ini.
a. Hitunglah nilai rata-rata hitung (mean), median, modus,
dan standar deviasi.
b. Hitunglah koefisien kecondongan (skewness) dan
keruncingan (kurtosis).
Interval Frekuensi (f)
160-303 2
304-447 5
448-591 9
592-735 3
736-879 1

10. PENYELESAIAN
n = 20
μ = ∑fx / n = 9.814 / 20 = 490,7
Standar deviasi =
σ =
∑𝑓.(𝑋−𝜇)2
𝑛−1
=
398.131,2
19
= 144,8
Titik Tengah (X) f f.X X - μ (X - μ)2
f.(X - μ)2
(X - μ)4
f.(X - μ)4
231,5 2 463,0 -259,2 67.184,6 134.369,3 4.513.775.851,9 9.027.551.703,9
375,5 5 1.877,5 -115,2 13.271,0 66.355,2 176.120.502,7 880.602.513,4
519,5 9 4.675,5 28,8 829,4 7.465,0 687.970,7 6.191.736,4
663,5 3 1.990,5 172,8 29.859,8 89.579,5 891.610.044,8 2.674.830.134,5
807,5 1 807,5 316,8 100.362,2 100.362,2 10.072.579.217,8 10.072.579.217,8
9.814,0 398.131,2 22.661.755.306,0
Jumlah

11. PENYELESAIAN
• Letak median n/2 =
20/2=10; jadi
terletak pada frek.
kumulatif antara 7-16
• Nilai Median
Md = 447,5 + (20/2) - 7 x 144
9
= 495,5
Interval Frekuensi Tepi Kelas Frek. Kumulatif
160 - 303 2 159,5 0
304 - 447 5 303,5 2
448 - 591
447,5 7
Letak Median
592 - 735 3 591,5 16
736 - 879 1 735,5
879,5
19
20
9

12. PENYELESAIAN
• Letak modus pada
frekuensi kelas paling
besar = 9 kelas 448-591.
• Nilai Modus
4
Mo = 447,5 +
4 + 6
= 447,5+ 57,6
= 505,1
Interval Frekuensi Tepi Kelas
160 - 303 2 159,5
304 - 447 5 303,5
448 - 591 d1
9
447,5
Letak
Modus
592 - 735
d2
3 591,5
736 - 879 1 735,5
x 144

13. PENYELESAIAN
μ = 490,7
Md = 495,5
Mo = 505,1
σ = 144,8
Sk =
490,7 −505,1
144,8
atau Sk =
3(490,7−495,5)
144,8
Sk = -0,1 Sk = -0,1
Sk menunjukkan nilai negatif. Jadi kurva condong negatif (ke kiri). Hal ini disebabkan
adanya nilai yang sangat kecil sehingga menurunkan nilai rata-rata hitungnya. Angka
-0,1 menunjukkan kedekatan dengan nilai 0 sehingga kurva tersebut
kecondongannya tidak terlalu besar atau mendekati kurva normal.

14. PENYELESAIAN
μ = 490,7; Md = 495,5, Mo = 505,1; σ = 144,8
α4 =
(1/20)(22.661.755.306)
(144,8)4 = 2,58
Hasil koefisien keruncingan 2,58 dan lebih kecil dari 3, maka bentuk kurva adalah
platikurtik, sehingga data terdistribusi agak merata, di mana puncaknya termasuk
rendah. Hal tersebut menunjukkan tidak adanya frekuensi pada suatu kelas yang
sangat ekstrim dibandingkan dengan frekuensi pada kelas lainnya.
Titik Tengah (X) f f.X X - μ (X - μ)2
f.(X - μ)2
(X - μ)4
f.(X - μ)4
231,5 2 463,0 -259,2 67.184,6 134.369,3 4.513.775.851,9 9.027.551.703,9
375,5 5 1.877,5 -115,2 13.271,0 66.355,2 176.120.502,7 880.602.513,4
519,5 9 4.675,5 28,8 829,4 7.465,0 687.970,7 6.191.736,4
663,5 3 1.990,5 172,8 29.859,8 89.579,5 891.610.044,8 2.674.830.134,5
807,5 1 807,5 316,8 100.362,2 100.362,2 10.072.579.217,8 10.072.579.217,8
9.814,0 398.131,2 22.661.755.306,0
Jumlah

15. Tugas Mandiri
Berikut ini adalah distribusi frekuensi nilai mata kuliah
Statistik Sosial dari 40 mahasiswa FISIP UMJ Semester Genap
tahun akademik 2017/2018.
a. Carilah nilai rata-rata hitung (mean), median, modus, dan
standar deviasi.
b. Hitunglah tingkat kecondongan (skewness) dan
keruncingan (kurtosis).
Nilai Frekuensi (f)
50-59 2
60-69 11
70-79 17
80-89 6
90-99 4

16. TERIMA KASIH.