Simulasi2

SIMULASI (MMS-2804)
Dr. Danardono
Jurusan Matematika
FMIPA UGM

Materi Kuliah
Sistem, model dan simulasi; Dasar-dasar analisis Simulasi;
Pemodelan dan pemrograman Simulasi; Aplikasi dalam bidang
sains, manajemen dan pengambilan keputusan

Penilaian
• Ujian Akhir 40%
• Ujian Sisipan 35%
• Tugas 25%
- Tahap I dikumpulkan saat US
- Tahap II dikumpulkan saat UA

Buku Teks dan Referensi
Hoover & Perry (1989). Simulation, A Problem Solving
Approach. Addison-Wesley Pub. Co.
Averil M. Law & W. David Kelton (1991). Simulation Modeling
and Analysis. Mc. Graw-Hill
Khoshnevis (1994). Discrete Systems Simulation. McGraw-Hill
Intl. Ed.
Krahl (2002). The Extend Simulation Environment. Proceedings
of the 2002 Winter Simulation Conference.

Program
• EXCEL
• EXTEND
- Download di http://info.ugm.ac.id/simulasi
- Ofﬁcial Webpage:
http://www.imaginethatinc.com/
• GPSS World
- Download di http://info.ugm.ac.id/simulasi
- Ofﬁcial Webpage:
http://www.minutemansoftware.com/
• Pascal, C, FORTRAN dan R

Perkembangan Simulasi
• Diawali dari "Monte Carlo"
• Berkembang pesat seiring dengan perkembangan
komputer dan semakin kompleksnya masalah
• Bidang terkait:
- Pemodelan
- Probabilitas dan Statistika
- Pemerogaman Komputer
- Metode heuristik

Simulasi dan Pemodelan
Deﬁnisi Simulasi
Proses merancang model (matematika atau logika)
dari suatu sistem dan kemudian menjalankannya
untuk mendeskripsikan, menjelaskan, dan menduga
(memprediksi) tingkah laku (karakteristik dinamis)
sistem.

Simulasi dan Pemodelan
Klasiﬁkasi Model
• preskriptif – deskriptif
• diskret – kontinu
• probabilistik – deterministik
• statik – dinamik
• loop terbuka – tertutup

Simulasi sebagai Alat Pemecahan Masalah
Fungsional
• Analisis Inventori
• Sistem Distribusi
• Penjadualan
• Sistem Antrian
• Perencanaan
• Sistem Penanganan
Material
• Permainan
Setting
• Pabrik
• Kesehatan
• Pemerintahan
• Administrasi Publik
• Pendidikan
• Industri

Keuntungan dan Kerugian
Model Analitik Model Simulasi
Keuntungan • keringkasan dan
closed-form
• kemudahan
evaluasi menuju
solusi optimal
• relatif mudah untuk
sistem yg kompleks
• sarana pelatihan
Kerugian • asumsi tidak
realistis
• formula yang
kompleks
• tidak ada (sulit)
mencari solusi
optimal
• model simulasi
yang baik mungkin
mahal

Elemen Analisis Simulasi
• Formulasi Masalah
• Pengumpulan Data dan Analisis
• Pengembangan Model
• Veriﬁkasi dan Validasi Model
• Eksperimentasi dan Optimisasi
• Implementasi

Elemen Analisis Simulasi
Formulasi Masalah
Pengumpulan Data dan Analisis
Pengembangan Model
Veriﬁkasi dan Validasi
Eksperimentasi dan Optimisasi
Implementasi

Formulasi Masalah
• mengidentiﬁkasi variabel keputusan dan variabel tak-
terkendali (uncontrollable)
• menspesiﬁkasikan variabel kendala (constraint) pada
variabel keputusan
• menentukan ukuran performansi sistem dan fungsi obyektif
• mengembangan model awal

Pengumpulan Data dan Analisis
• Pengumpulan data pada sistem yang diamati
- Rancangan
- Teknis (manual, otomatis)
• Mencari model (probabilitas) yang sesuai dengan sistem

Pengembangan Model
• Memahami sistem
• Konstruksi model
- Diagram alur (ﬂowchart)
- Pemilihan bahasa pemrograman
- Bilangan random dan statistik
- Pemrograman dan debugging

Veriﬁkasi dan Validasi Model
• Model: konseptual, logika, komputer
• Veriﬁkasi: internal model (debugging)
• Validasi: kecocokan model dengan sistem (kenyataan)

Eksperimentasi dan Optimisasi
• "What-if" experimentation
• Rancangan percobaan
• Analisis output

Implementasi
• Penggunaan model simulasi untuk pemecahan masalah
pada sistem yang dimodelkan
• Komunikasi antara pengguna dan analis

SIMULASI (MMS-2804)
Simulasi Kejadian Dinamik

Simulasi Sistem Dinamik
• Discrete-event (kejadian diskret)
• Sistem stokastik
• Contoh:
◮ Antrian (di bank, pompa bensin, supermarket, dst.)
◮ inventori (di pabrik)
◮ Antrian sistem jaringan komputer

Representasi Kejadian
Event graph
i Kejadian i
Hubungan tak bersyarat
∼
Hubungan bersyarat

Representasi Kejadian
Contoh:
Kejadian i akan menuju ke kejadian j, dalam waktu t, asalkan
kondisi C1 dipenuhi.
j
i
C1
t
∼

Antrian Layanan Tunggal
Variabel status
n : banyaknya pengunjung dalam
sistem (yang sedang menunggu
maupun dilayani)
Kejadian
1 : kedatangan pengunjung
2 : pelayanan dimulai
3 : pelayanan selesai
Kondisi
C1 : n = 0
C2 : n > 0
Tundaan (durasi, interval waktu dari
satu kejadian ke kejadian yang lain)
ta : waktu antar kejadian
ts : lama (durasi) pelayanan
3
2
1ta
∼
C1
ts
C2
∼

peng-
antri
(Ai)
waktu ke-
datangan
durasi
antar ke-
datangan
durasi
pelayan-
an
A1 4 6 3
A2 10 3 5
A3 13 6 6
A4 19 1 4
A5 20 9 7
A6 29 2 3
A7 31 3 6
waktu kejadian n
0 inisialisasi 0
4 A1: datang 1
4 A1: pelayanan mulai 1
7 A1: pelayanan selesai 0
10 A2: datang 1
13 A3: datang 2
15 A2: pelayanan selesai 1
19 A4: datang 2
20 A5: datang 3
. . . dst. . . .

0 10 20 30 40 50 60
waktu (t)
n(t)
1
2
3

Ukuran performansi sistem antrian
¯n =
1
T
T
0
n(t)dt ¯W = 1
k
T
0 n(t)dt
¯n mean banyaknya pengantri dalam sistem
¯W mean durasi pengantri dalam sistem
n(t) banyaknya pengantri dalam sistem
k banyaknya kedatangan

Model Inventori
S Tingkat inventori
Inv

Model Inventori
Variabel status
Inv : Tingkat inventori
O : status penempatan pesanan
1 = pesanan sudah datang
0 = pesanan belum datang
Kejadian
1 : permintaan barang
2 : pemesanan barang
3 : barang pesanan datang
Kondisi
C1 : Inv < S dan O = 0
Tundaan
tpesan : lama waktu pesanan datang
3
2
1
t = 1
∼
C1
tpesan

Model Inventori
Variabel Keputusan
S : batas inventori dimana perlu pemesanan kembali
Q : Banyaknya barang yang dipesan
Kriteria (fungsi obyektif)
Meminimumkan
Ci : biaya inventori
CR : biaya pemesanan
Cp : biaya penalti

Model Inventori
Hari Inventori Permintaan Catatan
1 20 5 Hari ke-1 (Senin)
2 15 3
3 12 2 Pesan 30 unit
4 10 4
5 6 1
6 5 0 Sabtu
7 5 0 Minggu
8 5 2
9 3 2
10 1 3 Permintaan tdk dipenuhi
11 30 2 Pesanan datang
12 28 1
13 27 0 Sabtu
14 27 0 Minggu
15 27 3
16 24 5
17 19 4
18 15 2
19 13 4

Model Inventori
rata-rata inventori = 1
T
T
0 inv(t)dt
5 10 15
0
5
10
15
20
25
30
waktu
inv

SIMULASI (MMS-2804)
Model Probabilitas
dan Statistika

Peluang dan Variabel Random
Peluang (probabilitas): Harga angka yang menunjukkan
seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi.

tidak mungkin
sangat tidak mungkin
mungkin ya mungkin tidak
sangat mungkin
pasti

0 1
tidak mungkin
sangat tidak mungkin
mungkin ya mungkin tidak
sangat mungkin
pasti

Eksperimen (percobaan, trial): Prosedur yang dijalankan pada
kondisi yang sama dan dapat diamati hasilnya (outcome).
Ruang sampel (semesta, universe: Himpunan semua hasil yang
mungkin dari suatu eksperimen.
Peristiwa (kejadian, event): Himpunan bagian dari suatu ruang
sampel.

Contoh
Eksperimen : Pelemparan sebuah mata uang logam dua
kali
Hasil : Sisi mata uang yang tampak
Ruang sampel : S = {MM,MB,BM,BB}
dengan M: sisi muka dan B: sisi belakang
Peristiwa : A = paling sedikit muncul satu belakang
= {MB,BM,BB}
B = muncul sisi yang sama
= {MM,BB}

Peluang Suatu Peristiwa
Deﬁnisi klasik, dengan menganggap tiap-tiap elemen ruang
sampel S mempunyai peluang yang sama untuk terjadi.
Peluang terjadinya peristiwa A,
P(A) =
n(A)
n(S)
dengan n(A) = banyaknya anggota dalam peristiwa A, dan
n(S) = banyaknya anggota ruang sampel

Beberapa ketentuan:
• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(S) = 1 (peluang dari ruang sampel)
• P(∅) = 0 (peluang dari peristiwa yang tidak akan pernah
terjadi)
• P(A) = 1 − P(Ac) (aturan komplemen)
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) (aturan penjumlahan)
Bila A dan B adalah kejadian yang saling asing,
A ∩ B = ∅, maka P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
• P(B) = P(A ∩ B) + P(Ac ∩ B)
A ∩ B dan Ac ∩ B saling asing

Contoh
Sebuah dadu dilempar sekali. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan n(S) = 6.
Misal dideﬁnisikan A : muncul mata dadu 3 dan B : muncul
mata dadu bilangan prima A = {3} dan n(A) = 1 ; B = {2, 3, 5}
dan n(B) = 3 dan
P(A) =
n(A)
n(S)
=
1
6
dan
P(B) =
n(B)
n(S)
=
3
6
=
1
2

Variabel Random
Variabel random adalah suatu cara memberi harga angka
kepada setiap elemen ruang sampel, atau suatu fungsi bernilai
real yang harganya ditentukan oleh setiap elemen dalam ruang
sampel
Contoh
Eksperimen (proses random) melemparkan uang logam tiga
kali, S = {BBB, BBM, BMB, MBB, BMM, MBM, MMB, MMM}.
Dideﬁnisikan variabel random X : banyak M (muka) muncul
dalam pelemparan uang logam tiga kali.

Contoh (variabel random)
S R
BBB
BBM
BMB
MBB
BMM
MBM
MMB
MMM
0
1
2
3

Contoh (variabel random)
S R
X : S → R
BBB
BBM
BMB
MBB
BMM
MBM
MMB
MMM
0
1
2
3

Variabel random diskret: Suatu variabel random yang hanya
dapat menjalani harga-harga yang berbeda yang
berhingga banyaknya (sama banyaknya dengan bilangan
bulat)
Variabel random kontinu: Suatu variabel random yang dapat
menjalani setiap harga dalam suatu interval (tak berhingga
banyaknya)
Distribusi Peluang: Model matematik yang menghubungkan
semua nilai variabel random dengan peluang terjadinya
nilai tersebut dalam ruang sampel. Distribusi peluang
dapat direpresentasikan dalam bentuk fungsi, tabel, atau
graﬁk. Distribusi peluang dapat dianggap sebagai
frekuensi relatif jangka panjang.

Distribusi Peluang Diskret
Fungsi f(x) disebut sebagai fungsi peluang dari variabel
random diskret X, jika untuk setiap harga x yang mungkin :
1. f(x) ≥ 0
2. x f(x) = 1
Peluang untuk nilai x tertentu:
P(X = x) = f(x)
Distribusi kumulatif F(x)
F(x) = P(X ≤ x) =
t≤x
f(t)

Distribusi peluang X dalam bentuk tabel:
Harga X P(X = x) = f(x)
x1 P1
x2 P2
. . . . . .
xk Pk

Contoh
Distribusi banyaknya sisi muka yang muncul dalam pelemparan
mata uang logam tiga kali.
Harga X P(X = x) = f(x)
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8
P(x) = 1

Distribusi Peluang Kontinu (Fungsi Densitas)
Distribusi peluang untuk variabel random kontinu.
Fungsi f(x) disebut sebagai fungsi densitas peluang dari
variabel random kontinu X, jika untuk setiap harga x yang
mungkin :
1. f(x) ≥ 0
2.
∞
−∞ f(x)dx = 1
Nilai peluang untuk interval tertentu
P(a ≤ X ≤ b) =
b
a
f(x)dx
Distribusi kumulatif F(x)
F(x) = P(X ≤ x) =
x
−∞
f(u)du

Distribusi Peluang Kontinu (Fungsi Densitas)
Contoh
Fungsi densitas suatu variabel random X
f(x) =
x
2 untuk 0 < x < 2
0 untuk x yang lain

Distribusi Bernoulli
Eksperimen Bernoulli
Eksperimen dengan hanya dua hasil yang mungkin
Contoh
• melempar mata uang logam satu kali
• suatu barang rusak atau tidak
• telepon ke suatu nomor, sibuk atau tidak

Distribusi Bernoulli
• tiap usaha (trial) menghasilkan satu dari dua hasil yang
mungkin, dinamakan sukses (S) dan gagal (G);
• peluang sukses, P(S) = p dan peluang gagal
P(G) = 1 − p, atau P(G) = q;
• usaha-usaha tersebut independen
f(x) = px
(1 − p)1−x
,
dengan X = 0, 1 (gagal, sukses) dan p adalah peluang
mendapatkan hasil sukses.

Distribusi Binomial
Eksperimen Bernoulli dengan n usaha dan X : banyaknya
sukses dalam n usaha tersebut.
f(x) =
n
x
px
(1 − p)n−x
, x = 0, 1, 2, . . . , n
Mean dan variansi
E(X) = np; Var(X) = np(1 − p)

Distribusi Binomial
Contoh
Suatu uang logam yang baik (seimbang) dilempar 4 kali. X adalah
banyaknya muka muncul dalam 4 kali pelemparan tersebut.
Pelemparan dipandang sebagai usaha, dan sukses adalah muka
muncul. X merupakan variabel random binomial dengan n = 4 dan
p = 1/2 dengan distribusi peluang:
P(X = x; 4,
1
2
) =
4
x
1
2
x
(1 −
1
2
)4−x
, x = 0, 1, 2, 3, 4

Distribusi Binomial
Contoh
P(X = x; 4,
1
2
) =
4
x
1
2
x
(1 −
1
2
)4−x
, x = 0, 1, 2, 3, 4
Peluang muka muncul dua kali, X = 2
P(X = 2; 4,
1
2
) =
4
2
1
2
2
(1 −
1
2
)4−2
=
3
8

Distribusi Binomial
Contoh
P(X = x; 4,
1
2
) =
4
x
1
2
x
(1 −
1
2
)4−x
, x = 0, 1, 2, 3, 4
Peluang muka muncul paling tidak dua kali, X ≥ 2
P(X ≥ 2; 4,
1
2
) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
=
11
16

Distribusi Binomial
Binomial dengan n = 6, p = 0, 5
0 1 2 3 4 5 6
0.000.100.200.30

Distribusi Binomial
0 1 2 3 4 5 6
0.00.10.20.3

Distribusi Poisson
Sifat-sifat eksperimen Poisson:
• banyaknya sukses terjadi dalam suatu selang waktu atau
daerah tertentu tidak terpengaruh (bebas) dari apa yang
terjadi pada interval waktu atau daerah yang lain,
• peluang terjadinya sukses dalam interval waktu yang
singkat atau daerah yang sempit sebanding dengan
panjang interval waktu, atau luas daerah dan tidak
tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luar
interval waktu atau daerah tersebut,
• peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam interval
waktu yang singkat atau daerah yang sempit tersebut
dapat diabaikan.

Distribusi Poisson
X adalah banyaknya sukses dalam eksperimen Poisson, yang
mempunyai distribusi probabilitas
f(x) =
e−λλx
x!
, x = 0, 1, 2, . . .
Mean dan Variansi
E(X) = λ ; Var(X) = λ

Distribusi Poisson
Contoh
Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu
counter selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di
laboratorium adalah 4. Peluang 6 partikel melewati counter
dalam suatu milidetik tertentu adalah
P(X = 6; λ = 4) =
e−44x
6!
= 0, 1042

Distribusi Poisson
Poisson dengan λ = 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.000.050.100.150.200.25

Distribusi Poisson
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15
0.000.050.100.15

Distribusi Poisson
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.000.020.040.060.080.100.12

Distribusi Geometrik
X adalah banyaknya usaha sampai suatu peristiwa terjadi untuk
pertama kalinya.
f(x) = (1 − p)x−1
p, x = 1, 2, . . .
Mean dan Variansi,
E(X) = 1/p ; Var(X) = (1 − p)/p2

Distribusi Geometrik
Contoh
Seorang salesman mobil berusaha menjual mobil. Banyaknya
orang (pelanggan) yang dia temui sampai terjadi penjualan yang
pertama kali dapat dimodelkan dengan distribusi Geometrik.

Distribusi Uniform
Digunakan untuk memodelkan proses dimana hasil (outcome)
nya mempunyai peluang yang sama untuk terjadi dalam interval
waktu a dan b
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b
Mean dan variansi,
E(X) = a+b
2 ; Var(X) = (b−a)2
12

Distribusi Normal
Distribusi Normal dengan mean E(X) = µ dan variansi
Var(X) = σ2 (ditulis N(µ, σ2)) mempunyai fungsi peluang,
f(x; µ, σ2
) =
1
√
2πσ2
e− (x−µ)2
2σ2
, −∞ < x < ∞
dengan −∞ < µ < ∞, σ2 > 0, π = 3, 141593 . . . dan
e = 2, 718282 . . .
Distribusi Normal standar: distribusi Normal dengan mean 0 dan
variansi 1, ditulis N(0, 1)

Distribusi Normal
Kurva Normal
-∞ ∞
Sumbu x : −∞ < x < ∞

Distribusi Normal
Kurva Normal
-∞ ∞
Sumbu x : −∞ < x < ∞
Fungsi peluang (sumbu y):
f(x; µ, σ2
) =
1
√
2πσ2
e− (x−µ)2
2σ2
, −∞ < x < ∞

Distribusi Normal
Kurva Normal
-∞ ∞
Sifat-sifat:

Distribusi Normal
Kurva Normal
-∞ ∞µ
Sifat-sifat:
• simetris terhadap sumbu vertikal melalui µ,

Distribusi Normal
Kurva Normal
-∞ ∞-∞ ∞
Sifat-sifat:
• memotong sumbu mendatar (sumbu x) secara asimtotis,

Distribusi Normal
Kurva Normal
-∞ ∞µ
Sifat-sifat:
• harga modus (maksimum) terletak pada x = µ,

Distribusi Normal
Kurva Normal
-∞ ∞µµ − σ µ + σ
Sifat-sifat:
• mempunyai titik belok pada x = µ ± σ,

Distribusi Normal
Kurva Normal
-∞ ∞µ
Sifat-sifat:
• mempunyai titik belok pada x = µ ± σ,
• luas kurva Normal sama dengan 1.

Distribusi Eksponensial
Banyak digunakan dalam model antrian. Jika banyaknya
kedatangan berdistribusi Poisson, maka waktu antar
kedatangan nya akan berdistribusi Eksponensial.
f(x) =
1
θ
e−x/θ
, x > 0
Mean dan variansi
E(X) = θ ; Var(X) = θ2, sering juga ditulis sebagai E(X) = 1/λ
; Var(X) = 1/λ2

Eksponensial dengan λ = 1
0 2 4 6 8
0.00.20.40.60.81.0
x
f(x)

Distribusi Gamma
Fungsi densitas distribusi Gamma
f(x) =
xα−1ex/β
βαΓ(α)
, X > 0
bila α integer α = (α − 1)!
Mean dan variansi,
E(X) = αβ ; Var(X) = αβ2

Distribusi Gamma
Beberapa fenomena yang dapat dimodelkan dengan distribusi
Gamma
• Durasi (lama waktu) sebuah pekerjaan manual
• Penjualan bulanan sebuah barang
• Durasi yang diperlukan sebuah proses dalam CPU

Distribusi Weibull
Fungsi densitas distribusi Weibull
f(x) =
α(x − δ)α−1 exp(−(x−δ)
β )
βα
, X > δ
Mean dan Variansi
E(X) = δ + βΓ(1 + 1/α) ;
Var(X) = β2(Γ(1 + 2/α) − Γ2(1 + 1/α))

Distribusi Lognormal
Distribusi ini dapat diturunkan dari distribusi Normal
Y ∼ N(µ, σ2) dan mendeﬁnisikan X = log Y , fungsi densitasnya
f(x) =
1
√
2πσ
exp(− log(x − µ)2
/2σ2
), X > 0
Mean dan variansi
E(X) = exp(µ + σ2/2);
Var(X) = exp(2µ + σ2)(exp(σ2) − 1)

Distribusi Beta
Fungsi densitas distribusi Beta,
f(x) =
Γ(α + β)xα−1(1 − x)β−1
Γ(α)Γ(β)
, 0 ≤ x ≤ 1
Mean dan variansi
E(X) = α/(α + β);
Var(X) = αβ
(α+β)2(α+β+1)

Identiﬁkasi Model Probabilitas
Langkah-langkah identiﬁkasi distribusi:
1. Hitung statistik deskriptif data (mean, median, modus,
deviasi standar, dst.) dan gambarkan bentuk distrtibusinya
dengan histogram, boxplot, stemleaf diagram
2. Berdasarkan statistik deskriptif tersebut dan pengetahuan
tentang proses pada sistem tersebut, ajukan suatu dugaan
tentang model probabilitas teoritis data tersebut
3. Ujilah dugaan (hipotesis) tersebut dengan uji goodness
of fit, misalnya dengan Chi-square atau
Kolmogorov-Smirnov test.

Histogram Data
Misalkan X adalah waktu antar kedatangan dalam suatu unit
waktu.
waktu antar kedatangan
frekuensirelatif
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.00.51.01.52.0

Uji Independensi
Suatu model simulasi akan dikembangkan untuk sebuah sistem
rumah sakit. Model tersebut akan digunakan untuk memprediksi
pengaruh pola atau kenis kasus-kasus pasien terhadap beban
kerja laboran. Diperoleh data 300 pasien yang diperoleh secara
random dari rekam medis rumah sakit meliputi jenis kasusnya
dan tes laboratoriumnya.
Kategori Banyaknya tes laboratorium
Pasien 0 1-3 4-6 7-10 10+ Total
Umum 14 29 55 31 21 140
Bedah 8 10 18 27 7 70
Pediatri 10 16 14 8 2 50
Obstetrik 8 15 13 4 0 40
Total 40 60 100 70 30 300

Uji Independensi
Hipotesisnya:
H0 : banyaknya tes independen terhadap kategori pasien
H1 : banyaknya tes dependen terhadap kategori pasien
Menggunakan statistik Chi-square W,
W =
b
i=1
k
j=1
(Oij − Eij)2
Eij
,
dengan b banyaknya baris, k banyaknya kolom, Oij obervasi
pada tiap-tiap sel i, j dan Eij harga harapan pada tiap-tiap sel
i, j. Statistik W berdistribusi χ2
(b−1)(k−1)
Eij = Ni·N·j/N, Ni· total baris i, N·j total kolom j, dan N total
observasi

Uji Independensi
Hasil hitungan
W =
4
i=1
5
j=1
(Oij − Eij)2
Eij
= 36, 34
Untuk menentukan apakah data mendukung H0 atau tidak W
dibandingkan dengan tabel χ2
(b−1)(k−1) atau dengan menghitung
P(X > W) (p-value).
Dengan tabel diperoleh χ2
0,9;(b−1)(k−1) = χ2
12 = 21, 0. Karena
W > 21, 0 ⇒ data tidak mendukung H0 (H0 ditolak)
Dengan p-value diperoleh P(X > W) = 0, 00029 (relatif cukup
kecil) ⇒ data tidak mendukung H0

Uji Kerandoman
• Runs Test: Untuk outcome yang kategorik
• Runs Up and Run Down Test: Untuk outcome yang kontinu

Uji Kerandoman
Untuk keperluan suatu simulasi lalu lintas udara, dikumpulkan
data 50 kedatangan pesawat yang dapat diklasiﬁkasikan
menjadi C (commercial) atau P (private), sbb.
CCPCPPCCCPCPPCCPCCCCPCCPPPPC
CCCCCPPPCCPPCCPPCCCCPC
Hipotesis
H0 : Kedatangan pesawat apakah itu komersial atau pribadi
independen dari kedatangan sebelumnya
H1 : Kedatangan pesawat apakah itu komersial atau pribadi
independen dari kedatangan sebelumnya Hipotesis
Karena data tersebut berupa kategori (outcome kategori) maka
digunakan Runs Test.

Uji Kerandoman
Data
n1, banyaknya elemen C dalam sampel

Uji Kerandoman
Data
n1 = 30, banyaknya elemen C dalam sampel

Uji Kerandoman
Data
n2 = 20, banyaknya elemen P dalam sampel

Uji Kerandoman
Data
CC P C PP CCC P C PP CC P CCCC P CC PPPP CCCCCC
PPP CC PP CC PP CCCC P C
n2 = 20, banyaknya elemen P dalam sampel
R = 23, banyaknya run, baik tunggal maupun berurutan, baik
dari C maupun P
Statistik nya adalah Z = R−E(R)
σR
, dengan E(R) = 2n1n2
(n1+n2) + 1
dan σ2
R = 2n1n2(2n1n2−n1−n2)
(n1+n2)2(n1+n2−1)
Z ∼ N(0, 1) (jika n1, n2 > 10 )

Uji Kerandoman
Hasil Hitungan
E(R) = 25, σR = 3, 36 sehingga
Z =
R − E(R)
σR
=
23 − 25
3, 36
= −0, 6
Dibandinglan dengan nilai distribusi Normal standar
Z0,025 = −1, 96, disimpulkan data tidak mendukung penolakan
H0, atau kedatangan pesawat baik itu komersial atau pribadi
independen terhadap kedatangan sebelumnya.

Uji Kerandoman
Data 25 lama proses manual di pabrik dalam suatu unit waktu
adalah
10,0 10,1 10,5 10,9 11,0 10,5 10,4 10,6 10,3
10,2 9,0 9,4 9,5 9,6 10,1 10,2 10,1 10,0
9,6 9,7 10,2 10,5 10,8 9,9 9,6
Hipotesis
H0 : lama proses manual tersebut random (independen)
H1 : lama proses manual tersebut tidak random
Karena data tersebut berupa bilangan kontinu (outcome kontinu)
maka digunakan Runs Up and Runs Down Test.

Uji Kerandoman
Menentukan tanda naik (+) atau turun (−)
10,0 +10,1 +10,5 +10,9 +11,0
−10,5 −10,4 +10,6 −10,3 −10,2
−9,0 +9,4 +9,5 +9,6 +10,1
+10,2 −10,1 −10,0 −9,6 + 9,7
+10,2 +10,5 +10,8 −9,9 −9,6
diperoleh:
++++ −− + −−− +++++ −−− ++++ −−
R = 8 run
Statistik yang digunakan adalah Z = R−E(R)
σR
, dengan
E(R) = (2n − 1)/3 dan σ2
R = (16n − 29)/90, dengan Z ∼ N(0, 1)
jika n cukup besar.

Uji Kerandoman
Hasil Hitungan
E(R) = 16, 33 dan σR = 4, 12, sehingga
Z = R−E(R)
σR
= (8 − 16, 33)/2, 03 = −4, 11
Dibandingkan dengan nilai Z0,025 = −1.96, dapat disimpulkan
bahwa data mendukung penolakan H0, jadi lama proses manual
tidak random, bergantung pada proses sebelumnya.

Goodness of ﬁt Test
• Untuk menguji apakah suatu data mempunyai distribusi
tertentu
• Metode:
◦ Pearson’s Chi-square
◦ Kolmogorov-Smirnov

Misal diketahui data penjualan perhari selama 50 hari
8 6 4 2 4 5 6 7 6 11
0 5 5 4 7 7 5 4 3 9
6 8 5 6 1 7 6 3 4 5
4 4 7 3 3 5 8 6 4 8
3 6 4 5 3 2 3 2 1 3
Ujilah apakah data tersebut berdistribusi Poisson?

H0: data berdistribusi Poisson
f(x) =
λxe−λ
x!
, x = 0, 1, 2, . . .
Menggunakan Pearson’c Chi-square.
Dihitung mean data ¯X = 4, 9 sebagai penduga untuk λ.
Interval Obs. (Oi) Prob. Harapan (Ei) (Oi − Ei)2
/Ei
0 − 2 6 0,1332 6,6 0,055
3 8 0,1460 7,3 0,067
4 9 0,1788 8,9 0,001
5 8 0,1752 8,8 0,073
6 8 0,1430 7,2 0,089
7 atau lebih 11 0,2238 11,2 0,004
0,289

Diperoleh Nilai W = 0, 289 Kriteria yang digunakan H0 ditolak
jika W > χ2
1−α/2,db, dengan derajad bebas,
db = k − 1− (banyak parameter yang diestimasi dari data)
dan k adalah banyaknya interval (kategori).
Karena W < χ2
4 = 9, 49, H0 diterima: data berasal dari distribusi
Poisson.

SIMULASI (MMS-2804)
Metode Pembangkitan
Bilangan Random

Metode Pembangkitan Bilangan Random
Uniform
Kriteria
1. Secara statistik sama seperti mengambil sampel dari
distribusi uniform
f(x) =
1 0 ≤ u ≤ 1
0 u yang lain
2. Dapat direproduksi
3. Eﬁsien dalam komputasi

Uniform
• Metode Linear Congruential
• Feedback Shift Register
• Coupled Generator

Metode Linear Congruential
Menggunakan formula rekursif
Zi = (AZi−1 + C) mod M
Zi dapat dinormalisasi dalam interval (0, 1) dengan transformasi
Ui = Zi/M
Nilai Z0 disebut sebagai seed dari bilangan random.

Metode Linear Congruential
Beberapa Nilai A, M dan C
Generator A M C
RANF (CDC 60000 FTN compiler) 44485709377909 248 0
GGUBS ( IMSL routine) 75 231 0
RANDU ( IBM Scientiﬁc subroutine) 216 + 3 231 0
GGL (IBM subroutine Lib. Math) 75 231 0
DEC (VAX compiler) 69069 232 1
GLIM 8404997 235 1
MATLAB (fungsi rand) 75 231 − 1 0

Non-Uniform
1. Metode Inverse
2. Metode Acceptance/Rejection
3. Metode Komposisi
4. Metode Konvolusi

Non-Uniform
Kriteria:
1. Akurasi
a. Akurasi Teoritis
b. Akurasi aritmetis dalam algoritma
2. Kecepatan
3. Implementasi mudah
a. Pengkodean
b. Rutin-rutin yang diperlukan
4. Portabilitas
5. Memori yang diperlukan

Metode Inverse
Bila F(x) adalah fungsi distribusi (distribusi kumulatif) dari
fungsi probabilitas f(x), maka
F(x) = u,
dengan u ∼ U(0, 1) sehingga
x = F−1
(u)
adalah variabel random dengan fungsi distribusi F(x).
Algoritma:
S1: bangkitkan u
S2: x ← F−1(u)

Metode Inverse
F(x) = u
1
0
x = F−1(u)

Metode Inverse
F(x) = u
1
0
x = F−1(u)
u0

Metode Inverse
F(x) = u
1
0
x = F−1(u)
u0
x0 = F−1(u0)

Metode Acceptance/Rejection
Dideﬁnisikan fungsi g(x) sedemikian sehingga
g(x) > f(x), −∞ < x < ∞
g(x) disebut sebagai fungsi majorizing (yang lebih besar dari
f(x)) dan tidak harus fungsi probabilitas. Misalkan fungsi
probabilitas h(x)
h(x) =
g(x)
∞
−∞ g(y)dy
, −∞ < x < ∞
mudah diperoleh bilangan randomnya. Maka sampel random X
dari f(x) dapat diperoleh melalui sampel random yang diperoleh
dari h(x).

Metode Acceptance/Rejection
Algoritma:
S1: Bangkitkan y dari h(x)
S2: Bangkitkan bilangan random uniform u
S3: Jika u ≤ f(y)/g(y), terima X = y sebagai sampel dari
f(x). Jika tidak demikian, kembali ke S1

Metode Komposisi
Bila f(x) dapat di-dekomposisi-kan sebagai jumlahan terbobot
dair k distribusi probabilitas yang lain
f(x) = p1f1(x) + p2f2(x) + . . . + pkfk(x)
maka sampel x dari f(x) dapat dibangkitkan dari jumlahan k
variabel random tersebut.

Metode Konvolusi
Variabel random seperti Normal, Binomial, Poisson, Gamma
dapat didekati dengan kombinasi linear dari variabel random
lain.
x = b1x1 + b2x2 + . . . + bkxk

Distribusi Uniform Diskret
f(x) =
1
b − a + 1
, x = a, a + 1, . . . , b
Algoritma
S1: u ← U(0, 1)
S2: x ← a + (b − a + 1)u
dengan k adalah truncation operator
S3: Hasilkan x

Distribusi Uniform Diskret
Contoh:
f(x) =
1
6
, x = 1, 2, . . . , 6
Algoritma
S1: u ← U(0, 1), u = 0, 3453
S2: x ← a + (b − a + 1)u
x ← 3, 0718
S3: Hasilkan x = 3

Distribusi Binomial
f(x | n, p) =
n
x
px
(1 − p)n−x
, x = 0, 1, . . . , n
Algoritma 1
Menggunakan metode konvolusi dari n variabel random
Bernoulli
S1: x ← 0; i ← 1
S2: u ← U(0, 1)
S3: jika u < p maka x ← x + 1
S4: i ← i + 1
S5: jika i < n ke S2,
jika tidak, hasilkan x

Distribusi Binomial
f(x | n, p) =
n
x
px
(1 − p)n−x
, x = 0, 1, . . . , n
Algoritma 2
Menggunakan metode inversi dengan memanfaatkan bentuk
rekursif dari distribusi Binomial,
f(x + 1) = f(x)
(n − x + 1)
x
p
1 − p
F(x + 1) = F(x) +
f(x)(n − x + 1)
x
p
1 − p

Distribusi Binomial
Algoritma 2
S1: f ← (1 − p)n; F ← f; x ← 0
S2: u ← U(0, 1)
S3: jika u ≤ F hasilkan x
jika tidak
x ← x + 1; f ← fp(n − x + 1)/(1 − p)x
S4: F ← F + f
S5: ke S3

Distribusi Binomial
f(x | n, p) =
n
x
px
(1 − p)n−x
, x = 0, 1, . . . , n
Algoritma 3
Menggunakan pendekatan Normal untuk Binomial,
S1: bangkitkan z ← N(0, 1)
S2: v ← np + z np(1 − p)
S3: jika v > np, x ← min( x + 1/2 , n)
jika tidak,
x ← max( x − 1/2 , 0)
S4: hasilkan x

Distribusi Poisson
f(x) =
λxe−λ
x!
, x = 0, 1, 2, . . .
Algoritma 1
Memanfaatkan hubungan antara Poisson dengan eksponensial
X XX X X X XXX . . .
. . .

Distribusi Poisson
Algoritma 1
S1: u ← 0; w ← 0
S2: bangkitkan y ← eksponensial(1/λ)
S3: w ← w + y
S4: jika w ≥ 1, hasilkan x
jika tidak x ← x + 1
S5: ke S2

Distribusi Poisson
f(x) =
λxe−λ
x!
, x = 0, 1, 2, . . .
Algoritma 2
Memanfaatkan bentuk rekursif distribusi Poisson
f(x + 1) = f(x)
λ
(x + 1)
, x = 0, 1, 2, . . .
F(x + 1) = F(x) + f(x)
λ
(x + 1)
, x = 0, 1, 2, . . .

Distribusi Poisson
Algoritma 2
S1: x ← 0; f ← e−λ; F = f
S2: u ← U(0, 1)
S3: jika u < F, hasilkan x
jika tidak x ← x + 1; f ← fλ/x
S4: F ← F + f
S5: ke S3

Distribusi Diskret Empiris
Distribusi untuk diskret empiris (discrete empirical distribution)
berupa tabel distribusi probabilitas untuk tiap-tiap variabel
random X.
Algoritma
Menggunakan metode inversi dengan melihat tabel F(x) empiris
S1: u ← U(0, 1): i ← 1
S2: jika u ≤ F(xi), hasilkan xi jika tidak
i ← i + 1
S3: ke S2

Distribusi Uniform Kontinu
f(x) =
1
b − a
, a < x < b
Algoritma
S1: u ← U(0, 1)
S2: x ← a + (b − 1)u
S3: hasilkan x

Distribusi Normal
f(x; µ, σ2
) =
1
√
2πσ2
e− (x−µ)2
2σ2
, −∞ < x < ∞
Metode pembangkitan dilakukan melalui Normal Standar
(Normal dengan µ = 0 dan σ2 = 1), kemudian
di-transformasikan ke N(µ, σ2) dengan X = µ + Zσ
Algoritma 1
Menggunakan distribusi Normal bivariat dan metode inversi.
Dengan metode ini satu kali pembangkitan dua variabel random
normal dapat diperoleh.

Distribusi Normal
Algoritma 1
S1: u1 ← U(0, 1); u2 ← U(0, 1)
S2: r ← −2 loge u1
S3: a ← 2πu2
S4: x1 ← r sin a
x2 ← r cos a
S5: hasilkan x1, x2

Distribusi Normal
Algoritma 2
Menggunakan teorema limit sentral. Distribusi Normal Standar
dapat didekati dengan konvolusi variabel random Uniform.
S1: u ← 0; x ← 0
S2: u ← U(0, 1)
S3: x ← x + u
S4: i ← i + 1
S5: jika i < 12 ke S2
jika tidak
S6: x ← x − 6
S7: hasilkan x

f(x; θ) =
1
θ
e−x/θ
, x > 0
Algoritma
Menggunakan metode inversi, F(x) = 1 − e−x/θ, sehingga
u = 1 − e−x/θ dan diperoleh x = −θ loge(1 − u). Karena 1 − u
juga merupakan variabel random, x = −θ loge u
S1: u ← U(0, 1)
S2: x ← −θ loge(u)
S3: hasilkan x

SIMULASI (MMS-2804)
Pemodelan Simulasi

Pemodelan Simulasi
Hal-hal yang perlu diperhatikan:
• Mekanisme pengaturan waktu (simulasi): ﬁx-step atau
next-event
• Perubahan event pada sistem: diskret atau kontinu
• Sifat perubahan: probabilistik (stokastik) atau deterministik

Mekanisme Pengaturan Waktu
Next-event time (event scheduling)
Perubahan waktu berdasarkan kejadian.

Fix-time step
Perubahan atau penambahan waktu tetap

Perbandingan Event-Scheduling dengan Fix-time

Perbandingan Event-Scheduling dengan Fix-time
X
X
X
X
X
X
X
X

Event Scheduling: Antrian Layanan Tunggal
N ← 0; TN ← 0; K ← 0;
T ← 0; bangkitkan Ta
T ≥ Tmax
Ta < Ts
T
TN ← TN + (Ta − T) ∗ N
T ← Ta; N ← N + 1; K ← K + 1
Ta ← T + bangkitkan Ta
kedatangan
Y
N = 1
Ts ← T + bangkitkan Ts
Y
¯n ← TN/T
¯W ← TN/K
Y
TN ← TN + (Ts − T) ∗ N
T ← Ts;
N ← N + 1
pelayanan
T
N = 0
Ts ← T + bangkitkan Ts
T
Stop
Y
T

Fixed-Time: Antrian Layanan Tunggal
TN ← 0; K ← 0
T ← 0; SN ← 0
T ≥ Tmax
TN = 0
S ← bangkitkan Ns|T N
TN ← TN − S
SN ← SN + S
N ← bangkitkan Na
TN ← TN + N
K ← K + N
S ← bangkitkan Ns|T N
TN ← TN − S
SN ← SN + S
T ← T + ∆T
¯na ← K/T
¯ns ← SN/T
Stop
Y
T
YT

Perubahan Sistem
Discrete Event Simulation. Hanya diamati perubahan yang
diskret dan berhingga.
Continuous Event Simulation. Perubahan yang diamati kontinu
(banyaknya event tak berhingga).

Pemerograman Simulasi
• Bahasa Khusus Simulasi (Simulation Language)
◦ EXTEND
◦ GPSS
◦ SIMAN
◦ SIMULA
◦ SIMNET
◦ DYNAMO
• Bahasa Pemerograman Umum (General Purpose
Language)
◦ Pascal
◦ FORTRAN
◦ BASIC
◦ C

Bahasa Khusus Simulasi Bahasa Pemerograman
Umum
Tidak mudah diperoleh Mudah diperoleh
Pembuatan Program sederhana Pembuatan program lebih rumit
Tidak mudah dimodiﬁkasi Fleksibel, mudah dimodiﬁkasi
Waktu running lebih lama Waktu running lebih cepat

Kemampuan Standar Bahasa Simulasi:
• Pembuatan kode program (code development)
• Debugging
• Fungsi (prosedur) pembangkitan bilangan random
• Fungsi (prosedur) Statistik
• Desain Eksperimen
• Output yang informatif (graﬁk, tabel)

Mengenal GPSS
• Geoffrey Gordon (1961)
• General Purpose Simulation System
• Prinsip simulasi: process-interaction atau
transaction-ﬂow-oriented language
• GPSS World Student Version 4.3.5

Mengenal GPSS
Entitas:
• Basic
◦ Transaction
◦ Blocks
• Equipment
◦ Facilities
◦ Storages
◦ Logic switches
• Statistical
◦ Queues
◦ Distribution tables
• Computational
◦ Arithmetic variables
◦ Boolean variables
◦ Functions
• Reference
◦ Savevalues
◦ Matrices
• Chain
◦ System Chains
◦ User Chains

Mengenal GPSS
Entitas Basic
Transactions. Obyek yang mengalir dalam program (waktu)
Blocks. Elemen yang mengalir pada transaction.
Jenis blok dalam GPSS:
• GENERATE
• TERMINATE
• SEIZE
• RELEASE
• ADVANCE
• QUEUE
• DEPART
• Control statements: SIMULATE, START, END.

SIMULASI (MMS-2804)
Model Analitik dan Simulasi

Model Analitik
Model Analitik Model Simulasi
Keuntungan • keringkasan dan
closed-form
• kemudahan
evaluasi menuju
solusi optimal
• relatif mudah
untuk sistem yg
kompleks
• sarana pelatihan
Kerugian • asumsi tidak
realistis
• formula yang
kompleks
• tidak ada (sulit)
mencari solusi
optimal
• model simulasi
yang baik mungkin
mahal

Rantai Markov
Untuk memodelkan perubahan status atau transisi dari suatu
sistem (analytic state-change models)
Contoh transisi status:
Sistem Status
Elevator gedung bertingkat Tingkat (nomor lantai)
Sistem inventori Banyaknya unit inventori
Sistem komputer Banyaknya proses yang aktif
Epidemik Banyaknya yang terinfeksi
Pasar bebas Pilihan pelanggan
Rumah sakit Banyaknya bangsal yang terisi

Rantai Markov
Proses random atau proses stokastik adalah himpunan dari
variabel random {X(t); t ∈ T}, dimana
• T adalah himpunan indeks (index set) atau waktu,
• X(t) adalah status pada saat t,
• X(t) dapat mengambil nilai (values) dalam
himpunan status (state space) S.
Stokastik (stochastic), dari bahasa Yunani yang berarti "menuju ke" atau "mengincar
dengan anak panah"

Rantai Markov
Contoh:
Satu elevator gedung bertingkat 5 dapat dipandang sebagai
suatu proses stokastik {X(t); t ∈ T} dengan T adalah waktu
dan X(t) adalah status elevator pada saat tertentu dan
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Rantai Markov
Contoh:
Untuk meningkatkan penjualan produknya perusahaan A
melakukan promosi baru yang diharapkan dapat menurunkan
kemungkinan pelanggan pindah ke produk lain, sekaligus
meningkatkan kemungkinan pembeli produk lain akan beralih ke
produk perusahaan A. Kompetitor produk A adalah B dan C.
Untuk satu orang pelanggan atau pembeli, sistem ini dapat
dipandang sebagai suatu proses stokastik {X(t); t ∈ T} dengan
T adalah waktu dalam hari, X(t) adalah preferensi pembeli
pada hari tertentu dan S = {A, B, C}

Rantai Markov
Rantai Markov adalah suatu proses stokastik
{X(tn); n = 0, 1, 2, . . .} yang mempunyai sifat
P[X(tn+1) = s1 | X(tn), X(tn−1), . . . , X(t0)] =
P[X(tn+1) = si | X(tn)]
dengan si adalah status dari sistem, S = {s1, s2, . . .}

Rantai Markov
Probabilitas transisi
pjk = P[X(tn+1) = sk | X(tn) = sj]
dan
pm
jk = P[X(tn+m) = sk | X(tn) = sj]

Rantai Markov
Jika banyaknya status dalam sistem berhingga (ﬁnite) maka
dapat dideﬁnisikan matriks transisi:
P =






p11 p12 . . . p1c
p21 p22 . . . p2n
... . . .
pr1 pr2 . . . prc







Rantai Markov
Probabilitas suatu proses berada dalam status tertentu dari
S = {s1, s2, . . . , sp} setelah b transisi,
πb
= P[X(tb) = s1, X(tb) = s2, . . . , X(tb) = sp]
= (πb
1, πb
2, . . . , πb
p)
Probabilitas setelah b + 1 transisi
πb+1
= πb
P
dan
πb
= π0
Pb
,
dimana Pb = P × P . . . × P
b suku

Rantai Markov
Contoh: Market share
Suatu Rantai Markov {X(t); t ∈ T} dengan T = t0, t1, . . . adalah
waktu dalam hari, X(t) adalah preferensi pembeli pada hari
tertentu dan S = {A, B, C}
Persentase preferensi pembelian (persen baris):
preferensi berikut
A B C Total
preferensi A 60 20 20 100%
sekarang B 40 30 30 100%
C 40 30 30 100%
Bagaimana persentase pembeli produk A, B dan C setelah
jangka waktu tertentu (100 hari misalnya)?

Rantai Markov
Matriks transisi: 


0, 6 0, 2 0, 2
0, 4 0, 3 0, 3
0, 4 0, 3 0, 3




Rantai Markov
Penyelesaian Analitis.
Diasumsikan π0 = (1/3 1/3 1/3) dan dalam suatu periode
tertentu (100 hari misalnya) pelanggan akan membeli sebanyak
3 kali
π3
= π0
P3
= (0, 499 0, 251 0, 251)

Rantai Markov
Penyelesaian dengan simulasi.
Disimulasikan seorang pembeli dengan status preferensi produk
tertentu (A, B, atau C). Diasumsikan distribusi waktu antar
pembelian dari masing-masing produk TA ∼ Uniform(25,45),
TB ∼ Uniform(28,38) dan TC ∼ Uniform(20,30).

Sistem Antrian (Kongesti)
Elemen sistem antrian
• proses kedatangan
• proses pelayanan
• disiplin antrian

Intensitas kedatangan ρ,
ρ =
tingkat kedatangan
tingkat pelayanan
ρ =
mean waktu pelayanan
mean waktu antar kedatangan(c)
ρ =
tingkat kedatangan
tingkat pelayanan(c)
dengan c adalah banyaknya server (fasilitas pelayanan).

Notasi Kendall
A/B/s : K/E
dengan A proses kedatangan, B proses pelayanan, s
banyaknya server, K banyaknya pelanggan yang dapat masuk
ke dalam sistem dan E disiplin antrian.
M: distribusi eksponensial
D: konstant pelayanan atau kedatangan
Ek: distribusi Erlangk
G : distribusi pelayanan atau kedatangan umum
FIFO: ﬁrst-in-ﬁrst-out queue discipline
SIRO: serve in random-order queue discipline
PRI: priority queue discipline
GD: general queue discipline

Ukuran performansi sistem antrian:
Ls : Harga harapan banyaknya pelanggan dalam
sistem
Lq : Harga harapan banyaknya pelanggan dalam
antrian
Ws : Harga harapan lama pelanggan berada dalam
sistem
Wq : Harga harapan lama pelanggan menunggu
pelayanan
Pi : Probabilitas tepat i pelanggan berada dalam
sistem, i = 0, 1, . . .
Pn(t) : Probabilitas tepat n pelanggan berada dalam
sistem saat t
P(Wq > t) : Probabilitas pelanggan menunggu selama t
atau lebih

Untuk waktu antar kedatangan dan pelayanan yang berdistribusi
eksponensial,
P(satu kedatangan dalam interval t, t + ∆t) = λ∆t
P(satu pelayanan selesai dalam interval t, t + ∆t) = µ∆t
dimana
1/λ adalah mean antar kedatangan
1/µ adalah mean lama pelayanan
atau
λ adalah tingkat (rate) kedatangan
µ adalah tingkat (rate) pelayanan

Sistem Non Steady-State (time-dependent).
Solusi dari persamaan diferensial
dP0(t)
dt
= −λP0(t) + µP1(t)
dPn(t)
dt
= λPn−1(t) − (λ + µ)Pn(t) + µPn+1(t)
untuk n = 1, 2, . . .

Model M/M/s Steady-State
Sistem antrian dikatakan steady-state jika
Pn(t)
dt
= 0
Solusi dari persamaan
λ0P0 = µ1P1
(λn + µn)Pn = λn−1Pn−1 + µn+1Pn+1
untuk n = 1, 2, . . .

Model M/M/1
Ukuran performansi:
ρ =
λ
µ
Pn = (1 − ρ)ρn
, n = 0, 1, . . .
Ls =
ρ
(1 − ρ)
Lq = Ls − ρ
=
ρ2
(1 − ρ)
Wq =
ρ
µ(1 − ρ)

Contoh:
Sebuah bank menempatkan sebuah ATM dalam sebuah kantor
dimana banyak nasabah menggunakan ATM tersebut. Mean
lama pelayanan adalah 50 detik dan mean banyaknya nasabah
yang ingin menggunakan ATM tersebut adalah 60 nasabah per
jam. Banyak nasabah yang complain bahwa waktu tunggu
mereka terlalu lama dan mengusulkan satu ATM baru.
Diasumsikan waktu antar kedatangan dan lama pelayanan
berdistribusi Eksponensial. Untuk menentukan apakah
tambahan satu ATM perlu, pihak bank ingin mengetahui
probabilitas seorang nasabah harus menunggu dan lama waktu
tunggunya.

Contoh: (lanjutan, sistem ATM)
Untuk sistem ini tingkat kedatangannya adalah
λ = 60/jam
dan tingkat pelayanannya adalah
µ = 1/50 detik
= 72/jam
Intensitas traﬁknya adalah
ρ = λ/µ
= 60/72
= 0, 8333

Contoh: (lanjutan, sistem ATM)
Harga harapan nasabah menunggu pelayanan
Wq =
ρ
µ(1 − ρ)
=
60/72
72(1 − 60/72)
= 0, 0694 jam
= 4, 167 menit
Harga harapan panjang antrian
Lq =
ρ2
(1 − ρ)
= 4, 2 nasabah

Model M/M/s
Ukuran performansi:
ρ =
λ
sµ
P0 = 1/
s−1
r=1
(sρ)i
i!
+
(sρ)s
c!(1 − ρ)
P(n ≥ s) =
(sρ)sP0
s!(1 − ρ)
Ls =
sρ + (sρ)s+1P0
s(s!)(1 − ρ)2
Lq =
P0(ss+1ρs+1/s)
s!(1 − ρ)2
Ws = Ls/λ
Wq = Lq/λ

Contoh:
Suatu supermarket dirancang dengan 4 kasa. Saat sibuk
diasumsikan pelanggan akan datang dengan tingkat
kedatangan 100 per jam dan mean lama pelayanan di kasa
untuk seorang pelanggan 2 menit. Perancang sistem
supermarket ini ingin mengetahui mean lama tunggu pelanggan
dan probabilitas bahwa seorang pelanggan tidak perlu harus
menunggu.

Contoh:(lanjutan supermarket)
Model M/M/4
λ = 100 pelanggan/jam
µ = 30 pelanggan per jam per server
ρ = λ/(sµ) = 0, 8333
Lq = 3, 29
P(seorang pelanggan tidak perlu harus menunggu)
= 1 − P(n ≥ 4) = 0, 658

Model Inventori
Elemen sistem inventori
Inventori merupakan fungsi dari
• parameter biaya (cost)
• variabel tak terkontrol eksternal
• Inventory policy

Model Inventori
Parameter Biaya
C: Harga pembelian per unit dari barang yang disimpan
CH: Biaya menyimpan satu unit barang untuk satu unit waktu
CR: Biaya pemesanan kembali
CP : Biaya penalti karena tidak tersedianya barang
CS: Pemasukan dari barang yang tidak terjual
Variabel tak terkontrol
D: Permintaan pembeli
L: Waktu yang diperlukan sampai pesanan datang
Inventory policy
Q: Kuantitas barang yang dipesan kembali
Aturan kapan harus memesan kembali

Model Inventori
Model Inventori Dinamis Kontinu
Dalam model ini inventori di-review secara kontinu. Variabel
keputusannya adalah Q dan reorder point Rp. Jika inventori
berada di bawah Rp, kuantitas sebanyak Q dipesan.
Total biaya untuk sistem seperti ini adalah
Total biaya tahunan = CHCQ/2 + CRD/Q,
dimana D adalah tingkat permintaan tahunan.
Nilai optimal untuk Q adalah
Q = 2DCR/CHC
Reorder point adalah L × D, dengan L adalah lama pesanan
datang.

Model Inventori
Contoh:
Seorang supplier barang-barang elektronik mempunyai inventori
suatu barang yang mempunyai permintaan 10.000 unit per
tahun. Tiap unit berharga 1 unit uang dan biaya pertahun untuk
inventori adalah 12% dari harga beli. Biaya pemesanan sebesar
10 unit uang. Lama pesanan datang 10 hari. Saat ini supplier itu
memesan 2000 unit. Supplier itu ingin mengetahui berapa
kuantitas optimal dari pemesanan.
Total biaya tahunan = CHCQ/2 + CRD/Q
= (0, 12)(1)(2000/2) + (10)(10.000/2000)
= 170 unit uang

Model Inventori
Kuantitas optimal pemesanan:
Q = 2DCR/CHC
= 2(10.000)(10)/(0, 12)(1)
= 1290 unit barang
Biaya dari optimal inventory policy:
Total biaya tahunan = CHCQ/2 + CRD/Q
= (0, 12)(1)(1290/2) + (10)(10.000/1290)
= 154, 92 unit uang
dengan re-order point:
Rp = L × D
= 10 × (10.000/365) = 274 unit

SIMULASI (MMS-2804)
Analisis Output

Analisis Output
• Melakukan analisis atau interpretasi hasil keluaran (output)
model simulasi sehingga dapat diperoleh informasi tentang
sistem maupun model simulasinya yang berguna
khususnya untuk menentukan nilai dari variabel keputusan
• Dasar analisis output adalah inferensi statistika (estimasi
dan uji hipotesis) dan pengetahuan tentang jenis-jenis
(karakteristik) sistem.
• Analisis sistem simulasi dinamik

Analisis Output
Karakteristik data model simulasi dinamis
• Observasi tidak independen
• Observasi tidak stasioner

Analisis Output
Karakteristik (jenis) sistem
• Sistem Terminating
Sistem ini akan berhenti pada suatu waktu yang tertentu.
Contoh:
Bank: Mulai buka pukul 08:00 - 16:00. Dimulai dari
keadaan tidak ada pengunjung dan diakhiri dengan tidak
ada pengunjung. Statistik yang diperlukan untuk sistem ini
misalnya waktu tunggu pengunjung bank
Contoh lain: lab. komputasi, supermarket

Analisis Output
Karakteristik (jenis) sistem (lanjutan:)
• Sistem Non-terminating
Sistem yang tidak dapat ditentukan kapan akan berhenti.
Contoh:
Bandara (internasional): Selama 24 jam pesawat terbang
datang dan pergi ke dan dari bandara dan tidak dapat
ditentukan kapan sistem ini akan berhenti. Statistik yang
diperlukan untuk sistem ini misalnya rata-rata kedatangan
pesawat, rata-rata banyak pesawat yang menunggu di
landasan.
Contoh lain: pabrik, rumah sakit

Analisis Output
Karakteristik (jenis) sistem (lanjutan:)
Misalkan X(t) adalah status sistem pada saat t dan
P(X(t)) = s adalah probabilitas bahwa sistem tersebut berada
dalam status s pada saat t
• Sistem Steady state
Bila waktu tidak berpengaruh lagi terhadap sistem atau,
dP(X(t) = s)
dt
= 0
• Sistem Transient
Bila waktu berpengaruh terhadap sistem (atau jika
persamaan di atas tidak berlaku)

Analisis Output
waktu t
P(X(t)=s)

Analisis Output
Metode
• Replikasi
Observasi diperoleh dari runtun (run) yang terpisah. Untuk
memperoleh n observasi diperlukan n runtun
• Subinterval
Observasi diperoleh dari satu runtun tunggal yang dibagi
menjadi n sub-interval dengan lebar tiap-tiap interval sama
• Regeneratif
Untuk mendapatkan n observasi, satu runtun tunggal
dibagi menjadi daur-daur (cycle) berdasarkan status
regeneratif

Analisis Output
Metode (lanjutan)
• Runtun Waktu
Analisis menggunakan suatu model parametrik runtun
waktu observasi
• Analisis Spektral
Dilakukan estimasi autokovariansi dari observasi, yang
kemudian digunakan dalam analsisi spektral.

Analisis Output
Contoh: Antrian Layanan Tunggal
0 10 20 30 40 50 60
waktu (t)
n(t)
1
2
3

Analisis Output
Ukuran performansi sistem antrian
¯n =
1
T
T
0
n(t)dt ¯W = 1
k
T
0 n(t)dt
¯n mean banyaknya pengantri dalam sistem
¯W mean durasi pengantri dalam sistem
n(t) banyaknya pengantri dalam sistem pada saat t
k banyaknya kedatangan
T panjang simulasi

Analisis Output
Replikasi
5 10 15 20
1
2
3
4
waktu t
n(t)

Analisis Output
Subinterval
5 10 15 20
1
2
3
4
waktu t
n(t)

Analisis Output
Regeneratif
5 10 15 20
1
2
3
4
waktu t
n(t)

Simulasi2

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Simulasi2

Similar to Simulasi2 (20)

Simulasi2