Dokumen ini membahas tentang matriks elementer, adjoint, invers matriks, dan matriks singularitas. Dijelaskan pula bagaimana operasi baris elementer dapat digunakan untuk menemukan invers dari matriks tertentu, serta disertai contoh-contoh perhitungan. Selain itu, terdapat penjelasan tentang hubungan antara dua matriks yang saling invers dan cara menghitung determinan matriks.

1. MATRIKS ELEMENTER
INVER MATRIKS N X N
A. Pengetian Matriks Elementer
Suatu matriks berukuran n x n dikatakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat
diperoleh dari matriks identitas In dengan melakukan operasi baris elementer tunggal (hanya
malakukan operasi baris elementer sebanyak 1 kali).
Syarat operasi bilangan elementer yaitu :
 Mengalikan suatu baris dengan bilangan tak nol
 Menjumlahkan suatu baris dengan hasil kali suatu baris lain dengan bilangan real
kecuali nol.
 Menukarkan sebarang dua buah baris
Contoh :
I = B2 ditukan B3 E =
I = 2xB3+B1 E =
I = -3xB2 E =
Jika E suatu matriks elementer berordo n x n, dan A suatu matris berordo m x n maka
EA hasilnya akan sama dengan matriks yang piroleh dari A dengan melakukan
operasi baris elementer yang sesuai.
Contoh :
Misalkan matriks A =
dan matriks elementer sebagai berikut : E =
maka penyelesiannya yaitu :
EA= =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0
0 1
1 0 2
0 1 0
0 0 1
1 0
0 1
3 -2
0 4
1 7
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0
0 0 1
0 1 0
3 -2
0 4
1 7
3 -2
1 7
0 4

2. Jika operasi baris elementer dilakukan terhadap matriks identitas I untuk
menghasilkan matriks elementer E, maka terhadap operasi baris kedua dimana jika
dilakukan terhadap E, akan menghasilkan I kembali.
B. Adjoint Matriks
Adjoint merupakan tranfos dari kofaktor matriks A, secara sistematis di rumuskan
sebagai berikut :
Adj = KA
T
Adjoint suatu matriks bujur sangkar (2x2) adalah :
Jika matriks A= , maka Adj A=
Contoh :
1. A = , maka Ajd A =
2. B= , maka Adj B= =
Adjoint suatu matriks bujur sangkar (nxn) adalah :
Jika matriks A = , maka Adj A adalah transpos hasil kifaktor matriks A.
Adj A = transpos , dengan k adalah kofaktor matriks A
C. Dua Matriks Saling Invers
Diketahui A dan B dua buah matriks persegi yang berordo sama sehingga AB=BA=I,
maka B adalah A-1
invers dari A ditulis B= A-1
dan A adalah invers dari B ditulis A=B-1
,
maka AA-1
=A-1
A=I
1 0
0 1
1 0
0 7
1 0
0 1
Kalikan baris
Kedua dengan 7
Kalikanbaris
Kedua dengan
1
7
A b
C d
d -b
-c a
A b
C d
10 3
-2 1
A b
C d
1 -3
-(-2) 10
1 -3
2 10
a b c
d e f
g h i
K11 k12 k13
K21 k22 k23
K31 k32 k33

3. Contoh :
A = dan B =
Penyelesaian :
Hasi kali matriks AB adalah :
AB =
=
=
Hasil kali matrik BA adalah :
BA =
=
= = I
Berdasarkan hasil diatas , disimpulkan bahwa AB=BA=I
D. Matriks Singularitas
Matriks singularitas adalah matriks yang Determinannya Nol.
Contoh :
Diketahui matriks dibwah ini,
A=
Buktikan bahwa A adalah matriks singular.
1 -3
1 -2
-2 3
1 1
1 -3
1 -2
-2 3
1 1
-2+3 3-3
-2+2 3-1
1 0
0 1
-2 3
1 1
1 -3
1 -2
-2+3 6-6
-1+1 3-1
1 0
0 1
2 6
1
2
3
2

4. Penyelesaian :
Determinan amtriks A adalah
Det (A)=
= ( 2x
3
2
)- ( 6x
1
2
) = 3-3 = 0
E. Invers Matriks nxn
1. Invers matriks ordo 2x2
Misalkan A adalah matriks persegi sedemikian det A‡0, jikaterdapatmatrikssedemikian
sehinggaterdapatmatriksBsedemikiansehingga:
AB= BA=I
DimanaA,B,dan I berordosama,maka B disebutsebagai inversdari A dandi tulis
sebagai B=A-1
.SehinggaA.A-1
=I
Berikutini penurunanrumusuntukmencari A-1
A.Adj A=Adj A.A= detA.Iatau A. = .A = 1 ( bagian
dengandetA,diasumsi det A‡0).
Jadi,A-1
=
Contoh:
Carilahinversdari matrikmatriksberikut:
a. A=
Penyelesaian :
Det (A) = = ad-bc
Adj A=
Jadi, A-1
= 1
det𝐴
Adj A atau A -1 =
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
1
det𝐴
Adj A
2 6
1
2
3
2
1
det𝐴
Adj A
a b
c d
1
det𝐴
Adj A
a b
c d
d -b
-c a
d -b
-c a

5. Pembuktian :
A.A-1= .
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
. =
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
.
=
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
. = = 1
b. A =
penyelesaian :
A=
Det (A)= = 8-(-3)= 1
Adj =
Jadi, A-1
=
1
det 𝐴
.Adj A =
1
11
.
Pembuktian :
A.A-1
=
1
11
=
1
11
= = = 1
a b
C d
d -b
-c a
d -b
-c a
a b
C d
Ad-bc -ab+ab
Cd-cd -bd+ad
1 0
0 1
2 -3
1 4
2 -3
1 4
2 -3
1 4
4 3
-1 2
4 3
-1 2
2 -3
1 4
4 3
-1 2
2 -3
1 4
4 3
-1 2
11 0
0 11
1 0
0 1

6. c. Carilah matriks A,jika A-1
=
1
11
Penyelesaian :
A-1
=
1
5
=
Det A -1
= T
= =
1
5
Jadi, A = ( A-1
) -1
= 1
det𝐴
-1
=
1
1
5
.
1
5
=
2. Inver matriks berordo 2x2
 Dengan adjoint
M =
 Determinan dari matrik M
1 2
Det M = 0 1
5 6
Det M = (0+40+0 – 15+2+0) = 40 – 39 = 1
 Transpose matriks
M =
M T
=
 Menentukan deterninan dari setiap matriks minor 2x2
M11 = = - 24 M12 = = -18 M13 = = 5
3 -1
-1 2
3 -1
-1 2
3
5
−
1
5
−
1
5
2
5
2
5
−(−
1
5
)
-(−
1
5
)
2
5
2
5
1
5
1
5
3
5
2 1
1 3
2 1
1 3
2 1
1 3
1 2 3
0 1 4
5 6 0
1 2 3
0 1 4
5 6 0
1 2 3
0 1 4
5 6 0
1 0 5
2 1 6
3 4 0
1 6
4 0
2 6
3 0
2 1
3 4

7. M21 = = - 20 M22 = = -15 M23 = = 4
M31 = = - 5 M32 = = -4 M33 = = 1
 Melambangkan determinan sebagaimatriks kofaktor seperti yang ditunjukan
dan kalikan setiap sukunya dengan tanda yang diberikan.
MT
=
M = x
M =
 Matriks adjoint
Adj M =
 Invers matriks
M-1
=
1
det (𝑀)
{ adj(M)}
M-1
=
1
1
M-1
=
M-1
=
0 5
4 0
1 5
3 0
1 0
3 4
0 5
1 6
1 5
2 6
1 0
2 1
1 0 5
2 1 6
3 4 0
-24 -18 5
-20 -15 4
-5 -4 1
+ - +
- + -
+ - +
-24 18 5
20 -15 -4
-5 -4 1
-24 18 5
20 -15 -4
-5 -4 1
-24 18 5
20 -15 -4
-5 -4 1
-24 18 5
20 -15 -4
-5 -4 1
-24 20 -5
18 -15 4
5 -4 1

8.  Dengan transformasi elementer
Untuk menemukan invers matriks An dengan cara tranformasibaris elementer
baris elementer, dapat dilakukan dengan langkah langkah berikut ini.
Bentuklah matriks (An|In),dengan In adalah matrik identitas ordo n.
Transformasi matriks (An|In) ke bentuk (In|Bn), dengan tranformasi elemen
baris.
Hasil dari langkah 2, diperoleh invers matriks An adalah Bn.
Notasi yang sering digunakan dalam transformasi baris elementer adalah :
Bi Bj : menukar elemen-elemen bari ke-I dengan elemen-elemen
baris ke-j.
k.Bi : mengalikan elemen-elemen baris ke-I dengan scalar k.
Bi+Bj : jumlahkan elemen-elemen baris ke-i dengan k kali elemen-
elemen baris ke-j.
Contoh :
Tentukan invers matriks A=
dengan tranformasi baris elementer.
B2-2 B1
(A3|I3) = B3-B1
1
5
B3
B3+ B2
B2-2B3
B1-B2
Jadi, doperoleh A -1
=
1 1 0
2 3 2
2 1 3
1 1 0 1 0 0
2 3 2 0 1 0
2 1 3 0 0 1
1 1 0 1 0 0
0 1 2 -2 1 0
0 -1 3 -2 0 1
1 1 0 1 0 0
0 1 2 -2 1 0
0 0 5 -4 1 1
1 1 0 1 0 0
0 0 2 -2 1 0
0 0 1
−4
5
1
5
1
5
1 1 0 1 0 0
0 0 2
−2
5
3
5
−2
5
0 0 1
−4
5
1
5
1
5
1 1 0
7
5
−3
5
7
5
0 2
−2
5
3
5
−2
5
0 0 1
−4
5
1
5
1
5
1 1 0
7
5
−3
5
7
5
0 2
−2
5
3
5
−2
5
0 0 1
−4
5
1
5
1
5