Kelompok 1 terdiri dari 4 orang yang mengerjakan soal-soal tentang geometri analitik datar dan ruang. Soal-soal tersebut meliputi tentukan persamaan garis, titik potong garis, dan hubungan antar garis.

1. Nama Kelompok:
1. Indah Oktriani
2. Novelia Citra Resmi
3. Sherly Oktaviani
4. Nurwasilah
Tugar Geometri Analitik Datar dan Ruang (Rawuh, 18-19)
21. Tentukan PGL yang melalui (0, -1) dan tegak lurus garis y = 2x.
Jawab:
y = 2x, maka m = 2. Karena tegak lurus
m1m2 = −1
2  m2 = −1
1
m =
−2
y
=
mx + c
−1
=
− 2(0) + c
−1
c
y
=
=
=
0+c
−1
mx + c
=
−2x −1
1
1
1
Jadi PGL nya adalah y = − 2 x − 1

2. 22. Tentukan PGL yang melalui (2, 1) dan sejajar garis x + 2y + 3 = 0.
Jawab:
Karena sejajar, maka m1 = m2
x + 2y + 3 =
0
2y =
−x−3
y
=
m
=
y
=
=
=
=
=
−1 + c
2
mx + c
=
1
−2
− 2(2) + c
1
c
y
2
mx + c
1
−x−3
− 2 x +2
1
1
1
Jadi, PGL nya adalah y = − x +2
2

3. 23. Tentukan PGL yang melalui (2, 0) dan yang bersudut 450 dengan garis y = 2x.
Jawab:
Misalkan m1 kemiringan (gradient) garis l1 yang akan dicari. Diketahu garis yang yang diminta
membentuk sudut 450 dengan gradient
l2  y = 2x
m2= 2
dalam hal ini ada dua kasus garis yang memenuhi sifat garis yang dicari yaitu:
Kasus 1
Jika 𝜃 = Sudut (l1 , l2) = 450
Jika 𝜃 = Sudut (l2 , l1) = 450
tan 𝜃
=
tan 450
=
1
=
M
=
m 2−m 1
1+m 1  m 2
2−m 1
1+m 12
2−m 1
1+2m 1
1
=
y−0
=
Y
=
3y
=
1
3
1
3
1
3
=
tan 450 =
1 =
m =
3
Karena garis melalui titik (2, 0) dan
1
mempunyai gradient, m = 3 maka,
y−0
tan 𝜃
(x − 2)
2
x−3
2
x − 3 atau
x−2
m 1−m 2
1+m 1  m 2
m 1−2
1+m 1  2
m 1−2
1+2m 1
−3
Karena garis melalui titik (2, 0) dan
mempunyai gradient, m = −3 maka,
y−0 =
−3(x − 2)
y−0 =
−3x + 6
y =
−3x + 6

4. 24. Buktikan, bahwa dalam ∆ABC (lihat soal no. 5) dua sisi tegak lurus sesamanya
Jawab:
mAC
=
=
=
y2−y1
x2−x1
2−1
2−(−5)
1
7
mBC
=
=
=
Jika kedua garis berpotongan tegak lurus maka
m1  m2 = −1
1
7
 − 7 = −1 (terbukti ACBC)
y2−y1
x2−x1
2−(−5)
2−3
−7

5. 25. Tentukan persamaan garis tinggi dari C (soal no.5).
Jawab:
AC =
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
BC
=
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=
(−5 − 2)2 + (1 − 2)2
=
(3 − 2)2 + (−5 − 2)2
=
(−7)2 + 12
=
12 + (−7)2
=
49 + 1
=
1 + 49
=
=
50
50
Karena panjang AC = BC, maka garis tinggi dari C membagi garis AB sama panjang.
Titik tengah AB, misal D
D
x1+x2
(
=
y −y1
y2−y1
y −2
−2−2
y −2
−4
2
=
=
=
,
y1+y2
2
)
=
x−x1
x2−x1
x−2
−1−2
x−2
−3
−3y + 6
=
−4x + 8
−3y
=
−4x + 8 − 6
−3y
=
−4x + 2
y
=
y
=
−4x+2
−3
4x−2
3
Jadi, PGL nya adalah y =
4x−2
3
−5+3
(
2
,
1+(−5)
2
)
=
−2
(2 ,
−4
2
)
=
(−1 , −2)

6. 26. Tentukan persamaan garis berat dari A (soal no. 5).
Jawab:
Garis berat adalah garis yang membagi sisi didepan sudut menjadi sama panjang. Titik tengah BC misal
D, maka
D
=
x1+x2
(
y −y1
y2−y1
y −1
−1.5−1
y −1
−2.5
2
=
=
=
,
y1+y2
2
)
=
2+3
(
2
,
x−x1
x2−x1
x−(−5)
2.5−(−5)
x+5
7.5
7.5y − 7.5
=
−2.5x − 12.5
7.5y
=
−2.5x − 12.5 + 7.5
7.5y
=
−2.5x − 5 (x2)
15y
=
−5x − 10 (:5)
3y
x + 3y + 2
=
=
−x − 2
0
2−5
2
)
=
5
−3
2
2
( ,
)
=
(2.5 , −1.5)

7. 27. Apakah ke tiga titik (1, -3), (4, 3), dan (2, -1) terletak pada satu garis?
Jawab:
Iya.

8. 28. Apakah suatu garis lurus yang ditentukan oleh (2, -3) dan (-4, 5) melalui titik pangkal O?
Jawab:
y −y1
y2−y1
y −(−3)
5−(−3)
y +3
8
=
=
=
x−x1
x2−x1
x−2
−4−2
x−2
−6
−6y − 18
=
8x − 16
−6y
=
8x − 16 + 18
−6y
=
8x + 2
y
=
y
=
0
=
0
=
0
≠
8x+2
−6
−4x−1
3
−4(0)−1
3
−1
3
−1
3
Itu berarti PGL dari titik-titik (2, -3) dan (-4, 5) tidak melalui titik pangkal O

9. 29. Apakah artinya y = ax + b dan y = 3x + a, bila a dapat berubah-ubah?
Jawab:
y = ax + 3 adalah garis-garis yang yang berputar melalui titik 0,3.
y = 3x + a adalah garis-garis yang sejajar denga y = 3x, karena memiliki gradien yang sama. Suatu garis
akan sejajar dengan garis yang lain apabila m1 = m2

10. 30. Selidiki, apakah titik-titik (2, -3) dan (-3, 4) terletak pada garis 3x + 2y + 1 = 0.
Untuk titik (2, -3)
Untuk titik (-3, 4)
0
0
0
3x + 2y + 1 =
3𝑥 + 2𝑦 + 1 =
0
3(2) + 2(−3) + 1 =
0
3(−3) + 2(4) + 1 =
0
0
6−6+1 =
−9 + 8 + 1 =
0
0
1 ≠
0 =
Titik (2, -3) tidak melalui garis 3x + 2y + 1 = 0 karena tidak memenuhi PGL tersebut. Titik (-3, 4)
adalah titik yang melalui garis 3x + 2y + 1 = 0 yang melalui PGL tersebut.
Dalam hal manakah garis y = 3x + a melalui titik (2, 2)?
y =
3x + a
2 =
3 2 +a
2 =
6+a
a =
−4
Pada saat a = −4, maka PGL tersebut melalui titik (2, 2).

11. 31. Tetukan titik potong garis x + 2y – 3 = 0 dengan sb-x; juga dengan sb-y
Jawab:
Tipot pada sb-x, maka y = 0
Tipot pada sb-y, maka x = 0
0
0
x + 2y − 3 =
x + 2y − 3 =
0
0
x + 2(0) − 3 =
0 + 2y − 3 =
0
3
x−3 =
2y =
x
=
y
3
=
3
2
≈ 1.5
32. Tentukan sebuah titik C pada garis y = -2x, sehingga AC = BC, jika A(5, 1) dan B(3, 7).
Jawab: y = -2x (2x + y = 0)
Karena AC = BC, maka agar AC = BC kita dapat mencari titik tengah AB (misal D) terlebih dahulu
D
mAB
x1+x2
(
=
=
=
=
=
2
,
y2−y1
x2−x1
7−1
3−5
6
−2
−3
y1+y2
2
)
=
5+3
(
2
,
1+7
2
)
=
8
8
(2 , 2)
m1  m2
=
−1
−3  m2
=
−1
m2
=
1
3
=
(4, 4)

12. =
y
=
4
4
=
c
=
y
=
=
3y
=
mx + c
1
3
4
3
Kita gunakan metode eliminasi subtitusi
(4) + c
2x + y
+c
2x +
=
16
=
0
8 (x2)
2x + y
=
0
2x
=
−
−2x + 6y
mx + c
=
16
x
=
−7
x+3
7y
x+8
8
7
+
8
Jadi titik C adalah (− 7 ,
16
7
=
y
=
−x + 3y = 8
16
16
7
)
Pembuktian:
=
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=
(5 + )2 + (1 −
=
(
=
=
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
=
(3 + )2 + (7 −
7−16 2
)
7
=
(
( 7 )2 + (− 7)2
9
=
( 7 )2 + ( 7 )2
=
1849
=
841
=
AC
0
=
3
3
2x + y
0 (x1)
−x + 3y
8
1
=
1930
=
1930
8
7
35+8 2
)
7
16 2
)
7
+(
43
49
BC
81
+ 49
49
8
Terbukti bahwa AC = BC, berarti titik C (− 7 ,
16
7
).
8
7
27+8 2
)
7
+(
29
49
49
33
+
1089
49
16 2
)
7
49−16 2
)
7
16
7
8

13. 33. Bilamana garis-garis ax + by + c = 0 dan px – qy – r = 0 berpotongan? Sejajar? Berimpit? Tentukan titik
potong garis-garis x + 2y + 3 = 0 dan y = x – 3.
Jawab:
garis-garis ax + by + c = 0 dan px – qy – r = 0 akan:

Berpotongan apabila

Sejajar apabila

a
p
Berimpit apabila
=
a
p
a
p
b
−q
=
≠
≠
b
−q
b
−q
c
−r
=
c
−r
Titik perpotongan garis-garis x + 2y + 3 = 0 dan y = x − 3
x + 2y + 3 = 0  x + 2y = −3 dan y = x − 3  − x + y = −3
x + 2y
=
−3
−x + y
=
−3
3y
y
=
=
−6
−2
+
Jadi, titik potongnya adalah (1, −2)
x + 2y
x + 2(−2)
=
−3
=
−3
x−4
x
=
=
−3
1

14. 34. Tentukan PGL yang melalui (2, 2) dan yang bersudut 450 dengan garis x – 2y + 3 = 0.
Jawab:
Misalkan m1 kemiringan (gradient) garis l1 yang akan dicari. Diketahui garis yang yang diminta
membentuk sudut 450 dengan gradient
l2  x – 2y + 3 = 0
1
m2= 2
dalam hal ini ada dua kasus garis yang memenuhi sifat garis yang dicari yaitu:
Kasus 1
Jika 𝜃 = Sudut (l1 , l2) = 450
Jika 𝜃 = Sudut (l2 , l1) = 450
tan 𝜃
=
m 2−m 1
1+m 1  m 2
1
−m 1
2
tan 450
=
1
=
1
1+ m 1
2
m
=
−3
1+m 1
y−2
=
=
=
tan 450 =
1
2
2−m 1
1 =
1
m =
Karena garis melalui titik (2, 2) dan
1
mempunyai gradient, m = − 3 maka,
y−2
tan 𝜃
1
− 3 (x − 2)
1
2
1
2
3
1
3
−3x +3
m 1−m 2
1+m 1  m 2
1
2
m 1−
1
2
1+m 1 
1
2
m 1−
1
2
1+ m 1
3
Karena garis melalui titik (2, 2) dan
mempunyai gradient, m = 3 maka,
y−2 =
3(x − 2)
y−2 =
3x − 6
y
=
− x− +2
y =
3x − 6 + 2
y
=
− 3 x + 8 atau
y =
3x − 4
3y
=
−x + 8

15. 35. Diketahui jajaran genjang ABCD dengan A(-1, 1), B(5, 4), dan D(0, 6). Tentukan titik C dan luas
ABCD
Jawab:
Untuk mencari titik C, mula-mula kita mencari gradient dari AB dan gradient AD, kemudian kita
tentukan PGL dari gradient AB yang sejajar garis AB melalui titik D dan kita tentukan PGL dari
gradient AD yang sejajarAD melalui titik B. Setelah dapat kedua PGL tersebut lalu kita tentukan titik
potong dari kedua garis tersebut yaitu titik C
mAB
y2−y1
=
x2−x1
mAD
4−1
=
3
6−1
0−(−1)
1
=
2
5
PGL yang sejajar AB melalui titik D (0, 6)
y
=
mx + c
6
=
6
c
=
=
y
=
2y
=
1
2
PGL yang sejajar AD melalui titik B (5, 4)
y =
mx + c
0 +c
4
2
5(5) + c
=
=
25 + c
−21
y
x+6
=
4
c
c
6
1
karena sejajar, maka m1 = m2
5
=
6
1
=
x2−x1
=
5−(−1)
=
y2−y1
=
=
5x − 21  − 5x + y = −21
x + 12  − x + 2y = 12
Metode eliminasi subtitusi
12 (x1)
−x + 2y =
−21 (x2)
−5x + y =
−x + 2y =
12
−10x + 2y =
−42
9x =
54
x =
6
y
Titi C (6, 9)
=
=
=
=
5x − 21
5(6) − 21
30 − 21
9

16. A
B
C
D
A
x
1
5
6
0
1
y
1
4
9
6
1
1(4)  1(5)
5(9)  4(6)
6(6)  9(0)
0(1)  6(1)
=
=
=
=
4  5
45  24
36  0
0+6
L=
54
2
= 27
=
=
=
=
−9
21
36
6
54
+

17. 36. Diketahui ∆ABC dengan A(-1, -2) dan B(7, 2). Garis tinggi dari C melaui (0, 1), sedangkan AC = 5 2.
Tentukan C dan jari-jari lingkaran luarnya.
Jawab: jika diketahui panjang AC = 5 2 , garis tinggi melalui C dan memotong garis AB di D berarti
panjang AD = DC = 5 dengan siku-siku di D (perpotongan garis AB dan garis tinggi yang melalui titik
(0, 1).
C
cos 𝜃
A
=
=

D
=
𝜃
=
AD
AC
5
5 2
1
2
2
450
Persamaan garis AB
y −y1
y2−y1
y −(−2)
2−(−2)
y +2
4
=
=
=
x−x1
m1  m2
x−(−1)
1
7−(−1)
2
x+1
8
=
−1
 m2
=
−1
m2
x2−x1
=
−2
8y + 16
=
4x + 4
8y
=
4x + 4 − 16
y
=
mx + c
8y
2y
=
=
4x − 12
x−3
1
1
=
=
−2 0 + c
c
m
=
y
=
−2x + 1
−x + 2y
=
Titik potong D
−x + 2y
2x + y
−2x + 4y
2x + y
5y
y
1
2
−3
= −3 (x 2)
(x 1)
= 1
= −6
= 1
= −5
= −1
2x + y
2x − 1
2x
x
+
=
=
=
=
1
1
2
1
D (1, -1)
Titik C
x = x1 + AC cos θ
1
= −1 + 5 2 (2 2)
= −1 + 5
= 4
Titik C1 (4, -7)
y =
=
=
=
y1 − AC sin θ
1
−2 − 5 2 (2 2)
−2 − 5
−7

18. Jika kita rotasikan dengan  = 1800 , maka akan diperoleh satu titik lagi, yaitu:
x′ − h =
x − h cos 𝜃 − y − k sin θ
x′ − 1 =
4 − 1 cos 180 − −7 + 1 sin 180
′
x − 1 = 3 −1 + 6(0)
x ′ − 1 = −3
x′
= −2
y′ − k
y′ + 1
y′ + 1
y′ + 1
y′
=
=
=
=
=
x − h sin 𝜃 + y − k cos θ
4 − 1 sin 180 + −7 + 1 cos 180
3 0 − 6(−1)
6
5
Titik C2 (-2, 5)
Panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah 5

19. 37. Selidiki, apakah garis-garis x + 2y + 3 = 0, 3x + 2y + 1 = 0 dan y + 2x = 0
manakah itu?
Jawab:
x + 2y + 3 = 0  x + 2y = −3
3x + 2y + 1 = 0  3x + 2y = −1
x + 2y = −3
x + 2y =
3x + 2y = −1
1 + 2y =
−
−2x = −2
2y =
x =
1
y =
Titik potongnya adalah (1, -2)
y + 2x
−2 + 2(1)
0
=
=
=
0
0
0
Ketiga garis tersebut melalui satu titik yaitu titik (1,-2)
melalui satu titik. Titik
−3
−3
−4
−2

20. 38. Dalam hal manakah ketiga garis ax + 2y + 3 = 0, y = -2 dan x = 1 tidak melalui satu titik?
Jawab:
ax + 2y + 3 = 0
a 1 + 2 −2 + 3 = 0
a−4+3 = 0
a−1 = 0
a = 1
Agar ketiga garis tersebut tidak melalui satu maka pada saat a ≠ 1

21. 39. Tentukan persamaan garis sumbu segment garis AB, kalau A(3, 1) dan B(1, -3).
Jawab:
Garis sumbu adalah garis membagi suatu garis menjadi dua sama panjang, sekaligus tegak lurus
terhadap garis tersebut.
Titik tengan AB (misal D)
D
=
mAB
x1+x2
(
=
=
=
=
y =
−1 =
2
,
y1+y2
2
y2−y1
x2−x1
−3−1
1−3
−4
−2
)
=
3+1
(
2
,
1+(−3)
2
) =
(2 , −1)
mAD  m2
=
−1
2  m2
=
−1
m2
=
−2
1
2
mx + c
1
− 2 (2) + c
−1 = −1 + c
c = 0
y
=
mx + c
y
=
−2x +0
y
=
−2x
1
Jadi, persamaan garis sumbunya adalah y = − 2 x
1
1

22. 40. Tentukan persamaan kedua garis yang melalui P(-2, 5) sedemikian, sehingga titik-titik A(3, -7) dan
B(-4, 1) berjarak sama terhadap garis itu.
Jawab:
Persamaan garis yang melaui titik P dan berjarak sama terhadap titik A dan B adalah garis yang sejajar
dengan titik-titik tersebut dan garis yang melalui titik tengah AB.
a. Garis yang sejajar AB
y2−y1
=
mAB
x2−x1
1−(−7)
=
−7
8
=
mx + c
−7
8
16
=
7
19
mx + c
=
−7x +
7y
+c
=
y
− 7 (−2) + c
=
c
=
y
8
=
5
m2
−7
=
5
=
m2
8
=
y
m1
−4−3
=
−8x + 19
8
19
7
7
b. Garis yang melaui titik tengah AB (misal C)
D
=
x1+x2
(
y −y1
y2−y1
y −5
−3−5
y −5
−8
2
,
=
=
=
y1+y2
2
)
=
3+(−4)
(
2
x−x1
x2−x1
x−(−2)
−0.5−(−2)
x+2
1.5
1.5y − 7.5
=
−8x − 16
1.5y
=
−8x − 16 + 7.5
1.5y
=
−8x − 8.5 (x2)
3y
=
−16x − 17
16x + 3y
=
−17
,
−7+1
2
)
=
−1
(2 ,
−6
2
)
=
(−0.5 , −3)