1. Matakuliah : K0272/Fisika Dasar III
Tahun : 2007
Versi : 0/2
Pertemuan 04 (OFC)
FLUX LISTRIK
HUKUM GAUSS DAN DIVERGENSI
1

2. Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa
akan mampu :
• Memberikan definisi dinamika partikel : Hukum
Newton 1 dan 3 , kesetimbangan gaya(partikel) ,
gaya gesek , kesetimbangan momen gaya,
pusat massa(berat) , hukum Newton 2 , gerak
melingkar dan hukum Newton tentang gravitasi
→ C1 (TIK - 1)
2

3. Outline Materi
• Materi 1
Flux Listrik
• Materi 2
Hukum Gauss
• Materi 3
Divergensi
• Materi 4
Teorema Divergensi
3

4. ISI
• Pembahasan materi akan meliputi
hubungan muatan listrik dan garis gaya
elektrik , hukum Gauss dan teorema
divergensi .
• Aplikasi dari hukum Gauss dan
divergensi ,selain digunakan dalam
menyelesaikan masalah muatan dan
medan listrik terpa -kai pula dalam
hidrodinamika .
4

5. 1. Flux listrik ,Ψ[C] (merupakan besa-
ran skalar)
Menurut experimen Faraday:
Ψ = Q [C] ................(01)
Flux listrik yang menembus setiap permu-
kaan tertutup akan sama dengan total
muatan yang dilingkupi oleh permukaan
tersebut.
Apabila pada permukaan bola dengan
jejari r terdapat muatan Q yang terdistri-
busi secara merata pada permukaan bola
maka kerapatan flux listrik pada permu-
kaan bola, D (besaran vektor) adalah: 5

6. Q
D = ar ...............(02)
4π r 2
atau dalam bentuk integral :
dQ
D =∫ ar ...............(2a)
4π r 2
sedangkan , E :
Q
E =
4π 0 r 2
ε
sehingga D menjadi ,
D = ε0 E ...............(03)
6

7. 2. Hukum Gauss
Hukum Gauss menyatakan bahwa
integral bidang tertutup kerapatan flux
elektrik sama dengan jumlah muatan yang
dilingkupinya
Tinjau elemen luas dS , banyaknya flux
listrik yang melaluinya adalah dΨ : D
a
N θ
dΨ = D dS
dS
Q
dΨ = D dS cos θ
S = bidang tertutup
7

8. - Muatan ruang , ρ [C/m3] ;
Q = ∫ ρ dV (integral volum)
ρ = rapat muatan ruang [C/m3]
Contoh 1:
Hitunglah flux listrik yang memancar dari
sebuah muatan Q.yang ditempatkan di
pusat bola yang jejarinya a.
Jawaban :
Karena bersifat simetris bola maka dipakai
koordinat bola :
dS = a2 sinθdθ dφ aa
Q
4πa 2 8
D.dS = a2 sinθdθ dφ a . a

9. Ψ = ∫D •dS
c.s
Θπ 2π
= ϕ
Q
ψ = ∫ ∫ sinθdθ dφ = Q
θ 0 ϕ 0 4π
= =
Contoh 2:
Hitung kuat medan listrik pada jarak a
dari suatu muatan garis dengan rapat
muatan λ C/m .
Jawaban : Q = ∫ D • dS
c.s
9

10. ∞ Buatlah silinder fiktif dengan
dS1 jejari a menyelubungi
a muatan garis
S1
S1 = bidang silinder atas
dS3 S2 = bidang silinder bawah
S3
D S3 = selubung silinder
S2
D
dS2
-∞ Menurut hukum Gauss
jumlah muatan yang
dicakup silinder = Q 10

11. Q = ∳ D ⋅ dS = ∫ S1 D1 ⋅ dS1 + ∫ S2 D2 ⋅ dS2
+ ∫ S3 D3 ⋅ dS3
∫ S1 D1 ⋅ dS1 = ∫ 3 D3 ⋅ dS3 = 0 karena D
tegak lurus elemen luasan dS maka
Q = ∫ S3 D3 ⋅ dS3
D3 konstan di bidang S3 sehingga diperoleh :
Q = D ∫S3 dS3 = D (2πaL)
Q = λL → D = λL/2πal → D = λ/2πa
D = ε0 E → 11

12. 3. Divergensi
Operator , “ del “ = ∇
∂ ∂ ∂
∇= i + j+ k …………(05)
∂x ∂y ∂z
div A = ∇ • A = lim
∫ A.dS
∆V →0 ∆V
Divergensi dalam sistem koordinat :
a. Kartesian :
∂ x
A ∂ y
A ∂ z
A
divA = + + ..........(5a)
∂x ∂y ∂z
b. Silindris :
1 ∂ 1 ∂Aϕ ∂Az
divA = ( rAr ) + +
r ∂r e ∂ϕ ∂z ...........(5b)
12

13. c. Bola :
1 ∂ 2 ∂ 1 ∂Aϕ
divA = 2
r ∂r
(
r Ar + ) 1
r sin θ ∂θ
( Aθ sin θ ) +
r sin θ ∂ϕ
(5c)
Penerapan divergensi :
∫ D.dS =Qenc
∆V ∆ V
divA =
∫ D.dS Qenc
lim∆V →0 ∆V
=
∆V
sehingga
div D = ∇ ⋅ D = ρ .............(06)
13

14. 4. Teorema Divergensi
∫C.S D.dS = Qenc = ∫vol ρ dV
∫C,S D.dS = ∫vol (div D) dV ………..(07)
Contoh 3:
Dalam daerah 0≤ r≤ 3m , D = (10r4/4) ar dan
D = 810/4r ar untuk r >3m.
Tentukan rapat muatan dalam daerah-
daerah tersebut.
Jawaban :
Untuk 0 ≤ r ≤ 3m r 
1 ∂  10, 4D = (10r4/4) a .
  r
 4 
r ∂r  
ρ = div D = = 10 r2 C/m3 . 14

15. Untuk r >3m , D = 810/4r ar
1 ∂  810 
ρ = div D =   = 0 C/m3 .
r ∂r  4r 
Contoh 4 :
Dengan teorema divergensi tentukan ruas kanan
dan kirinya dari D = 10 sin θ ar
+ 2 cos θ aθ untuk volum yang dicakup oleh
bola yang berjejari r = 2 .
Jawaban :
∫C.S D.dS = ∫vol (div D)dV
Ruas kiri :
∫C.S D.dS = ∫C.S (10 sin θ ar + 2 cos θ aθ ) •15

16. = ∫ ∫ (10 sin θ r2 sin θ dθ dφ
∫C.S D.dS = ∫0π∫o2π(40 sin2 θ dθ dφ = 40 π2
Ruas kanan :
∫vol (div D) dV =
1 ∂ 2 ∂
div D = r ∂r
2
(
r 10 sin θ
1
)
+ r sin θ ∂θ
( 2 cosθ sin θ )
2 sin θ
= 10 x r + cos(2θ)/sin θ
∫vol (div D)dV =
= ∫vol 20 sinθ r sinθ dr dθ dφ …
16
+ ∫vol (cos(2θ)/sinθ) r sinθ dr dθ dφ
2

17. = ∫ 20r dr ∫ sin2θ dθ ∫ dφ ………
+ ∫r2 dr ∫cos2θ dθ ∫dφ
= 40π 2 + 0 = 40π 2
Jadi ruas kanan = ruas kiri
17

18. animasi/simulasi
http://www.gel.ulaval.ca/~mbusquehttp://www.cco.c
altech.edu/~phys1/java/phys1/EField/EField.html/ele
c/main_e.html
http://www3.ltu.edu/~s_schneider/physlets/main/gauss_
18

19. Rangkuman :
1. Menurut experimen Faraday jumlah flux elektrik
. , ψ , sama dengan jumlah muatan , Q :
ψ = Q [C]
2. Kerapatan flux elektrik , D :
dan D = ε0 E
3. Hukum Gauss :
19

20. 4. Divergensi :
- Operator ’ del ’ , ∇ :
- Divergensi vektor A :
* Dalam koordinat Kartesian
* Dalam koordinat silindris
20

21. * Dalam koordinat bola :
* Penerapan divergensi :
div D = ∇ ⋅ D = ρ
5. Teorema divergensi :
∫C.S D.dS = ∫vol (div D) dV
21

22. << CLOSING>>
Setelah menyelesaikan dengan baik materi kuliah ini
mahasiswa diharapkan sudah mampu menyelesaikan
masalah-masalah yang berhubungan dengan medan
listrik , khususnya yang terkait dengan teknik sistem
komputer .
22

23. 23