Fisika matematika bab4 differensial danintegral

cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011

Bab 4
Differensial dan Integral
4.1

Review Singkat

Pengertian Turunan (differensial)
Turunan suatu fungsi f (x) terhadap variabel x dilambangkan dengan nodf (x)
tasi
. Secara geometrik, turunan suatu fungsi di suatu titik tertentu
dx
menyatakan besar kemiringan fungsi di titik yang dimaksud, sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 4.1. Berangkat dari pengertian limit, maka definisi
turunan f (x) terhadap x dapat diperoleh dari:
df (x)
f (x + ∆x) − f (x)
= lim
∆x→0
dx
∆x

(4.1)

Pengertian Integral
Integral merupakan operasi kebalikan dari turunan (differensial) sehingga sering disebut juga bahwa integral adalah antiturunan. Integral suatu fungsi
f (x) terhadap x dinyatakan dengan f (x)dx . Jika g(x) = f (x)dx maka
berarti g(x) adalah fungsi yang turunannya terhadap x sama dengan f (x),
yang dipenuhi untuk sangat banyak (bahkan tak hingga banyaknya). Misalkan f (x) = 2x berarti g(x) adalah fungsi yang turunannya terhadap x sama
dengan 2x, yang dipenuhi oleh x2 ; x2 + 1; x2 − 0, 3; x2 − 1000 dan lain sebagainya yang secara umum mempunyai bentuk x2 + C dengan C merupakan
konstanta sembarang. Konstanta C ini disebut sebagai konstanta integrasi.
b
Operasi integral dengan batas a dan b yang dinyatakan dengan a f (x)dx
dinamakan integral tertentu yang secara geometrik mempunyai arti sebagai
luas daerah yang dibentuk antara kurva f (x), sumbu x, garis x = a dan garis
x = b. Perhatikan Gambar 4.2 .
53

54

BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL

df
∆y
=
dx x = x0 ∆x

y

f(x)

∆y
∆x

x

x0

Gambar 4.1: Turunan menyatakan gradien garis singgung di suatu titik.

b

∫ f ( x)dx
a

f(x)

a

b

Gambar 4.2: Integral tertentu menyatakan luas daerah di bawah suatu kurva.

4.2. DIFFERENSIAL PARSIAL


4.2

55

Differensial Parsial

Untuk fungsi yang mempunyai dua atau lebih variabel, misalnya z = f (x, y)
yang menggambarkan suatu permukaan dalam sistem koordinat kartesian,
turunan terhadap salah satu variabel dapat dilakukan dengan menganggap
variabel lainnya konstan. Misalkan pada suatu permukaan yang dinyatakan dengan fungsi f (x, y) bila diambil x konstan, maka akan didapat kurva
yang merupakan hasil perpotongan permukaan f (x, y) dengan bidang x konstan tersebut. Turunan atau differensial seperti ini dinamakan differensial
parsial (turunan sebagian). Jika x dianggap konstan, maka turunan yang
diperoleh adalah terhadap variabel y dan interpretasinya tetap sama yaitu
menunjukkan slope (kemiringan) dari kurva yang dibentuk dari perpotongan
kedua permukaan tersebut.
Notasi yang digunakan untuk menuliskan turunan parsial dari fungsi
∂f
f (x, y) terhadap variabel y (dengan menganggap x konstan) adalah
atau
∂y
∂f
.
lebih lengkapnya sering juga dituliskan sebagai
∂y x
Karena fungsi f juga merupakan fungsi dengan variabel y, maka dapat
juga diperoleh turunan parsial f (x, y) terhadap variabel x (dengan meng∂f
atau lebih
anggap variabel y konstan) dan hal ini dinyatakan sebagai
∂x
∂f
lengkapnya sering juga dituliskan sebagai
.
∂x y
Jika differensial biasa didefinisikan dengan limit sebagaimana ditunjukkan
dalam persamaan 4.1, maka untuk turunan parsial definisinya adalah
f (x + ∆x, y) − f (x, y)
∂f (x, y)
= lim
∆x→0
∂x
∆x
∂f (x, y)
f (x, y + ∆y) − f (x, y)
= lim
∆y→0
∂y
∆y

(4.2)

Turunan kedua juga dapat diperoleh untuk fungsi multivariabel tersebut,
misalnya untuk fungsi f (x, y) dapat diperoleh turunan-turunan berikut:
∂ 2f
∂ ∂f
=
,
∂x ∂x
∂x2

∂ 2f
∂ ∂f
=
,
∂x ∂y
∂x∂y

∂ ∂ 2f
∂ 3f
=
,
∂x ∂x∂y
∂x2 ∂y

dlsb

Notasi lain yang sering digunakan untuk menuliskan turunan parsial adalah
∂f
fx untuk menyatakan
.
∂x
∂ ∂f
∂ ∂f
Umumnya (walaupun tidak selalu) terdapat hubungan
=
,
∂x ∂y
∂y ∂x
yang disebut sebagai hubungan resiprok (reciprocity relation).

56

4.3


Differensial Total

Jika z = f (x, y), maka differensial total dari z dinyatakan dengan
dz =

∂z
∂z
dx +
dy
∂x
∂y

(4.3)

dz menyatakan perubahan variabel z dalam arah bidang singgung ketika x
berubah sebesar dx dan y berubah sebesar dy.
Untuk fungsi yang memiliki variabel lebih banyak, cara yang sama juga
dapat dilakukan. Jika u = f (x, y, z, . . .), maka differensial total dari u adalah
∂f
∂f
∂f
dx +
dy +
dz + . . .
(4.4)
∂x
∂y
∂z
Dalam persoalan numerik, du adalah pendekatan yang baik untuk ∆u
jika turunan parsial dari fungsi f kontinu dan dx, dy, dz, dst cukup kecil.
du =

4.4

Aturan Rantai

Dalam persoalan differensial biasa, jika f merupakan fungsi dari x sedangkan
x merupakan fungsi dari variabel t, maka laju perubahan fungsi s terhadap
variabel t dapat diperoleh dengan aturan rantai, yaitu
df dx
df
=
(4.5)
dt
dx dt
Hal yang sama juga dapat dilakukan untuk fungsi multivariabel. Misalkan
z = f (x(t), y(t)), maka dapat dinyatakan
dz
∂z dx ∂z dy
=
+
dt
∂x dt
∂y dt

(4.6)

Misalnya z = 2t2 sin t, maka diperoleh
dz
= 4t sin t + 2t2 cos t
dt
Misalkan suatu fungsi multivariabel z = f (x, y) dengan x dan y masingmasing adalah fungsi dengan dua variabel yaitu s dan t. Hal ini berarti z
adalah fungsi dari s dan t sehingga dapat diperoleh turunan parsial z terhadap s dan juga terhadap t. Turunan parsialnya dapat dinyatakan sebagai
berikut
∂z
∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
∂s
∂x ∂s ∂y ∂s
(4.7)
∂z
∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t

4.5. APLIKASI DIFFERENSIAL PARSIAL

57


Misalnya suatu fungsi z = xy dengan x = sin(s + t) dan y = s − t, maka
∂z
∂x
∂z
∂y
∂x
∂s
∂y
∂s

=y
=x
= cos(s + t)
=1

∂x
= cos(s + t)
∂t
∂y
= −1
∂t

sehingga diperoleh
∂z
= y cos(s + t) + x(1)
∂s
= (s − t) cos(s + t) + sin(s + t)
∂z
= y cos(s + t) − x(1)
∂t
= (s − t) cos(s + t) − sin(s + t)
Persamaan 4.7 dapat juga dituliskan dalam notasi
f (x, y, z), x(s, t), y(s, t), z(s, t), maka dapat dituliskan

∂x
 ∂s


∂u ∂u ∂u  ∂y
∂u ∂u

=
∂x ∂y ∂z  ∂s
∂s ∂t


 ∂z
∂s

4.5

matriks. Jika u =

∂x
∂t 


∂y 

∂t 


∂z 

(4.8)

∂t

Aplikasi Diﬀerensial Parsial

Persoalan maksimum dan minimum
Dalam kasus satu variabel, konsep diﬀerensial dapat digunakan untuk mencari nilai ekstrimum (maksimum atau minimum) suatu fungsi. Titik ekstrimum
suatu fungsi ditandai dengan nilai turunan sama dengan nol di titik tersebut.
Untuk mengetahui apakah suatu titik ekstrimum merupakan titik maksimum
atau minimum diperlukan informasi tentang turunan kedua di titik tersebut.
Telah diketahui bahwa fungsi multivariabel misalnya z = f (x, y) menyatakan suatu permukaan dalam sistem koordinat xy. Jika pada permukaan

58


Gambar 4.3: Titik pelana.

tersebut terdapat titik puncak ataupun titik lembah, maka kurva x = const
dan y = const yang memotong permukaan tersebut dan melalui titik puncak
tersebut juga akan mengalami nilai ekstrimum di titik puncak yang sama.
Hal ini berarti di titik puncak tersebut berlaku
∂z
=0
∂x

dan

∂z
=0
∂y

(4.9)

Sama halnya dengan persoalan maksimum-minimum dalam kasus satu va∂z
∂z
riabel, titik yang memenuhi kondisi
= 0 dan
= 0 dapat berupa ti∂x
∂y
tik maksimum, atau titik minimum, atau titik pelana dan lain sebagainya.
Dengan demikian untuk memastikan apakah suatu titik merupakan titik minimum atau titik maksimum atau titik pelana (Gambar 4.3) diperlukan informasi tambahan tentang turunan kedua di titik tersebut (meskipun tidak
sesederhana persoalan satu variabel).
Contoh 1
Ingin dibuat suatu kotak (tanpa tutup) yang volumenya 5 m3 dengan luas
permukaan kotak minimal.
Misalkan ukuran kotak tersebut adalah p, l dan t sebagaimana ditunjukkan


59


t

l
p

Gambar 4.4: Kotak berukuran p × l × t.

dalam Gambar 4.4. Volume kotak adalah V = plt. Luas permukaan total
kotak adalah A = 2pt + 2lt + pl. Dengan menggunakan V , maka dapat
dinyatakan

p=

V
V
V
−→ A = 2t + 2lt + l
lt
lt
lt
V
V
= 2 + 2lt +
l
t
A(l, t) = 10l−1 + 2lt + 5t−1

Untuk meminimalkan A berarti turunan parsial A terhadap l dan juga terhadap t sama dengan nol, hal ini memberikan
∂A
−10
= 2 + 2t = 0,
∂l
l
∂A
5
= 2l − 2 = 0
∂t
t
Bila kedua persamaan tersebut diselesaikan diperoleh hasil l = 2t.
V
5
5
Kemudian karena p =
= maka didapat p = 2 .
lt
lt
2t

60


Contoh 2
Tentukan jarak terdekat dari titik pusat koordinat ke permukaan z = xy + 5.
Jarak suatu titik (x, y, z) dari pusat koordinat diberikan dengan x2 + y 2 + z 2 .
Karena permukaan tersebut diberikan dengan persamaan z = xy + 5, maka
diperoleh
d=

x2 + y 2 + (xy + 5)2 =

x2 + y 2 + x2 y 2 + 10xy + 25

= x2 + y 2 + x2 y 2 + 10xy + 25

1/2

Untuk meminimalkan d berarti
∂d
1 2
x + y 2 + x2 y 2 + 10xy + 25
=
∂x
2
1 2
∂d
=
x + y 2 + x2 y 2 + 10xy + 25
∂y
2

−1/2

(2x + 2xy 2 + 10y) = 0

−1/2

(2y + 2x2 y + 10x) = 0

Bila persamaan tersebut masing-masing dikalikan dengan x dan y, maka
didapat
2x2 + 2x2 y 2 + 10xy = 0
2y 2 + 2x2 y 2 + 10xy = 0
Kemudian keduanya dikurangkan
2x2 − 2y 2 = 0

=⇒

x=y

Jadi jarak terpendek dari titik pusat koordinat ke permukaan adalah
d = x2 + y 2 + x2 y 2 + 10xy + 25
= y 4 + 12y 2 + 25

1/2

1/2

Contoh 3
Sebuah kawat dilengkungkan sehingga membentuk kurva dengan persamaan
y = 1 − x2 . Tentukan jarak terpendek lengkungan tersebut dari titik pusat
koordinat.
Misalkan titik (x, y) adalah titik yang terletak pada lengkungan. Maka jarak
titik tersebut dari pusat koordinat adalah d = x2 + y 2 . Berarti yang harus
diminimumkan adalah fungsi d tersebut. Meminimalkan fungsi d = x2 + y 2
sama artinya dengan meminimalkan fungsi f = d2 = x2 + y 2 .
f = x2 + (1 − x2 )2 = x2 + 1 − 2x2 + x4 = x4 − x2 + 1


61

turunan fungsi tersebut terhadap x memberikan
df
= 4x3 − 2x
dx


Untuk memperoleh kondisi minimal turunan tersebut sama dengan nol sehingga
1
df
= 4x3 − 2x = 0 −→ x = 0 atau x = ±
dx
2
Dengan mensubstitusikan ketiga nilai x tersebut dapat diperoleh bahwa jarak
√
minimum dipenuhi untuk x = ± 1 dengan y = 1 yaitu dmin = 1 3.
2
2
2
Contoh 4
Cara penyelesaian di atas merupakan cara eliminasi langsung. Cara lain yang
dapat digunakan adalah dengan menggunakan turunan implisit.
Fungsi yang akan dicari minimumnya adalah f = x2 + y 2 , diperoleh turunan
fungsi tersebut yaitu
df = 2xdx + 2ydy

atau

dy
df
= 2x + 2y
dx
dx

Karena y = 1 − x2 maka berarti dy = −2xdx. Dengan demikian diperoleh
df = (2x − 4xy)dx atau

df
= 2x − 4xy
dx

Untuk meminimumkan f berarti df /dx = 0 yang memberikan x = 0 atau
x=±

1
.
2

Sebagaimana yang telah diperoleh sebelumnya.

Metode Pengali Lagrange
Cara lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan maksimumminimum adalah dengan menggunakan metode pengali Lagrange (Lagrange
Multipliers).
Telah ditunjukkan bahwa dalam penyelesaian persoalan maksimum-minimum, pada intinya adalah ingin dicari minimum atau maksimum suatu
fungsi f (x, y) di mana x dan y terhubung dengan persamaan yang dinyatakan dengan φ(x, y) = const. Kemudian dengan mengatur agar df /dx = 0
(sebagaimana contoh 3 di atas) atau df = 0 (sebagaimana contoh 4 di atas).

62


Selanjutnya karena φ = const, maka dφ = 0 sehingga
∂f
dx +
∂x
∂φ
dφ =
dx +
∂x
df =

∂f
dy = 0
∂y
∂φ
dy = 0
∂y

Pada metode pengali Lagrange persamaan dφ dikalikan dengan suatu konstanta λ kemudian dijumlahkan dengan persamaan df , sehingga didapat bentuk persamaan
df + λdφ = 0

−→

∂f
∂φ
+λ
∂x
∂x

dx +

∂φ
∂f
+λ
∂y
∂y

dy = 0

(4.10)

Kemudian jika nilai λ dipilih sedemikian sehingga
∂φ
∂f
+λ
=0
∂y
∂y

(4.11)

maka berarti dari persamaan 4.10 diperoleh
∂φ
∂f
+λ
=0
∂x
∂x

(4.12)

Kemudian persamaan-persamaan 4.11, 4.12 dan φ(x, y) = const diselesaikan
untuk memperoleh tiga variabel x, y dan λ.
Secara ringkas metode pengali lagrange untuk menentukan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi f (x, y) dengan x dan y mempunyai
hubungan φ(x, y) = const langkahnya adalah sebagai berikut:
• tuliskan fungsi F (x, y) = f (x, y) + λφ(x, y)
∂F
∂F
= 0,
= 0 dan φ(x, y) = const untuk
∂x
∂y
memperoleh x, y dan λ.

• selesaikan persamaan

Contoh 1
Sebuah kawat dilengkungkan sehingga membentuk kurva dengan persamaan
y = 1 − x2 . Tentukan jarak terpendek lengkungan tersebut dari titik pusat
koordinat dengan metode pengali lagrange.
Dalam hal ini f (x, y) = x2 + y 2 dan φ(x, y) = y + x2 = 1.
Persamaan F (x, y) berbentuk
F (x, y) = f (x, y) + λφ(x, y) = (x2 + y 2 ) + λ(y + x2 )

(4.13)


63

Kemudian


∂F
= 2x + λ 2x = 0
∂x
∂F
= 2y + λ y = 0
∂y

(4.14)

Dari persamaan pertama diperoleh bahwa x = 0 atau λ = −1. Bila nilai
x = 0, maka akan memberikan nilai y = 1, dan bila nilai λ = −1 maka akan
memberikan y = 1 yang kemudian memberikan x2 = 1 . Hal tersebut sama
2
2
dengan yang diperoleh sebelumnya.
Contoh 2
Gunakan metode pengali Lagrange untuk menentukan jarak minimum dari
titik pusat koordinat ke perpotongan xy = 6 dengan 7x + 24z = 0
Fungsi yang akan dicari minimumnya adalah fungsi jarak dari titik pusat
koordinat yang dapat dinyatakan dalam bentuk x2 + y 2 + z 2 . Syarat yang
harus dipenuhi berkaitan dengan dua kondisi yaitu xy = 6 dan 7x + 24z = 0.
Dengan menggunakan metode pengali Lagrange berarti persamaan F (x, y)
berbentuk
F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + λ1 (7x + 24z) + λ2 xy
Selanjutnya diperoleh
∂F
= 2x + 7λ1 + λ2 y = 0
∂x
∂F
= 2y + λ2 x = 0
∂y
∂F
= 2z + 24λ1 = 0
∂z
Selain ketiga persamaan tersebut terdapat juga dua persamaan lainnya yaitu
xy = 6
7x + 24z = 0
2y
Dari persamaan kedua dan keempat diperoleh hubungan λ2 = − , semenx
z
tara persamaan ketiga memberikan λ1 = − . Bila nilai-nilai λ1 dan λ2 ini
12

64


disubstitusikan ke persamaan pertama dan kemudian dengan menggunakan
persamaan keempat akan diperoleh
7
2y 2
7
x−
= 0 =⇒ 2x4 − x3 z − 72 = 0
12
x
12
Kemudian dengan menggunakan persamaan kelima dapat dieliminasi variabel z sehingga didapat
2x −

625
288

x4

= 72

=⇒

x=±

12
5

5
dan z =
2
5
x2 + y 2 + z 2 = √ .
2

Selanjutnya dapat diperoleh variabel lainnya yaitu y = ±
Akhirnya diperoleh jarak minimum yaitu d =

4.6

7
.
10

Aturan Leibniz

Berdasarkan deﬁnisi integral sebagai anti turuan, yaitu jika
f (x) =
berarti

x
a

dF (x)
dx

f (t)dt = [F (t)]x = F (x) − F (a)
a

dengan a adalah konstanta. Kemudian bila persamaan tersebut didiﬀerensialkan akan diperoleh
d
dx

x

f (t)dt =
a

d
dF (x)
[F (x) − F (a)] =
= f (x)
dx
dx

Hal yang sama juga dapat diperoleh
d
dx

a
x

f (t)dt = −

dF (x)
= −f (x)
dx

Jika batas-batas integralnya merupakan fungsi dari variabel x, maka dapat
diperoleh
d
dx

v(x)

d
d
d
[F (v) − F (u)] =
F (v) − F (u)
dx
dx
dx
dF dv dF du
=
−
dv dx
du dx
dv
du
= f (v) − f (u)
dx
dx

f (t)dt =
u(x)

(4.15)

4.6. ATURAN LEIBNIZ

65

dI
dengan I =
dx
u(x) = 0 dan v(x) = x1/3 , sehingga


Misalnya ingin dihitung

x1/3 2
t dt.
0

Dalam hal ini f (t) = t2 ,

f (u) = f (0) = 0
du
=0
dx
f (v) = f (x1/3 ) = x2/3
dv
1
= x−2/3
dx
3
Dengan demikian diperoleh
d
dx

x1/3

t2 dt = (x2/3 )
0

1 −2/3
x
3

− (0)(0) =

1
3

Berikutnya tinjau suatu fungsi yang terdiri dari dua variabel sedemikib
an sehingga F (x) = a f (x, y)dy. Sedangkan dari deﬁnisi turunan, telah
diuraikan bahwa
dF
F (x + h) − F (x)
= lim
h→0
dx
h
Dengan demikian dapat dinyatakan
b
a

b

f (x + h, y)dy − a f (x, y)dy
h
b
f (x + h, y) − f (x, y)
dy
= lim
h→0 a
h
b
f (x + h, y) − f (x, y)
=
dy
lim
h
a h→0
b
b
∂f (x, y)
d
dy
f (x, y)dy =
dx a
∂x
a
dF
= lim
h→0
dx

(4.16)

Jika fungsi yang diintegralkan adalah fungsi multivariabel, maka menurut
aturan Leibniz 1
d
dx
1

v(x)
u(x)

du
dv
f (x, t)dt = f (x, v) − f (x, u) +
dx
dx

Untuk penurunan detail aturan Leibniz, kunjungi:
http://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz integral rule

v
u

∂f
dt
∂x

(4.17)

66


y
y = f(x)

a

b

∆x

x

Gambar 4.5: Integral tertentu merupakan penjumlahan luas strip-strip kecil
di bawah suatu fungsi.

4.7

Integral Ganda (Multiple Integrals)
b

Telah disinggung sebelumnya bahwa a f (x)dx menyatakan luas daerah di
bawah kurva f (x). Integral tertentu tersebut merupakan penjumlahan luas
strip-strip kecil di bawah kurva f (x) sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 4.5.

4.7.1

Integral Lipat Dua dan Integral Lipat Tiga

Tinjau suatu fungsi multivariabel f (x, y) yang bila digambarkan dalam sistem koordinat kartesian fungsi tersebut membentuk suatu permukaan (bidang). Dengan pemahaman yang sama untuk fungsi dengan variabel tunggal,
maka dapat dipahami bahwa integral lipat dua dari fungsi f (x, y) tersebut
menyatakan volume ruang di bawah permukaan yang dibentuk oleh fungsi
f (x, y) tersebut. Ilustrasinya ditunjukkan dalam Gambar 4.6.
Dengan demikian, integral lipat dua (double integrals) dari suatu fungsi
f (x, y) pada suatu daerah A dalam bidang xy menyatakan volume di bawah
fungsi f (x, y) dan dibatasi luasan A. Integral ini biasanya ditulis sebagai
f (x, y)dxdy.
A
Selain pengertian tersebut di atas, integral lipat dua juga dapat diinterpretasikan sebagai luas suatu daerah yang dibatasi oleh suatu kurva tertentu.


4.7. INTEGRAL GANDA (MULTIPLE INTEGRALS)

67

Gambar 4.6: Integral lipat dua sebagai volume ruang di bawah suatu permukaan.

Perhatikan dari pengertian di atas bahwa A f (x, y)dxdy menyatakan volume di bawah suatu permukaan dengan batas luasan A, maka bila diambil
f (x, y) = 1 integral A f (x, y)dxdy = A dxdy sama dengan luas daerah A
itu sendiri. Dengan demikian integral lipat dua juga dapat diinterpretasikan
sebagai luas suatu daerah.
Dengan analogi di atas, dapat dengan mudah dipahami bahwa integral
lipat tiga yang berbentuk
f (x, y, x)dxdydz dapat diinterpretasikan seV
bagai ”hyper-volume” atau volume dalam ruang berdimensi 4. Interpretadxdydz menyatakan volume suatu
si lainnya adalah integral lipat tiga
V
f (x, y, x)dxdydz dapat juga dipahami sebagai masobjek. Selain itu
V
sa suatu objek tiga dimensi dengan rapat massa yang dinyatakan dengan
f (x, y, z).
Multiple integrals biasanya dapat diselesaikan dengan cara perulangan
integrasi. Contohnya seperti ditunjukkan berikut ini.
Contoh 1
Tentukan volume di bawah bidang z = 1 + y yang dibatasi dengan bidangbidang koordinat dan bidang vertikal yang dinyatakan dengan 2x + y = 2.
Dalam hal ini f (x, y) = 1 + y dan luasan A adalah daerah pada bidang

68


2

2

1

1

Gambar 4.7: Luasan A pada integral dalam contoh 1.

xy yang dibatas sumbu-sumbu x, y dan garis y = 2 − 2x, sebagaimana ditunjukkan Gambar 4.7
1

2−2x

V =

(1 + y)dy dx =
x=0

y=0

5
3

Dalam perhitungan di atas, fungsi z diintegralkan dulu terhadap y dengan
batas-batas yang sesuai kemudian bari diintegralkan terhadap x.
Integral yang sama dapat pula dihitung dengan mengintegralkan lebih dulu
terhadap x kemudian baru terhadap y
2

1−y/2

(1 + y)dx dy

V =
y=0

x=0

2

=

(1 + y)x
y=0
2

=
y=0
2

=
y=0

1−y/2
0

dy

(1 + y)(1 − y/2)dy
(1 + y/2 − y 2 /2)dy =

5
3

Contoh 2
Hitung volume benda pada Contoh 1 di atas dengan menggunakan integral
lipat tiga.


69

Dalam hal ini obejk tersebut dapat dipandang sebagai kumpulan kotak-kotak
kecil yang masing-masing berukuran sama dengan volume yang dinyatakan
dengan dV = dx dy dz.
Volume total benda dapat dihitung menggunakan integral lipat tiga sebagai
berikut


V =

dV =

dx dy dz
V
1

2−2x

1+y

dz dy dx

=
x=0
1

y=0
2−2x

=

(1 + y)dy dx =
x=0

4.7.2

z=0

y=0

5
3

Penggunaan Integral Ganda

Tinjau suatu kurva yang dinyatakan dengan persamaan y = x2 antara x = 0
hingga x = 1. Luas daerah yang dibentuk kurva tersebut dengan sumbu x
dan sumbu y adalah
1

1

x2 dx =

ydx =

A=
x=0

x=0

x3
3

1
0

=

1
3

Luas suatu permukaan
Luas permukaan tersebut dapat pula dihitung dengan integral lipat dua sebagai berikut
1

A=

x2

dA =

1

x2 dx =

dydx =
x=0

y=0

x=0

x3
3

1
0

=

1
3

Massa Suatu Objek
Elemen luas permukaan yang telah dihitung di atas dinyatakan dengan dA =
dxdy. Bila rapat massa objek tersebut adalah ρ = xy, maka massa elemen
yang luasnya dA adalah dM = ρdA = xydxdy. Dengan demikian massa

70


total objek (permukaan) tersebut adalah
1
x=0

M=

x2
y=0

xydydx

dM =
1

y2
=
xdx
2
x=0
1
=
12

x2

1

=
0

0

x5
dx
2

Panjang Lengkungan Kurva
Jika variabel x berubah sebesar dx dan variabel y berubah sebesar dy, maka
panjang lengkungan kurva akibat perubahan tersebut dapat dinyatakan

dx2 + dy 2 =

ds =

dx2 1 +

dy
dx

= dx

1+

dy
dx

2

Karena kurva tersebut mempunyai persamaan y = x2 maka diperoleh
2

dy
=
dx

dy
= 4x2 .
dx
Dengan demikian panjang lengkungan kurva tersebut adalah
2x atau

1

s=

ds =

dx

1+

0
1

=

dx
0

dy
dx

2

√
√
2 5 + ln(2 + 5)
(1 + 4x2 ) =
4

Pusat Massa Objek
Posisi pusat massa suatu objek ditentukan dengan cara sebagai berikut:
xpm =

1
M

xdM ;

ypm =

1
M

ydM ;

zpm =

1
M

zdM

dengan M adalah massa total objek.
Untuk objek yang berbentuk permukaan seperti yang dimaksud di atas dan
1
mempunyai rapat massa ρ = xy, telah dihitung bahwa M = . Kemudian
12


71

karena objek yang dimaksud terletak pada bidang xy, maka zpm = 0.
xpm

1

x2

x=0

1
=
M

y=0

x2 ydydx

xdM = 12
1

x

= 12


=3
ypm

x=0
7 1
x 0=

x2

1

dx = 12
x=0

0

x6
dx
2

3
x2

1

1
=
M

y2
2

2

xy 2 dydx

ydM = 12
x=0

y=0

1

y3
= 12
x
3
x=0
1 8 1 1
=
x 0=
2
2

x2

1

dx = 12
x=0

0

x7
dx
3

Dengan demikian posisi pusat massa objek tersebut adalah (3, 1 ).
2
Momen Inersia Objek
Momen inersia terhadap sumbu x, terhadap sumbu y dan terhadap sumbu
z yang masing-masing dilambangkan dengan Ix , Iy dan Iz dihitung sebagai
berikut
Ix =

y 2 dM

Iy =

x2 dM

Iz =

(x2 + y 2 )dM

(4.18)

Dengan demikian untuk objek yang dimaksud akan didapatkan
1

Ix =

1

1

1

x7
1
dx =
2
16

0

y=0
x2

x2 dM =

x2 xydydx =
x=0

y=0
1

Iz =

1
x9
dx =
4
40

y 2 xydydx =

y dM =
x=0

Iy =

x2

2

0
x2

(x2 + y 2 )dM =

(x2 + y 2 )xydydx =
x=0

y=0

7
80

72

4.8


Pengubahan Variabel dalam Persamaan
Differensial Parsial

Salah satu penggunaan penting dari differensial parsial adalah dalam hal
pengubahan variabel (misalnya dari sistem koordinat kartesian ke sistem
koordinat silinder). Tinjau suatu persamaan differensial parsial yang dikenal
sebagai persamaan gelombang yaitu
∂ 2F
1 ∂ 2F
− 2 2 =0
∂x2
v ∂t

(4.19)

Terlihat bahwa persamaan differensial parsial tersebut mempunyai variabel
x dan t. Kemudian akan dilakukan pengubahan variabel dengan variabel
baru r dan s, di mana r = x + vt dan s = x − vt.
Dengan menggunakan konsep differensial parsial dan aturan rantai, maka
dapat dinyatakan
∂
∂F ∂r ∂F ∂s
∂F
∂F
∂
∂F
=
+
=
+
=
+
F
∂x
∂r ∂x
∂s ∂x
∂r
∂s
∂r ∂s
∂F
∂
∂F ∂r ∂F ∂s
∂F
∂F
∂
=
+
=v
−v
=v
−
F
∂t
∂r ∂t
∂s ∂t
∂r
∂s
∂r ∂s
Kemudian turunan kedua juga dapat diperoleh
∂
∂ ∂F
∂
∂ 2F
=
=
+
2
∂x
∂x ∂x
∂r ∂s
2
2
∂ 2F
∂ F
∂ F
+
+2
=
∂r2
∂r∂s
∂s2
2
∂ ∂F
∂
∂
∂ F
=
−
=v
2
∂t
∂t ∂t
∂r ∂s
2
2
∂ F
∂ F
∂ 2F
+
= v2 2 − 2
∂r
∂r∂s
∂s2

∂F
∂F
+
∂r
∂s

∂F
∂F
−v
v
∂r
∂s

(4.20)

Dengan demikian, dalam variabel yang baru, persamaan gelombang tersebut
dapat dituliskan dalam bentuk
∂ 2F
1 ∂ 2F
∂ 2F
− 2 2 =4
=0
∂x2
v ∂t
∂r∂s

(4.21)

Terlihat bahwa dalam variabel baru tersebut persamaan gelombang menjadi
bentuk yang lebih sederhana dan lebih mudah diselesaikan (dicari solusinya).

4.9. PENGUBAHAN VARIABEL INTEGRAL: JACOBIAN


4.9

73

Pengubahan Variabel Integral: Jacobian

Dalam penyelesaian suatu persoalan terkadang lebih mudah bila digunakan
sistem koordinat yang berbeda. Penggunaan sistem koordinat yang berbeda membawa dampak pada variabel integrasi. Misalnya, elemen luas dalam
sistem koordinat kartesian dinyatakan dengan dA = dxdy. Bagaimana bentuk elemen luas dalam sistem koordinat yang lainnya? Dalam BAB 3 telah
diuraikan penentuan elemn luas secara geometri. Cara lain yang dapat dilakukan untuk menentukan bentuk elemen luas (dan juga elemen volume) dari
suatu sistem koordinat adalah dengan menggunakan Jacobian.
Misalkan terdapat integral lipat tiga dalam sistem koordinat uvw dan
dinyatakan dalam bentuk
f (u, v, w)dudvdw, kemudian sistem koordinat
lain yaitu rst dan hubungan antara variabel-variabel dalam sistem koordinat
uvw dan sistem koordinat rst diberikan dengan persamaan u = u(r, s, t),
v = v(r, s, t), w = w(r, s, t), maka Jacobian dari uvw terhadap rst adalah
∂u
∂r
∂(u, v, w)
=
∂(r, s, t)

∂u
∂t

∂v
∂r

∂v
∂s

∂v
∂t

∂w
∂r

J=

∂u
∂s

∂w
∂s

∂w
∂t

(4.22)

Dengan menggunakan Jacobian tersebut maka integral lipat tiga tersebut
bila dinyatakan dalam variabel rst adalah
f dudvdw =

f |J| dr ds dt

(4.23)

dengan catatan fungsi f (u, v, w) harus diubah menjadi f (r, s, t) dan batas
integrasi juga harus diubah menyesuaikan dengan variabel integral yang baru
sesuai dengan hubungan antar variabel yang dinyatakan dengan u = u(r, s, t),
v = v(r, s, t), w = w(r, s, t)
Contoh 1
Hitunglah luas lingkaran yang jari-jarinya R.
Persamaan sisi lingkaran yang berpusat di pusat koordinat dan berjejari r
dinyatakan dengan
√
x2 + y 2 = R2 =⇒ y = R2 − x2

74


Dalam sistem koordinat kartesian, luas suatu permukaan dinyatakan dengan
A=

dA =

dxdy

Dengan demikian luas lingkaran tersebut adalah
√

x=R

A=

dA =

R2 −x2

√
y=− R2 −x2

x=−R

dydx

Integral tersebut sulit diselesaikan. Sekarang tinjau sistem koordinat polar
(silinder 2D), di mana
x = r cos θ
y = r sin θ
Jacobian yang bersangkutan adalah
∂(x, y)
J=
=
∂(r, θ)

∂x
∂r

∂x
∂θ

∂y
∂r

∂y
∂θ

=

cos θ −r sin θ
sin θ

=r

r cos θ

Dengan demikian integral lipat dua yang berkaitan dengan luas dinyatakan
sebagai
A=

dA =

rdrdθ

Batas integrasi adalah r : 0 → R dan θ : 0 → 2π. Dengan demikian luas
lingkaran dihitung sebagai
2π

R

2π

A=

rdrdθ =
θ=0

r=0

θ=0

R2
dθ = πR2
2

Contoh 2
Diketahui suatu integral dalam variabel xy dinyatakan dengan
1/2

1−x

I=
x=0

y=x

x−y
x+y

2

dydx

Hitunglah integral tersebut dalam variabel rs jika
1
x = (r − s)
2
1
y = (r + s)
2

4.10. DIFFERENSIAL VEKTOR

75

Jacobian yang berkaitan dengan transformasi tersebut adalah


∂(x, y)
=
J=
∂(r, s)

∂x
∂r

∂x
∂s

∂y
∂r

∂y
∂s

1
2
1
2

=

−1
2
1
2

=

1
2

Batas-batas integrasi dalam integral yang baru adalah s : 0 → r dan r : 0 →
1. Fungsi f (x, y) bila dinyatakan dalam variabel r dan s adalah
x−y
x+y

2

=

−s
r

2

=

s
r

2

Dengan demikian
1/2

1−x

x−y
x+y

I=
x=0 y=x
1

=

4.10

1
6

rdr =
r=0

2

1

r

r=0

s=0

dydx =

s
r

2

1
dsdr
2

1
12

Differensial Vektor

Jika suatu vektor (misalnya A) komponen-komponennya tidak konstan (misalkan merupakan fungsi dengan variabel t), maka dapat diperoleh turunan
dari vektor tersebut terhadap variabel yang bersangkutan dan hal ini diperoleh dengan mendifferensialkan masing-masing komponennya sebagai berikut
dAx
dAy
dAz
dA
=
i+
j+
k
(4.24)
dt
dt
dt
dt
Jika suatu vektor yang dinyatakan dengan A = AuA dengan uA menyatakan
ˆ
ˆ
vektor satuan dalam arah A, maka turunan vektor A terhadap t juga harus
memperhatikan aturan rantai:
dA
dA
duA
ˆ
=
uA + A
ˆ
dt
dt
dt

(4.25)

Hal ini penting dalam membahas kinematika benda dalam sistem koordinat
ortogonal sebagaimana yang telah diuraikan dalam BAB 3.
Operator differensial vektor yang sangat penting dan sering muncul dalam
perumusan hukum-hukum fisika adalah
(baca: ”nabla” atau ”del”) yang

76


merupakan operator diﬀerensial terhadap variabel ruang. Bentuk operator
nabla ini berbeda antara satu sistem koordinat dengan sistem koordinat yang
lain. Dalam sistem koordinat kartesian, bentuk operator nabla adalah
=

4.11

∂
∂
∂
i+
j+ k
∂x
∂y
∂z

(4.26)

Turunan Berarah dan gradient

Untuk fungsi yang terdiri dari satu variabel, turunan menyatakan kemiringan kurva di titik tertentu. Fungsi multivariabel dapat digambarkan sebagai
permukaan pada sistem koordinat xyz. Turunan di fungsi multivariabel di
suatu titik tertentu dapat diperoleh dari turunan parsialnya. Misalnya turunan pada arah x dinyatakan dengan ∂f /∂x. Akibatnya turunan di suatu
titik bergantung pada arah mana perubahan terjadi. Hal ini disebut sebagai
turunan berarah (directional derivative).
Misalkan arah yang dimaksud dinyatakan dengan suatu vektor v, maka
turunan fungsi f di titik (x, y, z) dalam arah vektor v dituliskan sebagai
v f (x, y, z) atau ringkasnya sebagai
vf .
Gradient dari suatu fungsi skalar φ(x, y, z) dideﬁnisikan sebagai berikut
(dalam sistem koordinat kartesian):
φ = grad φ =

∂φ
∂φ
∂φ
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z

(4.27)

Dengan demikian turunan berarah fungsi φ dalam arah suatu vektor satuan
tertentu u adalah
ˆ
dφ
=
ds

φ·u
ˆ

(turunan berarah)

(4.28)

Misalnya turunan berarah φ dalam arah i (yaitu searah sumbu x) adalah
∂φ
∂φ
∂φ
i+
j+
k ·i
∂x
∂y
∂z
∂φ
=
∂x

φ·i=

4.12

Integral Garis

Ini sangat sering dijumpai dalam persoalan mekanika (misalnya ketika menghitung usaha). Integral garis biasanya dihitung berdasarkan lintasan (garis)
tertentu dan misalnya dilambangkan dengan C .

4.12. INTEGRAL GARIS

77

Contoh 1
Gaya yang dinyatakan dengan F = xyi − y 2 j bekerja pada suatu benda dan
benda tersebut bergerak sepanjang lintasan yang menghubungkan titik (0,0)
dan (2,1) pada bidang kartesian. Tentukan usaha yang dilakukan oleh gaya
F tersebut jika lintasan yang menghubungkan kedua titik tersebut berupa
parabola dengan persamaan y = 1 x2 .
4


Usaha yang dilakukan oleh gaya F adalah
W =

dW =

F · dr

Karena F = xyi − y 2 j dan dr = dxi + dxj + dzk, maka
F · dr = xydx − y 2 dy
Dengan demikian
W =

F · dr =

xydx − y 2 dy

Pada lintasan yang dimaksud (yaitu parabola) terdapat hubungan antara
variabel y dengan x sesuai dengan persamaan parabola yaitu y = 1 x2 , dan
4
dapat diperoleh bahwa dy = 1 xdx dengan demikian dapat dinyatakan
2
W =
parabola
2

xydx − y 2 dy

1
1
1
x( x2 )dx − ( x2 )2 ( xdx)
4
4
2
0
2
1
2
1 3
=
x − x5 dx =
4
32
3
0
=

Contoh 2
Sebagaimana Contoh 1 namun lintasan yang digunakan adalah garis lurus
yang menghubungkan titik (0,0) dengan (2,1).
Pada lintasan ini hubungan antara variabel x dan y dinyatakan dengan persamaan garis yang menghubungkan kedua titik yaitu y = 1 x. Karena y = 1 x,
2
2

78


berarti dy = 1 dx. Dengan demikian dapat dinyatakan
2
W =
garis lurus
2

xydx − y 2 dy

1
1
1
x( x)dx − ( x)2 ( dx)
2
2
2
0
2
1 2 1 2
x − x dx = 1
=
4
8
0
=

Contoh 3
Sebagaimana Contoh 1 dan Contoh 2 namun lintasan yang digunakan adalah garis lurus yang menghubungkan titik (0,0) ke (0,1) kemudian dari (0,1)
ke (2,1).
Untuk lintasan yang dimaksud terdapat dua segmen garis. Yang pertama
adalah garis lurus yang menghubungkan titik (0,0) dengan titik (0,1). Pada
garis ini berlaku hubungan x = 0, dengan demikian dx = 0. Batas integrasinya adalah dari y = 0 hingga y = 1. Sedangkan segmen garis kedua adalah
garis lurus yang menghubungkan titik (0,1) dengan titik (2,1). Pada garis
ini berlaku y = 0, dengan demikian dy = 0. Batas integrasi adalah dari
x = 0 hingga x = 2. Integral lintasan tersebut dapat dituliskan menjadi dua
bagian sesuai segmen garis yang digunakan yaitu
W =
lintasan yg dimaksud

=
segmen 1

xydx − y 2 dy

xydx − y 2 dy +

segmen 2

xydx − y 2 dy

Dengan demikian diperoleh
1

2

(−y 2 )dy +

W =
y=0

(xdx)
x=0

5
1
=− +2=
3
3
Dari ketiga contoh tersebut terlihat bahwa hasil integral yang diperoleh
tergantung pada lintasan yang digunakan. Terdapat bentuk fungsi F tertentu sedemikian sehingga integral lintasannya sama dan tidak bergantung
pada lintasan yang digunakan. Dalam pembahasan mekanika, fungsi F yang
seperti ini dinamakan fungsi (medan) yang bersifat konservatif.

4.13. DIVERGENCE

4.13

79

Divergence


Divergence menyatakan bagaimana suatu medan vektor menyebar (divergen)
dari suatu titik tertentu. Pengertian lain yang dapat diberikan untuk divergensi suatu medan vektor adalah bahwa divergensi menyatakan fluks medan
vektor yang keluar dari suatu satuan volume. Secara matematis jika suatu
medan vektor dinyatakan dengan V = Vx i + Vy j + Vz k, maka divergensinya
adalah
· V = div V =

4.14

∂Vx ∂Vy ∂Vz
+
+
∂x
∂y
∂z

(4.29)

Curl

Curl menyatakan bagaimana suatu medan vektor berrotasi terhadap suatu
titik tertentu. Oleh karenanya curl sering disebut juga sebagai rotasi.
× V = curl V
∂Vz ∂Vy
−
=
∂y
∂z
i
∂
=
∂x
Vx

4.15

j
∂
∂y
Vy

i+

∂Vx ∂Vz
−
∂z
∂x

j+

∂Vy ∂Vx
−
∂x
∂y

k
(4.30)

k
∂
∂z
Vz

Laplacian

Selain divergensi dan rotasi, operator differensial vektor yang juga sering
muncul adalah divergensi dari suatu gradient skalar. Operasi ini dinamakan
sebagai ”laplacian”. Laplacian dari suatu fungsi skalar φ didefinisikan sebagai
(dalam koordinat kartesian):
2

φ=

·

φ = div grad φ
∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ
+
+ 2
=
∂x2 ∂y 2
∂z

(4.31)

80

4.16


Operator diﬀerensial vektor dalam sistem koordinat ortogonal (silinder dan
bola)

Faktor Skala
Panjang lengkungan ds dalam suatu sistem koordinat dapat dikaitkan dengan
operasi dot product dari vektor elemen panjang ds, yaitu
ds2 = ds · ds

(4.32)

Secara umum, misalkan suatu sistem koordinat mempunyai variabel koordinat yang dinyatakan dengan x1 , x2 dan x3 dan jika sistem koordinat
tersebut ortogonal (vektor-vektor basisnya saling tegak lurus) maka dapat
dinyatakan:
ds2 = h2 dx2 + h2 dx2 + h2 dx2
1
1
2
2
3
3
3

h2 dx2
i
i

=

(4.33)

i=1

dengan hi disebut sebagai faktor skala.
Dengan menggunakan faktor skala (hi ), vektor perpindahan ds dalam
suatu sistem koordinat ortogonal dapat diperoleh dengan cara
ˆ
ˆ
ds = e1 h1 dx1 + e2 h2 dx2 + e3 h3 dx3
ˆ
3

ei h2 dx2
ˆ i i

=

(4.34)

i=1

dengan ei adalah vektor satuan dalam sistem koordinat ortogonal tersebut.
ˆ
Karena vektor elemen panjang dalam sistem koordinat kartesian adalah
ds = dxi + dyj + dzk, maka berarti faktor skala dalam koordinat kartesian
adalah h1 = h2 = h3 = 1. Sedangkan vektor elemen panjang dalam sistem
ˆ
ˆ
koordinat silinder adalah ds = drer + rdθeθ + dz ez , maka berarti faktor
ˆ
skala dalam koordinat kartesian adalah h1 = 1, h2 = r, h3 = 1. Dengan cara
yang sama dapat diperoleh faktor skala untuk sistem koordinat bola yaitu
h1 = 1, h2 = r sin θ, h3 = r.
Dengan menggunakan faktor skala tersebut, ungkapan operator diﬀerensial vektor dalam sistem koordinat ortogonal dapat digeneralisasi sebagaimana
diuraikan berikut ini.

4.17. TEOREMA GREEN

81

Gradient
Dalam sistem koordinat yang ortogonal, bentuk umum dari gradient adalah
u = e1
ˆ

1 ∂u
1 ∂u
1 ∂u
+ e2
ˆ
+ e3
ˆ
h1 ∂x1
h2 ∂x2
h3 ∂x3

3

=


i=1

(4.35)

1 ∂u
ei
ˆ
hi ∂xi

Divergence
Perumusan umum untuk divergence dalam sistem koordinat ortogonal adalah
·V =

∂
∂
∂
1
(h2 h3 V1 ) +
(h1 h3 V2 ) +
(h1 h2 V3 )
h1 h2 h3 ∂x1
∂x2
∂x3

(4.36)

Curl
Rotasi (curl ) dalam sistem koordinat ortogonal dirumuskan sebagai berikut
h 1 e1 h 2 e2 h 3 e3
ˆ
ˆ
ˆ
×V =

1
∂
h1 h2 h3 ∂x1

∂
∂x2

∂
∂x3

(4.37)

h1 V 1 h2 V 2 h3 V 3
Laplacian
Perumusan umum untuk laplacian dalam sistem koordinat ortogonal adalah
2

u=

4.17

1
∂
h1 h2 h3 ∂x1

h2 h3 ∂u
h1 ∂x1

+

∂
∂x2

h1 h3 ∂u
h2 ∂x2

+

∂
∂x3

h1 h2 ∂u
h3 ∂x3
(4.38)

Teorema Green

Teorema dasar dalam Kalkulus memberikan ungkapan tentang hubungan
antara diﬀerensial dan integral dari suatu fungsi, yaitu dinyatakan dalam
bentuk
b
d
f (t)dt = f (b) − f (a)
(4.39)
a dt

82


y

y
yu(x)

xr(y)

d

C

C

A

A
xl(y)

yl(x)

c

a

b

x

x

Gambar 4.8: Luasan A yang berbentuk sembarang.

Misalkan terdapat fungsi multivariabel yaitu P (x, y) dan Q(x, y) di mana
turunan keduanya merupakan fungsi yang kontinu. Misalkan suatu luasan A
adalah bentuk sembarang dengan batas-batas absis adalah x = a dan x = b
sedangkan batas-batas ordinatnya adalah y = c dan y = d sebagaimana
ditunjukkan dalam Gambar 4.8.
Bila dicari integral lipat dua dari turunan parsial P (x, y) terhadap y,
maka dapat dinyatakan
∂P (x, y)
dydx =
∂y
A

b

yu

dx
yl

a

∂P (x, y)
dy
∂y

b

=
a

[P (x, yu ) − P (x, yl )] dx
b

=−
b

a

a

P (x, yl )dx −

P (x, yu )dx
b

Terlihat bahwa a P (x, yl )dx merupakan integral garis dengan lintasan berupa bagian bawah dari kurva C dari titik 1 ke titik 2. Demikian juga bahwa
a
integral b P (x, yu )dx merupakan integral garis dengan lintasan berupa bagian atas dari kurva C dari titik 2 ke titik 1. Artinya integral tersebut di atas
dapat diganti menjadi integral garis dengan lintasan berupa kurva tertutup
C (dari titik 1 kembali ke titik 1) dengan arah berlawanan arah jarum jam.

4.17. TEOREMA GREEN

83

Dengan demikian dapat dituliskan kembali sebagai

C

∂P (x, y)
dydx
∂y

P dx = −

(4.40)

A


Dengan cara yang sama (tapi dengan mengintegralkan terhadap x terlebih
dahulu) dapat pula diperoleh untuk fungsi yang lain yaitu fungsi Q(x, y)
∂Q
dxdy =
∂x
A

d

xr

dy
c

=

xl

∂Q
dx =
∂x

d

[Q(xr , y) − Q(xl , y)] dy

c

Qdy
C

Artinya diperoleh

∂Q
dxdy =
∂x
A

Qdy

(4.41)

C

Kemudian dengan menambahkan persamaan 4.40 dengan persamaan 4.41
maka akan didapat
∂Q ∂P
−
∂x
∂y
A

dx dy =

(P dx + Qdy)

(4.42)

C

dengan C menyatakan kurva tertutup yang membatasi permukaan A. Integral lintasan yang dihitung arahnya adalah berlawanan arah jarum jam.
Ungkapan persamaan 4.42 dikenal sebagai teorema Green dan teorema ini
menyatakan bahwa integral permukaan dapat dinyatakan dalam bentuk integral garis. Atau sebaliknya integral garis pada suatu lintasan tertutup dapat
diubah menjadi integral permukaan (lipat dua) pada luasan yang dibentuk
oleh lintasan tertutup tersebut.
Contoh
Dengan menggunakan teorema Green, hitunglah integral lintasan
(xydx − y 2 dy)
pada lintasan tertutup yang merupakan garis lurus dari titik (2,1) ke (0,1)
kemudian garis lurus dari titik (0,1) ke titik (0,0) dan dilanjutkan dengan
lengkungan y = x2 yang menghubungkan titik (0,0) ke titik (2,1).

84


Dengan menggunakan teorema Green, integral lintasan tertutup tersebut
dapat diubah menjadi integral permukaan (integral lipat dua) dengan daerah yang dibatasi oleh kurva lintasan tertutup tersebut. Bila digunakan
persamaan 4.42 maka dapat dinyatakan bahwa
dan Q(x, y) = −y 2

P (x, y) = xy
dengan demikian

∂Q
= 0 dan
∂x

∂P
=x
∂y

Maka diperoleh

C

∂Q ∂P
−
∂x
∂y

(xydx − y 2 dy) =
A
1

=−

4.18

y=0

A

√
2 y
x=0

−x dx dy

dx dy =

x dx dy = −1

Teorema Divergensi

Misalkan suatu vektor V = Vx i + Vy j, di mana Vx = Q(x, y) dan Vy =
−P (x, y) adalah berupa fungsi multivariabel dalam x dan y. Karena vektor
V tidak mempunyai komponen dalam arah sumbu z, maka dapat dinyatakan
∂Vx ∂Vy
∂Q ∂P
−
=
+
= div V =
∂x
∂y
∂x
∂y

·V

(4.43)

Kemudian tinjau kurva tertutup C yang melingkupi suatu daerah luasan A
sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 4.9.
Sepanjang kurva C tersebut vektor dr merupakan vektor yang menyinggung kurva C, dalam hal ini vektor dr dapat dinyatakan sebagai
dr = dxi + dyj
Sedangkan vektor normal yang bersangkutan adalah
nds = dyi − dxj

(4.44)

dengan n menyatakan vektor satuan normal (berarah ke luar dari luasan A)
dan ds = dx2 + dy 2 . Dengan demikian dapat dinyatakan
P dx + Qdy = −Vy dx + Vx dy = (Vx i + Vy j) · (dyi − dxj)
= V · n ds

(4.45)

4.18. TEOREMA DIVERGENSI

85

C

dr

A

dy


dx
nds

Gambar 4.9: Luasan A yang dilingkupi oleh kurva tertutup C.

Kemudian bila persamaan 4.43 dan persamaan 4.45 disubstitusikan ke persamaan 4.42 akan diperoleh
(

· V) dx dy =

A

C

(V · n) ds

(4.46)

Persamaan tersebut dikenal sebagai teorema divergensi dalam dua dimensi.
Dalam kasus 3 dimensi, teorema divergensi dapat dinyatakan dalam bentuk
· Vdτ =

V · ndσ

(4.47)

permukaan

dengan τ menyatakan volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup.
Terlihat bahwa teorema divergensi mengaitkan antara integral lipat tiga (integral volume) dengan integral lipat dua (integral permukaan).
Contoh
Suatu medan vektor berbentuk V = x2 i+y 2 j+z 2 k. Hitunglah

V·n dσ

permukaan

pada permukaan kubus yang bersisi satu satuan dan titik-titik sudutnya adalah pada (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0).

86


Integral tersebut dapat diselesaikan langsung maupun dengan menggunakan
teorema divergensi.
Permukaan kubus tersebut ada 6 buah masing-masing dengan vektor normal
i,−i,j,−j,k dan −k. Bila dihitung integralnya secara langsung maka berarti
V · n dσ =

V · i dy dz +

perm. 1

permukaan kubus

V · −i dy dz

perm. 2

V · j dx dz +

+
perm. 3

+

V · −j dx dz

perm. 4

V · k dx dy +

perm. 5

V · −k dx dy

perm. 6

Bila dihitung akan menghasilkan
1

1

1

1

12 dy dz +

V · n dσ =

y=0

permukaan kubus

z=0

1

02 dy dz
y=0

1

z=0

1

1

2

+

02 dx dz

1 dy dz +
x=0
1

z=0
1

y=0
1

z=0
1

12 dx dy +

+
x=0

y=0

02 dx dy
y=0

z=0

=3
Bila menggunakan teorema divergensi, integral tersebut dapat dihitung sebagai berikut
∂
∂
∂
i+
j + k · x2 i + y 2 j + z 2 k
∂x
∂y
∂z
= 2x + 2y + 2z

·V =
kemudian

1

·V =

4.19

1

1

z=0

y=0

x=0

(2x + 2y + 2z) dx dy dz = 3

Teorema Stoke

Sekarang misalkan Q = Vy dan P = Vx sedangkan suatu vektor V dinyatakan
dengan V = Vx i + Vy j. Kemudian akan dapat dinyatakan
∂Q ∂P
∂Vy ∂Vx
−
=
−
=(
∂x
∂y
∂x
∂y

× V) · k

(4.48)

4.19. TEOREMA STOKE

87

n
dσ


Permukaan σ

C

Gambar 4.10: Suatu permukaan σ yang tepinya dinyatakan oleh kurva tertutup C.

Dengan menggunakan notasi-notasi dalam Gambar 4.9, maka diperoleh
P dx + Qdy = (Vx i + Vy j) · (dxi + dyj) = V · dr

(4.49)

Dengan mensubstitusi persamaan 4.48 dan persamaan 4.49 ke persamaan
4.42 akan diperoleh
(

× V) · kdx dy =

A

C

V · dr

(4.50)

Persamaan tersebut dinamakan teorema Stoke dalam dua dimensi. Bentuk
teorema Stoke dalam kasus tiga dimensi adalah
V · dr =
kurva C

(

× V) · ndσ

(4.51)

permukaan σ

Untuk memahami notasi yang digunakan dalam teorema Stoke, perhatikan
Gambar 4.10
Teorema Stoke menghubungkan integral lipat dua dengan integral lintasan. Hal ini mirip dengan bentuk teorema Green, namun perlu dicatat
bahwa permukaan yang digunakan dalam teorema Green adalah permukaan datar, sedangkan permukaan yang digunakan dalam teorema Stoke tidak
perlu berupa permukaan datar.

88


Contoh
Hitunglah integral ( × V) · n dσ pada permukaan yang berbentuk kubah
(setengah bola) yang dinyatakan dengan persamaan x2 + y 2 + z 2 = a2 dengan
z ≤ 0 jika V = 4yi + xj + 2zk.
Dengan menggunakan persamaan 4.30 dapat diperoleh bentuk rotasi dari
medan vektor V, yaitu
× V = −3k
Permukaan yang digunakan dalam integral tersebut adalah permukaan setengah bola dengan jari-jari a. Vektor normal permukaan tersebut dinyatakan
dengan
r
xi + yj + zk
n=
=
|r|
a
Selanjutnya dapat diperoleh
(

× V) · n = −3k ·

z
r
= −3
a
a

Kemudian dengan menggunakan sistem koordinat bola, dapat diperoleh hubungan
z = r cos θ
dσ = r2 sin θdθdφ
Sehingga
z
−3 dσ =
a
perm. stgh. bola

2π
φ=0

π/2
θ=0

−3

a cos θ 2
a sin θ dθdφ
a

2π

= −3a2

π/2

dφ
0

0

sin θ cos θdθ = −3πa2

Integral tersebut dapat juga dihitung menggunakan teorema Stoke. Bila menggunakan teorema Stoke, integral permukaan tersebut dapat diubah
menjadi integral garis (lintasan). Dalam hal ini kurva tertutup yang digunakan adalah lingkaran berjejari a yang berpusat di titik pusat koordinat.
Jika digunakan sistem koordinat silinder dua dimensi (polar) maka dapat
dinyatakan
dr = adθ(− sin θi + cos θj)
Sehingga
V · dr = a2 dθ(−4 sin2 θ + cos2 θ)

4.19. TEOREMA STOKE

89

Dengan demikian
2π
2

V · dr = a
lingkaran

(−4 sin2 θ + cos2 θ)dθ
θ=0

Karena
x sin 2ax
−
+ C,
2
4a
x sin 2ax
+C
cos2 axdx = +
2
4a


sin2 axdx =

dan

maka diperoleh
2π

V · dr = a2
lingkaran

θ=0

(−4 sin2 θ + cos2 θ)dθ = −3πa2

Bila menggunakan teorema Stoke dapat dipahami bahwa integral tersebut
juga dapat dihitung menggunakan bentuk permukaan lainnya asalkan permukaan tersebut dibatasi oleh kurva tertutup yang identik yaitu lingkaran
berjejari a dan berpusat di pusat koordinat. Misalnya saja dapat digunakan
permukaan datar berbentuk lingkaran (lingkaran di bidang xy). Bila digunakan permukaan ini, maka arah normal permukaan adalah k. Sehingga
(

× V) · n = −3k · k = 3

Selanjutnya
(

× V) · ndσ = −3

dσ = −3πa2

90


Fisika matematika bab4 differensial danintegral

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Fisika matematika bab4 differensial danintegral

Similar to Fisika matematika bab4 differensial danintegral (20)

More from Rozaq Fadlli

More from Rozaq Fadlli (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Fisika matematika bab4 differensial danintegral