aplikasi turunan

1. Aplikasi Turunan

2. Menggambar Grafik
A. Menentukkan titik pot dengan sb x dan y
B. Asimtot fungsi
Definisi : Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh grafik
fungsi. Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni
(i) Asimtot Tegak
Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika
(ii) Asimtot Datar
Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika
(iii) Asimtot Miring
Garis y = ax + b disebut asimtot miring jika
dan



)
(
lim x
f
c
x
b
x
f
x



)
(
lim
a
x
x
f
x



)
(
lim
b
ax
x
f
x




)
(
lim

3. Asimtot tegak
x=a asimtot tegak
a a
x=a asimtot tegak
Dalam kasus Dalam kasus




)
(
lim x
f
a
x




)
(
lim x
f
a
x




)
(
lim x
f
a
x




)
(
lim x
f
a
x

4. Asimtot Datar
y= b
Garis y = b asimtot datar karena b
x
f
x



)
(
lim
Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk x hingga
Tapi, jika untuk x menuju tak hingga asimtot datar dihampiri oleh
Grafik fungsi(tidak dipotong lagi)

5. Asimtot Miring
b
ax
y 

y=f(x)
Garis y = ax + b asimtot miring
Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai x hingga.
Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datar
dan asimtot miring

6. Contoh
• Tentukan semua asimtot dari 2
4
2
)
(
2




x
x
x
x
f

7. Soal
• 1.
• 2.
Tentukan semua asimtot dari fungsi berikut.
1
1
)
(


x
x
f
1
2
)
( 2
2



x
x
x
x
f

8. Definisi Fungsi f(x) dikatakan
monoton naik pada interval I jika untuk
    I
x
x
x
f
x
f
x
x 



 2
1
2
1
2
1 ,
,
x1
f(x1)
x2
f(x2)
I
Fungsi f(x) monoton naik pada selang I
C. Kemonotonan Fungsi

9. monoton turun pada interval I jika untuk
    I
x
x
x
f
x
f
x
x 



 2
1
2
1
2
1 ,
,
f(x1)
f(x2)
x1 x2
I
Fungsi f monoton turun pada selang I

10. Teorema : Andaikan f diferensiabel di selang I, maka
– Fungsi f(x) monoton naik pada I jika
– Fungsi f(x) monoton turun pada I jika
Contoh Tentukan selang kemonotonan dari
2
4
2
)
(
2




x
x
x
x
f
I
x
x
f 

 0
)
(
'
I
x
x
f 

 0
)
(
'

11. D. Ekstrim Fungsi
Definisi Misalkan f(x) kontinu pada selang I yang memuat c,
f(c) disebut nilai global dari f pada I jika
f(c) disebut nilai lokal dari f pada I jika terdapat selang
buka yang memuat c sehingga untuk setiap x pada
selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum fungsi disebut juga
nilai ekstrim
imum
min
maksimum I
x
x
f
c
f
x
f
c
f




)
(
)
(
)
(
)
(
minimum
maksimum
)
(
)
(
)
(
)
(
x
f
c
f
x
f
c
f



12. c d e
Max
lokal
Min
lokal
Max
global
Min
global Max
lokal
Min
lokal
a b f
Nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f]

13. Teorema : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal
Jika
0
)
(
'
0
)
(
'


x
f
x
f
pada )
,
( c
c 
 dan
0
)
(
'
0
)
(
'


x
f
x
f pada
)
,
( 

c
c Maka f(c) merupakan nilai
minimum
maksimum lokal
c
f(c)
c
f(c)
f(c) nilai maks lokal
Disebelah kiri c monoton naik
(f ’>0) dan disebelah kanan c
monoton turun (f’<0)
f(c) nilai min lokal
Disebelah kiri c monoton turun
(f ’<0) dan disebelah kanan c
monoton naik (f’>0)

14. Teorema Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal
Misalkan . Jika ,maka f(c) merupakan
nilai lokal f
Contoh :Tentukan nilai ekstrim dari
Jawab:
0
)
(
' 
c
f
0
)
(
'
'
0
)
(
'
'


c
f
c
f
minimum
maksimum
2
4
2
)
(
2




x
x
x
x
f

15. Soal Latihan
Tentukan selang kemonotonan dan ektrim fungsi berikut :
1. 6
30
15
2
)
( 3
4
5



 x
x
x
x
f
2.
3
1
3
)
(
2




x
x
x
x
f

16. E. Kecekungan Fungsi
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I bila naik pada
interval I, dan f(x) dikatakan cekung kebawah pada interval I bila
turun
pada interval I.
Teorema Uji turunan kedua untuk kecekungan
1. Jika , maka f cekung ke atas pada I.
2. Jika , maka f cekung ke bawah pada I.
I
x
x
f 

 ,
0
)
(
"
I
x
x
f 

 ,
0
)
(
"
)
(
' x
f
)
(
' x
f
x
y
x
y
Grafik fungsi cekung keatas Grafik fungsi cekung kebawah

17. contoh
Tentukan selang kecekungan dari
2
4
2
)
(
2




x
x
x
x
f

18. D. Menghitung limit fungsi dengan Aturan L’Hôpital
Bentuk tak tentu dalam limit :
1. Aturan L’Hôpital untuk bentuk
Andaikan lim f(x) = lim g(x) = 0. Jika
Maka






,
.
0
,
,
0
0




 atau
,
,
)
(
'
)
(
'
lim L
x
g
x
f
lim
( )
( )
lim
'( )
'( )
f x
g x
f x
g x

0
0

19. Contoh Hitung
2
0
2
cos
1
lim
x
x
x


2. Aturan L’Hôpital untuk bentuk
Andaikan lim f(x) = lim g(x) = . Jika






 atau
,
,
)
(
'
)
(
'
lim L
x
g
x
f
maka
)
(
'
)
(
'
lim
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
x
g
x
f


20. Contoh Hitung
5
3
1
lim 2
2





 x
x
x
x
x
Contoh Hitung
3
2
1
lim
2





x
x
x
x

21. 3. Bentuk 0 . 
Untuk menyelesaikannya rubahlah kedalam bentuk
atau
Contoh : Hitung
0
0 

lim csc
x
x x
0
2

22. • 4. Bentuk  - 
Misalkan lim f(x)=lim g(x) = . Untuk menghitung
lim [ f(x) - g(x) ] dilakukan dengan menyederhanakan
bentuk [ f(x)- g(x) ] sehingga dapat dikerjakan menggunakan
cara yang telah dikenal sebelumnya
Contoh : Hitung
 
lim csc cot
x
x x


0

23. Hitung limit berikut bila ada
1. lim
sin
cos
x
x
x
 
01
2.
3.
1
lim sin
x
x
x

x
x
x 3
2
0 tan
cos
1
lim


4.
2
lim x
x
x e


24. E. Teorema Nilai Rata-rata
Teorema Misalkan f kontinu pada [a,b] dan
diferensiabel pada (a,b), maka terdapat paling sedikit
satu
atau
F. Masalah maksimum minimum lainnya
Turunan dapat juga dipergunakan dalam menyelesaikan masalah
sehari-hari yang berkaitan dengan masalah memaksimumkan/
meminimumkan fungsi. Langkah pertama yang harus dilakukan
adalah memodelkan masalah tersebut menjadi fungsi satu peubah.
Setelah itu gunakan aturan-aturan turunan untuk menentukan
nilai maksimum atau nilai minimum
( ) ( )
( , ) '( )
f b f a
c a b f c
b a

  

).
)(
(
'
)
(
)
( a
b
c
f
a
f
b
f 



25. Contoh:
1. Sebuah mobil melaju sepanjang garis lurus dengan rumus
s (t) = 4t2 - 3t. s dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan
kecepatan mobil melaju pada t = 1 dan t = 3.
2. Tentukan ukuran persegi panjang yang dapat dibuat dari kawat
sepanjang 100 cm agar luasnya maksimum

26. • Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (x0,y0) dengan
kemiringan m adalah
y – y0 = m( x – x0 ).
• Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut dengan
garis normal.
• Persamaan garis normal di titik (x0,y0) adalah
G. Garis Singgung dan Garis Normal
).
(
1
0
0 x
x
m
y
y 




27. Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari fungsi
di (2,6).
6
2 2
3


 x
x
y