Dokumen tersebut membahas tentang turunan fungsi dan penerapannya. Secara ringkas, dokumen menjelaskan definisi turunan fungsi, rumus dasar turunan fungsi aljabar dan logaritma, serta cara menggunakan turunan untuk menentukan persamaan garis singgung dan normal suatu kurva, menggambar grafik fungsi, serta menentukan titik stasioner dan jenisnya.

1. TURUNAN FUNGSI
A. Turunan Fungsi Aljabar
1. Definisi
Turunan fungsi dilambangkan dengan f ’(x) atau
y’atau atau dengan definisi :
Contoh:
1) Dengan menggunakan definisi tentukan turunan
dari f(x) = 4x2
+ 3x – 5
Selesaian
f(x) = 4x2
+ 3x – 5
f(x+h) = 4(x+h)2
+ 3(x+h) – 5
= 4(x2
+ hx + hx + h2
) + 3x + 3h – 5
= 4(x2
+ 2hx + h2
) + 3x + 3h – 5
= 4x2
+ 8hx + 4h2
+ 3x + 3h – 5
f ’(x) =
=
– –
=
–
=
=
= 8x + 4(0) + 3
= 8x + 3
2. Rumus dasar turunan fungsi
rumus dasar turunan fungsi sebagai berikut
Contoh
2) Tentukan turunan pertama dari
f(x) = 6x
– 3x–2
+ 6x2
– 2x + 5
Selesaian
f ’(x) = 6 () x–1
– 3(-2) x–2–1
+ 6x2–1
– 2
= 3 x–
+ 6 x–3
+ 6x – 2
=
Soal
1) Dengan menggunakan definisi turunan,
tentukan turunan dari fungsi berikut
(a) f(x) = 3x – 5
(b) f(x) = 3x2
– 2x
(c) f(x) = x3
+ 2
2) Dengan menggunakan rumus dasar turunan
tentukan turunan pertama fungsi berikut
(a) f(x) = 4x3
– 5x2
+ 6x – 2
(b) f(x) = 3x–1
– 4x–5
– 4x–1
(c) f(x) =
(d) f(x) =
(e) f(x) =
f ’(x) =
f(x) = axn
 f ’(x) = n axn–1
f(x) = ax f ’(x) = a
f(x) = c f ’(x) = 0

2. 3. Rumus turunan fungsi
Jika u, v, w adalah suatu fungsi
y = u v  y’ = u’ v + u v’
y = un
 y’ = n un–1
u’ (aturan rantai)
Contoh
1) f(x) = (x2
– 4x)(2x + 3)
missal
u = x2
– 4x  u’ = 2x – 4
v = 2x + 3  v’ = 2
f ’(x) = u’ v + u v’
= (2x – 4)(2x + 3) + (x2
– 4x)2
= 4x2
+ 6x – 8x – 12 + 2x2
– 8x
= 6x2
– 10x – 12
Latihan
Tentukan turunan pertama berikut
1) f(x) = (2x2
+ 3x – 5)(4x – 2)
2) f(x) =
3) f(x) = 3(2x + 4)5
4) f(x) = 3(x2
– 6x + 8)5
5) f(x) = 6(2x – 1)4
+ 3(2x – 1)2
– 6
6) y = (4(3x + 2)3
– 8)6
7) f(x) = tentukan f’(2)
8) f(x) = (2x2
– 5x + 4)(x2
– 6x + 15) tentukan f’(3)

3. B. Penggunaan Turunan Fungsi
Turunan fungsi dapat digunakan untuk:
- menentukan persamaan garis singgung kurva
- menggambar grafik fungsi aljabar
- menentukan nilai maksimum dan nilai minimum
- menentukan kecepatan dan percepatan
1. Persamaan Garis Singgung Kurva
Rumus persamaan garis singgung (PGS) kurva
y = f (x) di titik T(x1, y1) adalah
y – y1 = m (x – x1) dimana m = f ‘(x)
Rumus persamaan garis normal (PGN) kurva
y = f (x) di titik T(x1, y1) adalah
y – y1 = m (x – x1) dimana mn =
karena PGN  PGS
Contoh:
(1) Tentukan persamaan garis singgung dan garis
normal kurva f(x) = x3
– 6x2
+ 4x + 11 di titik
T(3, –4)
Penyelesaian:
T(3, –4)  x1 = 3, y1 = –4 m = f ‘(x1)
f(x) = x3
– 6x2
+ 4x + 11 = 3(3)2
– 12(3) + 4
 f ‘(x) = 3x2
– 12x + 4 = 27 – 36 +4
 f ‘(x1) = 3x1
2
– 12x1 + 4 = –5
y – y1 = m (x – x1)
 y – (–4) = (–5)(x – 3)
 y + 4 = –5x + 15
 y = –5x + 15 – 4
 y = –5x + 11
mn = =
y – y1 = m (x – x1)
 y – (–4) = ( )(x – 3)
 y + 4 = x –
 y = x – – 4
 y = x –
 PGS  y = –5x + 11 dan PGN  y = x –
(2) Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x)
= 2x3
– 4x2
di titik berabsis 2
Penyelesaian:
f(x) = 2x3
– 4x2
f ‘(x) = 6x2
– 8x
berabsis 2  x1 = 2 f ‘(x1) = 6x1
2
– 8x1
maka y1 = f(x1) m = f ‘(x1)
= 2(2)3
– 4(2)2
= 6(2)2
– 8(2)
= 16 – 16 = 24 – 16
= 0 = 8
y – y1 = m (x – x1)
 y – 0 = 8(x – 2)
 y = 8x – 16
 PGS  y = 8x – 16
(3) Tentukan persamaan garis singgung dan garis
normal kurva f(x) = x3
– 3x2
– 5x + 10 jika
gradien garis singgungnya adalah 4
Penyelesaian:
f(x) = x3
– 3x2
– 5x + 10 m = 4
 f ‘(x) = 3x2
– 6x – 5
 f ‘(x1) = 3x1
2
– 6x1 – 5
m = f ‘(x1)
 4 = 3x1
2
– 6x1 – 5
 0 = 3x1
2
– 6x1 – 9 : 3
 0 = x1
2
– 2x1 – 3
 0 = (x1 – 3)(x1 + 1)
 x1 = 3  x1 = –1
Mencari y1 dengan mensubtitusikan x1 ke f(x)
 Untuk x1 = 3
y1 = (3)3
– 3(3)2
– 5(3) + 10 = –5
y – y1 = m (x – x1)
 y – (–5) = 4(x – 3)
 y + 5 = 4x – 12
 y = 4x – 12 – 5
 y = 4x – 17
 Untuk x1 = –1
y1 = (–1)3
– 3(–1)2
– 5(–1) + 10 = 11
y – y1 = m (x – x1)
 y – 11 = 4(x – (–1))
 y – 11 = 4x + 4
 y = 4x + 4 + 11
 y = 4x + 15  PGS  y = 4x – 17  y = 8x – 16

4. 2. Menggambar Grafik Fungsi Aljabar
a. Fungsi naik dan fungsi turun
Misalkan A = { x | a < x < b } maka berlaku
(1) f(x) fungsi naik jika f ‘(x) > 0
(2) f(x) fungsi turun jika f ‘(x) < 0
(3) f(x) fungsi tidak naik tidak turun jika f ‘(x) = 0
Contoh:
Tentukan interval naik dan interval turun dari fungsi :
(1) f(x) = 3x2
– 12x + 5
(2) f(x) = x3
+ 3x2
– 45x + 10
(3) f(x) = –x3
+ 3x2
+ 24x – 8
Penyelesaian:
(1) f(x) = 3x2
– 12x + 5 f ’(x) = 0
 f ’(x) = 6x – 12  6x – 12 = 0
 6x = 12
 x = 2
x < 2 x > 2
(–) (+)
x = 0 2 x = 4
Uji substitusikan x ke f ’(x) = 6x – 12
x = 0 maka f ’(0) = 6(0) – 12 = –12 < 0
x = 4 maka f ’(4) = 6(4) – 12 = 12 > 0
Jadi Interval turun pada x < 2
Interval naik pada x > 2
(2) f(x) = x3
+ 3x2
– 45x + 10
 f ’(x) = 3x2
+ 6x – 45
f ’(x) = 0
 3x2
+ 6x – 45 = 0 : 3
 x2
+ 2x – 15 = 0
 (x – 3)(x + 5) = 0
 x = 3  x = –5
x < –5 –5 < x < 3 x > 3
(+) (–) (+)
x = –10 –5 x = 0 3 x = 5
Uji substitusikan x ke f ’(x) = 3x2
+ 6x – 45
x = –10 maka f ’(–10) = 3(–10)2
+ 6(–10) – 45
= 195 > 0
x = 0 maka f ’(0) = 3(0)2
+ 6(0) – 45 = –45 < 0
x = 5 maka f ’(5) = 3(5)2
+ 6(5) – 45 = –14 > 0
Jadi Interval naik pada x < –5 atau x > 3
Interval turun pada –5 < x < 3
(3) f(x) = –x3
+ 3x2
+ 24x – 8
 f ’(x) = –3x2
+ 6x + 24
f ’(x) = 0
 –3x2
+ 6x + 24 = 0 : –3
 x2
– 2x – 8 = 0
 (x – 4)(x + 2) = 0
 x = 4 dan x = –2
x < –2 –2 < x < 4 x > 4
(–) (+) (–)
x = –3 –2 x = 0 4 x = 5
Uji substitusikan x ke f ’(x) = –3x2
+ 6x + 24
Uji x = –3 maka f ’(–3) = –3(–3)2 + 6(–3) + 24
= –21 < 0
Uji x = 0 maka f ’(0) = –3(0)2 + 6(0) + 24 = 24 > 0
Uji x = 5 maka f ’(5) = –3(5)2 + 6(5) + 24 = –16 < 0
Jadi Interval naik pada –2 < x < 4
Interval turun pada x < –2 atau x > 4

5. b. Titik stasioner dan jenisnya
Fungsi naik, fungsi turun, maupun tidak keduanya
membentuk titik stasioner
max
Titik Balik
Titik Stasioner min
Titik Belok
Ada 2 cara menentukan titik stasioner dan jenisnya,
yakni dengan menggunakan turunan pertama dan
menggunakan turunan kedua
(1) Dengan menggunakan turunan pertama
Jika T(x1, y1) pada kurfa y = f(x) dikatakan titik
stasioner maka f ‘(x) = 0
Terdapat 3 jenis titik stasioner, yaitu:
(a) Titik balik maksimum
Tmax (x1, y1)
(+) (–)
f ‘(x) > 0 x1 f ‘(x) < 0
(b) Titik balik minimum
Tmin (x1, y1)
(–) (+)
f ‘(x) < 0 x1 f ‘(x) > 0
(c) Titik belok
Tbelokturun (x1, y1) Tbeloknaik (x1, y1)
(–) (–) (+) (+)
f ‘(x) > 0 x1 f ‘(x) < 0 f ‘(x) > 0 x1 f ‘(x) < 0
(2) Dengan menggunakan turunan kedua
(a) f ‘(x1) = 0 titik balik maksimum: Tmax (x1, y1)
f ”(x1) < 0 y1 adalah nilai maksimum
(b) f ‘(x1) = 0 titik balik minimum: Tmin (x1, y1)
f ”(x1) > 0 y1 adalah nilai minimum
(c) f ‘(x1) = 0 titik belok turun:
f ”( x1) = 0 Tbelokturun (x1, y1)
f ‘(x) < 0 untuk x < x1
(d) f ‘(x1) = 0 titik belok naik:
f ”( x1) = 0 Tbeloknaik (x1, y1)
f ‘(x) > 0 untuk x < x1
Contoh:
Tentukan titik stasioner dan jenisnya untuk fungsi
berikut:
1) f(x) = x3
– 3x2
– 9x + 10
2) f(x) = x3
– 6x2
+ 12x + 6
Penyelesaian:
1) f(x) = x3
– 3x2
– 9x + 10
 f ’(x) = 3x2
– 6x – 9
f ’(x) = 0
 3x2
– 6x – 9 = 0 : 3
 x2
– 2x – 3 = 0
 (x – 3)(x + 1) = 0
 x = 3  x = –1
Cari y dengan mensub x ke f(x) = x3
– 3x2
– 9x + 10
Untuk x = 3
y = (3)3
– 3(3)2
– 9(3) + 10 = –17
Titiknya (3, –17)
Untuk x = –1
y = (–1)3
– 3(–1)2
– 9(–1) + 10 = 15
Titiknya (–1, 15)
(+) (–) (+)
–1 3
Uji subst x ke f ’(x) = 3x2
– 6x – 9
x = 4 maka f ’(4) = 3(4)2
– 6(4) – 9 = 15 > 0
x = 0 maka f ’(1) = 3(0)2
– 6(0) – 9 = –9 < 0
x = –2 maka f ’(–2) = 3(–2)2
– 6(–2) – 9 = 15 > 0
Jadi Titik (3, –17) adalah titik balik minimum dan
Titik ((–1, 15) adalah titik balik maksimum

6. 2) f(x) = x3
– 6x2
+ 12x + 6
 f ’(x) = 3x2
– 12x + 12
f ’(x) = 0
 3x2
– 12x + 12 = 0 : 3
 x2
– 4x + 4 = 0
 (x – 2)(x – 2) = 0
 x = 2  x = 2
Cari y dengan mensub x ke f(x) = x3
– 6x2
+ 12x + 6
x = 2
y = (2)3
– 6(2)2
+ 12(2) + 6 = 14 Titiknya (2, 14)
(+) (+)
2
Uji subst x ke f ’(x) = 3x2
– 6x – 9
x = 4 maka f ’(4) = 3(4)2
– 12(4) + 12 = 12 > 0
x = 0 maka f ’(0) = 3(0)2
– 12(0) + 12 = 12 > 0
Jadi Titik (2, 14) adalah titik belok
Kerjakan soal tersebut dengan menggunakan
turunan kedua
c. Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi
dalam interval tertutup
Dalam menentukan nilai suatu fungsi dalam interval
tertutup dengan dua kemungkinan
Contoh:
Tentukan titik maksimum dan titik minimum fungsi
f(x) = x2
– 4x + 6 dalam interval –1  x  3
Penyelesaian
f(x) = x2
– 4x + 6 f ’(x) = 0
 f ’(x) = 2x – 4  2x – 4 = 0
 2x = 4
 x = 2
Subst x ke f(x) = x2
– 4x + 6
x = 2 maka f(2) = (2)2
– 4(2) + 6 = 2 Titiknya (2, 2)
x = –1 maka f(–1) = (–1)2 – 4(–1) + 6 = 11 Titiknya
(–1, 11)
x = 3 maka f(3) = (3)2
– 4(3) + 6 = 2 Titiknya (3, 3)
Jadi Titik maksimum adalah (–1, 11) dan
Titik minimum adalah (2, 2)
d. Menggambar grafik fungsi aljabar
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi aljabar
sebagai berikut:
1) Menentukan titik potong grafik dengan sumbu
koordinat (jika titik-titik itu mudah ditetapkan)
2) Menentukan titik stasioner dan jenisnya serta
interval fungsi naik dan fungsi turun.
3) Menentukan beberapa titik bantu
3. Kecepatan dan Percepatan
Jika S(t) adalah fungsi yang menyatakan jarak atau
posisi suatu benda
Kecepatan: V(t) = S ’(t)
Percepatan: a(t) = S ”(t)
nilai-nilai fungsi
dari titik stasioner
nilai-nilai fungsi dari
ujung-ujung interval