Teks tersebut membahas tentang persamaan diferensial orde dua dan penyelesaiannya. Persamaan diferensial orde dua umumnya berbentuk a(d2y/dx2) + b(dy/dx) + cy = f(x), dan penyelesaiannya tergantung pada akar-akar persamaan karakteristiknya. Jika akar-akarnya real dan berbeda, penyelesaiannya adalah y = Ae^{m_1x} + Be^{m_2x}. Jika sama, penye
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian dan cara penyelesaian persamaan diferensial tingkat satu dan pangkat satu. Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif dari suatu fungsi. Terdapat beberapa jenis persamaan diferensial seperti persamaan homogen, tidak homogen, eksak dan tidak eksak yang diselesaikan dengan beberapa metode seperti faktor integral, variasi konstan, dan metode Bernouli.
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi sama dengan dua. Persamaan kuadrat memiliki akar-akar yang dapat dicari dengan beberapa cara seperti faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna, atau menggunakan rumus. Jenis akar ditentukan oleh nilai diskriminan.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan dan pertidaksamaan linear serta kuadrat. Terdapat penjelasan mengenai bentuk umum, cara penyelesaian, contoh soal, serta rumus-rumus yang terkait.
Kumpulan soal tersebut berisi soal-soal tentang fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat, khususnya mengenai penggunaan diskriminan untuk menentukan batas-batas nilai parameter agar grafik fungsi atau persamaan memiliki akar yang berbeda atau memotong sumbu x pada dua titik.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian dan cara penyelesaian persamaan diferensial tingkat satu dan pangkat satu. Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif dari suatu fungsi. Terdapat beberapa jenis persamaan diferensial seperti persamaan homogen, tidak homogen, eksak dan tidak eksak yang diselesaikan dengan beberapa metode seperti faktor integral, variasi konstan, dan metode Bernouli.
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi sama dengan dua. Persamaan kuadrat memiliki akar-akar yang dapat dicari dengan beberapa cara seperti faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna, atau menggunakan rumus. Jenis akar ditentukan oleh nilai diskriminan.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan dan pertidaksamaan linear serta kuadrat. Terdapat penjelasan mengenai bentuk umum, cara penyelesaian, contoh soal, serta rumus-rumus yang terkait.
Kumpulan soal tersebut berisi soal-soal tentang fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat, khususnya mengenai penggunaan diskriminan untuk menentukan batas-batas nilai parameter agar grafik fungsi atau persamaan memiliki akar yang berbeda atau memotong sumbu x pada dua titik.
Bab 1 membahas berbagai teknik integrasi termasuk antiderivatif, aturan-aturan integrasi, dan contoh integral tak tentu dari berbagai fungsi seperti pangkat, trigonometri, eksponensial, dan akar.
Dokumen tersebut membahas tentang diferensial dan penggunaannya untuk mendekati perubahan variabel tergantung (dy) dan akar-akar persamaan. Diferensial dy didefinisikan sebagai f'(x)dx dan dapat digunakan untuk mendekati Δy. Metode iterasi juga dibahas untuk memperbaiki pendekatan akar-akar persamaan.
Modul ini membahas tentang pertidaksamaan dan fungsi komposisi. Pertidaksamaan meliputi definisi, sifat-sifat, dan jenis pertidaksamaan seperti linear, kuadrat, dan pecahan. Fungsi komposisi adalah penggabungan dua fungsi secara berurutan untuk menghasilkan fungsi baru.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan kuadrat, rumus-rumus dasar seperti diskriminan, jumlah dan hasil kali akar, serta beberapa soal dan pembahasannya. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan konsep dasar persamaan kuadrat dan cara menyelesaikan masalah-masalah terkait.
Berikut ringkasan dari 13 soal di dokumen tersebut:
1. Soal-soal tersebut membahas tentang persamaan kuadrat dan hubungan antara akar-akar persamaan tersebut.
2. Variabel-variabel yang muncul antara lain nilai konstanta, jumlah, selisih, dan kuadrat akar-akar persamaan kuadrat.
3. Soal-soal tersebut bertujuan mengetahui nilai konstanta agar persamaan kuadrat memenuhi syarat
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan linear dan kuadrat. Persamaan linear adalah persamaan dengan derajat satu sedangkan persamaan kuadrat mempunyai derajat dua. Dokumen ini juga menjelaskan cara menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat serta pertidaksamaan yang terkait.
Persamaan kuadrat umumnya memiliki bentuk aX^2 + bX + c = 0, dimana a, b, dan c adalah koefisien persamaan dan X adalah variabel. Dokumen menjelaskan cara menentukan nilai koefisien a, b, dan c dari suatu persamaan kuadrat, serta menghitung akar-akarnya dengan berbagai metode.
Dokumen tersebut membahas tentang penghitungan luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva tertentu menggunakan integral. Dijelaskan rumus untuk menghitung luas daerah tersebut dan beberapa contoh soal beserta penyelesaiannya.
La Unión Europea ha acordado un embargo petrolero contra Rusia en respuesta a la invasión de Ucrania. El embargo prohibirá las importaciones marítimas de petróleo ruso a la UE y pondrá fin a las entregas a través de oleoductos dentro de seis meses. Esta medida forma parte de un sexto paquete de sanciones de la UE destinadas a aumentar la presión económica sobre Moscú y privarla de ingresos para financiar su guerra.
1. The document discusses several methods for analyzing neuronal morphology from digital images, including Sholl analysis, NeuronJ, and NeuriteTracer.
2. It provides details on each method such as average time cost, limitations, and publishing date. NeuriteTracer has the fastest average time of 0.3-0.5 seconds but only measures total length from images.
3. The document also describes an automated process for neuronal reconstruction involving thresholding, sampling, modeling, structuring, and measuring pixels from images as well as references that detail techniques for automatic thresholding and skeletonization of point clouds.
Bab 1 membahas berbagai teknik integrasi termasuk antiderivatif, aturan-aturan integrasi, dan contoh integral tak tentu dari berbagai fungsi seperti pangkat, trigonometri, eksponensial, dan akar.
Dokumen tersebut membahas tentang diferensial dan penggunaannya untuk mendekati perubahan variabel tergantung (dy) dan akar-akar persamaan. Diferensial dy didefinisikan sebagai f'(x)dx dan dapat digunakan untuk mendekati Δy. Metode iterasi juga dibahas untuk memperbaiki pendekatan akar-akar persamaan.
Modul ini membahas tentang pertidaksamaan dan fungsi komposisi. Pertidaksamaan meliputi definisi, sifat-sifat, dan jenis pertidaksamaan seperti linear, kuadrat, dan pecahan. Fungsi komposisi adalah penggabungan dua fungsi secara berurutan untuk menghasilkan fungsi baru.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan kuadrat, rumus-rumus dasar seperti diskriminan, jumlah dan hasil kali akar, serta beberapa soal dan pembahasannya. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan konsep dasar persamaan kuadrat dan cara menyelesaikan masalah-masalah terkait.
Berikut ringkasan dari 13 soal di dokumen tersebut:
1. Soal-soal tersebut membahas tentang persamaan kuadrat dan hubungan antara akar-akar persamaan tersebut.
2. Variabel-variabel yang muncul antara lain nilai konstanta, jumlah, selisih, dan kuadrat akar-akar persamaan kuadrat.
3. Soal-soal tersebut bertujuan mengetahui nilai konstanta agar persamaan kuadrat memenuhi syarat
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan linear dan kuadrat. Persamaan linear adalah persamaan dengan derajat satu sedangkan persamaan kuadrat mempunyai derajat dua. Dokumen ini juga menjelaskan cara menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat serta pertidaksamaan yang terkait.
Persamaan kuadrat umumnya memiliki bentuk aX^2 + bX + c = 0, dimana a, b, dan c adalah koefisien persamaan dan X adalah variabel. Dokumen menjelaskan cara menentukan nilai koefisien a, b, dan c dari suatu persamaan kuadrat, serta menghitung akar-akarnya dengan berbagai metode.
Dokumen tersebut membahas tentang penghitungan luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva tertentu menggunakan integral. Dijelaskan rumus untuk menghitung luas daerah tersebut dan beberapa contoh soal beserta penyelesaiannya.
La Unión Europea ha acordado un embargo petrolero contra Rusia en respuesta a la invasión de Ucrania. El embargo prohibirá las importaciones marítimas de petróleo ruso a la UE y pondrá fin a las entregas a través de oleoductos dentro de seis meses. Esta medida forma parte de un sexto paquete de sanciones de la UE destinadas a aumentar la presión económica sobre Moscú y privarla de ingresos para financiar su guerra.
1. The document discusses several methods for analyzing neuronal morphology from digital images, including Sholl analysis, NeuronJ, and NeuriteTracer.
2. It provides details on each method such as average time cost, limitations, and publishing date. NeuriteTracer has the fastest average time of 0.3-0.5 seconds but only measures total length from images.
3. The document also describes an automated process for neuronal reconstruction involving thresholding, sampling, modeling, structuring, and measuring pixels from images as well as references that detail techniques for automatic thresholding and skeletonization of point clouds.
PELATIHAN APLIKASI GIS UNTUK PENGELOLA BASIS DATA BASIC (DASAR), INTERMEDIET ...Ibni Sabil
PELATIHAN APLIKASI GIS UNTUK PENGELOLA BASIS DATA BASIC (DASAR), INTERMEDIET (MENENGAH), ADVANCE (TINGKAT LANJUT), DAN TEMATIK / KHUSUS (3 HARI), KAB. BARITO SELATAN, KALIMANTAN TENGAH
This document discusses collaborative excellence between the University of Louisville and Boral Laver. In 3 sentences:
The document promotes collaborative work between the University of Louisville and Boral Laver produced in 2007. It emphasizes that collaboration produces excellence when two or more parties work together. The brief text also defines collaboration as work produced by multiple parties and excellence as outstanding quality.
Este documento define las células madre, explica su desarrollo embrionario, la clonación y las células madre adultas. Las células madre tienen la capacidad de dividirse indefinidamente y producir células especializadas, mientras que las células totipotentes pueden transformarse en cualquier tejido y las pluripotentes producen tejidos de un organismo. La clonación implica transferir el núcleo de una célula adulta a un óvulo vacío, y las células madre adultas se encuentran activamente dividié
Intervención de Eduardo Zorrilla - Debate sobre el Estado de la Ciudad 2013Ayuntamiento de Málaga
Intervención de Eduardo Zorrilla, portavoz del grupo IU, en el Debate sobre el Estado de la Ciudad de Málaga celebrado el 5 de diciembre de 2013 en el Salón de Plenos del Ayuntamiento de Málaga.
El documento habla brevemente sobre un evento del Día de la Fruta donde las mamás estaban contentas y había niños presentes. También menciona agregar imágenes y títulos propios a los marcadores de posición.
El documento cuenta la historia de un niño que observaba a su madre bordar y le parecía confuso desde abajo. Cuando se sentaba en su regazo podía ver que en realidad había un hermoso diseño. De la misma manera, cuando la vida parece desordenada, Dios tiene un plan y está bordando nuestra vida para darnos belleza.
This document lists the titles of 18 novels written in verse format along with related photo URLs. The novels cover a variety of young adult topics and were authored by writers such as Jennifer Roy, Patricia McCormick, Walter Dean Myers, Mel Glenn, Sonya Sones, Tracie Vaughn Zimmer, and Sharon Creech. Photos on various topics like war, love, basketball, mental illness, sharks, fires, and an empty classroom are included.
El documento describe las células madre, incluyendo que son células no diferenciadas con la capacidad de regenerarse y convertirse en otras células especializadas. Explica que existen células embrionarias y células madre adultas, y que la utilidad actual de las células madre es con fines terapéuticos para regenerar tejidos dañados de forma natural. Concluye que el potencial de las células madre puede llevar a grandes avances médicos y nuevos métodos de curación.
WiziQ es una plataforma en línea que permite a docentes y estudiantes realizar clases virtuales en vivo, crear comunidades de aprendizaje y compartir contenidos educativos. Los usuarios pueden subir presentaciones, PDF y otros documentos para que otros miembros los vean, y el sistema ofrece conferencias web, salones de clase virtuales e interacción entre usuarios de manera sencilla e intuitiva. WiziQ es útil para el ámbito educativo ya que facilita la enseñanza y aprendizaje de diferentes temas de manera
Simposio Internacional DEWIMED 2013: Anclaje Esqueletal OrtodónticoDentoshop Gac-vdw
El documento presenta las credenciales de 7 profesionales dentistas especializados en ortodoncia de Perú, México, Alemania y Brasil. Se incluye información sobre sus grados universitarios, especialidades, cargos actuales y experiencias profesionales relevantes en el campo de la ortodoncia.
A firewall is a system that prevents unauthorized access to a company's computer network from the outside. It monitors data flowing in and out and intercepts unjust access. A bastion host is a specially hardened computer located in the DMZ or outside the firewall that hosts a single application like a proxy server and has all other services removed or limited. A proxy server acts as an intermediary for requests from clients to external servers by evaluating requests according to filtering rules and optionally altering requests or responses.
A biotecnologia é o uso da ciência e tecnologia para manipular organismos vivos ou seus componentes para produzir bens e serviços. Combina disciplinas como genética, biologia molecular e engenharia química. O DNA armazena e transmite informações genéticas de geração em geração, e sua estrutura em dupla hélice foi descoberta por Watson e Crick em 1953.
Teks tersebut membahas tentang persamaan diferensial biasa dan penyelesaiannya. Secara singkat, persamaan diferensial biasa adalah persamaan yang menghubungkan suatu fungsi dengan turunan-turunannya, sedangkan penyelesaian persamaan diferensial adalah fungsi yang memenuhi persamaan tersebut.
Dokumen tersebut membahas metode penyelesaian persamaan diferensial homogen dengan menggunakan subtitusi y = vx, di mana v adalah fungsi dari x. Metode ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang tidak dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel atau faktorisasi. Beberapa contoh soal dan penyelesaiannya juga diberikan untuk memperjelas penjelasan metode subtitusi tersebut.
Makalah Persamaan Deferensial NON EKSAKRaden Ilyas
Dokumen tersebut membahas tentang penyelesaian persamaan diferensial tidak eksak dengan metode faktor integral. Metode ini melibatkan pengalian persamaan diferensial dengan suatu fungsi u yang disebut faktor integral untuk mengubahnya menjadi persamaan diferensial eksak yang dapat diselesaikan dengan metode integral. Faktor integral dapat berupa fungsi x saja, y saja, atau fungsi x dan y. Beberapa contoh soal juga diberikan beserta penye
1. Soal tersebut memberikan ringkasan singkat tentang beberapa soal integral dan penyelesaiannya. Beberapa soal tersebut meliputi integral parsial, substitusi variabel, dan sifat-sifat dasar trigonometri dalam penyelesaian integral.
1. Tugas kalkulus 2 membahas konsep-konsep dasar kalkulus seperti turunan, integral, nilai ekstrem, dan aplikasi turunan.
2. Dibahas pula sifat-sifat turunan, turunan fungsi trigonometri, persamaan garis singgung, jenis-jenis nilai stasioner, kecekungan fungsi, dan cara menggambar grafik fungsi.
3. Bagian akhir membahas aplikasi turunan seperti laju perubahan
1. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah x2 - 3x - 10 = 0.
2. Tinggi maksimum peluru yang ditembakkan ke atas adalah 80 meter.
3. Panjang sisi BC segitiga ABC adalah 2 cm.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi kuadrat dan hubungannya dengan grafik parabola serta garis. Fungsi kuadrat memiliki sifat yang berbeda tergantung nilai a dan diskriminan (D), di antaranya apakah grafiknya membuka ke atas atau bawah, berpotongan dua kali dengan sumbu x atau menyentuhnya. Titik puncak parabola dapat ditentukan melalui persamaan xp = -b/2a dan yp ditentukan
Dokumen tersebut berisi soal-soal ujian nasional matematika untuk kelas XII IPA tahun 2008/2009. Terdapat 33 soal pilihan ganda yang mencakup materi-materi dasar matematika seperti aljabar, trigonometri, kalkulus, dan geometri.
1. Dokumen tersebut berisi soal-soal matematika tentang barisan dan deret, himpunan, fungsi, perbandingan, sistem persamaan linier dua variabel, pertidaksamaan linier satu variabel, pola bilangan, dan persamaan kuadrat.
Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial biasa berorde n mengandung turunan ke-n dari fungsi tersebut. Fungsi yang disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial dan memenuhi persamaan tersebut untuk semua nilai x disebut solusi persamaan diferensial.
1. Dokumen menjelaskan tentang persamaan garis lurus, termasuk cara menentukan gradien, persamaan, dan hubungan antara titik-titik yang melalui garis.
2. Metode yang dijelaskan adalah menentukan gradien dari satu titik, dua titik, dan persamaan; menentukan persamaan dari gradien dan titik; serta menentukan persamaan tegak lurus dari garis lain.
3. Contoh soal diberikan untuk mem
Ujian akhir semester mata kuliah Persamaan Differensial dilaksanakan pada hari Senin, 31 Januari 2011 dari pukul 12.00-14.30 WIB. Ujian bersifat tutup buku dan peserta diwajibkan mengerjakan soal nomor genap atau ganjil sesuai NIM masing-masing. Soal ujian meliputi penyelesaian persamaan diferensial menggunakan transformasi Laplace beserta konvolusi dan aplikasinya dalam menyelesaikan masalah-
Dokumen tersebut membahas tentang interpolasi polinom Newton Gregory maju dan mundur untuk fungsi dua variabel. Ia menjelaskan bentuk umum polinom interpolasi dua variabel, contoh penyelesaian soal interpolasi satu variabel menggunakan polinom Newton Gregory maju dan mundur, serta contoh soal interpolasi dua variabel.
Metode dekomposisi LU merupakan metode pemecahan persamaan linier dengan mendekomposisi matriks koefisien menjadi hasil perkalian matriks segitiga atas dan bawah. Metode ini meliputi dekomposisi LU naif yang membentuk matriks segitiga atas dan bawah secara langsung dari matriks asli, serta dekomposisi Crout yang menghasilkan matriks segitiga lebih secara efisien.
Dokumen tersebut membahas metode Gauss-Jordan dan Gauss Seidel untuk memecahkan persamaan linear. Metode Gauss-Jordan mengubah matriks awal menjadi matriks identitas dengan operasi baris, sedangkan metode Gauss Seidel menghitung nilai variabel secara iteratif dengan menggunakan nilai terakhir variabel lainnya.
Dokumen tersebut membahas tentang metode-metode penyelesaian sistem persamaan linier, meliputi metode grafik, determinan dan aturan Cramer, eliminasi bilangan anu, serta eliminasi Gauss Naif. Metode-metode tersebut diterangkan beserta contoh penerapannya untuk sistem persamaan linier berukuran kecil maupun besar.
Metode Newton-Raphson untuk dua variabel memperluas metode ini untuk mencari akar persamaan non-linear dua variabel dengan menggunakan deret Taylor dan membentuk sistem persamaan untuk memperbarui nilai tebakan berikutnya. Contoh menunjukkan cara menerapkannya untuk menemukan akar dari dua persamaan non-linear dengan awal tebakan yang diberikan.
Sillabus mata kuliah ini membahas berbagai metode numerik untuk menyelesaikan masalah-masalah matematika seperti persamaan non-linear, sistem persamaan linear, interpolasi, turunan numerik, integrasi numerik, dan persamaan diferensial biasa dengan menggunakan pendekatan numerik. Metode-metode yang dibahas antara lain metode eliminasi Gauss, interpolasi polinom, metode Runge Kutta, dan metode integral.
(1) Hipotesis menguji rata-rata masa pakai lampu, dengan H0: 800 jam vs H1: tidak 800 jam.
(2) Statistik uji z atau t dibandingkan dengan daerah kritis untuk menentukan penerimaan/penolakan H0.
(3) Contoh menunjukkan H0 diterima, artinya rata-rata masa pakai lampu masih sekitar 800 jam.
Dokumen tersebut membahas tentang pendugaan interval keyakinan. Pendugaan interval keyakinan memberikan rentang nilai yang kemungkinan mengandung parameter populasi berdasarkan tingkat keyakinan tertentu. Dokumen tersebut menjelaskan proses pendugaan interval keyakinan untuk rata-rata dengan variansi diketahui dan tidak diketahui, proporsi, total populasi, dan contoh soal pendugaan interval keyakinan untuk rata-rata IQ dengan n=100, rata-rata 110,
1. 2. Persamaan Differensial Orde Dua
Bentuk umum persamaan Differensial Orde Dua adalah :
d2y dy
a +b + cy = f(x) (1)
dx 2
dx
di mana, a, b, dan c adalah koefisien konstanta dan f(x) adalah suatu fungsi x yang
diketahui.
Misalkan diketahui f(x) = 0, maka persamaannya menjadi :
d2y dy
a 2 +b + cy = 0 (2)
dx dx
dan misalkan y = u dan y = v (di mana u dan v adalah fungsi dari x) adalah dua
penyelesaian dari persamaan maka :
d 2u du d 2v dv
a +b + cu = 0 dan a 2 + b + cv = 0
dx 2
dx dx dx
Dengan menjumlahkan kedua persamaan, maka :
d 2u d 2v du dv
a 2 + 2 + b
dx + + c(u+v) = 0 (3)
dx dx dx
d du dv d2 d 2u d 2v
di mana (u + v) = + dan (u + v) = + , sehingga persamaan itu
dx dx dx dx 2 dx 2 dx 2
dapat ditulis kembali sebagai :
d 2u d
a (u + v) + b (u + v) + c(u + v) = 0 (4)
dx 2 dx
yang merupakan persamaan awal (2), dengan variabel y diganti (u + v), dengan
pengertian jika y = u dan y = v adalah penyelesaian dari persamaan :
d2y dy
a +b + cy = 0, maka berlaku juga untuk y = u + v.
dx 2
dx
Jika diketahui a = 0, maka persamaan (2) menjadi :
dy dy c
b + cy = 0 atau + ky = 0, k =
dx dx b
Dengan metode pemisahan variabel, maka :
dy dy
dx
= – ky ⇒ ∫ y
= – ∫ k dx ⇒ ln y = – kx + c
∴ y = e – k x + c = e – kx.e c = A.e – k x (dengan A = e c)
∴ y = Ae m x (jika – k = m) (5)
46
2. Untuk membuktikan bahwa penyelesaian y = Aemx dari persamaan orde dua (2), sehingga
persamaan akan menjadi,
y = Ae m x
dy
= Ame m x
dx
d2y
= Am2e m x
dx 2
dengan mensubtitusi ke persamaan (2) maka,
aAm2e m x + bAme m x + cAe m x = 0
Jika dibagi kedua sisinya dengan Ae m x, akan diperoleh :
am2 + bm + c = 0 (6)
Yang merupakan sebuah persamaan kuadrtaik yang menghasilkan dua nilai m. Nilai –
nilai ini katakan :
m = m1 dan m = m2
sehingga y = A e m1 x dan y = B e m 2 x merupakan penyelesaian dari persamaan itu. Dapat
disimpulkan bahwa penyelesaian persamaan (2), berlaku juga untuk y = A e m1 x + B e m 2 x .
Persamaan kuadratik (6) disebut persamaan karakteristik yang diperoleh dari persamaan
d2y dy
(2) dengan m2 untuk , m untuk dan 1 untuk y.
dx 2
dx
Contoh 30
d2y dy
Selesaikanlah +5 + 6y = 0
dx 2 dx
Penyelesaian
Persamaan karakteristiknya adalah m2 + 5m + 6 = 0
(m1 + 3)(m2 + 2) = 0
∴ m1 = – 3 dan m2 = – 2
∴Penyelesaiaannya adalah y = A e -3x + B e -2x
2. 1 Penyelesaian Persamaan Karakteristik untuk Akar – akar real yang berbeda
Beberapa tipe penyelesaian dari persamaan karakteristik dengan akar–akar real yang
berbeda.
Contoh 31
d2y dy
Selesaikanlah +3 + 2y = 0
dx 2
dx
Penyelesaian
47
3. Persamaan karakteristiknya adalah m2 + 3m + 2 = 0
(m1 + 2)(m2 + 1) = 0
∴ m1 = – 2 dan m2 = – 1
∴Penyelesaiaannya adalah y = A e -2x + B e -x
Contoh 32
d2y dy
Selesaikanlah –7 + 12y = 0
dx 2
dx
Penyelesaian
Persamaan karakteristiknya adalah m2 – 7m + 12 = 0
(m1 – 3)(m2 – 4) = 0
∴ m1 = 3 dan m2 = 4
∴Penyelesaiaannya adalah y = A e 4x + B e 3x
2. 2 Penyelesaian Persamaan Karakteristik untuk Akar – akar real yang sama
Tinjau Persamaan :
d2y dy
+6 + 9y = 0
dx 2
dx
Persamaan karakteristiknya adalah : m2 + 6m + 9 = 0, sehingga,
∴(m + 3)(m + 3) = 0
∴m = – 3 dan m = – 3
∴Penyelesaiaannya adalah y = A e -3x + B e -3x atau y = C e -3x ,
Pada kasus yang lebih umum dapat ditunjukkan bahwa penyelesaian persamaan
differensial orde dua dengan akar riel yang sama dapat ditulis sebagai :
y = A e -3x + Bx e -3x atau y = e m1 x (A + Bx)
Contoh 33
d2y dy
Selesaikanlah +4 + 4y = 0
dx 2
dx
Penyelesaian
Persamaan karakteristiknya adalah m2 + 4m + 4 = 0
(m1 + 2)(m2 +2) = 0
∴ m1 = – 2 dan m2 = – 2
∴Penyelesaiaannya adalah y = e -2x (A + Bx)
48
4. Contoh 34
d2y dy
Selesaikanlah + 10 + 25y = 0
dx 2
dx
Penyelesaian
Persamaan karakteristiknya adalah m2 + 10m + 25 = 0
(m1 + 5)(m2 +5) = 0 atau (m1 + 5)2 = 0
∴ m1 = – 2 dan m2 = – 2
∴Penyelesaiaannya adalah y = e -5x (A + Bx)
Contoh 35
d2y dy
Selesaikanlah +8 + 16y = 0
dx 2
dx
Penyelesaian
Persamaan karakteristiknya adalah m2 + 10m + 25 = 0
(m1 + 4)(m2 + 4) = 0 atau (m1 + 4)2 = 0
∴ m1 = – 4 dan m2 = – 4
∴Penyelesaiaannya adalah y = e -4x (A + Bx)
2. 3 Penyelesaian Persamaan Karakteristik untuk Akar – akar kompleks
Jika persamaan memiliki akar-akar kompleks, misalkan :
m = α ± jβ yaitu m1 = α ± jβ dan m2 = α – jβ
maka penyelesaiaannya akan berbentuk :
y = C e ( α + jβ ) x + D e ( α − jβ ) x = Ceαx.e jβx + Deαx.e -jβx
= eαx{ Ce jβ x + De -jβ x}
Diketahui bahwa :
e jx= cos x + j sin x e jβ x= cos βx + j sin βx
e -jx= cos x – j sin x e -jβ x= cos βx – j sin βx
sehingga penyelesaian di atas dapat ditulis :
y = eαx{C(cos βx + j sin βx) + D(cos βx – j sin βx)}
= eαx{(C + D) cos βx + j(C –D) sin βx}
y = eαx{A cos βx + jB sin βx}
dengan A = C + D dan B = j(C – D)
Jika m = α ± jβ, penyelesaiannya dapat ditulis dalam bentuk :
y = eαx{A cos βx + B sin βx}
Berikut ini sebuah contoh lagi : m = - 2 ± 3j maka y = e -2x{A cos 3x + B sin 3x}
49
5. Contoh 36
d2y dy
Selesaikanlah +4 + 9y = 0
dx 2
dx
Penyelesaian
Persamaan karakteristiknya adalah m2 + 4m + 9 = 0
-4± 16 - 36 - 4 ± - 20 - 4 ± 2j 5
∴m = = = =-2± 5j
2 2 2
untuk α = - 2 dan β = 5
Penyelesaiaannya adalah
y = e-2x{A cos 5 x + B sin 5 x}
Contoh 37
d2y dy
Selesaikanlah –2 + 10y = 0
dx 2
dx
Penyelesaian
Persamaan karakteristiknya adalah m2 – 2m + 10 = 0
-2± 4 - 40 - 4 ± - 36
∴m = = =1±3j
2 2
untuk α = 1 dan β = 3
Penyelesaiaannya adalah
y = e-2x{A cos 3x + B sin 3x}
Kesimpulan :
d2y dy
Jika a +b + cy = 0
dx 2
dx
Dengan persamaan karaktersitiknya : am2 + bm + c = 0
1. Akar-akar riil yang berbeda m = m1 dan m = m2
Penyelesaiannya adalah y = A e m1 x + B e m 2 x .
2. Akar-akar riil yang sama m = m1 dan m = m1
Penyelesaiannya adalah y = e m1 x (A + Bx).
3. Akar-akar kompleks m = α ± jβ
Penyelesaiannya adalah y = eαx{A cos βx + B sin βx}
50
6. Misalkan persamaan berbentuk :
d2y
± n2y = 0, (7)
dx 2
yang merupakan kasus khusus dari persamaan :
d2y dy
a 2 +b + cy = 0, dimana b = 0
dx dx
maka
d2y d2y c
a + cy = 0, atau a 2 + y = 0
dx 2
dx a
2
d y
dapat ditulis sebagai 2
± n2 y = 0, yang mencakup nilai positif dan negatif.
dx
2
d y
(a) Jika 2
+ n2 y = 0, ⇒ m2 + n2 = 0 ⇒ m2 = – n2 ∴ m2 = ± jn
dx
(sama seperti m = α ± jβ, dengan α = 0 dan β = n)
∴ y = A cos nx + B sin nx
d2y
(b) Jika – n2 y = 0, ⇒ m2 – n2 = 0 ⇒ m2 = n2 ∴ m2 = ± n
dx 2
∴ y = C e nx + D e –nx
dengan,
e nx + e − nx
cosh nx = ⇒ e nx + e –nx = 2 cosh nx
2
e − e − nx
nx
sinh nx = ⇒ e nx – e –nx = 2 sinh nx
2
Dengan penjumlahan kedua persamaan menjadi :
2enx = 2 cosh nx + 2 sinh nx
∴enx = cosh nx + sinh nx
Jika dikurangkan kedua persamaan menjadi
∴e -nx = cosh nx – sinh nx
Sehingga, penyelesaian, dari persamaan (7), dapat ditulis kembali :
∴ y = C e nx + D e –nx
∴y = (C + D) cosh nx + (C – D) sinh nx atau y = A cosh nx + B sinh nx
Catatan :
d2y
+ n2 y = 0 ⇒ ∴ y = A cos nx + B sin nx
dx 2
d2y
2
– n2 y = 0 ⇒ ∴ y = A cosh nx + B sinh nx
dx
51
7. Contoh 38 :
d2y
Selesaikanlah + 16 y = 0
dx 2
Penyelesaian
Diketahui m2 + 16 = 0
⇒ ∴ m2 = – 16 atau m = ± j4
∴ y = A cos 4x + B sin 4x
Contoh 39 :
d2y
Selesaikanlah – 3y = 0
dx 2
Penyelesaian
Diketahui m2 – 3y = 0
⇒ ∴ m2 = 3 atau m = ± 3
∴ y = A cosh 3 x + B sinh 3x
Contoh 40 :
d2y
Selesaikanlah + 5y = 0
dx 2
Penyelesaian
Diketahui m2 + 5y = 0
⇒ ∴ m2 = – 5 atau m = ± j 5
∴ y = A cos 5 x + B sin 5 x
Contoh 41 :
d2y
Selesaikanlah – 4y = 0
dx 2
Penyelesaian
Diketahui m2 – 4y = 0
⇒ ∴ m2 = 4 atau m = ± 2
∴ y = A cosh 2x + B sinh 2x
52
8. I. Latihan
Selesaikanlah :
d2y dy d2y
1. – 12 + 36y = 0 2. + 7y = 0
dx 2
dx dx 2
d2y dy d2y dy
3. +2 – 3y = 0 4. 2 2 + 4 + 3y = 0
dx 2 dx dx dx
d2y
5. – 9y = 0 6. y′′ – y′ – 2y = 0
dx 2
7. y′′ – 7y′ = 0 8. y′′ – 5 y = 0
d2x d 2r
9. – 16x = 0 10. 2 – φ2 x = 0
dt 2 dt
Jawaban :
1. y = e6x(A + Bx) 2. y = A cos 7 x + B sin 7 x
x x
3. y = Aex + Be-3x 4. y = e-x Acos + Bsin
2 2
5. y = A cosh 3x + B sinh 3x 6. y = Ae-x + Be2x
7. y = A + Be7x 8. y = Ae√5 x + Be-√5 x
9. x(t) = Ae4t + Be-4t 10. r(t) = Aeφ t + Be- φ t
Tugas V (Dikumpulkan Sebelum UTS)
II. Selesaikanlah :
d y2
dy
1. –4 +y=0 11. y′′ – 9
2 y′ + 2y = 0
dt 2
dt
d2I dI
2. + 60 + 500I = 0 12. y′′ – 1
4 y′ + 1
8 y=0
dt 2 dt
3. x + 128 x + 96x = 0
13. - 2 y + 1 y = 0
y 2
d y2
dy 2
d y dy
4. + – 6y = 0 14. –6 + 25y = 0
dx 2
dx dx 2
dx
d2x dx d2y dy
5. +9 + 14x = 0 15. –10 + 29y = 0
dt 2 dt dx 2 dx
d2y
6. 2y′′ – 5y′ + 2y = 0 16. + 9y = 0
dx 2
d2x dx
7. q + 1000 q + 96q = 0
17. +8 + 25x = 0
dt 2
dt
d 2Q dQ d 2Q dQ
8. + 1000 +160.000Q = 0 18. +8 + 52Q = 0
dt 2
dt dt 2
dt
d2x dx
9. +k =0 29. x + 16 x = 0
dt 2 dt
d2x g
10. – x=0 20. x + 3k x = 0
dt 2
10
53