Persamaan kuadrat adalah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi sama dengan dua. Persamaan kuadrat memiliki akar-akar yang dapat dicari dengan beberapa cara seperti faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna, atau menggunakan rumus. Jenis akar ditentukan oleh nilai diskriminan.

1. PERSAMAAN KUADRAT
A. Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang variabelnya
mempunyai pangkat tertinggi sama dengan 2.
Bentuk baku persamaan kuadrat adalah dalam x adalah :
…. rumus 1
Dengan :
0≠a dan a, b, c adalah anggota himpunan bilangan nyata.
Ada beberapa bentuk khusus persamaan kuadrat yaitu :
01 2
=++→= cbxxa : persamaan kuadrat biasa
00 2
++→= cxb : persamaan kuadrat murni
00 2
=+→= bxxc : persamaan kuadrat tak lengkap
Contoh :
(a) 0442
=++− xx
(b) 022
=+ xx
(c) 092
=+x
02
=++ cbxax
B. Akar – akar Persamaan Kuadrat
Nilai yang memenuhi persamaan kuadrat disebut akar
persamaan kuadrat dan dinotasikan dengan x
02
=++ cbxax
1 dan x2.
Akar – akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan beberapa cara,
yaitu :
1. Faktorisasi
Bentuk diuraikan kebentuk02
=++ cbxx
…………rumus 2
0)2()1( =−− xxxx

2. Contoh :
2202
3103
0)2()3(
0652
−=→=+
−=→=+
=++→
=++
xx
xx
xx
xx
2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Bentuk , dijabarkan kebentuk02
=++ cbxx
…………..rumus 3
Contoh :
a. 0142
=−+ xx
kemudian masing – masing suku ditambah
dengan 4
→=+ 142
xx
52
5)2(
4144
2
2
±=+
=+
+=+++
x
x
xx
Maka 251 −=x dan 252 −−=x
b. 0262
=−− xx
kemudian masing–masing suku ditambahkan
dengan 9
→−− 262
xx
311311113
11)3(
9296
21
2
2
+−=+=→±=−
=−
+=+−
xdanxx
x
xx
qpx =+ 2
)(
3. Menggunakan Rumus abc
Persamaan kuadrat , mempunyai akar – akar
persamaan :
02
=++ cbxax
………rumus 4
a
acbb
x
2
42
2,1
−±−
=

3. Cara mencari rumus tersebut adalah sebagai berikut :
02
=++ cbxax → kemudian masing – masing suku dikalikan 4a
0)4()44(
0)(444
0444
2222
2222
22
=−−++
=−+++
=++
acbbabxxa
bbacabxxa
acabxxa
→=−−+ 0)4()2( 222
acbbax kemudian masing-masing suku
diakar
→=−−+ 0)42( 2
acbbax harga dari akar bisa (+) dan (-)
Sehingga diperoleh rumus :
…………rumus 4
Nilai b2
- 4ac disebut diskriminan dari persamaan ax2
+ bx + c= 0 dan diyulis
dengan huruf D. maka rumus diatas menjadi :
a
acbb
x
2
42
2,1
−±−
=
………rumus 5
Contoh :
Carilah akar – akar dari persamaan kuadrat : 4x2
+ 5x + 1 = 0
Jawab
4x2
+ 5x + 1 = 0 → a = 4, b = 5 dan c = 1
4
1
8
35
1
8
35
1
8
35
8
16255
4.2
1.4.455
2
2,1
2,1
2
2,1
−=
+−
=−=
−−
=
±−
=
−±−
=
−±−
=
xx
x
xx
a
Db
x 2,1
±−
=
2
a
Db
x
2
2,1
±−
=

4. C. Jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat
Misal akar – akar dari persamaan kuadrat ax2
+ bx + c = 0 adalah x1
dan x2. Rumus pemyelesaian dari persamaan kuadrat tersebut :
a
Db
x
2
1
+−
= dan
a
Db
x
2
2
−−
=
Maka jumlah akar-akar tersebut adalah :
a
DbDb
xx
2
21
−−+−
=+
Atau ……………rumus 6
Sedangkan hasil kali akar – akar tersebut adalah :
{ }
2
22
2
22
21
4
4
4
)()(
,
a
acbb
a
Db
xx
+−
=
−−
=
Atau ………..rumus 7
Selisih akar – akar tersebut adalah :
a
D
xx
2
2
21 =− sehingga ….rumus 8
a
b
xx
−
=21 ,
a
c
xx =21 ,
Atau ………rumus 9
a
D
xx =− 21
Contoh :
2x2
+ 4x + 6 = 0
Tentukan nilai x1
2
+ x2
2
tanpa mencari x1 dan x2
2
21x2
)( xaD −=

5. Jawab
23.2)2(
..2)(
3
2
6
.
2
2
4
64,20642
2
21
2
21
2
2
2
1
21
21
2
−=−−=
−+=+
==
−=−=+
===→=++
xxxxxx
xx
xx
cdanbaxx
D. Jenis akar – akar persamaan kuadrat
Akar – akar persamaan kuadrat ax2
+ bx + c = 0 adalah x1 dan x2
dimana
………..rumus 5
D = b2
– 4ac adalah disriminan.
Jenis akar – akar persamaan berdasarkan diskriminan adalah :
a
Db
x
2
2,1
±−
=
a
Db
x
2
2,1
±−
=
1. Jika D > 0, Maka terdapat dua akar real yang tidak sama ( x1 ≠ x2 )
2. Jika D = 0, Maka akar – akarnya kembar atau sama dan real ( x1 ≠
x2 ).
3. Jika D < 0, Maka kedua akar tidak real atau tidak mempunyai akar
– akar yang real.
Contoh :
1). Tentukan q supaya persamaan x2
+ qx + a = 0 mempunyai dua
akar nyata dan berlainan.
Jawab
x2
+qx + q = 0
mempunyai dua kar berlainan, maka D > 0
D = b2
- 4ac = q2
-4 . 1 . q = q2
– 4q > 0

6. Atau q (qa – 4 ) > 0
q1 = 0 ; ( q – 4 ) = 0 →q2 = 4
Maka : q < 0 ataua q > 4.
2). Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat x2
– ( 2 + p)x + 4= 0
mempunyai akar – akar kembar.
Jawab :
x2
– ( 2 + p)x +4 = 0
akar – akarnya kembar, maka D = 0
D = b2
– 4ac
= - ( 2 + p ) 2
-4 . 1. 4
= 4 + 4p + p2
– 16
p2
+ 4p - 12 = 0
(p + 6 ) ( p – 2 ) = 0
p1 = -6 dan p2 = 2
E. Contoh Soal dan Penyelesaian
1). Apabila m menjalani bilangan – bilangan nyata, selidikilah
banyaknya akar – akar persamaan : x2
– 2 (1 + 3m) x + 7 (3 +
2m) =0
Jawab
Banyaknya akar – akar persamaan kuadrat ditentukan adanya
diskriminan itu. Kita hitung dahulu besarnya diskriminan itu
yaitu :
D = 4 (1 + 3m)2
– 28 (3 + 2m)
= 4 + 24m + 36m2
– 84 – 56m
= 36m2
– 32m – 80
Ada 3 kemungkinan :
a). Kalau D > 0 atau 36m2
– 32m 80 > 0 maka
36m2
– 32m-80 > 0 disederhanakan menjadi
4 (9m2
– 8m – 20) > 0

7. 4 (9m + 10) (m – 2 ) > 0
Kalau D > 0, maka m > 2 atau m <
9
10
−
Yang berarti persamaan di atas mempunyai dua akar yang
nyata dan berlainan
b). Kalau D = 0 atau 36m2
– 32m - 80 = 0 akan memberikan m1
= 2 atau m2 =
9
10
−
untuk m1 dan m2 sebesar tersebut diatas, maka persamaan
tersebut diatas mempunyai dua akar yang nyata dan kembar.
Untuk m =
9
10
− , akar kembar itu adalah :
a
Db
x
2
2,1
±−
= → karena D = 0 maka
3/7
3/101)9/10.(31
2
9/10.(62
1.2
)31(2
2
2,1
−=
−=−+=
−+
=
+
=
−
=
m
a
b
x
c). kalau D < 0 atau 36m2
– 32m 80 < 0, maka persamaan
diatas tidak mempunyai akar yang nyata.
2). Tentukan akar – akar persamaan
9
21
1
9
7
2
2
2
2
−
−
=+
−
−
x
x
x
xx
Jawab:
Jika 1 diganti dengan
9
9
2
2
−
−
x
x
maka
9
21
1
9
7
2
2
2
2
−
−
=+
−
−
x
x
x
xx
x2
– 7x + x2
– 9 = x2
- 21
x2
- 7x + x2
- 9 = -21
x2
- 7x + 12 = 0
(x-4) (x-3) = 0

8. x – 4 = 0 → x1 = 4
x – 3 = 0 → x2 = 3
x2 = 3 apabila dimasukkan ke soal, persamaannya tidak
terdefinisikan.
Maka akarnya adalah x = 4
3). Akar – akar persamaan kuadrat 2x2
– 6x – p = ialah x1 dan x2
jika x1
2
– x2
2
= 15.
Tentukan harga p !
Jawab :
x1 + x2 =
a
b−
maka x1 + x2 = - 3
2
)6(
=
−
……….. (1)
x1 . x2 =
a
c
maka x1 . x2 = -
2
P
……….. (2)
x1
2
– x2
2
= 15 ……….. (3)
(x1 + x2) (x1 – x2) = 15 (*)
3(x1 – x2) = 15 → (x1 – x2) = 5 ……….. (4)
Dengan mengeleminasi persamaan (1) dan (4) :
x1 + x2 = 3
x1 – x2 = 5+ → x1 = 4 → -1
2x1 = 8
Dari persamaan (2) → x1 . x2 = -
2
P
4.(-1) = -
2
P
→ p = 8

9. Catatan :
(*)
ingat rumus x1
2
– x2
2
= (x1 + x2) (x1 – x2)
= 3(x1 – x2)
4). Tentukan harga x dari persamaan 03
64
2
=−−
xx
Jawab :
Bentuk lain dari persamaan tersebut adalah 4.x-2
– 6.x-1
– 3 = 0
Selanjutnya direduksi dengan memisalkan t = x-1
,
Sehingga t2
= x-2
Dengan demikian persamaan di atas menjadi 4.t-2
– 6.t – 3 = 0
t1,2 =
8
46366
4.2
)3(4.4)6()6( 2
+±
=
−−−±−−
t1 =
8
846 +
dan t2 =
8
846 −
karena t = x-1
maka x =
t
1
sehinga :
x1 = 5275,0
846
8
8
846
11
1
=
+
=
+
=
t
x2 = 5275,2
846
8
8
846
11
2
−=
−
=
−
=
t