1. 1. 4 Persamaan Bernoulli
Bentuk umum persamaan Bernoulli adalah :
dy
+ Py = Qyn, dengan P dan Q adalah fungsi dari x (atau konstanta).
dx
Untuk menyelesaikan bentuk persamaan seperti ini adalah :
(a) Bagi kedua sisi dengan yn, sehingga diperoleh :
dy
y-n + Py1-n = Q
dx
(b) Subtitusikan z = y1-n
sehingga dengan differensiasi (turunan) persamaan itu adalah :
dz dy
= (1–n)y- n
dx dx
dari persamaan sebelumnya diketahui :
dy
+ Py = Qyn (1)
dx
dy
∴ y-n + Py1-n = Q (2)
dx
dz dy
dengan subtitusi z = y1-n maka = (1 – n)y- n
dx dx
dz
Jika Pers. (2) dikalikan dengan (1 – n) maka suku pertama menjadi :
dx
dy
(1 – n)y-n + (1 – n )Py1-n = (1 – n)Q
dx
Sehingga persamaan itu dapat ditulis kembali sebagai :
dz
+ P1 z = Q1, P1 dan Q1 adalah fungsi dari x.
dx
Contoh 26
dy 1
Selesaikanlah + y = xy2
dx x
Penyelesaian
(a) Diketahui dengan membagi y2 kedua sisi, maka
dy 1
y-2 + y-1= x (**)
dx x
dz dy
(b) Dan subtitusikan z = y1-n, dimana z = y-1, = – y -2 ,
dx dx
38

2. (c) Dengan mengalikan (-1) kedua sisi pada persamaan (**) agar suku pertamanya
dz
menjadi :
dx
dy 1
– y-2 – y-1= – x
dx x
sehingga
dz 1
– z= –x
dx x
dengan persamaan baru ini, dapat diselesaikan dengan menggunakan faktor integrasi
1
dapat, P = − dan Q = – x
x
1 1
FI = e ∫ P dx = e ∫ − x
dx
= e − ln x =
x
dan
1 dz 1
– 2 z= –1
x dx x
dengan mengintegrasi kedua sisi maka,
d  z.e ∫ P dx 
∴   = Q. e ∫ P dx
dx  
d  1
dx  x  ∫
∴∫  z.  = − 1dx
z
= – x + C atau z = Cx – x2 dengan z = y-1
x
∴y = (Cx – x2)-1
Contoh 27
dy
Selesaikanlah x2y – x3 = y4cos x
dx
Penyelesaian
(a) Diketahui dengan membagi x3 kedua sisi, maka
dy y 4 cosx dy y 4 cosx
x-1y – = atau – x-1y = –
dx x3 dx x3
dy cos x
y-4 – x-1y-3 = –
dx x3
dz dy
(b) Dengan subtitusikan z = y1-n, dimana z = y1-4 = y-3 , = –3y -4 ,
dx dx
39

3. (c) Dengan mengalikan (-3) kedua sisi pada persamaan (a) sehingga suku pertamanya
dz
menjadi :
dx
dy 1 3cos x
– 3y-4 +3 y-3=
dx x x3
sehingga
dz 3 3cos x
+ z=
dx x x3
dengan persamaan baru ini, dapat diselesaikan dengan menggunakan faktor integrasi
3 3cos x
dapat, P = dan Q =
x x3
3
FI = e ∫ P dx = e ∫ x
dx
= e 3 ln x = x 3
dan
dz
x3 + 3x2z = 3 cos x
dx
dengan mengintegrasi kedua sisi maka,
∴
d
dx
{ z.x 3 } = 3 cos x
∴∫
d
dx
{ }
z.x 3 = ∫ 3 cos x dx
x3
zx = 3 sin x + C atau 3 = 3 sin x + C dengan z = y-1
3
y
x3
∴y = 3
3 sin x + C
Contoh 28
dy
Selesaikanlah 2y – 3 = y4e3x
dx
Penyelesaian
dy 2 y 4 e 3x
– y=–
dx 3 3
dy 2 e 3x
∴y-4 – y-3 = –
dx 3 3
dz dy
Misalkan z = y1-n, dimana z = y1-4 = y-3 , = –3y -4 ,
dx dx
40

4. dz
Dengan mengalikan (-3) kedua sisi sehingga suku pertamanya menjadi :
dx
dy
∴– 3y-4 + 2y-3= e3x
dx
sehingga
dz
+ 2z = e3x
dx
dengan persamaan ini, maka dapat diselesaikan dengan menggunakan faktor integrasi
dapat, P = 2 dan Q = e3x
FI = e ∫ P dx = e ∫ 2 dx
= e2x
dan
dz
e2x + 2 e2x z = e5x
dx
dengan mengintegrasi kedua sisi maka,
∴
d
dx
{ z.e 2x } = e 5 x
∴∫
d
dx
{ }
z.e 2x = ∫ e 5 x dx
e 5x e2x e 5x + A
ze2x = + C atau 3 = dengan A = 5C
5 y 5
5e 2x
∴y = 5x
3
e + A
Contoh 29
dy
Selesaikanlah y – 2x = x(x+1) y3
dx
Penyelesaian
dy y x(x + 1)y 3
– =–
dx 2x 2x
dy y -2 (x + 1)
∴y -3
– =–
dx 2x 2
dz dy
Misalkan z = y1-n, dimana z = y1-3 = y-2 , = –2y -3 ,
dx dx
dz
Dengan mengalikan (-2) kedua sisi sehingga suku pertamanya menjadi :
dx
41

5. dy y -2
∴– 2y-3 + =x+1
dx x
sehingga
dz 1
+ .z = x + 1
dx x
dengan persamaan ini, maka dapat diselesaikan dengan menggunakan faktor integrasi
1
dapat, P = dan Q = x + 1
x
1
FI = e ∫ P dx = e ∫ x
dx
= e ln x = x
dan
dz
x. + 2xz = x(x + 1)
dx
dengan mengintegrasi kedua sisi maka,
d
∴ { z.x} = x(x + 1)
dx
d
∴∫ { z.x} = ∫ x(x + 1)dx
dx
x3 x2
zx = + +C
3 2
x 2x 3 + 3x 2 + A
= dengan A = 6C
y2 6
6x
∴y2 =
2x + 3x 2 + A
3
42

6. Ringkasan
1. Orde dari suatu persamaan differensial ditunjukkan oleh turunan tertinggi yang ada
dalam persamaan tersebut.
2. Penyelesaian dari persamaan differensial orde – pertama :
dy
(a) Dengan integrasi langsung : = f(x)
dx
menghasilkan y = ∫ f(x) dx
dy
(b) Dengan pemisahan variabel : F(y) = f(x)
dx
menghasilkan ∫ f(y) dy = ∫ f(x) dx
(c) Persamaan homogen : dengan subtitusi y = vx
dv
menghasilkan v + x = F(v)
dx
dy
(d) Persamaan Linier : + Py = Q
dx
dengan faktor integrasi, FI = e ∫ P dx , e ln F = F
menghasilkan y.FI = ∫ Q.FI dx
(e) Persamaan Differensial Eksak Orde Satu : M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0,
dengan dg(x, y) = M(x, y) dx + N(x, y) dy atau,
∂ g(x, y) ∂ g (x, y)
dg(x, y) = dx + dy
∂ x ∂ y
∂ g(x, y) ∂ g(x, y)
sehingga = M(x, y) dan = N(x, y)
∂ x ∂ y
(f) Persamaan Differensial Eksak Orde Satu dengan Faktor Integrasi :
I(x, y)[M(x, y) dx + N(x, y) dy] = 0,
dengan µ = e∫ f(x) dx,
sehingga,
f(x) = (My – Nx)/N, My = ∂ M/∂ y, dan Nx = ∂ N/∂ x.
dy
(g) Persamaan Bernoulli : + Py = Qyn
dx
dengan membagi yn : kemudian masukkan z = y1-n
Selanjutnya kerjakan dengan faktor integrasi seperti bagian (d)
43

7. I. Latihan
Selesaikanlah :
dy 3
1. + xy = xy2 2. y′ – y = x4y1/3
dx x
dy
3. – y = xy5 4. xy′ + y = xy3
dx
5. y′ + xy = 6x y 6. y′ + y = y-2
7. x dy + ydx = y2exdx 8. x′ – 2t x = ( − 2 cos t ) x3
1 1
9. x′ – 2t x = − 2 t x
4
1 1
10.z′ – 1
2t z = –z5
Jawaban :
1
1. y = 2 2. y = ± ( 2
9 x5 + Cx2)3/2
1 + Ce x /2
1 1
3. y4 =–x+ 1
4 + Ce-4x 4. y = ±
2x + cx 2
2
5. y = (6 + C e − x /4
)2 6. y = (1 + ce-3x)1/3
7. y = v-1/5= ( 5 x3+ Cx5)-1/5
2 8. x = v-1/2= (sin t + 1 cos t +
t
C
t )-1/2
9. x = v = ( 12 t2 + Ct-3/2)-1/3
-1/3
7
-1/4
10.z = v = ( 3 4
t + ct -2 )-1/4
II. Tugas IV (Dikumpulkan Sebelum UTS)
Selesaikanlah
dy dy
1. + 2xy + xy4 = 0 2. + 1 y = 1 (1 - 2x)y4
3 3
dx dx
dy
3. + y = y2(cos x – sin x) 4. x dy – [y + xy3(1 + ln x)]dx = 0
dx
dy dy
5. x = x2 + 2x – 3 6. (1+x)2 = 1 + y2
dx dx
dy dy
7. + 2y = e 3x 8. x – y = x2
dx dx
dy dy
9. x2 = x3 sin 3x + 4 10. x cos y – sin y = 0
dx dx
dy dy
11. (x3 + xy2) = 2y3 12. (x2 – 1) + 2xy = x
dx dx
dy dy y
13. x – 2y = x3cos x 14. + = y3
dx dx x
dy dy
15. x + 3y = x2 y2 16. (1 – x2) = 1 + xy
dx dx
dy dy
17. xy – (1 + x) y 2 − 1 = 0 18. y + (x2 – 4x) =0
dx dx
dy
19. (x2–2xy+5y2)=(x2+2xy+y2)
dx
20. y′ – y cot x = y2sec2x, y = –1 untuk x = π/4
44

8. III. Tentukan penyelesaian umum dari persamaan :
dy 2xy + y 2 dy
21. = 2 22. (1 + x2) = x(1+y2)
dx x + 2xy dx
dy dy dy
23. y2 + x2 = xy 24. 2xy = x2 – y2
dx dx dx
dy
25. Selesaikanlah + x + xy2 = 0,jika y = 0, x = 1
dx
dy
26. (1 + x2) + xy = (1 + x2)3/2
dx
dy 1 2x  1
27. +  − 2 
y=
dx  x 1− x  1 − x2
dy
28. Selesaikanlah x(1 + y2) – y (1 + x2) = 0, dengan y = 2 untuk x = 0.
dx
dy
29. Selesaikanlah = e3x – 2y, dimana y = 0, untuk x = 0
dx
dy x - 2y + 1
30. Dengan subtitusi z = x – 2y, Selesaikanlah = , jika y = 1 untuk x =1
dx 2x - 4y
31. Laju peluruhan dari suatu bahan radioaktif sebanding dengan jumlah A yang
tersisa untuk setip waktu. Jika A = A0 pada t = 0, buktikan bahwa, jika waktu
yang dibutuhkan agar jumlah bahan menjadi 2 A0 adalah T, maka A = A0e-(t ln 2)/T.
1
Buktikan juga bahwa waktu yang dibutuhkan agar bahan yang tersisa berkurang
menjadi 20 A0 adalah 4, 32T
1
45