Teks tersebut membahas tentang persamaan diferensial biasa dan penyelesaiannya. Secara singkat, persamaan diferensial biasa adalah persamaan yang menghubungkan suatu fungsi dengan turunan-turunannya, sedangkan penyelesaian persamaan diferensial adalah fungsi yang memenuhi persamaan tersebut.

1. PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah persamaan bentuk :
( )
( ) 0.....,,.........''','',', =n
yyyyxF
Yang menyatakan hubungan antara x, fungsi y (x) dan turunannya ,........''','',' yyy
sampai turunan orde n.
Misalnya : )i(062'3'' =−++ x
eyyy
( ) ( ) 0'''''2'''
22
=+− yyyy ( ii )
Persamaan ( i ) berorde dua tetapi derajad satu, sedangkan persamaan ( ii ) berorde
tiga dan berderajad dua, karena tampilnya turunan ketiga dalam pangkat dua.
Persamaan diferensial tersebut biasa atau Ordinary karena tidak adanya turunan
parsial. Persamaan diferensial yang memiliki turunan parsial tersebut persamaan
diferensial parsial, misalnya :
dcV
t
V
b
t
V
a
x
V
x
c
ab
t
M
=+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
Sejumlah besar masalah fisika dan teknik harus ditangani dengan persamaan
diferensial parsial. Dalam bab ini hanya akan kita tinjau persamaan – persamaan yang
dapat diselesaikan untuk turunan tertinggi dan ditulis dalam bentuk :
( )
( )1
......,.........'',',, −
= nn
yyyyxFy
PENYELESAIAN
Dengan penyelesaian khusu diartikan sebuah fungsi ( ) bxaxfy <<= , yang
memiliki turunan sampai orde n dalam interval tersebut, sehinga persamaan (24 – 1 )
terpenuhi jika y dan turunannya disubstusikan dalam persamaan tersebut.
Maka y = ex
merupakan penyelesaian khusus dari persamaan ( i ) sedangkan y
= x adalah penyelesaian khusus persamaan ( ii ).
Untuk kebanyakan persamaan difrensial ditemukan bahwa semua
penyelesaian khusus dapat dicakup dalam satu bentuk ( )ncccxfy ............,, 21=
dengan c1, c2, ………………………cn adalah sebarang konstanta
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. MATEMATIKA IV 1

2. Persamaan diferensial yang ditinjau memiliki penyelesaian khusus yang dapat
dicakup dalam bentuk :
( )ncccxfy ............,, 21=
Dengan c1, c2, …………………cn adalah sebarang konstanta. Misalnya semua
penyelesaian dari persamaan ( i) diberikan oleh
xx
excecy ++=
−− 2
21
Penyelesaian y = ex diperoleh jika c1 = 0 dan c2 = 0.
Jika diperoleh bentuk (24.3) yang mencakup semua penyelesaian disebut
Penyelesaian Umum. Untuk persamaan yang dibahas ini diketemukan bahwa jumlah
konstanta sama dengan orde n.
Tampilnya sebarang konstanta tidak mengejutkan karena konstanta senatiasa
muncul karena integrasi suatu persamaan diferensial yang paling sederhana :
( ) CdxxFyxFy +== ∫anmenghasilk)('
Setelah integrasi, timbul satu konstanta sebarang c1 = C. Secara umum hal ini berlaku
untuk persamaan dengan orde tinggi.
215
3
anmenghasilk20'' cxcxyxy ++==
Setelah dua kali integrasi. Maka jelas bahwa integrasi turunan kedua memberikan dua
konstanta.
PERSAMAAN ORDE SATU DERAJAD SATU
Persamaan diferensial orde satu dan derajad satu umunya diberikan dalam bentuk :
( ) ( )dxyxFdyyxF
dx
dy
,atau, ==
Jika dikalikan dengan g (x,y) dapat dituliskan dalam bentuk
M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0
yang disebut Persamaan Diferensial Eksak
Jika dipenuhi x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂
maka (24-4) adalah diferensial dari suatu fungsi z = f (x,y).
Ini berarti (24-4) sama dengan persamaan dz = 0 yang mempunyai penyelesaian
umum z = c atau f (x,y) = c. Uraian ini kita buktikan dengan menemukan fungsi c = f
(x,y).
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. MATEMATIKA IV 2

3. Dengan mengingat ketentuan bahwa M adan N diberikan dan memenuhi x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂
dapat diambil langkah :
(i) Integrasikan M terhadap x dengan y tetap.
Hasilnya : ( )yQdxMz
x
+= ∫
Dengan Q (y) adalah fungsi sebarang dari y saja.
(ii) Nyatakan A sebagai beda ( )∫∂
∂
−=
x
dxM
y
NA
( ) ( )dxM
xyx
N
dxM
yxx
N
x
M
xx
22
∫∫ ∂∂
∂
−
∂
∂
=
∂∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
Urutan diferensial
dapat ditukar .
Tetapi ( ) y
M
dxM
xy
MdxM
x xx ∂
∂
=
∂∂
∂
=
∂
∂
∫∫ sehingga
2
Akibatnya 0=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
y
M
x
N
x
A
dan A bebas dari x
Sekarang akan kita tentukan Q (y) sehingga ( ) ( )∫∂
∂
−==
x
dxM
y
NAyQ'
Setelah ini dilakukan, diperoleh : ( ) ( )yQdxM
y
N
x
'+
∂
= ∫
Diperoleh : ( ) ( ) NyQdxM
yy
z
M
x
z
x
=+=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
∫ 'dan,
Sehingga )(menentukanTinggal yQdzdy
y
z
dx
x
z
dyNdxM =
∂
∂
+
∂
∂
=+
(iii) untuk mencari Q (y), integrasikan ( )yQ' terhadap y.
( ) dydxM
y
NyQ
x∫ ∫ 





∂
∂
−=
Memasukan persamaan ini dalam (24-5) memberikan
cdydxM
y
NdxMz
xx
=





∂
∂
−+= ∫ ∫∫
CONTOH : Tunjukan bahwa cos y dx + (2y – x sin y) dy = 0 adalah eksak.
Jawab : M = cos y dan N = 2y – x sin y
x
N
y
M
y
x
N
y
y
M
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
−=
∂
∂
Jelas.sindansin
.
( )
( )
umum.anpenyelesaiadalahcos
sinsin2cos
sincos,coscos
2
cyyxz
dyyxyxyyxz
yxyx
y
dxM
y
yxdxydxM
xx
=
+=
+−+=
−=
∂
∂
=
∂
∂
==
∫
∫∫∫
PERSAMAAN DIFERENSIAL VARIABEL – VARIABEL TERPISAH
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. MATEMATIKA IV 3

4. Jika persamaan eksak M dx + N dy = 0 mempunyai sifat bahwa M fungsi x
saja dan N fungsi y saja, maka 0=
∂
∂
+
∂
∂
x
N
y
M
. Ini adalah bentuk paling sederhana
dari persamaan diferensial eksak, dan dikatakan bahwa variable – variabelnya
terpisah. Penyelesaian umum dapat ditulis :
∫ ∫ =cdyNdxM
CONTOH dy
(1) Selesaikan kyy /'=
Jawab : 0atau =−=
x
dx
y
dy
x
y
dx
dy
x
c
cyce
x
y
c
y
dy
cxy
x
dx
y
dy
====
=−=−∫∫
dan,In
InIndan0
1
1
1
Penyelesaian berlaku untuk semua (x,y) kecuali x = 0.
(2) Selesaikan 0
)1(
1
22
3
=
+
+
+
xxy
y
dx
dy
Jawab :
( )
( )
( )
( )
( )
ce
y
yx
ccxxy
cyxy
x
dxx
x
dx
y
dyy
dx
xxy
dyy
c
==
+
+
==+−++
=+−++→=
+
−+
+
=
+
+
+
2
32
236
21
23
2
23
2
23
2
1
1
In
61In3In61In2
11In
2
1
In31In
3
1
0
11
makaterpisah.yavariabeln-eldan variab0
1
1
1
PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN
Fungsi f (x,y) disebut homogen dengan derajad n dalam variable – variabelnya jika
( ) ( )yxfyxf n
,,λλλ = . Persamaan M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 disebut homogen jika
M (x,y) dan (x,y) hohogen dengan derajad sama. Untuk persamaan homogen
dilakukan substitusi dvxdxvdyvxy +=→= .
Dengan substitusi ini persamaan homogen dibah menjadi bentuk variable –
variable terpisah x dan v.
(3) Selesaikan
xy
yx
y
22
'
+
=
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. MATEMATIKA IV 4

5. 0dan x0yuntukIn
In
2
1
0
1
substitusi,
1
':
2222
1
2
≠≠+=
=−→=−
+=





+=
=++=
cxxxy
cxv
x
dx
dvv
dxvdvxdxv
v
dy
vxyv
vx
y
yJawab
(4) Selesaikan 2 xy dy = (x2
– y2
) dx
Jawab : Persamaan ini homogen derajat dua. Subsitusi y = xv
( )( ) ( )
( )
( )
13memberikan
131atau0cInIn331In
dan,InIn31In
3
1
31
31
3
1
31
2
2
23
232
2
2
2
2
222
)x yc (x
vxcxv
cxv
x
dx
v
vd
x
dx
v
dvv
dxxvxdvxdxvvxx
−
=−=++−
+=−−
=
−
−
→=
−
−=+
(5) Selesaikan ( ) ( ) 0cossin =−++ dxydyx
y
y
yx dyy dx
x
y
x
Jawab : Persamaan ini homogen derajat dua. Subsitusi y = vx
x sin v (vx dx + x2
dv + vx dx) + vx cos v (x2
dv + vx dx – vx dx ) = 0
sin v ( 2 v dx + x dv ) + xv cos v dv = 0
02
sin
cossin
=+
+
x
dx
dv
vv
vv
Maka cInIn2sinIn =+ xvv dan x2
(v sin v ) = C menghasilkan
C
x
y
xy =sin
(6) Selesaikan ( ) 0222 2
=+− dxxydyyx
Jawab : Persamaan ini homogen derajat dua. Subsitusi y = vx
( )( )
( )
( )
( ) CyxyCvvx
cxvv
cxv
x
dx
v
dvv
v
dv
x
dx
dv
vv
v
vdxdvxdxvv
=−=−
=+−+
=+−+
=+
−
−
=+
−
−
→=++−
)23(dan23Maka
'In3In323InIn
'In3In323InvIn
0
233
4
3
0
23
21
0221
2223
2
2
2
2
2
2
(7) Selesaikan ( ) ( ) 032
=+++ dyxydxyx
Jawab : Persamaan dapat ditulis x2
dx + (y dx + x dy ) + y3
dy = 0
Cyxyx =++ 43
4
1
3
1
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. MATEMATIKA IV 5

6. (8) Selesaikan ( ) ( ) 0cossin =+−+ −−
dyyeydxyex xx
Jawab : Integrasi dari ( ) 0sincos =−−− −−
dxyedyyedyydxx xx
Memberikan : Cyeyx x
=−− −
sin
2
1
2
1 22
(9) Selesaikan x xy + y dx = 2 x2
y dx
Jawab : Bentuk x dy – y dx memberikan segesti pada bentuk
cxxyCx
x
y
dxx
x
y
d
x
dxx
x
dxydyx
xx
dxydyx
x
y
d
+=+=
=





→=
−
−
=





32
2
3
2
22
atau
2
2
1
dikalikanatasdiPersamaan
(10) Selesaikan x dy + y dx = 2 x2
y dx
Jawab : Kombinasi x dy + y dx memberikan sugesti pada bentuk
( )
Cxxydxx
xy
dxydyx
xyxy
dxydyx
xyd
==
+
+
=
2
Indan2memberikan
1
dikalikanatasdiPersamaanIn
(11) Selesaikan x dy + ( ) 03 =− dxey x
Jawab : Dikalikan dengan x2 diperloeh x3
dy + 3x2
y dx = x2
ex
dx
( ) ∫ ++−=== Ceexexdxexyxdxexyxd xxxxx
22dan 22323
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. MATEMATIKA IV 6
( )
( ){ }
( )
( )






=
+
=






+
−=
+
==
+
+
+=+
+
+
=+
+
−
=





−
=





+=
x
y
f
f
x
yyx
x
fd
f
df
yx
dyydxx
dyydxxyxd
yx
dyydxx
yxd
yx
dxydyx
x
y
arcd
x
dxydyx
x
y
d
dyxdxydyd
1
1
1
1
In
22
22
log
2
1
tan
222
2
22
22
22
22
22
2

7. PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU
Persamaan diferensial dengan bentuk Qpy
dx
dy
=+
Dengan P dan Q adalah fungsi x saja, disebut persamaan diferensial linear orde satu.
Perlu diperhatikan bahwa turunan dan variable tidak bebas y hanya tampil dalam
derajat satu. Persamaan ini memiliki factor integrasi S (x) = ∫
dxP
e Berarti ruas kiri
dan kanan harus dikalikan S (x) kemudian di integrasikan .
CONTOH
(1) Selesaikan xxyy =+'
Jawab : ( ) ∫ === 22/1
dan xedxxeSxxP
Persamaan dikalikan S memberikan
222
2/12/12/1
|' xxx
xeexyye =+
( ) 22
2/12/1 xx
xee
dx
d
=
∫ +=+ CeCdxxeye xxx 222
2/12/12/1
Maka
2
2/1
1 x
cey +=
(2) Selesaikan cxxy
dx
dy
coscot =+
Jawab : ∫ ∫ == sinIncotdancot)( xdxxdxpxxP
Cxxydxdxxdyx
xexxy
dx
dy
x
xexS
x
+==+
=





+
==
sindancossin
cossincotsin
sin)(
sinIn
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Persamaan diferensial yang tidak linear mungkin dapat disusutkan dalam bentuk
linear dengan mengadakan substitusi yang sesuai. Suatu persamaan yang cukup
penting ialah persamaan Bernoulli, berbentuk : ( ) ( )xQyxPy
dx
dy n
=+
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. MATEMATIKA IV 7

8. Dengan P dan Q ialah fungsi dari x saja dan n sebarang bilangan bukan nol.
Tranformasi dilakukan dengan substitusi :
dx
dz
ndx
dy
yyz nn
1
1
dan1
−
== −+−
Yang menghasilkan persamaan linear .
CONTOH
(1) Selesaikan
2
xyy
dx
dy
=+
dengandikalikansetelahatasdipersamaaandanmemberikan
Substitusi.2dan
1)(dengan,berbentukiniPersamaan:
2
1211
dx
dy
y
dx
dz
yyyzn
xPxyPy
dx
dy
Jawab
n
n
−
−−−
−=
====
==+
2−
y menghasilkan
( ) ( )
( )
1
.
2222
yzkarena
ataudan
Maka
1berarti,kembaliDitulis
memberikan
−−−−
−−−
−−−−
−−−
=++=
−−=−=
−=−=−==
−=−=−
=+−=+
∫
∫ ∫
Ceexez
xdxxeezdxexezd
dxexdxezdzeeeeS
pxz
dx
dz
xz
dx
dz
xyyyy
dx
dy
y
xxx
xxx
xxxxdxdxp
Akhirnya diperoleh x
x
ecx
yecx
y 1
1
1
1
++
=→++=
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT. MATEMATIKA IV 8