Dokumen tersebut membahas metode penyelesaian persamaan diferensial homogen dengan menggunakan subtitusi y = vx, di mana v adalah fungsi dari x. Metode ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang tidak dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel atau faktorisasi. Beberapa contoh soal dan penyelesaiannya juga diberikan untuk memperjelas penjelasan metode subtitusi tersebut.

1. Metode 3 : Persamaan Homogen, Menggunakan Subtitusi y = vx
Satu contoh dari persamaan berikut yang tidak dapat diselesaikan dengan dua metode
dy x + 3y dy 1 3y
sebelumnya yaitu : = atau = + (*)
dx 2x dx 2 2x
Sehingga tidak dapat dinyatakan sisi kanan dalam bentuk ‘faktor x’ dan sisi kiri sebagai ‘faktor y’,
dan persamaan ini, tidak dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel. Untuk kasus seperti
ini, digunakan subtitusi y = vx, dengan v adalah fungsi dari x. Diferensiasi y terhadap x dihasilkan :
dy dx dv dv
= v. +x =v+x
dx dx dx dx
selanjutnya dengan mensubtitusi hasil ini ke persamaan (*) maka persamaan itu menjadi,
dv 1 3vx
v+x = +
dx 2 2x
atau,
dv 1 3v
v+x = +
dx 2 2
dan menjadi,
dv 1 + 3v
x = −v
dx 2
1 + 3v - 2v 1 + v
= =
2 2
dv 1+ v
∴ x =
dx 2
Dari persamaan ini dapat dilakukan metode pemisahan variabel dan mengintegrasikan kedua ruas
maka akan dihasilkan,
2 1
∫ 1 + v dv = ∫ x
dx
∴2 ln ( 1 + v) = ln x + C = ln x + ln A
∴(1 + v)2 = Ax
y 2
∴(1 + ) = Ax atau (x + y)2= Ax3
x
ini merupakan salah satu contoh bentuk persamaan differensial homogen. Dapat
ditunjukkan bahwa semua suku x dan suku y mempunyai derajat yang sama (derajat 1). Kunci
untuk menyelesaikan persamaan homogen adalah dengan subtitusi y = vx, dengan v adalah fungsi
dari x, yang akan mengantar kebentuk persamaan yang dapat diselesaikan dengan metode
pemisahan variabel.
Berikut beberapa Contoh :
Contoh 16

2. dy x2 + y2
Selesaikanlah =
dx xy
Penyelesaian
dy x y
Diketahui = +
dx y x
Bentuk ini merupakan persamaan differensial homogen, berderajat satu, dengan mensubtitusi y = vx
dan diferensiasi y terhadap x dihasilkan :
dy dx dv dv
= v. +x =v+x
dx dx dx dx
dan persamaannya menjadi,
dv x vx 1
v+x = + = +v
dx vx x v
menjadi,
dv 1 1
x = +v–v=
dx v v
sehingga dengan metode pemisahan variabel dan mengintegrasikan kedua sisinya dihasilkan
penyelesaian,
1
∫ v dv = ∫ x
dx
2
v2 1 y
∴ = ln x + C atau   = ln x + C
2 2 x
∴y2 = 2x2 ( ln x + C)
Contoh 17
dy 2xy + 3y 2
Selesaikanlah = 2
dx x + 2xy
Penyelesaian
dy y(2x + 3y)
Diketahui =
dx x(x + 2y)
Bentuk ini merupakan persamaan differensial homogen, berderajat satu, dengan mensubtitusi y = vx
dan mendiferensiasi y terhadap x dihasilkan :
dy dx dv dv
= v. +x =v+x
dx dx dx dx
dan persamaannya menjadi,
dv vx(2x + 3vx) 2v + 3v 2
v+x = =
dx x(x + 2vx) 1 + 2v

3. menjadi,
dv 2v + 3v 2 2v + 3v 2 − v − 2v 2
x = –v=
dx 1 + 2v 1 + 2v
dv v + v2
x =
dx 1 + 2v
dengan mengintegrasikan kedua sisinya dihasilkan penyelesaian,
1 + 2v 1
∫ v+ v 2
dv = ∫ x
dx
∴ ln (v + v2) = ln x + ln A
∴ v + v2 = Ax atau xy + y2 = Ax3
Contoh 18
dy
Selesaikanlah ( x + y ) = xy
2 2
dx
Penyelesaian
dy xy
Diketahui = 2
dx x + y2
dy dv
Misalkan y = vx dan = v+x
dx dx
dv vx 2 v
dan, v + x = 2 =
dx x + v x2 2
1 + v2
dv v v − v − v3
x = –v=
dx 1+ v2 1+ v2
dv - v3
x =
dx 1+ v2
1+ v2 1  1
∴∫ dv = − ∫ dx atau ∫  v − 3 +  dv = − ln x + C
v3 x  v
- v -2 1
∴ + ln v = − ln x + ln A atau ln v + ln x + ln K = , (ln K = - ln A)
2 2v 2
x2
∴ln Ky = atau 2y2ln Ky = x2
2y 2

4. I. Latihan
Selesaikanlah :
dy dy
1. (x – y) =x+y 2. 2x2 = x2 + y2
dx dx
dy
3. (x2 + xy) = xy – y2 4. y′ = (y+x)/x
dx
2y 4 + x 4
5. y′ = 6. y′ = (y2 + x2)/xy
xy 3
2
2xye (x/y)
7. y′ = 2xy/(x – y )
2 2
8. y′ = 2 2
y 2 + y 2 e (x/y) + 2x 2 e (x/y)
y
9. y′ = (x2 + 2y2)/xy 10. y′ =
x+ xy
Jawaban :
 y  y2 
tan − 1   1
ln 1 + 2 
 x  dengan ln A = C
2
1.  x  = ln A + ln x +  
2x
2. = ln x + C 3. xy = Aex/y dengan ln A = C
x− y
4. y = x ln kx 5. x4 = k[(y/x)4 + 1] atau x8 = k(x4 + y4)
6. y2 = x2 ln x2 + kx2 7. y2 + x2 = ky
10. 2 x/y + ln y = C
2
8. y = k[1+ e (x/y) ] 9. y2 = kx4 – x2
Tugas II (Dikumpulkan Sebelum UTS)
II. Selesaikanlah :
1. (2x + 3y) dx + ( y – x) dy = 0
x 4 + 3x 2 y 2 + y 4
2. y′ =
x3 y
3. (x3 + y3) dx – xy2dy = 0
4. x dy – y dx – x 2 − y 2 dx = 0
5. [2x sinh (y/x) + 3y cosh (y/x)]dx – 3x cosh (y/x) dy = 0
6. (1+2ex/y)dx + 2ex/y(1 – x/y) dy = 0
dy
7. = (y – 4x)2
dx
(petunjuk gunakan : y – 4x = v)
8. tan2(x+y)dx – dy = 0
(petunjuk gunakan : x + y = v)
9. (2 +2x2y1/2)y dx + (x2y1/2+2) x dy = 0
(petunjuk gunakan : y – 4x = v)
10. (2x3+3y2–7)xdx – (3x2 +2y2–8)y dy = 0
(petunjuk gunakan : x2 = u; y2= v)