Dokumen tersebut membahas tentang pengertian dan cara penyelesaian persamaan diferensial tingkat satu dan pangkat satu. Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif dari suatu fungsi. Terdapat beberapa jenis persamaan diferensial seperti persamaan homogen, tidak homogen, eksak dan tidak eksak yang diselesaikan dengan beberapa metode seperti faktor integral, variasi konstan, dan metode Bernouli.

1. Disusun
YB.SUGIARTO
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS UDAYANA

2. PENDAHULUAN
DIFINISI ;
Persamaan differensial adalah persamaan yang
memuat derivatif-derivatif,sekurang kurangnya
satu derivative dari fungsi yang tidak diketahui.
TINGKAT (ORDER)
Tingkat derivatif yang tertinggi yang terdapat
dalam persamaan
PANGKAT(DEGRE=DERAJAD)
Pangkat dari derivatif yang mempunyai tingkat
tertinggi.
CONTOH;
1. + + 2y = 0
2. 3
+ 4
- x7y = sin x
3. ( x2 + y2 ) dx – 2xy dy = 0

3. MEMBENTUK PERSAMAAN DIFFERENSIAL
Persamaan differensial dapat dibentuk dengan beberapa
cara salah satunya dengan mengadakan eliminasi kostanta
sembarang yang ada dalam persamaan.
SOAL
1.Tentukan persamaan differensial dari :
y = c x2 + c2
2. Bila c sebagai parameter yang ber ubaha-ubah tentukan
PD dari ( x - c )2 + ( y – c )2 = 2 c2
3.Tentukan PD dari bentuk primitivedi bawah ini ;
a. y = A x + B d y = sin ( x + A )
b. y = A x2 + B e. r = a ( 1 – cos )
c. ln y = A x2 + B f. x = A sin ( y + B )
4. Tentukan persamaan differensial dari family of circles
Yang mempunyai jari- jari berubah dengan pusat pada
sumbu x

4. PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL
DEFINISI :
Suatu persamaan yang memenuhi satu
Persamaan differensial disebut penyele
saian PERSAMAAN DIFFERENSIAL
PENYELESAIAN
MACAM – MACAM
1. PENYELESAIAN UMUM yaitu suatu penyelesaian
yang masih memuat kostanta sembarang.
2. PENYELESAIAN BERSYARAT suatu penyelesaian
umum dengan memberikan harga – harga x sehingga
kostanta dapat di tentukan
3. PENYELESAIAN SINGULAR.

5. PERSAMAAN DIFFERENSIAL
TINGKAT SATU DAN PANGKAT SATU
BENTUK UMUM :
F ( x, y , )=0
Pada persamaan diatas masih terdapat perubah – perubah
terpisah dan ada kalanya belum terpisah ( tercampur )
Maka cara menyelesaikan PD tersebut dengan meng
Integralkan suku demi suku bila sudah terpisah jika belum di
usahakan untuk di pisahkan perubah-perubahnya yang
sejenis.
BENTUK UMUM PERUBAH TERPISAH :
N(X ) dx + M( Y ) dy = 0
Penyelesaian Umum
+ = c
SOAL LATIHAN
1. x dx + y dy = 0
2. ( 1 – y ) = x2
3. Secx dx – tan y dy = 0
4. ln x dx + arc tan y dy = 0

6. PERUBAH – PERUBAH YANG BELUM TERPISAH
BENTUK UMUM : N ( x,y ) dx + M ( x, y ) dy = 0
Atau f1(x) g2(y) dx + f2 (x ) g1(y)dy = 0
SOAL –SOAL LATIHAN
1. y dx + ( 1 + x2 ) dy = 0
2. 2( y + 3 ) dx – xy dy = 0
3. ( 1 + y 2 ) dx + ( 1 + x2 ) dy = 0
4. ( y2 – 1 ) dx + 2y arc sin x dy = 0
5. ( x – y2 ) dx + 2xy dy = 0

7. PERSAMAAN HOMOGEN
Sebelumnya kita tentukan fungsi homogenya yaitu :
F ( x,y) di sebut homogen berpangkat –n apabila
F( )= F (x,y)
BENTUK PD HOMOGEN
M(x,y) dx + N (x,y) dy = 0
Syarat : M(x,y) dan N (x,y) homogen berpangkat sama
Cara menyelesaikan bentuk PD di ubah menjadi :
M(y/x) dx + N(y/x) dy = 0 …………( 1)
Atau
M(x/y) dx + N(x/y) dy = 0…………(2 )
Andaikan di pakai bentuk (1) maka substitusi dari
y = ux maka dy = u dx + x du
Bentuk PD :
M(u) dx + N(u) ( u dx + x du ) = 0
Perubah di pisahkan
( M(u) + uN(u) ) dx + x N(u) du = 0
Sehingga: + du = 0

8. SOAL LATIHAN
1. ( x2 – xy + y2 ) dx – xy dy = 0
2. xy dx + 2 ( x2 + 2 y2 ) dy = 0
3. (y- ) dx – x dy
4. ( 1 + 2 ) dx + 2 ( 1- x/y ) dy = 0
5. ( 2x sin y/x + 3y cos y/x ) dx – 3x cos y/x dy = 0
PERSAMAAN DIFFERENSIAL TIDAK
HOMOGEN.
PD tidak homogen mempunyai tiga cirri dalam merubah
menjadi PD homogen.
Bentuk Umum :
( ax +by + c ) dx + (px + qy + r ) = 0
Kasus (i);
Misalkan: u = ax +by + c maka du = a dx + b dy

9. V = px + qy + r maka dv = p dx + q dy
Dengan teori determinan maka di dapat :
dx = = dan dy = =
dengan substitusi ke persamaan di atas terbentuk
PD HOMOGEN yaitu;
( q u – pv ) du + (a v – b u ) dv = 0
(ii)
Andaikan =k maka a = pk dan b = q k
Persamaan menjadi ;
( k ( px + qy ) + c)dx + ( px+qy+c)dy = 0
Ambil u = px + qy maka du = pdx + q dy

10. dx = subtitusi ke persamaan
sehingga terbentuk persamaan HOMOGEN yaitu:
( ku + c) + ( u + r ) dy = 0
( ku + c ) du + { ( p – kq )u + pr – cq ) } dy = 0
(iii) =k
a = kp , b = kq dan c = kr maka persamaan yg terjadi ;
k dx + dy = 0
setelah di integralkan mempunyai penyelesaiaan umum :
kx + y = c
SOAL LATIHAN;
1. ( x + 2y – 4 ) dx - ( 2x + y – 5 ) dy = 0
2. ( x + y ) dx + ( 3x + 3y - 4 ) dy = 0
3. (2x + 3y – 1 ) dx + ( 2x + 3y + 2 ) dy = 0

11. 4. Tg2 (x+y) dx – dy = 0
5. ( 1 – xy + x2y2) dx + ( x3y – x2 ) dy = 0
PERSAMAAN EKSAK DAN FAKTOR
INTEGRAL
BENTUK PD : M(x,y) dx + N (x,y) dy = 0 ……………(1)
Disebut persamaan EKSAK bila memenuhi :
=
Apabila tidak memenuhi disebut Persamaan tidak eksak
dapat diselesaikan menggunakan FAKTOR INTEGRAL.
CARA PENYELESAIAN PERSAMAAN EKSAK
Pandang dulu pers ; F(x,y) = c
DI defferensialkan total sehingga :

12. dF(x,y) = dx + dy = dc
sehingga :
dx + dy = 0 ………….. (2)
Syarat agar persamaan di atas EKSAK maka :
=
Pers (2) dengan (1) adalah sama sehingga dapat disimpulkan
(1) = M (x,y)
(2) = N (x,y)
(3) Penyelesaian PD (1) adalah F(x,y) = c
Dengan solusi PD EKSAK ada dua cara yaitu :
(1) = M (x,y)

13. F(x,y) = x
M(x,y) dx + g(y)
= [ x
M(x,y) dx ] + g’ (y)
= N (x,y)
[ x
M(x,y) dx ] + g’ (y) = N (x,y)
Dengan demikian nilai g, (y) dan g(y) dapat ditentukan
Jadi penyelesaian secara umum F(x,y) = c
(2) = N (x,y)
F(x,y) = y
N(x,y) dy + g(x)
= [ y
N(x,y) dy ] + g’ (x)
= M (x,y)
[ y
N(x,y) dy ] + g’ (x) = M (x,y)

14. Dengan demikian nilai g, (x) dan g(x) dapat ditentukan
Jadi penyelesaian secara umum F(x,y) = c
Soal – soal
1. ( x + y ) dx + ( x - y ) dy = 0
2. 3y ( x2 – 1 ) dx + ( x3 + 8y – 3x ) dy = 0
3. (2x2 –xy2-2y + 3 )dx – (x2y + 2x ) dy = 0
4. ( ysinx + xy cosx ) dx + ( x sinx + 1) dy = 0
5. ( x arcsin y/x + arcsin y/x ) dx + dy = 0

15. FAKTOR INTEGRAL
Apabila pers PD tidak eksak maka untuk merubah menjadi
persamaan eksak dikalikan dengan factor integral.
Andaikan U(x,y) merukan factor integral maka :
U(x,y) M(x,y) + U(x,y) N(x,y) = 0 PD eksak
Syarat :
=
U + M = U + N

16. Maka didapat :
U(x,y) = - RUMUS UMUM
FAKTOR INTEGRAL
ADA BEBERAPA KEMUNGKINAN YANG TERJADI ;
(1).FAKTOR INTEGRAL U(X,Y) MERUPAKAN FUNGSI X
= 0 DAN =
dx

17. FAKTOR INTEGRAL : U(x) =
Dimana : h(x) =
(2) FAKTOR INTEGRAL MERUPAKAN FUNGSI DARI Y
= 0 DAN =
dy
FAKTOR INTEGRAL : U(Y) =
Dimana : k(y) =
(3) FAKTOR INTEGRAL MERUPAKAN FUNGSI X DAN Y

18. Bentuk U =U(x,y) atau V=(x,y)
Jadi U = U (v) sehingga
dan
Substitusi ke pers factor integral
dy
Factor integral : U(x,y)=
Di mana h(v) =
Bentuk factor integral yang lain :
1. Bila PD homogen dan M x + N y 0 maka
Factor integral ;
2. Persamaan dapat di ubah dalam bentuk :
Yf(xy) dx + x g(xy) dy = 0 dimana f(xy) g(xy) maka

19. f.i :
Soal latihan
1. ( 4xy + 3y2 – x ) dx + x ( x + 2y ) dy = 0
2. Y(x + y + 1 ) dx + x ( x +3y + 2 ) dy = 0
3. (2 y2 – y ) dx + ( 2x2 - x ) dy = 0
4. ( x + sin y ) dx + ( xcos y – 2y ) dy = 0
5. ( x arcsin y/x + arcsinx )dx + dy =0
6. [tgy +2x ln(y+ DIFFERENSIAL dx+(xsec2y + SATU
PERSAMAAN ) – 4x ] LINIER TINGKAT -5)dy=0
BENTUK UMUM :
A(X) + B(X) Y = C(X)
setiap suku di bagi dengan A(X) maka bentuknya
+ P(x) y = Q(x) ……. (1)
Dimana P(x) = dan Q(x) =

20. CARA PENYELESAIAN ADA BEBERAPA METODA
1.Metoda Faktor Integral
Pandang dulu bentuk dari :
[y ]= + y P(x)
= [ + y P(x) ]
= Q(x) ………………………….(2)
Bila di integralkan kedua ruas merupakan
Penyelesaian dari PD Linear yaitu:
y = Q(x) dx + c dimana f.i :
2.Metoda LANGRANCE ( VARIASI KONSTANTE)
+ P(x) y = Q(x)
Bentuk Persamaan Tereduksi yaitu Q(x) = 0
Sehingga bentuk Persamaan Tereduksi
+ P(x) y = 0

21. + P(x) dx = 0 bila di integralkan
………. (1)
Atau
Y = C1 sebagai penyelesaian Reduksi
Untuk mencari penyelesaian umum dengan
memandang c1 sebagai fungsi dari x dan dicari
nilai nya bila di substitusikan pada persamaan
tereduksi menjadi penyelesaian umum
Dari pers (1) di defferensialkan ke – x
+ P(x) = maka + P(x) y = y
y = Q(x) = Q(x)
= Q(x)
dc1 = Q(x) bila di integralkan menjadi
c1 = Q(x) dx
Jadi Penyelesaian umum adalah:

22. y = Q(x) dx + c
3.Metoda BERNOULLI
+ P(x) y = Q(x) …….(1)
Misalkan bentuk penyelesaian y = u.v
Dimana u dan v sebagai perubah dari x
Bila kedua ruas di defferensialkan ke x maka
dy = u dv + v du substitusi ke pers (1)
u +v + uv P(x) = Q (x)
u [ vP(x) ] + v = Q(x)
disini fungsi u dan v adalah fungsi sembarang maka
kita pilih sedemikian hingga :
vP(x) = 0 atau + P(x) dx = 0
Di integralkan bentuknya
V=c karena c sembarang pilih c = 1

23. Sehingga v =
Bentuk v = Q(x)
= Q (x)
du = Q(x) dx
di integralkan u = Q(x) dx
Penyelesaian umum adalah;
Y = u.v maka y= Q(x) dx
y= Q(x) dx + c
SOAL LATIHAN
1. + 2 xy = 4x
2. X = y + x3 + 3x2 – 2x

24. 3. + y ctg x = tg2x
4. ( 1 – x2 ) + xy =
5. x + y = x lnx
PERSAMAAN BERNOULLI
BENTUK UMUM :
+ y P(x) = yn Q (x)
Cara penyelesaian :
Di ubah dalam bentuk y -n
+y – ( n -1)
P(x) = Q (x)
Misal u = y – ( n -1)
maka =
= ( 1 – n ) y-n
Bentuk ; + P(x) u = Q(x)

25. + (1-n) P(x) u = (1-n) Q(x) Bentuk linier Tk I
Penyelesaian umum :
u. = (1-n) Q(x) dx + c
atau y1-n = (1-n) Q(x) dx + c