Dokumen tersebut membahas metode pencacahan dengan pendekatan fungsi pembangkit dan ekspansi suatu fungsi menggunakan deret Taylor dan Maclaurin. Fungsi pembangkit dapat menghasilkan barisan bilangan yang menunjukkan banyaknya cara untuk suatu permasalahan tertentu.

1. Bagian ini menyajikan metode pencacahan dengan pendekatan yang berbeda dari apa yang
sudah dikembangkan. Konsep yang akan dikembangkan dikenal dengan nama fungsi pembangkit.
Dalam hal ini dirumuskan suatu fungsi yang emmbangkitkan suatu barisan, dimana nilai-nilai
barisan adalah banyaknya cara untuk suatu pekerjaan tertentu. Jadi dalam hal ini dirumuskan bentuk
umum dari suatu permasalahan. Atau dengan kata lain, satu permasalahan tertentu dipandang
sebagai kasus khusus dari fungsi pembangkit.
7.1 Pendahuluan
Perhatikan beberapa kasus berikut :
1. Dua belas permen dibagian kepada tiga anak dengan ketentuan anak pertama mendapat paling sedikit
4 permen, anak kedua dan ketiga paling sedikit dua permen, maka ada berapa cara mendistribusikan
12 permen tersbut?
2. Ada berapa cara memperoleh 24 permen, jika permen tersebut tersedia dalam empat warna, yaitu
merah, hijau putih, dan hitam, dengan ketentuan bahwa yang berwarna putih adalah genap dan paling
sedikit ada enam yang hitam ?
3. Ada berapa solusi bulat untuk kasus c1+c2+c3+c4=25
4. dsb.
Definisi :
Misalkan a0, a1, a2, … adalah suatu barisan bilangan, maka fungsi berbentuk :
∞
f ( x) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ... = ∑a i x i
i =o
merupakan fungsi pembangkit dari barisan tersebut.
Tugas :
Sebutkan beberapa contoh barisan beserta fungsi pembangkitnya
7.2 Ekspnasi Suatu Fungsi
Beberapa fungsi f(x) yang dapat diturunkan terus-menerus dapat didekati dengan menggunakan deret
Tailor, yang berbentuk :
( x − a)1 ' ( x − a ) 2 '' ( x − a ) 3 '' '
f ( x) = f (a ) + f (a) + f (a ) + f (a ) + ...
1! 2! 3!
Jika nilai a diambil nol, maka dikenal dengan ekspansi Maclaurin, sehingga ekspansi menjadi :
Topik7 Relasi rekursif
3-1

2. x1 ' x 2 '' x 3 ' ''
f ( x ) = f ( 0) + f ( 0) + f ( 0) + f (0) + ...
1! 2! 3!
Contoh :
Lakukan ekspansi terhadap f(x)=(1+x)-1
Beberapa kesamaan yang perlu diketahui adalah sebagai berikut :
Latihan 6.1.
1. Tentukan koefisien dari x7 pada (1+x+x2+ …)15
2. Tentukan kofesien dari x50 pada (x7+x8+x9+ …)6
3. Tentukan koefisien dari x15 pada x3(1-2x)10
4. Jawablah problem-problem pada bagian awal bab ini!
5. Tentukan koefisien dari x8 pada 1/(x-3)(x-2)2
Topik7 Relasi rekursif
3-2

3. x1 ' x 2 '' x 3 ' ''
f ( x ) = f ( 0) + f ( 0) + f ( 0) + f (0) + ...
1! 2! 3!
Contoh :
Lakukan ekspansi terhadap f(x)=(1+x)-1
Beberapa kesamaan yang perlu diketahui adalah sebagai berikut :
Latihan 6.1.
1. Tentukan koefisien dari x7 pada (1+x+x2+ …)15
2. Tentukan kofesien dari x50 pada (x7+x8+x9+ …)6
3. Tentukan koefisien dari x15 pada x3(1-2x)10
4. Jawablah problem-problem pada bagian awal bab ini!
5. Tentukan koefisien dari x8 pada 1/(x-3)(x-2)2
Topik7 Relasi rekursif
3-2

4. x1 ' x 2 '' x 3 ' ''
f ( x ) = f ( 0) + f ( 0) + f ( 0) + f (0) + ...
1! 2! 3!
Contoh :
Lakukan ekspansi terhadap f(x)=(1+x)-1
Beberapa kesamaan yang perlu diketahui adalah sebagai berikut :
Latihan 6.1.
1. Tentukan koefisien dari x7 pada (1+x+x2+ …)15
2. Tentukan kofesien dari x50 pada (x7+x8+x9+ …)6
3. Tentukan koefisien dari x15 pada x3(1-2x)10
4. Jawablah problem-problem pada bagian awal bab ini!
5. Tentukan koefisien dari x8 pada 1/(x-3)(x-2)2
Topik7 Relasi rekursif
3-2

5. x1 ' x 2 '' x 3 ' ''
f ( x ) = f ( 0) + f ( 0) + f ( 0) + f (0) + ...
1! 2! 3!
Contoh :
Lakukan ekspansi terhadap f(x)=(1+x)-1
Beberapa kesamaan yang perlu diketahui adalah sebagai berikut :
Latihan 6.1.
1. Tentukan koefisien dari x7 pada (1+x+x2+ …)15
2. Tentukan kofesien dari x50 pada (x7+x8+x9+ …)6
3. Tentukan koefisien dari x15 pada x3(1-2x)10
4. Jawablah problem-problem pada bagian awal bab ini!
5. Tentukan koefisien dari x8 pada 1/(x-3)(x-2)2
Topik7 Relasi rekursif
3-2