Konsep Nilai Mutlak
Sesi 1
2 x 40 menit
agung.anggoro@student.upi.edu
Definisi Nilai
Mutlak
Nilai mutlak dari bilangan real 𝑥 ditulis 𝑥 didefinisikan sebagai berikut :
𝑥 =
𝑥, jika 𝑥 ≥ 0
−𝑥, jika 𝑥 < 0
Perhatikan beberapa contoh berikut ini.
𝑥 𝑥 ≥ 0 𝑥 < 0 𝑥
−7  − −7 = 7
0  0
3,14  3,14
−13  − −13 = 13
−
1
2
 − −
1
2
=
1
2
22
7

22
7
Definisi Nilai
Mutlak
Berdasarkan definisinya, nilai dari 𝑥 , untuk setiap bilangan real 𝑥, selalu merupakan
bilangan positif.
Lengkapilah tabel di bawah ini !
𝑥 𝑥 ≥ 0 𝑥 < 0 𝑥
−17
0,333...
17 − 5
3 +
3
−25
16 − 3 15
3
2
−
19
2
Definisi Nilai
Mutlak
Dari definisi nilai mutlak yang telah diberikan, bagaimanakah kita menulis
definisi untuk 𝑎𝑥 + 𝑏 dengan 𝑎 > 0 ?
Jawab :
𝑎𝑥 + 𝑏 =
𝑎𝑥 + 𝑏, jika 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0
− 𝑎𝑥 + 𝑏 , jika 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0
Atau sama saja dengan kita menulis seperti ini
𝑎𝑥 + 𝑏 =
𝑎𝑥 + 𝑏, jika 𝑥 ≥ −
𝑏
𝑎
−𝑎𝑥 − 𝑏, jika 𝑥 < −
𝑏
𝑎
−
𝑏
𝑎
dapat disebut sebagai batas definisi.
Bagaimanakah jika 𝑎 < 0 ?
Definisi Nilai
Mutlak
Perhatikan beberapa contoh berikut.
𝑥 + 2 =
𝑥 + 2, jika 𝑥 ≥ −2
−𝑥 − 2, jika 𝑥 < −2
3𝑥 − 2 =
3𝑥 − 2, jika 𝑥 ≥
2
3
2 − 3𝑥, jika 𝑥 <
2
3
Definisi Nilai
Mutlak
Tuliskan definisi dari bentuk nilai mutlak berikut ini !
𝑥 − 2 =
2 − 7𝑥 =
2 5𝑥 + 3 =
7
4
𝑥 −
5
2
=
Definisi Nilai
Mutlak
Bagaimanakah membuat definisi dari bentuk aljabar yang memuat lebih
dari satu buah suku berbentuk nilai mutlak ?
Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut ini.
Pada contoh ini, kita akan membuat definisi dari
𝑥 + 2 + 2𝑥 − 5 + 𝑥
Perhatikan setiap langkah demi langkahnya.
Definisi Nilai
Mutlak
Pertama, definisikan setiap suku yang berbentuk nilai mutlak.
Sebagaimana pada slide sebelumnya, kita dapat mengetahui bahwa
𝑥 + 2 =
𝑥 + 2, jika 𝑥 ≥ −2
−𝑥 − 2, jika 𝑥 < −2
2𝑥 − 5 =
2𝑥 − 5, jika 𝑥 ≥
5
2
5 − 2𝑥, jika 𝑥 <
5
2
Definisi Nilai
Mutlak
Selanjutnya, kita memperoleh dua buah titik batas definisi, yaitu 𝑥 = −2
dan 𝑥 =
5
2
, kemudian, urutkan kedua batas definisi tersebut sebagaimana
posisinya pada garis bilangan. Maka dapat diperoleh tiga daerah
sebagaimana berikut dengan definisi dari tiap bentuk pada masing-masing
daerah.
Hint :
𝑥 + 2 =
𝑥 + 2, jika 𝑥 ≥ −2
−𝑥 − 2, jika 𝑥 < −2
2𝑥 − 5 =
2𝑥 − 5, jika 𝑥 ≥
5
2
5 − 2𝑥, jika 𝑥 <
5
2
Bentuk
Definisi
𝑥 < −2 −2 ≤ 𝑥 <
5
2
𝑥 ≥
5
2
𝑥 + 2
2𝑥 − 5
𝑥 + 2 + 2𝑥 − 5 + 𝑥
Definisi Nilai
Mutlak
Berdasarkan tabel diatas, dapat kita peroleh definisi berikut ini :
𝑥 + 2 + 2𝑥 − 5 + 𝑥 =
4𝑥 + 3, jika 𝑥 ≥
5
2
7, jika − 2 ≤ 𝑥 <
5
2
3 − 2𝑥, jika 𝑥 < −2
Bentuk
Definisi
𝑥 < −2 −2 ≤ 𝑥 <
5
2
𝑥 ≥
5
2
𝑥 + 2
2𝑥 − 5
𝑥 + 2 + 2𝑥 − 5 + 𝑥
Nilai Mutlak
Sebagai Jarak
Perhatikan masalah pada garis bilangan berikut ini.
0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1 ......
Berapakah jarak antara 0 dan -2 ? (Jawab : 2 satuan)
Berapakah jarak antara 0 dan 4 ?
Berapakah jarak antara 0 dan bilangan real 𝑎 ?
Berapakah jarak antara -3 dengan 5 ?
Berapakah jarak antara 2 dengan -100 ?
Berapakah jarak antara bilangan real 𝑥 dengan bilangan real 𝑎 ?
Nilai Mutlak
Sebagai Jarak
0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1 ......
Dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan tadi, kita dapatkan bahwa jarak antara
bilangan 0 pada suatu bilangan real 𝑥 pada garis bilangan dapat dinyatakan sebagai
harga mutlak dari 𝑥 atau ditulis 𝑥 .
Begitu juga dengan 𝑥 − 𝑎 dapat menyatakan jarak antara dua bilangan real, yaitu 𝑎
dan 𝑥 pada garis bilangan.
−4 = 4
−1 − 3 = 3 − (−1) = 4
Pendahuluan Persamaan linier yang
Memuat Nilai Mutlak dan Grafiknya
Bagaimanakah kita menggambar grafik dari persamaan 𝑦 = 𝑥 ?
Cobalah dengan memanfaatkan tabel berikut.
𝑥 −
5
2
−2 0
1
2
3
𝑦 = 𝑥
(𝑥, 𝑦)
Pendahuluan Persamaan linier yang
Memuat Nilai Mutlak dan Grafiknya
Kemudian gambarlah titik-titik koordinat yang diperoleh dari tabel tadi.
0
𝑦
𝑥
Pendahuluan Persamaan linier yang
Memuat Nilai Mutlak dan Grafiknya
Perhatikan grafik persamaan 𝑦 = 𝑥 berikut ini
𝑦 = 𝑥
Pendahuluan Persamaan linier yang
Memuat Nilai Mutlak dan Grafiknya
𝑦 = 𝑥
Ketika 𝑥 ≥ 0, serupa
dengan grafik 𝑦 = 𝑥
Ketika 𝑥 < 0, serupa
dengan grafik 𝑦 = −𝑥
Pendahuluan Persamaan linier yang
Memuat Nilai Mutlak dan Grafiknya
𝑦 = 3𝑥 + 15
Ketika 𝑥 ≥ −5, serupa
dengan grafik 𝑦 = 3𝑥 + 15
Ketika 𝑥 < −5, serupa dengan
grafik 𝑦 = −3𝑥 − 15
Pendahuluan Persamaan linier yang
Memuat Nilai Mutlak dan Grafiknya
𝑦 = 𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑥 − 1
Coba jelaskan bagaimana
grafik ini terjadi.
Pendahuluan Persamaan linier yang
Memuat Nilai Mutlak dan Grafiknya
0
𝑦
𝑥
Coba gambarkan grafik dari
persamaan berikut.
1. y = 2x + 1
2. y = x − 1 + 3x + 1
3. y = 2 x + 1
4. y = 2x + x
5. y = x − 1
Lengkapi tabel berikut.
Sifat-sifat Nilai Mutlak
𝑥 0 -3 −2 2 4 5
𝑥2
𝑥2
𝑥
Sifat-sifat Nilai Mutlak
Berikut ini merupakan sifat-sifat nilai mutlak
1. 𝑥2 = 𝑥
2. 𝑥 2
= 𝑥2
= 𝑥2
3.
𝑥
𝑦
=
𝑥
𝑦
4. 𝑥 𝑦 = 𝑥𝑦
5. 𝑥 + 𝑦 ≥ 𝑥 + 𝑦
Soal-Soal Latihan
Tentukan definisi dari bentuk nilai mutlak
berikut ini :
1. 2𝑥 + 1
2. 𝑥 + 2 𝑥 − 1
3. 3𝑥 + 7 − 𝑥 − 2
4. 5𝑥 − 1 + 2 𝑥 + 1
5.
4𝑥−3
5−𝑥
6.
7𝑥−2
𝑥+2 − 𝑥 +1
Buatlah grafik dari persamaan berikut :
1. 𝑦 = 7 − 𝑥
2. 𝑦 = 2 𝑥 + 1
3. 𝑦 = 𝑥 + 17 − 5𝑥 − 2
4. 𝑦 = 6𝑥 − 1 + 2 𝑥 − 2 + 1
5. 𝑦 = 𝑥 + 7 + 𝑥 − 5 + 𝑥

Konsep Nilai Mutlak

  • 1.
    Konsep Nilai Mutlak Sesi1 2 x 40 menit agung.anggoro@student.upi.edu
  • 2.
    Definisi Nilai Mutlak Nilai mutlakdari bilangan real 𝑥 ditulis 𝑥 didefinisikan sebagai berikut : 𝑥 = 𝑥, jika 𝑥 ≥ 0 −𝑥, jika 𝑥 < 0 Perhatikan beberapa contoh berikut ini. 𝑥 𝑥 ≥ 0 𝑥 < 0 𝑥 −7  − −7 = 7 0  0 3,14  3,14 −13  − −13 = 13 − 1 2  − − 1 2 = 1 2 22 7  22 7
  • 3.
    Definisi Nilai Mutlak Berdasarkan definisinya,nilai dari 𝑥 , untuk setiap bilangan real 𝑥, selalu merupakan bilangan positif. Lengkapilah tabel di bawah ini ! 𝑥 𝑥 ≥ 0 𝑥 < 0 𝑥 −17 0,333... 17 − 5 3 + 3 −25 16 − 3 15 3 2 − 19 2
  • 4.
    Definisi Nilai Mutlak Dari definisinilai mutlak yang telah diberikan, bagaimanakah kita menulis definisi untuk 𝑎𝑥 + 𝑏 dengan 𝑎 > 0 ? Jawab : 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎𝑥 + 𝑏, jika 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 − 𝑎𝑥 + 𝑏 , jika 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0 Atau sama saja dengan kita menulis seperti ini 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎𝑥 + 𝑏, jika 𝑥 ≥ − 𝑏 𝑎 −𝑎𝑥 − 𝑏, jika 𝑥 < − 𝑏 𝑎 − 𝑏 𝑎 dapat disebut sebagai batas definisi. Bagaimanakah jika 𝑎 < 0 ?
  • 5.
    Definisi Nilai Mutlak Perhatikan beberapacontoh berikut. 𝑥 + 2 = 𝑥 + 2, jika 𝑥 ≥ −2 −𝑥 − 2, jika 𝑥 < −2 3𝑥 − 2 = 3𝑥 − 2, jika 𝑥 ≥ 2 3 2 − 3𝑥, jika 𝑥 < 2 3
  • 6.
    Definisi Nilai Mutlak Tuliskan definisidari bentuk nilai mutlak berikut ini ! 𝑥 − 2 = 2 − 7𝑥 = 2 5𝑥 + 3 = 7 4 𝑥 − 5 2 =
  • 7.
    Definisi Nilai Mutlak Bagaimanakah membuatdefinisi dari bentuk aljabar yang memuat lebih dari satu buah suku berbentuk nilai mutlak ? Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut ini. Pada contoh ini, kita akan membuat definisi dari 𝑥 + 2 + 2𝑥 − 5 + 𝑥 Perhatikan setiap langkah demi langkahnya.
  • 8.
    Definisi Nilai Mutlak Pertama, definisikansetiap suku yang berbentuk nilai mutlak. Sebagaimana pada slide sebelumnya, kita dapat mengetahui bahwa 𝑥 + 2 = 𝑥 + 2, jika 𝑥 ≥ −2 −𝑥 − 2, jika 𝑥 < −2 2𝑥 − 5 = 2𝑥 − 5, jika 𝑥 ≥ 5 2 5 − 2𝑥, jika 𝑥 < 5 2
  • 9.
    Definisi Nilai Mutlak Selanjutnya, kitamemperoleh dua buah titik batas definisi, yaitu 𝑥 = −2 dan 𝑥 = 5 2 , kemudian, urutkan kedua batas definisi tersebut sebagaimana posisinya pada garis bilangan. Maka dapat diperoleh tiga daerah sebagaimana berikut dengan definisi dari tiap bentuk pada masing-masing daerah. Hint : 𝑥 + 2 = 𝑥 + 2, jika 𝑥 ≥ −2 −𝑥 − 2, jika 𝑥 < −2 2𝑥 − 5 = 2𝑥 − 5, jika 𝑥 ≥ 5 2 5 − 2𝑥, jika 𝑥 < 5 2 Bentuk Definisi 𝑥 < −2 −2 ≤ 𝑥 < 5 2 𝑥 ≥ 5 2 𝑥 + 2 2𝑥 − 5 𝑥 + 2 + 2𝑥 − 5 + 𝑥
  • 10.
    Definisi Nilai Mutlak Berdasarkan tabeldiatas, dapat kita peroleh definisi berikut ini : 𝑥 + 2 + 2𝑥 − 5 + 𝑥 = 4𝑥 + 3, jika 𝑥 ≥ 5 2 7, jika − 2 ≤ 𝑥 < 5 2 3 − 2𝑥, jika 𝑥 < −2 Bentuk Definisi 𝑥 < −2 −2 ≤ 𝑥 < 5 2 𝑥 ≥ 5 2 𝑥 + 2 2𝑥 − 5 𝑥 + 2 + 2𝑥 − 5 + 𝑥
  • 11.
    Nilai Mutlak Sebagai Jarak Perhatikanmasalah pada garis bilangan berikut ini. 0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1 ...... Berapakah jarak antara 0 dan -2 ? (Jawab : 2 satuan) Berapakah jarak antara 0 dan 4 ? Berapakah jarak antara 0 dan bilangan real 𝑎 ? Berapakah jarak antara -3 dengan 5 ? Berapakah jarak antara 2 dengan -100 ? Berapakah jarak antara bilangan real 𝑥 dengan bilangan real 𝑎 ?
  • 12.
    Nilai Mutlak Sebagai Jarak 01 2 3 4-4 -3 -2 -1 ...... Dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan tadi, kita dapatkan bahwa jarak antara bilangan 0 pada suatu bilangan real 𝑥 pada garis bilangan dapat dinyatakan sebagai harga mutlak dari 𝑥 atau ditulis 𝑥 . Begitu juga dengan 𝑥 − 𝑎 dapat menyatakan jarak antara dua bilangan real, yaitu 𝑎 dan 𝑥 pada garis bilangan. −4 = 4 −1 − 3 = 3 − (−1) = 4
  • 13.
    Pendahuluan Persamaan linieryang Memuat Nilai Mutlak dan Grafiknya Bagaimanakah kita menggambar grafik dari persamaan 𝑦 = 𝑥 ? Cobalah dengan memanfaatkan tabel berikut. 𝑥 − 5 2 −2 0 1 2 3 𝑦 = 𝑥 (𝑥, 𝑦)
  • 14.
    Pendahuluan Persamaan linieryang Memuat Nilai Mutlak dan Grafiknya Kemudian gambarlah titik-titik koordinat yang diperoleh dari tabel tadi. 0 𝑦 𝑥
  • 15.
    Pendahuluan Persamaan linieryang Memuat Nilai Mutlak dan Grafiknya Perhatikan grafik persamaan 𝑦 = 𝑥 berikut ini 𝑦 = 𝑥
  • 16.
    Pendahuluan Persamaan linieryang Memuat Nilai Mutlak dan Grafiknya 𝑦 = 𝑥 Ketika 𝑥 ≥ 0, serupa dengan grafik 𝑦 = 𝑥 Ketika 𝑥 < 0, serupa dengan grafik 𝑦 = −𝑥
  • 17.
    Pendahuluan Persamaan linieryang Memuat Nilai Mutlak dan Grafiknya 𝑦 = 3𝑥 + 15 Ketika 𝑥 ≥ −5, serupa dengan grafik 𝑦 = 3𝑥 + 15 Ketika 𝑥 < −5, serupa dengan grafik 𝑦 = −3𝑥 − 15
  • 18.
    Pendahuluan Persamaan linieryang Memuat Nilai Mutlak dan Grafiknya 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑥 − 1 Coba jelaskan bagaimana grafik ini terjadi.
  • 19.
    Pendahuluan Persamaan linieryang Memuat Nilai Mutlak dan Grafiknya 0 𝑦 𝑥 Coba gambarkan grafik dari persamaan berikut. 1. y = 2x + 1 2. y = x − 1 + 3x + 1 3. y = 2 x + 1 4. y = 2x + x 5. y = x − 1
  • 20.
    Lengkapi tabel berikut. Sifat-sifatNilai Mutlak 𝑥 0 -3 −2 2 4 5 𝑥2 𝑥2 𝑥
  • 21.
    Sifat-sifat Nilai Mutlak Berikutini merupakan sifat-sifat nilai mutlak 1. 𝑥2 = 𝑥 2. 𝑥 2 = 𝑥2 = 𝑥2 3. 𝑥 𝑦 = 𝑥 𝑦 4. 𝑥 𝑦 = 𝑥𝑦 5. 𝑥 + 𝑦 ≥ 𝑥 + 𝑦
  • 22.
    Soal-Soal Latihan Tentukan definisidari bentuk nilai mutlak berikut ini : 1. 2𝑥 + 1 2. 𝑥 + 2 𝑥 − 1 3. 3𝑥 + 7 − 𝑥 − 2 4. 5𝑥 − 1 + 2 𝑥 + 1 5. 4𝑥−3 5−𝑥 6. 7𝑥−2 𝑥+2 − 𝑥 +1 Buatlah grafik dari persamaan berikut : 1. 𝑦 = 7 − 𝑥 2. 𝑦 = 2 𝑥 + 1 3. 𝑦 = 𝑥 + 17 − 5𝑥 − 2 4. 𝑦 = 6𝑥 − 1 + 2 𝑥 − 2 + 1 5. 𝑦 = 𝑥 + 7 + 𝑥 − 5 + 𝑥