1. DEFINITION OF GENERATING FUNCTION
AND POWER SERIES
A SRI MARDIYANTI SYAM (1111040156)
FAUZIYYAH ALIMUDDIN (1111040157)
ANDI HUSNAH (1111040154)
INTERNATIONAL CLASS PROGRAM
MATHEMATICS DEPARTMENT
MATHEMATICS AND SCIENCE FACULTY
STATE UNIVERSITY OF MAKASSAR
2013

2. Generating functionis a tooltoaddress issueswiththe selectionandpreparation
ofrepetition. Thisfunctionsasrequiredtoresolveissuesthatdo notpay attention tothe order.
Generating functionmethodis rooted inthe work ofDeMevretahun1720,
developedbyEulerin1748, then at the endandbeginning ofthe 19th
centurybyLaplaceintensivelyusedin connectionwiththe theory ofprobability.
Fungsipembangkitmerupakanalatuntukmenanganimasalah-
masalahpemilihandanpenyusunandenganpengulangan.Fungsisepertiinidiperlukanuntukmenye
lesaikanmasalah yang tidakmemperhatikanurutan.Metodefungsipembangkitberakardarikarya
De Mevretahun 1720, dikembangkanoleh Euler dalamtahun 1748,
kemudianpadaakhirdanawalabad 19 secaraintensifdipakaioleh Laplace
sehubungandenganteoriprobabilitas.
Beforediscussing the method ofgenerating functions, first introducedthe powerseries.
Sebelummembahasmetodefungsipembangkit, terlebihdahuludiperkenalkanderetkuasa.
A. Power Series
DeretKuasa
Definition 1
Definisi 1
Power series was defined as definite series which form
Deretkuasadidefinisikansebagaiderettakterhingga yang berbentuk
If there are positive integers R such that definite series always convergen for , for
every positive integer R. R are convergency radius of power series above. Sometimes a

3. power series is not convergen for every x (x ;. And its call divergen. Notes, It should be
noted, inmany ways the future we are not interested in theconvergence power series, but we
are interested in the coefficients of . In the other words we view
Bilaadabilanganpositif R sedemikiansehinggaderettakterhinggainiselalukonvergenuntuk
untuk suatu bilangan positif R. R dalam hal ini disebut radius konvergensi dari deret kuasa
di atas. Ada kalanya suatu deret kuasa tidak konvergen untuk semua nilai x (x ; dan
dikatakan deret tersebut divergen. Perlu dicatat, dalam banyak hal kelak kita tidak tertarik
dengan kekonvergenan deret kuasa tersebut, tapi kita tertarik dengan koefisien-koefisien dari
; dengan kata lain kita pandang
As a formal expression. That is formal power series
Sebagaisebuahekspresi formal saja.Deretkuasademikiankitasebutderetkuasa formal.
Teorema 1
If f have expansion of power series in point c, that is
Jika f mempunyaiperluasanderetkuasa di titik c, yaitujika

4. Then the coefficient can be express in formula
Subtitute series formula above, If f have power series expansion in point c, then
can be write in form
This series be said to be Taylor series of function f in point c. Expecially for c = 0, we
get Maclaurin series
Makakoefisiennyadapatdinyatakandalamrumus
Denganmensubtitusikankembali pada rumus deret di atas, jika f mempunyai
perluasan deret kuasa di titikc, maka dapat dinyatakan dalam bentuk
Deretinidikenaldengansebutanderet Taylor darifungsi f di titik c. Khususuntuknilai c
= 0, kitamemperolehderetMaclaurin:
from that formulas, we get some results:
a) For all real number x, satisfy

5. b) For real number x dengan satisfy
c) For real number x dengan satisfy
d) The derivatives from binomial
e) For real number u, non-negative integers k and
satisfy
Where:
dari formula tersebut, kitaperolehhasil-hasilberikut:
a. Untuksemuabilanganrel x berlaku
b. Untukbilangan real x dengan berlaku
c. Untukbilangan real x dengan berlaku

6. d. PenurunanTeorema Binomial:
Untukbialanganrealu, bilanganbulat non negative k, dan
berlaku:
Dimana:
Ordinary Generating Function
DefinisiFungsiPembangkit
Let are seies of a number
Misalkan adalah sebuah barisan bilangan.
Ordinary generating function of series are power series
Fungsipembangkitbiasa(ordinary generating function) daribarisan adalah deret
kuasa.
Exponential Generating Function (FPE) of ( is defined as follows

7. FungsiPembangkitEksponensial (FPE) dari ( didefinisikan sebagai berikut:
Let,
Misalnya,
Is the ordinary generating function of the sequence
adalahfungsipembangkitbiasadaribarisan
Or exponential generating function of the sequence
Ataufungsipembangkiteksponensialdaribarisan
When given a sequence, then we are often asked to write down the generating
function of the sequence in the simplest form possible.
Biladiberikansuatubarisan,
makakitaseringdimintauntukmenuliskanfungsipembangkitdaribarisantersebutdalambentuksed
erhanamungkin.
Contoh 2.1.1
1. Write the simplest form of ordinary generating function of the sequence - the
following sequence :

8. Tulislahbentuksederhanafungsipembangkitbiasadaribarisan – barisanberikut:
a.
b.
2. If , then , determine FPE sequence
Jika , maka , tentukan FPE barisan
Solution:
Penyelesaian:
1. a. Generating function of the sequence in question is :
Fungsipembangkitdaribarisan yang dimaksudadalah:
(dari persamaan (2.1.1))
b. Fungsipembangkit yang dimaksudadalah:
Untuk , dari identitas (2.1.3), diperoleh
c. FungsiPembangkitEksponensialbarisan adalah

9. NOTE: Addition, subtraction and multiplication of two or more generating functions, can be
done in the same way as add, subtract or multiply two or more polynomials . Thus, the
following statement is obtained
CATATAN: Penjumlahan, penguranganmaupunperkalianduafungsipembangkitataulebih,
dapatdilakukandengancara yang samasepertihalnyamenjumlah,
mengurangkanataupunmengalikanduapolinomialataulebih. Dengandemikian,
diperolehpernyataanberikut.
Jika
Furthermore, from the multiplication of and , obtained
Selanjutnya, dariperkalianantara dan , diperoleh
Thus, obtained the following formula
Dengandemikiandiperoleh formula berikut.

10. Jika dan adalah barisan – barisan bilangan real sedemikian sehingga
Makakitakatakan adalahkonvolusidari dan , yang ditulis
Contoh 2.2.2.
Caribarisan dengan fungsi pembangkit Biasa
Penyelesaian:
Misalkan
It is clear that is the ordinary generating function of the sequence
. Furthermore, from Formula (2.1.2) and the definition we know that
the generating function is the ordinary generating function of the sequence
So from the Formula (2.2.4), obtained
Jelasbahwa adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan
Selanjutnya dari Formula (2.1.2) dan definisi fungsi
pembangkit kita ketahui bahwa adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan
Sehingga dari Formula (2.2.4), diperoleh

11. So that, ( ) = (0,0,0,0,0,1,2,2,...,2,...), or
Dengandemikian ( ) = (0,0,0,0,0,1,2,2,...,2,...), atau
Contoh 2.2.3
Caribarisanbilangan real yang memenuhi
untuksemua
Penyelesaian:
Misalkan
Is FPB sequence ). By squaring , obtained
adalah FPB barisan ). Dengan mengkuadratkan , diperoleh
Dengandemikian,

12. Jadibarisan yang dimaksudadalah dengan
Example 1
Contoh 1
Let for then and , where
Misalkan untuk maka dan ,
dengan syarat
Example 2
Contoh 2
Let
Ordinary generating functionfor series are
With the expansion of Newton Binomial, we get
Misalkandiketahui
Fungsipembangkitbiasabagibarisan adalah
DenganbantuanperluasanBinomium Newton, kitaperoleh

13. Example 3
Contoh 3
If we want to calculate the coefficient of at .
Finding the coefficient of means that calculating the coefficient as many as r times
and 1 as many as n-r times. So the coefficient of at are
Misalkankitainginmenghitungkoefisien pada .
Mencarikoefisien artinya menghitung koefisien pada perkalian sebanyak r kali, dan 1
sebanyak n-r kali. Dengan demikian koefisien pada adalah
Example 4
Contoh 4
If we want to calculate the coefficient of at
Find the coefficient of that means determine sum of multiplication of formal coefficient
which sum of them power is 4. Determine this coefficient is the same way with calculating
how much the solution of integer number for this equation.
Coefficient at are the numbers of integer solutions.
Misalkankitainginmenghitungkoefisien pada
Mencarikoefisien berarti menentukan koefisien jumlah perkalian formal yang jumlah
pangkat nya adalah 4. Menentukan koefisien ini sama saja dengan menghitung banyaknya
solusi bilangan bulat bagi persamaan berikut ini.
Koefisien pada adalah banyaknya solusi bilangan bulat
Dengan dan Peubah merupakan pangkat suku ke-I dalam
perkalian formalnya.

14. This problemis equivalent tothe problem of choosing4objectsfroma setconsisting of5types of
objects, wheretype 1, 2, and3, respectively 1object, andtype 4and5respectively2objects. This
problemis alsoequivalentto thedistributionproblem4the same objectinto5distinctboxes, where
theboxes1, 2, and3maximum 1, box4and5maximum of 2.
Masalahiniekivalendenganmasalahmemilih 4 objekdarisuatuhimpunan yang terdiriatas 5
tipeobjek, dimanatipe 1, 2, dan 3 masing-masing 1 objek, dantipe 4 dan 5 masing-masing 2
objek. Masalahiniakivalenjugadenganmaslahdistribusi 4 objek yang samakedalam 5
kotakberbeda, dimanakotak 1, 2, dan 3 paling banyak 1, kotak 4 dan 5 paling banyak 2.
In general, the coefficient of on iscount the number
ofinteger solutionsfor the equations.
Secaraumum, koefisien pada adalah menghitung
banyaknya solusi bilangan bulat bagi persamaan.
where and
Dengan dan
Contoh 5
Misalkankitainginmenentukanfungsipembangkituntuk , yaitu banyaknya cara
memilih bola dari setumpuk bola yang terdiri atas tiga bola hijau, tiga bpla putih, tiga bola
biru, dan tiga bola emas.
Masalahinidapatdimodelkansebagaibanyaknyasolusibilanganbulat
In this case, presentnumber ofgreenballs selected , numberof whiteballsselected,
number ofblueballsselectedand the number of gold balss selected. In
themultiplicationfactor formal, x power of0 until3.
Thus, it is the generator function

15. Disini mempresentasikan jumlah bola hijau yang dipilih, jumlah bola putih yang dipilih,
jumlah bola biru yang dipilih, dan jumlah bola emas yang dipilih.Pada factor perkalian
formal, berpangkat dari 0 sampai 3.
Jadi, fungsipembangkitnya
Generating functioncanbe usedfor themanipulation ofalgebraicfunctionsformswithout
having touse aconceptcommonly used inalgebra. For example,afunctionthat hasan inverse,
its multiplication can be determinedbygenerating functionapproach.
Fungsipembangkitdapat pula digunakanuntukmanipulasibentuk-
bentukfungsialjabartanpaharusmenggunakankonsep yang
biasadigunakandalamaljabar.Misalnyasebuahfungsi yang mempunyai invers, dapatditentukan
invers perkaliannyadenganpendekatanfungsipembangkit.
AfunctionA(x) isexpressed inpowerseries
Sebuahfungsi yang dinyatakan dalam deret kuasa
hasamultiplicative inverseifthere isapowerseriesB(x) such thatA(x). B(x) =1.
mempunyaisebuah invers perkalianjikaterdapatsebuahderetkuasa demikian sehingga
Example 6
Supposewewillfind the inverseofA(x) =1-x. We Suppose that
Is invers of
Multiplication ofA(x) andB(x) yields

16. Whichgivesthe equation
Now comparethe coefficientof ionboth sides oftheequation.
Can bebe easily seenthat
Contoh 6
Misalkankitaakanmencari invers dari Kita misalkan bahwa
Adalah invers bagi
Perkalianantara menghasilkan
Yang memberikanpersamaan
Sekarangbandingkankoefisiendari pada kedua ruas persamaan tersebut.
Dapatdilihatdenganmudahbahwa

17. Thuswe get
These resultsshowthat theinverseof is
In theprocess of determiningthe inverseofA(x) above, wealsoobtainthe formula
Dengandemikiankitaperoleh
Hasil-hasilinimemperlihatkanbahwa invers dari adalah
Dalam proses penentuan invers dari di atas, kita pun memperoleh rumus

18. DAFTAR BACAAN
Sutarno, Heri, dkk. 2003. Matematika diskrit. Bandung : Universitas Pendidikan Indonesia.
Sutarno, Heri, dkk. 2005. Matematika diskrit. Malang : Universitas Negeri Malang.
http://ebookbrowse.com/bab10-fungsi-pembangkit-dan-relasi-rekursi-pdf-d107367365
http://mathkreatifeducation.blogspot.com/2011/05/deret-kuasa-maclaurin.html
http://www.google.co.id/search?q=26-Modul-Matematika---DERET-TAK-HINGGA.htm&ie=utf-
8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:en-US:official&client=firefox-a
http://faculty.eicc.edu/bwood/ma155supplemental/supplemental27.htm
http://www.scribd.com/doc/293