Permutasi dan kombinasi adalah pengaturan objek dalam urutan berbeda. Permutasi memperhatikan urutan sedangkan kombinasi tidak. Permutasi n objek adalah n! sedangkan kombinasi n diambil r adalah n!/(r!(n-r)!).

1. Permutasi dan Kombinasi

2. Permutasi
Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan
yang berbeda dari urutan yang semula.
Urutan diperhatikan
Perulangan tidak diperbolehkan

3. Permutasi
Misalkan Masalah penyusunan kepanitiaan yang terdiri
dari Ketua, Sekretaris dan Bendahara dimana urutan
dipertimbangkan merupakan salah satu contoh permutasi.
Jika terdapat 3 orang (misalnya Amir, Budi dan Cindy)
yang akan dipilih untuk menduduki posisi tersebut, maka
dengan menggunakan Prinsip Perkalian kita dapat
menentukan banyaknya susunan panitia yang mungkin,
yaitu:

4. Permutasi
Bola:
m b p
Kotak:
1 2 3
Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola
ke dalam kotak-kotak tersebut?

5. Lanjutan Permutasi
Kemungkinan urutan bola
1 2 3 4 5 6

6. Kotak 1 Kotak 2 Kotak 3 Urutan
M
B P M B
P
P B M P
B
B
M P B M
P
P M B P
M
P
M B P M
B
B M P B
Jumlah kemungkian urutan berbeda dari penempatan bola Mke
dalam kotak adalah (3)(2)(1) =3! = 6

7. Definisi 1:
Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek.
 Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian.
 Misalkan jumlah objek adalah n, maka
 urutan pertama dipilih dari n objek,
 urutan kedua dipilih dari n – 1 objek,
 urutan ketiga dipilih dari n – 2 objek,
 …
 urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa.
Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah
n(n – 1) (n – 2) … (2)(1) = n!

8. Contoh 6.
Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “HAPUS”?
Penyelesaian:
Cara 1: (5)(4)(3)(2)(1) = 120 buah kata
Cara 2: P(5, 5) = 5! = 120 buah kata
Contoh 7.
Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa?
Penyelesaian: P(25, 25) = 25!

9. Permutasi r dari n elemen
 Ada enam buah bola yang berbeda warnanya dan 3 buah kotak.
Masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola. Berapa jumlah
urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam
kotak-kotak tersebut?
1 2 3
Bola
Penyelesaian:
kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola (ada 6 pilihan);
kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola (ada 5 pilihan);
kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola (ada 4 pilihan).
Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola = (6)(5)(4) = 120

10. Perampatan:
Ada n buah bola yang berbeda warnanya dan r buah kotak (r £ n), maka
kotak ke-1 dapat diisi oleh salah satu dari n bola (ada n pilihan) ;
kotak ke-2 dapat diisi oleh salah satu dari (n–1) bola (ada n–1 pilihan);
kotak ke-3 dapat diisi oleh salah satu dari (n–2) bola (ada n–2 pilihan);
…
kotak ke-r dapat diisi oleh salah satu dari {n–(r–1)} bola (ada n–r+1 pilihan)
Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola adalah:
n(n – 1)(n – 2)…{n – (r – 1)}

11. Permutasi
Contoh 3.2
Gunakan Teorema 3.1 untuk mencari berapa banyak permutasi dari huruf ABC ?
Penyelesaian
Terdapat 3 unsur dari huruf ABC, jadi banyaknya permutasinya adalah 3!, atau
Terdapat 3.2.1 = 6 permutasi dari huruf ABC.

12. Permutasi
Contoh 3.3
Berapa banyak permutasi dari huruf ABCDEF jika huruf ABC harus selalu muncul
bersama?

13. Permutasi
Penyelesaian :
Karena huruf ABC harus selalu muncul bersama, maka huruf ABC bisa dinyatakan
sebagai satu unsur. Dengan demikian terdapat 4 unsur yang dipermutasikan,
sehingga banyaknya permutasi adalah
4.3.2.1 = 24

14. Permutasi
Definisi 3.2
Permutasi-r dari n objek adalah jumlah kemungkinan urutan r buah objek yang
dipilih dari n buah objek, dengan r ≤ n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan
urutan tidak ada objek yang sama. Dan dapat di notasikan dengan P(n,r).

15. Permutasi
Teorema 3.2
Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda adalah

16. Permutasi
Atau dengan kata lain, secara umum permutasi r objek dari n buah objek dapat di
hitung dengan persamaan berikut :
Jika r = n, maka persamaan menjadi

17. Permutasi
Contoh 3.4
Tentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE.

18. Permutasi
Contoh 3.5
Gunakan Teorema 3.2 untuk menentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang
berbeda, misalnya ABCDE.

19. Permutasi
Penyelesaian
Karena r = 3 dan n = 5 maka permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah
Jadi banyaknya permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 60.

20. Permutasi
 Banyaknya permutasi n benda dari n benda yang berbeda
ada n!
Contoh :
Banyaknya permutasi empat huruf a, b, c, d adalah 4! = 4 x
3 x 2 x 1 = 24
 Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan bila
untuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan
dalam n2 cara, maka kedua operasi itu secara bersama-sama
dapat dilakukan dalam n1n2 cara. (peraturan general)
Contoh :
Banyaknya permutasi yang mungkin bila kita mengambil 2
huruf dari 4 huruf tersebut.

21. Permutasi
 Banyaknya permutasi n benda yang berbeda yang disusun
dalam suatu lingkaran adalah (n-1)!
contoh :
Banyaknya permutasi empat huruf a, b, c, d jika
keempatnya disusun dalam sebuah lingkaran adalah 4-1! =
3 x 2 x 1 = 6
 Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n1
di antaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, nk
berjenis ke-k adalah

22. Permutasi
Contoh :
Berapa banyak susunan berbeda bila kita ingin membuat sebuah rangkaian
lampu hias untuk pohon Natal dari 3 lampu merah, 4 kuning dan 2 biru?

23. Faktorial
Hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai n disebut n factorial
ditulis n!
Jadi n ! = 1.2.3….…..(n-2)(n-1).n
Catatan:
1! = 1 dan
0! = 1
Contoh 1:
3! = 1 x 2 x 3 = 6
Atau
3! = 3 x 2 x 1 = 6
Contoh 2:
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
Atau
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

24. Soal
Hitunglah:
1. 5! + 3!
2. 7! - 3!
3. 4! X 5!
4. 10! : 7!
Jawab 1:
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 120
3! = 3 x 2 x 1 = 6
5! + 3! = 120 + 6 = 126
Jawab 2:
7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 5.040
3! = 3 x 2 x 1 = 6
Jawab 3: 7! – 3! = 5040 – 6 = 5.034
4! = 4 x 3 x 2 x 1= 24
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
4! X 5! = 24 + 120 = 144
Jawab 4:
10!
= 10 x 9 x 8 x 7!
=10 x 9 x 8 = 720
7!
7!

25. Definisi 2:
Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan urutan r
buah elemen yang dipilih dari n buah elemen, dengan r ≤ n, yang
dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada elemen
yang sama.
n
-
!
n r
=
P(n, r) = n(n -1)(n - 2)(n -3)...{n - (r -1)} ( )!
P n r n
( , ) !
n -
r
( )!
=

26. Contoh 7.
Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka
berikut: 1, 2, 3, 4, 5, jika:
a) Tidak boleh ada pengulangan angka;
b) Boleh ada pengulangan angka
Penyelesaian:
a).Cara 1: dengan kaidah perkalian: (5)(4)(3) = 120 buah
Cara 2: dengan rumus permutasi P(5, 3) = 5!/(5-3)! = 120 buah
b).Dengan kaidah perkalian: (5)(5)(5) = 53 =125 buah
Tidak dapat diselesaiakan dengan rumus permutasi

27. Contoh 8.
Kode buku di sebuah perpustakaan panjangnya 7 karakter,
terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang
berbeda pula?
Penyelesaian:
Permutasi dari 26 huruf diambil 4 huruf
P (26, 4) = 26!/(26-4)! = 26 x 25 x 24 x 23 = 358.800 buah
Permutasi dari 10 angka diambil 3 angka
P (10, 3) = 10!/(10-3)! = 10 x 9 x 8 = 720 buah
Banyak kode buku: P(26, 4) x P(10, 3) = 258.336.000

28. Kombinasi
 Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi.
 Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan,
maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan.
Misalkan ada 2 buah bola yang warnanya sama 3 buah kotak. Setiap
kotak hanya boleh berisi paling banyak 1 bola.
Berapa banyaknya cara memasukkan bola ke dalam kotak?
Perhatikan ilustrasi berikut

29. 1 2
2 1
Kejadian yang sama
1 2
2 1
Kejadian yang sama
1 2
2 1
Kejadian yang sama
Banyaknya cara
memasukkan bola
ke dalam kotak =
hanya ada 3 cara
P(3, 2)
2!
=
3!
1!
2!
3 x 2!
2!
=
= 3

30. Misalkan sekarang ada 3 buah bola yang warnanya sama dan
jumlah kotak 10 buah. Setiap kotak hanya boleh berisi paling
banyak 1 bola.
Berapa banyaknya cara memasukkan bola ke dalam kotak?
Penyelesaian:
P(10, 3)
3!
=
10 x 9 x 8 x 7!
10!
7!
= 7!
3! 3 X 2 x 1
= 120
10 x 9 x 8
3 x 2 x 1
=
3 4

31. Secara Umum:
Jumlah cara memasukkan r buah bola yang berwarna sama
ke dalam n buah kotak adalah:
n n - n - n - n - r -
( 1)( 2)( 3)...{ ( 1)}
r
!
n
!
-
r n r
!( )!
=
Perhitungan semacam di atas disebut combinasi r elemen dari n
obyek, yang dituliskan C(n, r)
C (n, r ) sering dibaca "n diambil r ", artinya r objek diambil dari
n buah objek.

32. Definisi 3
Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C (n, r ), adalah jumlah pemilihan yang tidak
terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen.
n
!
-
C(n, r) =
r !( n r
)!

33. Interpretasi Kombinasi
C (n, r ) = banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r
elemen, yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen.
Misal : A={1, 2, 3}
Julah Himpunan bagian yang terdiri dari 2 elemen:
{1, 2} = {2, 1}
{1, 3} = {3, 1}
{2, 3} = {3, 2}
3 buah
atau
3!
-
C(3,2) 2!(3 2)!
= = 3

34. C (n, r ) = cara memilih r buah elemen, dari n buah elemen
yang ada tetapi urutan elemen diabaikan.
Contoh:
Berapa banyak cara membentuk panitia (komite, komisi, dll)
yang beranggotakan 5 orang dari sebuah fraksi di DPR yang
beranggotakan 25
Penyelesaian
Panitia / komite / komisi adalah kelompok yang tidak terurut,
artinya setiap anggota didalam panitia kedudukannya sama
C(25,5)
25!
-
5!(25 5)!
=
5
25 x 24 x 23 x 22 x 21 x 20!
20!
=
= 25!
5!20!
5 x 4 x 3 x 2 x 1 x
= 53.130

35. Contoh 9. Di antara 10 orang mahasiswa Teknik Informatika Angkatan
2002, berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilan
beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga:
(a) mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya;
(b) mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya;
(c) mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi B tidak;
(d) mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapi A tidak;
(e) mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya;
(f) setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau B
termasuk di dalamnya.

36. Penyelesaian:
(a) C(9, 4) = 126 cara untuk membentuk perwakilan yang
beranggotakn 5 orang sedemikian sehingga A selalu termasuk di
dalamnya.
(b) C(9, 5) = 126 cara untuk membentuk perwakilan yang
beranggotakn 5 orang sedemikian sehingga A tidak termasuk di
dalamnya.
(c) C(8, 4) = 70 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan
5 orang sedemikian sehingga A termasuk di dalamnya, tetapi B
tidak.
(d) C(8, 4) = 70 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan
5 orang sedemikian sehingga B termasuk di dalamnya, tetapi A
tidak.
(e) C(8, 3) = 56 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan
5 orang sedemikian sehingga A dan B selalu termasuk di dalamnya.

37. (f) Jumlah cara membentuk perwakilan sedemikian sehingga
setidaknya salah satu dari A atau B termasuk di dalamnya
= jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A termasuk di
dalamnya, B tidak
+ jumlah cara membentuk perwakilan sehingga B termasuk di
dalamnya, A tidak
+ jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A dan B
termasuk di dalamnya
= 70 + 70 + 56 = 196
Prinsip inklusi-eksklusi:
X = jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan A
Y = jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan B
X Ç Y = jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan A
dan B, maka
½X½ = C(9, 4) = 126; ½Y½ = C(9, 4) = 126;
½ X Ç Y½ = C(8, 3) = 56;
½X È Y½ = ½X½ + ½Y½ - ½X Ç Y½ = 126 + 126 – 56 = 196

38. Permutasi dan Kombinasi
Bentuk Umum
Misalkan: ada n buah bola yang tidak seluruhnya berbeda warna
(jadi, ada beberapa bola yang warnanya sama - indistinguishable).
n1 bola diantaranya berwarna 1,
n2 bola diantaranya berwarna 2,

nk bola diantaranya berwarna k,
dan n1 + n2 + … + nk = n.
Berapa jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak
tersebut (tiap kotak maks. 1 buah bola)?

39. Jika n buah bola itu kita anggap berbeda semuanya, maka jumlah
cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah:
P(n, n) = n!.
Dari pengaturan n buah bola itu,
ada n1! cara memasukkan bola berwarna 1
ada n2! cara memasukkan bola berwarna 2

ada nk! cara memasukkan bola berwarna k
Permutasi n buah bola yang mana n1 diantaranya berwarna 1, n2
bola berwarna 2, …, nk bola berwarna k adalah:
n
!
P n n n n =P n n =
k n n n
! !... !
( ; , ,..., ) ( , )
! !... !
1 2 1 2
1 2
k k
n n n

40. Jumlah cara pengaturan seluruh bola kedalam kotak adalah:
C(n; n1, n2, …, nk) = C(n, n1) C(n – n1, n2) C(n – n1 – n2 , n3)
… C(n – n1 – n2 – … – nk-1, nk)
=
n
!
-
1 1 n n n
!( )!
n -
n
- -
( )!
1
n n n n
!( )!
2 1 2
n - n -
n
- - -
( )!
1 2
k n n n n n
!( )!
3 1 2
…
n - n - n - -
n
- - - - -
( ... )!
k
-
1 2 1
n n n n n n
!( ... )!
k 1 2 k -
1
k
=
n
!
n ! n ! n !...
n
1 2 3
k

41. Kesimpulan:
P n n n n =C n n n n = n
( ; , ,..., ) ( ; , ,..., ) !
! !... !
1 2
1 2 1 2
k
k k n n n

42. Contoh 10. Berapa banyak “kata” yang dapat dibentuk dengan
menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI?
Penyelesaian:
S = {M, I, S, S, I, S, S, I, P , P , I}
huruf M = 1 buah (n1)
huruf I = 4 buah (n2)
huruf S = 4 buah (n3)
huruf P = 2 buah (n4)
n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah = | S |
Cara 1: Jumlah string = P(11; 1, 4, 4, 2)
11! = buah.
= 34650
(1!)(4!)(4!)(2!)
Cara 2: Jumlah string = C(11, 1)C(10, 4)C(6, 4)C(2, 2)
=
. 2!
(2!)(0!)
. 6!
(4!)(2!)
. 10!
(4!)(6!)
11!
(1!)(10!)
11!
=
(1!)(4!)(4!)(2!)
= 34650 buah

43. Contoh 11. Berapa banyak cara membagikan delapan buah
mangga kepada 3 orang anak, bila Billy mendapat empat buah
mangga, dan Andi serta Toni masing-masing memperoleh 2 buah
mangga.
Penyelesaian:
n = 8, n1 = 4, n2 = 2, n3 = 2, dan n1 + n2 + n3 = 4 + 2 + 2 = 8
8! = cara
Jumlah cara membagi seluruh mangga = 420
(4!)(2!)(2!)

44. Contoh 12. 12 buah lampu berwarna (4 merah, 3 putih, dan 5 biru)
dipasang pada 18 buah soket dalam sebuah baris (sisanya 6 buah
soket dibiarkan kosong). Berapa jumlah cara pengaturan lampu?
Penyelesaian:
n = 18; n1 = 4, n2 = 3, n3 = 5, dan n4 = 6 (socket kosong)
Jumlah cara pengaturan lampu =
18! cara
(4!)(3!)(5!)(6!)

45. Kombinasi Dengan Pengulangan
Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n
buah kotak.
(i) Masing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu
buah bola.
Jumlah cara memasukkan bola: C(n, r).
(ii) Masing-masing kotak boleh lebih dari satu buah bola (tidak
ada pembatasan jumlah bola)
Jumlah cara memasukkan bola: C(n + r – 1, r).
C(n + r – 1, r) = C(n + r –1, n – 1).