Dokumen ini membahas penggunaan pecahan parsial dalam menghitung invers dari pemetaan Laplace, menjelaskan langkah-langkah penyelesaian untuk beberapa contoh persamaan diferensial. Selain itu, dijelaskan aplikasi transform Laplace untuk menyelesaikan masalah nilai awal, termasuk metode mencari bentuk pecahan parsial dan melakukan transformasi invers. Terdapat latihan soal sebagai tambahan pemahaman tentang konsep yang telah dijelaskan.

1. 1
Pecahan Parsial
Pecahan parsial berguna dalam persamaan diferensial jika kita ingin menghitung balikan
(invers) dari pemetaan laplace.
Contoh 1 :
Tentukan ℶ−1 (퐹) dari 푓(푠) = 3푠 +7
!
푠2 −2푠 −3
Penyelesaian :
3푠+ 7
푠2 −2푠−3
=
3푠 +7
(푠+1)(푠−3)
= 퐴
푠+1
+ 퐵
푠−3
Selanjutnya mencari nilai A dan B
3푠 + 7= 퐴(푠 − 3) + 퐵(푠 + 1)
= 퐴푠 − 3퐴 + 퐵푠 + 퐵
= 푆(퐴 + 퐵) + (−3퐴 + 퐵)
퐴 + 퐵 = 3
−3퐴 + 퐵 = 7
−
4퐴 = −4
퐴 = −1
퐴 + 퐵 = 3
−1 + 퐵 = 3
퐵 = 3 + 1
퐵 = 4
Jadi bentuk pecahan parsial :
3푠 +7
(푠+1)(푠−3)
= −1
푠+1
+ 4
푠−3
Selanjutnya di-inverskan :
ℶ−1(퐹) = ℶ−1 ( 3푠+7
푠2−2푠−3
) = ℶ−1 ( −1
푠+1
+ 4
푠− 3
)
= ℶ−1 ( −1
푠+1
) + ℶ−1 ( 4
푠−3
)
= −ℶ−1 ( 1
푠+1
) + 4ℶ−1 ( 1
푠−3
)
= −푒−푡 + 4푒3푡

2. 2
Contoh 2 :
Tentukan ℶ−1 (퐹) dari 푓(푠) = 푠2 −푠+1
푠3 (푠+1)
!
Peny :
푠2−푠+ 1
푠3 (푠+ 1)
= 퐴푠2 +퐵푠+ 퐶
푠3 + 퐷
푠+1
Selanjutnya mencari nilai A dan B
푠2 − 푠 + 1= 퐴푠2 + 퐵푠 + 퐶(푠 + 1) + 퐷(푠3)
= 퐴푠3 + 퐴푠2 + 퐵푠2 + 퐵푠 + 퐶푠 + 퐶 + 퐷푠3
= (퐴 + 퐷)푠3 + (퐴 + 퐵)푠2 + (퐵 + 퐶 )푠 + 퐶
퐶 = 1
퐵 + 퐶 = −1 퐴 + 퐵 = 1 퐴 + 퐷 = 0
퐵 + 1 = −1 퐴 + (−2) = 1 퐷 = −퐴
퐵 = −1 − 1 퐴 = 1 + 2 퐷 = −3
퐵 = −2 퐴 = 3
Jadi bentuk pecahan parsial :
푠2−푠+ 1
푠3 (푠+ 1)
= 3푠2 −2푠 +1
푠3 + −3
푠+1
Selanjutnya di-inverskan :
ℶ−1(퐹) = ℶ−1 (푠2 −푠+1
푠3(푠+1)
) = ℶ−1 (3푠2 −2푠 +1
푠3 + − 3
푠+1
)
= ℶ−1 (3푠2 −2푠+1
푠3 ) + ℶ−1 ( −3
푠+1
)
= 3 − 2푡 − 1
2
푡2 − 3푒−푡

3. 3
Penerapan Transform Laplace Pada MNA
Pada penerapan transform Laplace ini kita menyelesaikan-nya dengan
menggunakan transform Laplace turunan fungsi, pecahan parsial, dan Laplace invers.
Yang perlu diingat !
ℶ(푓′ ) = 푆ℶ(푓) − 푓(0) ↔ ℶ(푦′ ) = 푆ℶ(푦) − 푦(0)
ℶ(푓") = 푆 2ℶ(푓) − 푆푓(0) − 푓′ (0) ↔ ℶ(푦") = 푆 2ℶ(푦) − 푆푦(0) − 푦′ (0)
ℶ(푦) = 푌
Contoh 1:
Pecahkan MNA : 푦" + 4푦′ + 3푦 = 0 dengan 푦(0) = 3 ; 푦′ (0) = 1 !
Peny :
푦" + 4푦′ + 3푦 = 0
푦" = −4푦′ − 3푦
푦(0) = 3
푦′ (0) = 1
(Langkah 1) Menentukan Persamaan Pembantu.
ℶ(푦") = 푆 2ℶ(푦) − 푆푦(0) − 푦′ (0)
ℶ(푦") = 푆 2푌 − 3푆 − 1
ℶ(−4푦′ − 3푦) = 푆 2푌 − 3푆 − 1
Untuk menemukan nilai 푦′ kita harus melakukan transform Laplace turunan fungsi
ℶ(푦′ ) = 푆ℶ(푦) − 푦(0)
ℶ(푦′ ) = 푆푌 − 3
Jadi,
−4ℶ(푦′ ) − 3ℶ(푦) = 푆 2푌 − 3푆 − 1
−4(푆푌 − 3) − 3푌 = 푆 2푌 − 3푆 − 1
−4푆푌 + 12 − 3푌 = 푆 2푌 − 3푆 − 1
푆 2푌 − 3푆 − 1 = −4푆푌 + 12 − 3푌

4. 4
푆 2푌 + 4푆푌 + 3푌 = 3푆 + 13
푌(푆 2 + 4푆 + 3) = 3푆 + 13
푌 = 3푆+13
푆2 +4푆+3
(Langkah 2) Mencari Pecahan Parsial.
3푆+ 13
푆2 +4푆+3
=
3푠 +13
(푠+3)(푠+1)
= 퐴
푠+3
+ 퐵
푠+1
Selanjutnya mencari nilai A dan B
3푠 + 13= 퐴(푠 + 1) + 퐵(푠 + 3)
= 퐴푠 + 퐴 + 퐵푠 + 3퐵
= 푆(퐴 + 퐵) + (퐴 + 3퐵)
퐴 + 퐵 = 3
퐴 + 3퐵 = 13
−
−2퐵 = −10
퐵 = −10
−2
퐵 = 5
퐴 + 퐵 = 3
퐴 + 5 = 3
퐴 = 3 − 5
퐴 = −2
Jadi bentuk pecahan parsial :
3푆+ 13
푆2 +4푆+3
= −2
푠+ 3
+ 5
푠+1
(Langkah 3) Laplace invers.
ℶ−1(퐹) = ℶ−1 ( 3푆+13
푆2+4푆 +3
) = ℶ−1 ( −2
푠+3
+ 5
푠+1
)
= ℶ−1 ( −2
푠+3
) + ℶ−1 ( 5
푠+1
)
= −2ℶ−1 ( 1
푠+3
) + 5ℶ−1 ( 1
푠+1
)
= −2푒−3푡 + 5푒−푡

5. 5
Contoh 2 :
Selesaikan MNA untuk Persamaan Diferensial orde 2 berikut ini :
푦" + 9푦 = 0 ; 푦(0) = 0 ; 푦′ (0) = 2
Peny :
푦" + 9푦 = 0
푦" = −9푦
푦(0) = 0
푦′ (0) = 2
(Langkah 1) Menentukan Persamaan Pembantu.
ℶ(푦") = 푆 2ℶ(푦) − 푆푦(0) − 푦′ (0)
ℶ(푦") = 푆 2푌 − 푆. 0 − 2
ℶ(푦") = 푆 2푌 − 2
ℶ(−9푦) = 푆 2푌 − 2
−9ℶ(푦) = 푆 2푌 − 2
−9푌 = 푆 2푌 − 2
푆 2푌 + 9푌 = 2
(Langkah 2) Solusi Persamaan Pembantu.
푌(푆 2 + 9) = 2
푌 = 2
푆2 +9
(Langkah 3) Laplace invers.
ℶ−1(퐹) = ℶ−1 ( 2
푆2+9
) = ℶ−1 ( 2
푆2 +32 )
= 2ℶ−1 ( 3
푆2 +32 × 1
3
)
= 2
3
ℶ−1 ( 3
푆2 +32 )
= 2
3
sin 3푡

6. 6
Latihan Soal
1. Tentukan Transform Laplace Invers dari
2
푠
+ 1
푠+2
!
2. Pecahkan Masalah Nilai Awal : 푦" − 4푦′ + 3푦 = 0 dengan 푦(0) = 3 dan 푦′ (0) =
7 !

7. 7
Kunci Jawaban
1. Penyelesaian :
ℶ−1(퐹) = ℶ−1 (2
푠
+ 1
푠+2
)
= ℶ−1 (2
푠
) + ℶ−1 ( 1
푠+2
)
= 2ℶ−1 (1
푠
) + ℶ−1 ( 1
푠+2
)
= 2.1 + 푒−2푡
= 2 + 푒−2푡
2. Penyelesaian :
푦" − 4푦′ + 3푦 = 0
푦" = 4푦′ − 3푦
푦(0) = 3
푦′ (0) = 7
(Langkah 1) Menentukan Persamaan Pembantu.
ℶ(푦") = 푆 2ℶ(푦) − 푆푦(0) − 푦′ (0)
ℶ(푦") = 푆 2푌 − 3푆 − 7
ℶ(4푦′ − 3푦) = 푆 2푌 − 3푆 − 1
Untuk menemukan nilai 푦′ kita harus melakukan transform Laplace turunan fungsi
ℶ(푦′ ) = 푆ℶ(푦) − 푦(0)
ℶ(푦′ ) = 푆푌 − 3
4ℶ(푦′ ) − 3ℶ(푦) = 푆 2푌 − 3푆 − 7
4(푆푌 − 3) − 3푌 = 푆 2푌 − 3푆 − 7
4푆푌 − 12 − 3푌 = 푆 2푌 − 3푆 − 7
푆 2푌 − 3푆 − 7 = 4푆푌 − 12 − 3푌

8. 8
푆 2푌 − 4푆푌 + 3푌 = 3푆 + 7 − 12
푌(푆 2 − 4푆 + 3) = 3푆 − 5
푌 = 3푆− 5
푆2 −4푆+3
(Langkah 2) Mencari Pecahan Parsial.
3푆 −5
푆2 −4푆+3
=
3푠 −5
(푠−1)(푠−3)
= 퐴
푠−1
+ 퐵
푠−3
Selanjutnya mencari nilai A dan B
3푠 − 5= 퐴(푠 − 3) + 퐵(푠 − 1)
= 퐴푠 − 3퐴 + 퐵푠 − 퐵
= 푆(퐴 + 퐵) + (−3퐴 − 퐵)
퐴 + 퐵 = 3
−3퐴 − 퐵 = −5
−
퐴 + 퐵 = 3
−2퐴 = −2 1 + 퐵 = 3
퐴 = −2
−2
퐵 = 3 − 1
퐴 = 1 퐵 = 2
Jadi bentuk pecahan parsial :
3푆 −5
푆2 −4푆+3
= 1
푠− 1
+ 2
푠−3
(Langkah 3) Laplace invers.
ℶ−1(퐹) = ℶ−1 ( 3푆−5
푆2−4푆 +3
) = ℶ−1 ( 1
푠−1
+ 2
푠−3
)
= ℶ−1 ( 1
푠−1
) + ℶ−1 ( 2
푠−3
)
= ℶ−1 ( 1
푠−1
) + 2ℶ−1 ( 1
푠−3
)
= 푒푡 + 2푒3푡

9. 9
Daftar Pustaka
Lestariningsih, Yunika, S.Si . 2013 . Bahan Ajar Masalah Nilai Awal Syarat Batas .
Palembang : Universitas PGRI Palembang .