Akar-akar Suku Banyak (Teorema Faktor Bagian 4), berisi materi cara mencari jumlah akar-akar dan jumlah perkalian akar-akar suku banyak

1. PPT Pembelajaran Jarak Jauh SMA Kemurnian II
(Senin, 13 April 2020)
Teorema Faktor Bagian 4:
4. Menentukan Akar-akar Suku Banyak
Matematika Peminatan
Kelas XI IPA
Oleh Djoko Soesilo

2. 4. Menentukan Akar-akar Suku Banyak
1. Suku banyak berserajad 2: 𝑎2 𝑥2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0
𝑎2 𝑥2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0 → (𝑥2 +
𝑎1
𝑎2
𝑥 +
𝑎0
𝑎2
) = 0
𝑥2 +
𝑎1
𝑎2
𝑥 +
𝑎0
𝑎2
= 0, Misalnya akar-akarnya adalah (x – p) dan (x – q), maka:
𝑥2 +
𝑎1
𝑎2
𝑥 +
𝑎0
𝑎2
= (𝑥 − 𝑝)(𝑥 − 𝑞)
𝑥2
+
𝑎1
𝑎2
𝑥 +
𝑎0
𝑎2
= 𝑥2
− 𝑝 + 𝑞 𝑥 + 𝑝𝑞 →
𝑎1
𝑎2
= − 𝑝 + 𝑞 atau 𝑝 + 𝑞 =
−𝑎1
𝑎2
𝑎0
𝑎2
= 𝑝𝑞 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝𝑞 =
𝑎0
𝑎2
2. Suku banyak berserajad 3: 𝑎3 𝑥3
+ 𝑎2 𝑥2
+ 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0
𝑎3 𝑥3
+ 𝑎2 𝑥2
+ 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0 → (𝑥3
+
𝑎2
𝑎3
𝑥2
+
𝑎1
𝑎3
𝑥 +
𝑎0
𝑎3
) = 0
𝑥3 +
𝑎2
𝑎3
𝑥2+
𝑎1
𝑎3
𝑥 +
𝑎0
𝑎3
= 0, akar-akarnya adalah (x – p), (x – q) dan (x – r), maka:
𝑥3
+
𝑎2
𝑎3
𝑥2
+
𝑎1
𝑎3
𝑥 +
𝑎0
𝑎3
= (𝑥 − 𝑝)(𝑥 − 𝑞)(𝑥 − 𝑟)
𝑥3 +
𝑎2
𝑎3
𝑥2 +
𝑎1
𝑎3
𝑥 +
𝑎0
𝑎3
= 𝑥3 − 𝑝 + 𝑞 + 𝑟 𝑥2 + (𝑝𝑞 + 𝑝𝑟 + 𝑞𝑟)𝑥 + 𝑝𝑞𝑟
𝑎2
𝑎3
= − 𝑝 + 𝑞 + 𝑟 atau 𝑝 + 𝑞 + 𝑟 =
−𝑎2
𝑎3
𝑎1
𝑎3
= 𝑝𝑞 + 𝑝𝑟 + 𝑞𝑟 atau 𝑝𝑞 + 𝑝𝑟 + 𝑞𝑟 =
𝑎1
𝑎3
𝑎0
𝑎3
= 𝑝𝑞𝑟 atau 𝑝𝑞𝑟 =
𝑎0
𝑎3

3. 3. Suku banyak berserajad 4: 𝑎4 𝑥4 + 𝑎3 𝑥3 + 𝑎2 𝑥2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0
𝑎4 𝑥4
+ 𝑎3 𝑥3
+ 𝑎2 𝑥2
+ 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0 → (𝑥4
+
𝑎3
𝑎4
+
𝑎2
𝑎4
𝑥2
+
𝑎1
𝑎4
𝑥 +
𝑎0
𝑎4
) = 0
𝑥4 +
𝑎3
𝑎4
𝑥3 +
𝑎2
𝑎4
𝑥2+
𝑎1
𝑎4
𝑥 +
𝑎0
𝑎4
= 0, akar-akarnya (x – p), (x – q), (x – r) dan (x – s),
maka:
𝑥4
+
𝑎3
𝑎4
𝑥3
+
𝑎2
𝑎4
𝑥2
+
𝑎1
𝑎4
𝑥 +
𝑎0
𝑎4
= (𝑥 − 𝑝)(𝑥 − 𝑞)(𝑥 − 𝑟)(x – s)
𝑥4 +
𝑎3
𝑎4
𝑥3 +
𝑎2
𝑎4
𝑥2+
𝑎1
𝑎4
𝑥 +
𝑎0
𝑎4
= 𝑥4 − 𝑝 + 𝑞 + 𝑟 + 𝑠 𝑥3 + ( 𝑝𝑞 + 𝑝𝑟 + 𝑝𝑠 + 𝑞𝑟 + 𝑞𝑠 +

4. KESIMPULAN
Diketahui suku banyak berserajad n:
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−2 𝑥 𝑛−2+ . . . +𝑎2 𝑥2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0 akar-akarnya
(x – p)(x – q)(x – r) . . . (x – z)
maka:
1. Jumlah akar-akarnya:
𝒑 + 𝒒 + 𝒓+ . . . = −
𝒂 𝒏−𝟏
𝒂 𝒏
2. Jumlah hasil kali setiap dua akar:
𝒑𝒒 + 𝒒𝒓 + 𝒓𝒔+ . . . =
𝒂 𝒏−𝟐
𝒂 𝒏
3. Jumlah hasil kali setip tiga akar:
𝒑𝒒𝒓 + 𝒒𝒓𝒔 + 𝒓𝒔𝒕+ . . . = −
𝒂 𝒏−𝟑
𝒂 𝒏
4. Jumlah hasil kali setiap empat akar:
𝒑𝒒𝒓𝒔 + 𝒒𝒓𝒔𝒕 + 𝒓𝒔𝒕𝒖+ . . . =
𝒂 𝒏−𝟒
𝒂 𝒏
.
.
.
n. Jumlah hasil kali semua akar (n akar):
𝒑𝒒𝒓𝒔 … = −𝟏 𝒏
(
𝒂 𝟎
𝒂 𝟒
)

5. Contoh 1:
Misalkan akar-akar persamaan 2𝑥4 − 3𝑥3 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 akar-akanya:
𝑝, 𝑞, 𝑟 𝑑𝑎𝑛 𝑠. Tentukan:
1. Jumlah akar-akarnya: p + q + r + s =?
2. Jumlah hasil kali setiap dua akar: pq + pr + ps + qr + qs + rs =? .
3. Jumlah hasil kali setip tiga akar: pqr + pqs + prs + qrs =?.
4. Hasil kali keempat akar-akarnya: pqrs =?.
Jawab:
2𝑥4 − 3𝑥3 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 → 𝑥0 = 6, 𝑥1 = −5, 𝑥2 = 4, 𝑥3 = −3 𝑑𝑎𝑛 𝑥4 = 2.
1.p + q + r + s = −
𝑥3
𝑥4
=
−3
2
= −1
1
2
2.pq + pr + ps + qr + qs + rs =
𝑥2
𝑥4
=
4
2
= 2.
3.pqr + pqs + prs + qrs = −
𝑥1
𝑥4
= −
−5
2
= 2
1
2
.
4. pqrs = (−1)4 𝑥0
𝑥4
=
6
2
= 3.

6. Contoh 2:
Misalkan akar-akar persamaan 3𝑥3 − 5𝑥2 + 7𝑥 − 9 = 0 akar-akanya: 𝑝, 𝑞 𝑑𝑎𝑛 𝑟.
Tentukan:
1. Jumlah akar-akarnya: p + q + r =?
2. Jumlah hasil kali setiap dua akar: pq + pr + qr =? .
3. Hasil kali ketiga akar-akarnya: pqr =?.
Jawab:
3𝑥3 − 5𝑥2 + 7𝑥 − 9 = 0 → 𝑥0 = −9, 𝑥1 = 7, 𝑥2 = −5, 𝑑𝑎𝑛 𝑥3 = 3.
1.p + q + r = −
𝑥2
𝑥3
= −
−5
3
= 1
2
3
2.pq + pr + qr =
𝑥1
𝑥3
=
7
3
= 2
1
3
.
3.pqr = (−1)3 𝑥0
𝑥3
= (−1)
−9
3
= 3.

7. Contoh 3:
Misalkan akar-akar persamaan 2𝑥3
− 4𝑥2
− 6𝑥 + 9 = 0 akar-akanya: 𝑝, 𝑞 𝑑𝑎𝑛 𝑟.
Tentukan:
1. Jumlah akar-akarnya: p + q + r =?
2. Jumlah hasil kali setiap dua akar: pq + pr + qr =? .
3. Hasil kali ketiga akar-akarnya: pqr =?
4. Jumlah kuadrat akar-akarnya: 𝑝2
+ 𝑞2
+ 𝑟2
=?
5. Jumlah kebalikan akar-akarnya:
1
𝑝
+
1
𝑞
+
1
𝑟
=?
Jawab:
2𝑥3 − 4𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 0 → 𝑥0 = 9, 𝑥1 = −6, 𝑥2 = −4, 𝑑𝑎𝑛 𝑥3 = 2.
1. p + q + r = −
𝑥2
𝑥3
= −
(−4)
2
= 2
2. pq + pr + qr =
𝑥1
𝑥3
=
(−6)
2
= −3.
3. pqr = (−1)3 𝑥0
𝑥3
= −1
9
2
= −4
1
2
.
4. (𝑝 + 𝑞 + 𝑟)2= 𝑝2 + 𝑞2 + 𝑟2) − 2(𝑝𝑞 + 𝑝𝑟 + 𝑞𝑟 jadi
𝑝2
+ 𝑞2
+ 𝑟2
) = (𝑝 + 𝑞 + 𝑟)2
+2(𝑝𝑞 + 𝑝𝑟 + 𝑞𝑟 = (2)2
+2 −3 = −2
5.
1
𝑝
+
1
𝑞
+
1
𝑟
=
𝑞𝑟
𝑝𝑞𝑟
+
𝑝𝑟
𝑝𝑞𝑟
+
𝑝𝑞
𝑝𝑞𝑟
=
𝑝𝑞+𝑝𝑟+𝑞𝑟
𝑝𝑞𝑟
=
(−3)
(−4
1
2
)
=
6
9
=
2
3

8. Contoh 4:
Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan
4 3x3+4x2−5x−6
= 8 2x3+3x2−4x−5
6𝑥3 + 11𝑥2 − 16𝑥 − 21 = 0 → 𝑥0 = −21, 𝑥1 = −16, 𝑥2 = 11, 𝑑𝑎𝑛 𝑥3 = 6.
1. p + q + r = −
𝑥2
𝑥3
= −
11
6
= −1
5
6
2. pqr = (−1)3 𝑥0
𝑥3
= (−1)
−21
6
= 3
1
2
.
Jawab:
4 3x3+4x2−5x−6 = 8 2x3+3x2−4x−5
(22) 3x3+4x2−5x−6= (23) 2x3+3x2−4x−5
2 12𝑥3+16𝑥2−20𝑥−24
= 2 18𝑥3+27𝑥2−36𝑥−45
12𝑥3 + 16𝑥2 − 20𝑥 − 24 = 18𝑥3 + 27𝑥2 − 36𝑥 − 45
12𝑥3 + 16𝑥2 − 20𝑥 − 24 = 18𝑥3 + 27𝑥2 − 36𝑥 − 45
6𝑥3
+ 11𝑥2
− 16𝑥 − 21 = 0
Misalkan akar-akanya: 𝑝, 𝑞 𝑑𝑎𝑛 𝑟.

9. Contoh 5:
Misalkan akar-akar persamaan 3(3𝑥3−5𝑥2+7𝑥−9)
=
1
9(−2𝑥3+3𝑥2−4𝑥+5)
adalah p, q dan r,
tentukan: 1. 𝑝2
+ 𝑞2
+ 𝑟2
=?
2. 𝑝2
𝑞2
𝑟2
=?
𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 → 𝑥0 = −1, 𝑥1 = 1, 𝑥2 = −1, 𝑑𝑎𝑛 𝑥3 = 1.
1. 𝑝2
+ 𝑞2
+ 𝑟2
) = (𝑝 + 𝑞 + 𝑟)2
+2(𝑝𝑞 + 𝑝𝑟 + 𝑞𝑟
𝑝2
+ 𝑞2
+ 𝑟2
= (−
𝑥2
𝑥3
)2
+2
𝑥1
𝑥3
= (−
(−1)
1
)2
+2
1
1
= 1 + 2 = 3
2. 𝑝2
𝑞2
𝑟2
= (𝑝𝑞𝑟)2
= −1 3 𝑥0
𝑥3
2
= (−1)(
−1
1
2
= 1.
Jawab:
3(3𝑥3−5𝑥2+7𝑥−9)
=
1
9(−2𝑥3+3𝑥2−4𝑥+5)
3(3𝑥3−5𝑥2+7𝑥−9)
=
1
(32)(−2𝑥3+3𝑥2−4𝑥+5)
3(3𝑥3−5𝑥2+7𝑥−9)
=
1
3(−4𝑥3+6𝑥2−8𝑥+10)
3(3𝑥3−5𝑥2+7𝑥−9) = 3(4𝑥3−6𝑥2+8𝑥−10)
3𝑥3 − 5𝑥2 + 7𝑥 − 9 = 4𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 − 10
𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0
Misalkan akar-akanya: 𝑝, 𝑞 𝑑𝑎𝑛 𝑟.

10. Latihan Uji Kompetensi
Kerjakan secara uraian:
1. Latihan Uji Kompetensi 6.4.3 halaman 145 - 146 no. 1 - 8
Kirimkan hasil pekerjaan Anda melalui Google Classroom paling lambat hari Jumat,
17 April 2020