Dokumen ini membahas tentang deret Taylor dan Maclaurin, termasuk definisi, bukti, serta bentuk Lagrange dan Cauchy untuk sisa deret. Ditekankan bahwa meskipun deret ini dapat dibentuk secara formal, tidak selalu konvergen ke fungsi yang bersesuaian. Contoh yang diberikan menunjukkan pentingnya keberadaan konvergensi dalam framework deret ini.

1. Deret Taylor &
Maclaurin

2. Deret Taylor &
Maclaurin


f x
Misalkan f(x) dan turunan-turunannya f’(x),
f’’(x), ..., f(n)(x) ada dan kontinu di dalam
interval tutup a ≤ x ≤ b, dan f(n+1)(x) juga
kontinu di a ≤ x ≤ b.
Maka berlaku:
f a
f ' a
x
a
f " a
2!
x
a
2
...
f
(n)
a
x
a
n
n!
dimana Rn adalah sisanya yang berbentuk:
Rn

3. Deret Taylor &
Maclaurin
f
Rn
Rn
( n 1)
x
n
f
a
n 1
(Bentuk Lagrange)
1 !
( n 1)
dimana
x
n!
(a, x)
n
x
a
(B entuk C auchy)

5. Deret Taylor &
Maclaurin

Bukti:
Pertama-tama akan dibuktikan dahulu
bahwa :
f x
f a
f ' a
x
f " a
a
x
a
f
( n 1)
2
...
2!
f
(n)
n!
a
x
a
n
1
x
x
t
n
t dt
n! a
........... 1)

6. Deret Taylor &
Maclaurin

Kemudian akan ditunjukkan bahwa
1
x
x
t
n
f
( n 1)
t dt
n! a
mempunyai dua bentuk, yaitu bentuk
Lagrange dan bentuk Cauchy

7. Deret Taylor &
Maclaurin
Untuk membuktikan persamaan 1)
digunakan induksi matematika.
 Untuk n = 0
x
1
0
0 1
f x
f a
x t f
t dt
0! a

x
x
f a
f ' t dt
f a
a
f a
f x
f a
f x
f t
a

8. Deret Taylor &
Maclaurin

Misalkan berlaku untuk n = k
f x
f a
f ' a
x
f " a
a
x
a
2
...
2!
f
(k )
k!
a
x
a
k
1
x
k!a
x
t
k
f
( k 1)
t dt

9. Deret Taylor &
Maclaurin
Untuk n = k + 1
1
Perhatikan bentuk

x
x
t
k
f
( k 1)
t dt
k!a
misal: d v
x
t
k
dt
u
f
( k 1)
t
k!
v
x
k
t
k 1
du
1 !
f
(k
2)
t dt

10. Deret Taylor &
Maclaurin
1
x
x
t
k
f
( k 1)
f
t dt
k!a
k
x
t
k 1
1 !
a
k
f
t
k
x
1
k 1
x
k 1
a
1 !
x
a
x
t
k 1
f
(k 2)
t dt
1 !a
1
k 1
k
x
x
1 !a
t
k 1
f
(k 2)
t dt

11. Deret Taylor &
Maclaurin

f
dari n = k, diperoleh
x
f a
f ' a
x
f " a
a
x
a
2
2!
f
(k )
a
x
a
f
k
k!
1
k
k 1
k
a
1 !
x
x
1 !a
t
k 1
f
(k 2)
t dt
x
a
k 1
...

12. Deret Taylor &
Maclaurin

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa
1
x
x
t
n
f
( n 1)
n! a
mempunyai 2 bentuk
t dt

13. Deret Taylor &
Maclaurin

Menurut teorema nilai rata-rata untuk
integral
x
x
F t G t dt
F
G t dt ,
a

Misalkan F t
maka
x
1
n
n
x t f
n! a
(a , x )
a
f
n 1
t ,
x
G t
t
n
n!
x
1
t dt
f
a
n 1
t
x
t
n!
n
dt

14. Deret Taylor &
Maclaurin
x
f
x
n 1
f

f
n 1
x
t
n
n 1
x
1 !
a
x
n
dt
n!
a
n 1
t
n
a
n 1
1 !
Berarti diperoleh bentuk Lagrange untuk
sisa, yaitu
n 1
n 1
f
x a
Rn
,
a, x
n 1 !

15. Deret Taylor &
Maclaurin
1
f
Misalkan F t
maka

n 1
x
x
t
n
f
n 1
t dt
n! a
f
n 1
n 1
x
n 1
n x
n!
f
dt
,
t
n 1
n
x
a
x
x
n!
a
x
t
G t
1
t
n
.1 dt
n!
a
n!
f
x
n!
x
f
t
n
n
t
x
a

16. Deret Taylor &
Maclaurin

Berarti diperoleh bentuk Cauchy untuk
sisa, yaitu
Rn
f
n 1
x
n!
n
x
a ,
a, x

17. Deret Taylor &
Maclaurin

f x
Sewaktu n berubah, maka umumnya juga
berubah. Jika untuk semua x dan di dalam
[a, b] kita mempunyai lim R n 0 , maka
n
persamaan di awal dapat ditulis:
f a
f ' a
x
a
f " a
2!

x
a
2
f "' a
x
a
3!
Deret ini dinamakan deret Taylor atau
ekspansi Taylor dari f(x) di sekitar x = a.
Dalam kasus a = 0, deret tersebut
dinamakan deret Maclaurin
n
...

18. Deret Taylor &
Maclaurin

Walaupun semua turunan f(x) ada di x
= a, dan secara formal kita dapat
memperoleh deret di ruas kanan,
tetapi bisa saja terjadi deret tersebut
tidak konvergen ke f(x).

19. Deret Taylor &
Maclaurin

Contoh:
f x
e
1/ x
0,
2
,
x
x
0
0
Buktikan bahwa deret Taylor di sekitar
x = 0 yang bersesuaian dengan f(x)
ada. Kemudian tunjukkan deret
tersebut tidak konvergen ke fungsi
yang diberikan untuk sebarang x 0

20. Deret-Deret Penting
Deret-deret berikut, konvergen ke fungsi
yanng diberikan di dalam interval yang
ditunjukkan

1. sin x
x
x
3
x
5
x
7
...
3!
2. cos x
1
5!
7!
2
4
6
x
x
2!
3. e
x
1
x
x
x
4!
2
2!
dll
1
x
3!
...
x
2n
1
...
6!
3
n 1
n 1
n
...,
x
...,
x
1 !
x
2n
x
2n 1
2n 2
2 !
n 1
...,
1 !
x

21. Deret Binomial

1
Bentuknya adalah
x
p
1
px
p p
2!
a)
b)
1
x
2
...
p p
1 ... p
n
1
x
n!
Jika p adalah sebuah bilangan bulat
positif atau nol, maka deret tersebut
akan berakhir
Jika p > 0 tetapi bukan bilangan bulat,
maka deret tersebut konvergen
mutlak untuk –1 ≤ x ≤ 1
n
...

22. Deret Binomial
c) Jika –1 < p < 0, maka deret tersebut
konvergen untuk –1 < x ≤ 1
d) Jika p ≤ –1 maka deret tersebut
konvergen untuk –1 < x < 1
Tugas: Tunjukkan sifat (a) , (b), (c), dan
(d)