1. Deret Taylor &
Maclaurin

2. Deret Taylor &
Maclaurin


f x
Misalkan f(x) dan turunan-turunannya f’(x),
f’’(x), ..., f(n)(x) ada dan kontinu di dalam
interval tutup a ≤ x ≤ b, dan f(n+1)(x) juga
kontinu di a ≤ x ≤ b.
Maka berlaku:
f a
f ' a
x
a
f " a
2!
x
a
2
...
f
(n)
a
x
a
n
n!
dimana Rn adalah sisanya yang berbentuk:
Rn

3. Deret Taylor &
Maclaurin
f
Rn
Rn
( n 1)
x
n
f
a
n 1
(Bentuk Lagrange)
1 !
( n 1)
dimana
x
n!
(a, x)
n
x
a
(B entuk C auchy)

5. Deret Taylor &
Maclaurin

Bukti:
Pertama-tama akan dibuktikan dahulu
bahwa :
f x
f a
f ' a
x
f " a
a
x
a
f
( n 1)
2
...
2!
f
(n)
n!
a
x
a
n
1
x
x
t
n
t dt
n! a
........... 1)

6. Deret Taylor &
Maclaurin

Kemudian akan ditunjukkan bahwa
1
x
x
t
n
f
( n 1)
t dt
n! a
mempunyai dua bentuk, yaitu bentuk
Lagrange dan bentuk Cauchy

7. Deret Taylor &
Maclaurin
Untuk membuktikan persamaan 1)
digunakan induksi matematika.
 Untuk n = 0
x
1
0
0 1
f x
f a
x t f
t dt
0! a

x
x
f a
f ' t dt
f a
a
f a
f x
f a
f x
f t
a

8. Deret Taylor &
Maclaurin

Misalkan berlaku untuk n = k
f x
f a
f ' a
x
f " a
a
x
a
2
...
2!
f
(k )
k!
a
x
a
k
1
x
k!a
x
t
k
f
( k 1)
t dt

9. Deret Taylor &
Maclaurin
Untuk n = k + 1
1
Perhatikan bentuk

x
x
t
k
f
( k 1)
t dt
k!a
misal: d v
x
t
k
dt
u
f
( k 1)
t
k!
v
x
k
t
k 1
du
1 !
f
(k
2)
t dt

10. Deret Taylor &
Maclaurin
1
x
x
t
k
f
( k 1)
f
t dt
k!a
k
x
t
k 1
1 !
a
k
f
t
k
x
1
k 1
x
k 1
a
1 !
x
a
x
t
k 1
f
(k 2)
t dt
1 !a
1
k 1
k
x
x
1 !a
t
k 1
f
(k 2)
t dt

11. Deret Taylor &
Maclaurin

f
dari n = k, diperoleh
x
f a
f ' a
x
f " a
a
x
a
2
2!
f
(k )
a
x
a
f
k
k!
1
k
k 1
k
a
1 !
x
x
1 !a
t
k 1
f
(k 2)
t dt
x
a
k 1
...

12. Deret Taylor &
Maclaurin

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa
1
x
x
t
n
f
( n 1)
n! a
mempunyai 2 bentuk
t dt

13. Deret Taylor &
Maclaurin

Menurut teorema nilai rata-rata untuk
integral
x
x
F t G t dt
F
G t dt ,
a

Misalkan F t
maka
x
1
n
n
x t f
n! a
(a , x )
a
f
n 1
t ,
x
G t
t
n
n!
x
1
t dt
f
a
n 1
t
x
t
n!
n
dt

14. Deret Taylor &
Maclaurin
x
f
x
n 1
f

f
n 1
x
t
n
n 1
x
1 !
a
x
n
dt
n!
a
n 1
t
n
a
n 1
1 !
Berarti diperoleh bentuk Lagrange untuk
sisa, yaitu
n 1
n 1
f
x a
Rn
,
a, x
n 1 !

15. Deret Taylor &
Maclaurin
1
f
Misalkan F t
maka

n 1
x
x
t
n
f
n 1
t dt
n! a
f
n 1
n 1
x
n 1
n x
n!
f
dt
,
t
n 1
n
x
a
x
x
n!
a
x
t
G t
1
t
n
.1 dt
n!
a
n!
f
x
n!
x
f
t
n
n
t
x
a

16. Deret Taylor &
Maclaurin

Berarti diperoleh bentuk Cauchy untuk
sisa, yaitu
Rn
f
n 1
x
n!
n
x
a ,
a, x

17. Deret Taylor &
Maclaurin

f x
Sewaktu n berubah, maka umumnya juga
berubah. Jika untuk semua x dan di dalam
[a, b] kita mempunyai lim R n 0 , maka
n
persamaan di awal dapat ditulis:
f a
f ' a
x
a
f " a
2!

x
a
2
f "' a
x
a
3!
Deret ini dinamakan deret Taylor atau
ekspansi Taylor dari f(x) di sekitar x = a.
Dalam kasus a = 0, deret tersebut
dinamakan deret Maclaurin
n
...

18. Deret Taylor &
Maclaurin

Walaupun semua turunan f(x) ada di x
= a, dan secara formal kita dapat
memperoleh deret di ruas kanan,
tetapi bisa saja terjadi deret tersebut
tidak konvergen ke f(x).

19. Deret Taylor &
Maclaurin

Contoh:
f x
e
1/ x
0,
2
,
x
x
0
0
Buktikan bahwa deret Taylor di sekitar
x = 0 yang bersesuaian dengan f(x)
ada. Kemudian tunjukkan deret
tersebut tidak konvergen ke fungsi
yang diberikan untuk sebarang x 0

20. Deret-Deret Penting
Deret-deret berikut, konvergen ke fungsi
yanng diberikan di dalam interval yang
ditunjukkan

1. sin x
x
x
3
x
5
x
7
...
3!
2. cos x
1
5!
7!
2
4
6
x
x
2!
3. e
x
1
x
x
x
4!
2
2!
dll
1
x
3!
...
x
2n
1
...
6!
3
n 1
n 1
n
...,
x
...,
x
1 !
x
2n
x
2n 1
2n 2
2 !
n 1
...,
1 !
x

21. Deret Binomial

1
Bentuknya adalah
x
p
1
px
p p
2!
a)
b)
1
x
2
...
p p
1 ... p
n
1
x
n!
Jika p adalah sebuah bilangan bulat
positif atau nol, maka deret tersebut
akan berakhir
Jika p > 0 tetapi bukan bilangan bulat,
maka deret tersebut konvergen
mutlak untuk –1 ≤ x ≤ 1
n
...

22. Deret Binomial
c) Jika –1 < p < 0, maka deret tersebut
konvergen untuk –1 < x ≤ 1
d) Jika p ≤ –1 maka deret tersebut
konvergen untuk –1 < x < 1
Tugas: Tunjukkan sifat (a) , (b), (c), dan
(d)