Μαθηματικά επαναληπτικό διαγώνισμα θεωριας μέχρι και εξίσωση εφαπτομένηςBillonious
Ένα μικρό διαγώνισμα με έξι θέματα θεωρίας, μέχρι και το κεφάλαιο της εξίσωσης εφαπτομένης παραγωγίσιμης συνάρτησης. Για λόγους επανάληψης έχει ζητηθεί να αιτιολογηθούν όλες οι απαντήσεις (και τα Σ-Λ).
Καλή επιτυχία! :)
Μαθηματικά επαναληπτικό διαγώνισμα θεωριας μέχρι και εξίσωση εφαπτομένηςBillonious
Ένα μικρό διαγώνισμα με έξι θέματα θεωρίας, μέχρι και το κεφάλαιο της εξίσωσης εφαπτομένης παραγωγίσιμης συνάρτησης. Για λόγους επανάληψης έχει ζητηθεί να αιτιολογηθούν όλες οι απαντήσεις (και τα Σ-Λ).
Καλή επιτυχία! :)
The document summarizes T. Nagell's 1960 proof of the theorem: When x is a positive integer, the number x^2 + 7 is a power of 2 only in the following five cases: x = 1, 3, 5, 11, 181. Nagell considers it necessary to publish the proof in English due to a related paper that was published. The proof proceeds by considering the Diophantine equation x^2 + 7 = 2^y in the quadratic field K(√-7) and obtaining congruences for y that lead to the five solutions for x.
Man Ray was inspired by mathematical models he saw at the Institut Henri Poincaré in Paris in the 1930s. He photographed around 30 of the models and later used them as the basis for a series of 23 oil paintings called the "Human Equations," which he later renamed the "Shakespearean Equations." The article discusses several of Man Ray's paintings and the mathematical concepts they were based on, such as surfaces like the Meissner tetrahedron and the Kummer surface. It also discusses the history and purpose of mathematical models and how Man Ray found artistic inspiration in their complex forms.
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive functioning. Exercise causes chemical changes in the brain that may help boost feelings of calmness, happiness and focus.
1. Επαναληπτικό διαγώνισµα Άλγεβρα Β Λυκείου (∆ιάρκεια 1,5 ώρα)
Θέµα Α
Α1. Τι ονοµάζουµε εκθετική συνάρτηση µε βάση α;
Α2. Αν 0α > και 1α ≠ , τότε για οποιοδήποτε 0θ > και κ∈ ℝ να αποδείξετε ότι: log logκ
α αθ = κ ⋅ θ .
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Αληθείς ή Ψευδείς.
1.H εξίσωση 2016 x 2017ηµ = είναι αδύνατη στο ℝ .
2. Το πολυώνυµο P(x) 2017= είναι µηδενικού βαθµού.
3.Η συνάρτηση
x
2
f (x)
e
=
είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισµού της.
4.Για κάθε , 0α β ≥ ισχύει ln( ) ln lnα ⋅β = α + β .
5.Για κάθε 0α > , 1α ≠ ισχύει log 1α α = . (ΜΟΝΑ∆ΕΣ: 5+10+10=25 )
Θέµα Β
∆ίνεται η παράσταση
2
x
A
1 x
ηµ
=
− συν
, x 2≠ κπ , κ∈ ℤ
B1.Να δείξετε ότι A 1 x= + συν
Β2.Να λύσετε την εξίσωση
2
x
log 10
1 x
ηµ
=
− συν
στο ( )0,2π (ΜΟΝΑ∆ΕΣ:5+15=20)
Θέµα Γ
∆ίνεται το πολυώνυµο 4 3 2
P(x) ( )x x 2x ( 1)x 6= α − β + + − α + − , ,α β∈ ℝ
Γ1. Αν το P(x) έχει ρίζα το 2 και είναι 3ου
βαθµού, να βρείτε τις τιµές των ,α β .
Γ2. Για 4α = β = :
i) Να κάνετε την διαίρεση 2
P(x) : (x 4x 3)+ + και να γράψετε την ταυτότητα της .
ii) Να λύσετε την εξίσωση P(x) 0= .
iii) Να βρείτε το πρόσηµο του P(x) .
Γ3. Να βρείτε το πρόσηµο της παράστασης
A P( x) P( 2017) P(2017)= συν ⋅ − ⋅
(ΜΟΝΑ∆ΕΣ:5+5+5+5+5=25)
2. Θέµα ∆
∆ίνεται η συνάρτηση:
x
f (x) log(9 3) x log3 log 4= + − −
∆1. Να βρείτε το πεδίο ορισµού Α της συνάρτησης f.
∆2. Να δείξετε ότι
x
x
9 3
f (x) log
4 3
+
=
⋅
.
∆3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
∆4. Να λύσετε την εξίσωση
1
f ( ) log( x)
2
= ηµ στο διάστηµα( )0,π .
∆5. Να βρείτε τα διαστήµατα του ℝ στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα x’x
(ΜΟΝΑ∆ΕΣ:5+5+5+8+7=30)