/

1. Α΄Α΄115
υκλείδης
Γυμνάσιο
Μαθηματικό περιοδικό για το
ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ - ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ - ΜΑΡΤΙΟΣ 2020 ευρώ 3,00E
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία
ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ
ΤΕΛΟΣ
ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ
ΤΕΛΟΣ
Ταχ.Γραφείο
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
Ταχ.Γραφείο
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
ΑριθμόςΆδειας
4156
ΑριθμόςΆδειας
4156
ΕΛΤΑHellenicPostHellenicPost
Ο Θαλής και η Πυραμίδα του ΧέοπαΟ Θαλής και η Πυραμίδα του Χέοπα
ΕΚΔΟΤΩΝ
ΕΝΤΥΠΟΚΛΕΙΣΤΟΑΡ.ΑΔΕΙΑΣ1099/96ΚΕΜΠ.ΑΘ.ΕΝΤΥΠΟΚΛΕΙΣΤΟΑΡ.ΑΔΕΙΑΣ1099/96ΚΕΜΠ.ΑΘ.
5
5
5
00
5
5
5
00
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ
για το γυμνασιο
Ευκλείδης α΄
ΠΕΡΕΧΟΜΕΝΑΠΕΡΕΧΟΜΕΝΑ
Τεύχος 151
Τιμή Τεύχους Εύρω3,00
e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr
Ιανουάριος - Φεβρουάριος - Μάρτιος 2020
Μαθηματικά στον Κόσμο
Ιστορία των Μαθηματικών
Τα Μαθηματικά στο Σχολείο
Τα Μαθηματικά στο Σχολείο
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί
Διάφορα ΟΧΙ Αδιάφορα
Άστραψε και βρόντηξε υπερβολικά
5Παναγιώτης Χριστόπουλος ............................................
Ο Θαλής και η Πυραμίδα του Χέοπα
1Στάμη Τσικοπούλου ......................................................
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί,
................................... 26Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών
Ανίχνευση και Εκπαίδευση Χαρισματικών Μαθητών
35
Η ικανότητα επαγωγικού συλλογισμού
Μετρήσεις στο 3ο Γυμνάσιο Καστοριάς 44
Διασκεδαστικά Μαθηματικά,
49
Γιάννης Νικολόπουλος
Δημήτρης Παπαιωάννου Σπύρος Φερεντίνος
Παναγιώτης Χριστόπουλος
.................................................
....................
................
.............................................
- 38
=
=
Α΄ Τάξη
Β΄ Τάξη
Πρόσθεση, Αφαίρεση ρητών
Ένα Πρόβλημα, πολλές προσεγγίσεις λύσης του
13
Μήκος Κύκλου και Εμβαδόν Κυκλικού Δίσκου
16
Προχωρημένα θέματα για όλους. Τάξη Β΄
19
Καλλιόπη Αρδαβάνη – Χρήστος Μάλλιαρης
Ανδρέας Τριανταφύλλου
Στυλιανός Μαραγκάκης - Ανδρέας Τριανταφύλλου
Επιμέλεια: Στέφανος Κεΐσογλου
.....................
................................................
.............
.....................................
9
= Γ΄ Τάξη
Συστήματα 1ου Βαθμού
0
Προχωρημένα θέματα για όλους. Τάξη Γ΄
4
Γιώργος Λαγός Νίκος Τζίφας
Επιμέλεια: Στέφανος Κεΐσογλου
- ....................................... 2
2......................................
Πανεπιστημίου 34
Τηλ 210.: 210 3617784 - 3616532
Fax: 210 3641025
Παναγιώτης Δρούτσας
Ανάργυρος Φελλούρης
Εκδότης
Διευθυντής
Συντονιστές:
Συντακτική Επιτροπή:
Αποκεντρωμένοι συνεργάτες
Κεΐσογλου Στέφανος
Τριανταφύλλου Ανδρέας
Φερεντίνος Σπυρίδων
Αρδαβάνη Πόπη
Διαμαντίδης Δημήτριος
Δοργιάκη Ιωάννα
Κυριακοπούλου Αθανασία
Λαγός Γεώργιος
Λυμπερόπουλος Γεώργιος
Μάλλιαρης Χρήστος
Νικολόπουλος Ιωάννης
Παλαιογιαννίδης Δημήτριος
Παπαδάκη Άννα
Παπαϊωάννου Δημήτριος
Σίσκου Μαρία
Τζίφας Νικόλαος
Τσικοπούλου Στάμη
Χριστόπουλος Παναγιώτης
Γεωργιάδου-Καμπουρίδη Βαρβάρα
Ζιώγας Χρήστος
Κωστοπούλου Καλλιόπη
Παπαδάκη Μαλβίνα
Ρίζος Ιωάννης
Ρουσούλη Μαρία
Επιμέλεια Έκδοσης:
Κεΐσογλου Στέφανος
Κυριακοπούλου Αθανασία
Παλαιογιαννίδης Δημήτριος
Τριανταφύλλου Ανδρέα
ΙΔΙΟΚΤΗΣΙΑ της
ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ
Εκτύπωση:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
Στοιχειοθεσία – Σελιδοποίηση:
ROTOPRINT ( ).
: 210 6623778 - 358ΤΗΛ
A. Προύσαλη & ΣΙΑ ΕΕ
Δ. Παπαδόπουλος
Υπεύθυνος Τυπογραφείου:
l Τα διαφημιζόμενα βιβλία δε σημαίνει ότι προτείνονται σπό την Ε.Μ.Ε.
Οι συνεργασίες, τα άρθρα, οι προτεινόμενες ασκήσεις, οι λύσεις ασκήσεων κτλ. πρέπει να
στέλνονται έγκαιρα, στα γραφεία της Ε.Μ.Ε. με την ενδειξη «Για τον Ευκλείδη Α΄. Τα χειρόγραφα
δεν επιστρέφονται. Όλα τα άθρα υπόκειται σε κρίση
(10,00+2,00 Ταχυδρομικά=12,00 ευρώ)
10,00 ευρώ
Το αντίτιμο για τα τεύχη που παραγγέλνονται στέλνεται:
Ετήσια συνδρομή
Ετήσια συνδρομή για Σχολεία
l
Τιμή τεύχους: ευρώ 3,00
1. ΕΘΝΙΚΗ Τράπεζα
ALPHA
EUROBANK
απλήταχυδρομικήεπιταγή
γραφεία
λογαριασμός όψεως 080/48002300 ΙΒΑΝ GR 87 0110 0800 0000 0804 8002 300
2. ,10100200201998ΙΒΑΝGR8601401010101002002019988
3. ,0026.0201.94.0201575138ΙΒΑΝGR9002602010000940201575138
4. Mε σεδιαταγήΕ.Μ.Ε.ΤαχΓραφείο54Τ.Θ.30044
5. Πληρώνεταιστα τηςΕ.Μ.Ε
Αγαπητοί/ές αναγνώστες/ αναγνώστριες.
Ένα αντίδοτο για την πίεση που όλοι αισθανόμαστε, στις δύσκολες ημέρες της πανδημίας που μας
κρατά κλεισμένες και κλεισμένους στα σπίτια μας, προτείνει η μαθήτρια Ιωάννα Αθηναίου με γράμμα
που έστειλε στην συντακτική επιτροπή.Το παραθέτουμε:
Η καραντίνα είναι λήθαργος, είναι απομόνωση, ιδιαίτερα για εμάς τους μαθητές.
Δύσκολες στιγμές για την ανθρωπότητα και ιδίως για την πόλη μας. Μια πόλη οπού ξεχείλιζε από
κινητικότητα, εργατικότητα και πρόοδο. Παρά ταύτα, υπάρχει κάτι, αγαπητοί μου συμπολίτες, που δεν
πρέπει να λησμονήσουμε κατά την διάρκεια της κρισιμότητας:
Τα Μαθηματικά!
Πολλοί από εσάς ίσως βρίσκουν την πρόταση μου αυτή υπερβολική και άλλοι και μη σημαντική σε
σχέση με την δύσκολη αλλαγή στην κοινωνική μας ζωή.
Αξίζει όμως, θεωρώ, μια ανάγνωση το μήνυμα αυτό .
Τα Μαθηματικά δεν είναι απλώς ένα μάθημα αλλά ούτε και μια επιστήμη. Τα Μαθηματικά είναι
ανθρώπινη επιθυμία με την οποία εκφράζεται ο κόσμος της λογικής που βρίσκεται μέσα μας.
H λογική είναι εκ γενετής χαρακτηριστικό του ανθρώπου και εκφράζει την επιθυμία του για
αναζήτηση, έρευνα και γνώση.
Δεν θα έπρεπε να μας τρομοκρατεί ο κόσμος της λογικής, διότι δεν είναι ένας κόσμος δίχως
συναισθήματα όπως πολλοί από εσάς υποστηρίζουν. Αντιθέτως, η λογική εξισορροπεί τα
συναισθήματα έτσι ώστε να μην υπάρχουν μετάπτωσης απολυτής ευτυχίας σε αβάσταχτη θλίψη και
παρόμοιοι εξτρεμισμοί, που εύκολα οδηγούν τον νου σε κατάρρευση.
H λογική επιφέρει ψυχική ισορροπία και αρμονία για να μπορέσουμε να παραμείνουμε όχι
χαρούμενοι ούτε λυπημένοι αλλά δημιουργικοί και ευδαίμονες.
Με αυτόν τον τρόπο, αγαπητοί μου, επιδρά η λογική στην ευδαιμονία. Την λογική απελευθερώνουν τα
Μαθηματικά. Και σε αυτό το σημείο θεωρώ πως όλοι μας μπορούμε να συμφωνήσουμε ότι τα
Μαθηματικά δεν είναι τίποτα λιγότερα και τίποτα περισσότερο από έναν δρόμο προς την ευδαιμονία.
Όποιος συνεπώς αρνείται τα Μαθηματικά, αρνείται και την ευδαιμονία Εσείς? είστε έτοιμοι να
ευδαιμονήσετε?
Με εκτίμηση, (5ο Γυμνάσιο ΗρακλείουΑττικής )
Εκ μέρους της του περιοδικού η
ΙωάνναΑθηναίου
Συντακτικής επιτροπής ομάδα συντονισμού του περιοδικού
«ΔΕΝ ΞΕΧΝΟΥΜΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΚΑΡΑΝΤΙΝΑΣ»
ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ
Κωδικός ΕΛ.ΤΑ. : 2054
ISSN: 1105 - 7998
Συντακτική Επιτροπή
Η έγκαιρη πληρωμή της συνδρομής Βοηθάει
στην έκδοση του περιοδικού
Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών
Γράμμα της Σύνταξης
ΕΛΤΑHellenic PostHellenic Post
Hετήσιασυνδρομήστοπεριοδικό“ΟμικρόςΕυκλείδη”είναι(12,00ευρώ)
Τοαντίτιμογιατατεύχηπουπαραγγέλνονταιστέλνεται:
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100

3. 115 .3/1
=========================================================================
, .
’
.
« »
.
,
, ,
.
, .
, ,
. ( )
,
,
.
,
.
.
.
,
.
, ,
, 449 . ., :"
, ,
."
2.300.000 (
)
2,5-15 .
: 2,50 , 1 . 1,2 .
2.521.000
6,5 ! 17 .
3 !

4. -------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------
115 .3/2
,
.
. ,
" ",
25 80
, 800 !
, .
,
.
,
.
,
.
,
. .
, ,
, .
,
, ,
. 1.300 . .
, ,
. ,
.
.
450 . .,
2.000 . ,
2013,
Merer,
.
« »
, ,
. ,
.
,
, .

5. -------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------
115 .3/3
« »,
Mark Lehner. .
,
.
.
« » 47 , 8,6
1,2 2 . « »
230,4
. 7 8 !
.
2.580 . . ( 2.560 . ).
2.000
, , ,
, .
, : «( )
, ,
».
, ;
.
.
,
, 21 20 ,
, ( )
45°.
. ,
( 1).
, , ,
.
(3 . )
.
365 , 360
.
. ,
.
.
(640-546 . .)
, ,
,

6. -------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------
115 .3/4
. ,
.
, , .
,
,
,
.
, ,
.
.
, ( =230:2=115 .),
( ) .
. ,
, 145,3 .
147 . , ,
1,7 !
, ,
20
:“
, ”
. 20
10
,
.
,
, ,
,
.
.
, ,
.
- Howard Eves: « » 1650, ,1989.
- Heath Thomas: , 1,
, 2001.
- : ,
, 43, 2002, 8-10.
- el.wikipedia.org › wiki › _ _

7. 115 (2020) .3/5
================================================================ .
« , »
« ,
».
.
,
.
.
.
( , , . .). ,
, , , , , , .
.
, .
,
.
,
. .
, ;
,

8. ----------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/6
.
.
.
, ,
,
.
,
.
, ,
10 Volt
,
. ,
.
. 20%
,
.
1010
.
.
,
.
.
,
. ,
.

9. ----------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/7
.
, .
300.000 , 340
.
. , , 20-25
.
, , , .
,
;
.
.
-
: ( ), ( ), ( ),
(Mazagon), ( ) (Roskilde).
; , .
(5 - 15 KHz) ,
, .
ZEY
.
.
,
.
,
.
.
92
(GRS), .
,
.
« »
.
.
.
.

10. ----------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/8
.
;
,
= .
.1 .2
, = / 0 ,
. .
. .1.
.2. :
1 2 ,
( ). 2- 1=2 <2 1 2.
t1
t2 t1< t2.
- = .(t2 - t1), = .
. .
1. .
2. : .34 .92 GPS .77
3.
4. .
5. .
6. Meteorology Today. C. Donald Ahrens, Robert Henson
7. : .
8. .
9. .

11. 115 (2020) .3/9
,
=============================================== –
,
, .
, ;
;
0;
;
:
,
.
.
, .
:
.
0.
2 2 .
0
+(- )=0
- , .
4 5
. 3 4 .
6 2 .
4 2 .
« »
.
+4, +5, +9 4+5=9.

12. ,
115 (2020) .3/10
-3, -4, -7 , 3+4=7 :
.
+6, -2 , 6-2=4.
- 4, +2 , 4-2=2, :
.
5
:
1 2 3 4 5
4
1
6
2
7 3
4
5
2
4 6 8 5 6
.
; ;
;
;
:
:
( ) (+12)+(+15)= ( ) -20+4= ( ) (-9,5)+(+6,25)=
( ) ( ) ( ) (-11)+0=
:
( ) (-1,3)+(+5)+(+3,2)+(- )+(+1,3)=
( ) (-3)+(+1)+(+3,2)+(-1,1)+(+1,3)+(-5)=
( ) +61+29-41-29=
( ) (-5)+(+ )+(+12)+(- )=

13. ,
115 (2020) .3/11
, :
( ) + = 0
( ) + =
( ) + = 0 + =
1
= +1
(+5)+(-4) = +1 (-4)+(+5) = +1
2
. , ,
. , ,
!
;
;
,
-(+2) , +(-2) , - (+2) = +(-2)
3 « »
-
.
; ; `

14. ,
115 (2020) .3/12
,
–(-3), + (+3) –(-3) = + (+3).
:
- (+ ) = + (- )
1 ,
.
;
:
:
( ) (+9)-(+12)= ( ) 7,3-(-15,14)= ( ) (-17)-(+13)=
( ) (+27)-(-8)= ( ) -19-(-19)= ( ) (+3-4)-(-2+3-1)=
3 :
( ) 10, 8, 6, 4, …, …, … ( ) 19, 14, 9, 4, …, …, …
( ) -10, -7, -4, -1, …, …, … ( )
:
( ) (+10)+(-15)+(-3)-(-1)-(+7)=
( ) –(-7)+(-5)-(+8)+(-7)-(-15)=
( ) 12-(11-3)+(5-7)-(8+6)=
:
( ) …… - (-5) = +1 ( ) +12 - … = -12
( ) … - (+11) = +4 ( ) |-11| + … = +20
( ) -5 + … = 13 ( ) … - |-3| = +1

15. 115 (2020) .3/13
,
====================================================================
114 22,
.
,
, . ,
, 5 .
, , 2 .
28 ,
(0 ). ;
, .
, ,
…
6 ( 1 )
, -56 (28·2=56).
,
5 56. 55; 11
17 -34. .
50 (10 ), 45 (9 )
40 8 20 -
40 .
, 8 20.
7
28 5 2
.
, ,
(5,2) 10.
, 10 10:5=2
10:2= 5 , 2+5=7 ( 28). , 20
20:5=4 20:2=10 , 4+10=14 , 30
30:5=6 30:2=15 , 6 + 15 = 21 .
40 40 : 5 = 8 40 : 2 = 20
.
, 8 + 20 = 28 , , 40 8
20 .
, 8 20 .

16. ----------------------------------------------------------------------- , -------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/14
8
, , 5 .
y 5x x=1,2, …, 28 x.
1y 2x x=1,2, …, 28
x .
y 5x ( 1) 1y 2x ( 2)
x = 1, 2, …, 28 :
28 .
, y-y1=0 y = y1.
( ) ( ) .
(4, 20), (10, 20) [
y = y1 = 20], (8, 40), (20, 40) y = y1 = 40
. 28 ,
(4, 20), (10, 20)
8 20 , 28.
8 20.
9
x y
. 5 2,5
1x=2,5y.
x+y=2,5y+y x+y=28 28=3,5y y=8
x=20.
8 20 .
10 ( 3 )
. 5
, 2
.
, 5 - 2 = 0. 5 = 2 (1)
(1)
2
5
1
2,5
1+2,5
2,5
3,5 7
2,5 5
28 7
5
28
5 20
7
.
28, 28 28 20 8.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
1
2

17. ----------------------------------------------------------------------- , -------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/15
,
.
. 1 2 .
1 2 . , 1
2
.
x y :
= x + y 1 2 0x y . 1 2 0x y 1 2x =y
2
1
x
y
2 1
1
x y
y 1y
1
y
1
2
y
x
2 1
2
y x
x 2x
2
x . 2
x=
1
y= .
: =28, .
28 = 7. = 7 6 1 5 2 4 3, ,
= 7 = 5 + 2 ( ) 1 = 5, 2 = 2
2 2
x 28 8
7
1 5
28 20
7
y .
7 6 1 , , 1 = 6, 2 = 1 :
2 1
x 28 4
7
1 6
28 24
7
y .
: 1 2 4 6 24 1 24 24 0x y .
:
, , .
, , 6
. , , 1 .
28 , (0 ).
;
2,
4, 14, 28 28.
. . = 36
.
;
info@hms.gr

18. 115 (2020) .3/16
========================================== -
( )
, ,
. ( 1)
,
2,
.
1 2
;
.
L L=
L=2 ,
.
,
,
3,14.
l 2
360
: = 2
2
4
.
2
360
. :
1
.
1
https://www.mathsisfun.com/geometry/circle-area-lines.html

19. ----------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/17
.
.
…,
2
2
2
, = 2
.
) 2 .
) ( )
) r R R= ·r ( )
( ), ;
) ,
2 .
l 2 ·90 .=180 .
l 180· .. .
l 2 ·30 .=60
360 . 360 :60 6 .
) l 180· · .
.
l 2 ·30 .=60 180· · .
(180· · ):60 =3 .
)
). ·
.

20. ----------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/18
( , )
( , ) .
L=2 = 2
. ˆA 45 ,
ˆBO 90 .
, ( , ).
,
: 2 2 2 2 2 2
8
2 2
2 64, 32. 32 16 2 4 2 ..
L 2 3,14 4 2 25,12 2 25,12 1,414 35,53 . E 3,14 32 100,48 . ..
1 2 .
2 3 . 60 .
.
l 2
360
,
1 1
60 2
l 2 2 2
360 360 3
2 2
60
l 2 2 3
360 360
: 2
. .
360
,
2
2
1 3
9 . .
360 6 2
2
1
1 2
4 . .
360 6 3
.
3 2 9 4 5 5
. . 3,14 . . 2,617 . ..
2 3 6 6 6 6
.
6 .
( , ).
.
=6 . 1,
2, 3
.
.
4 .
, .
.

21. 115 (2020) .3/19
.
==============================================================
, , ,
: «
». (
). .
1)
;
2) 40.
.
3)
1
3
15%,
1
4
20% 24%.
3.200€.
; :
.
4) 75.
;
5)
2121212121210
1121212121211
.
. (
¨ ¨)
114
1)
21 42 21
5 4x
4 x 5
21 42 21
8 x 10
42 42 42
8 x 10 x 9 x=81
2)
9 3
12 4
.
6 =
4
3
.
6 1
24 4
36.
6 =4 + + =
4
3
+ +4 =
19
3
.
+ + = ·( + + ) =57
+ + = ·( + + )=38
114 +x+ = ·( + + )=19. =3 =2 .
( + + )·( + + )=114 6 ·
19
3
=114 · =3.
3)
. ; : 18 .
4) [5×(111…..11)+1]2
-[4×(111…..11)+1]2
=1111….111 ( 1)
5) : 1=20cm 2=15cm.
1 4 20 16
2 5 15 15
.
.

22. 115 (2020) .3/20
1
=========================================================================
’
, 1 ,
.
, .
,
.
.
,
.
:
‘‘ ’’
, , ‘’
’’.
.
.
1. :
:
.
,
:
= :
.
.
2. :
.
:

23. 1
115 (2020) .3/21
«
».
:
10
. 1
2 : ,
. , :
20
. . 2
3 . ( 1 3 ) :
:
30
: 1
. :
.
z,
, .
:
3. :
: = ::
= =2 , = =3 = =4 .
, ,
. =4, =6 =8.
4. : , , :
( + –4)2
+( + –5)4
+( + –7)6
=0
,
.
: «
».
: ( + –4)2
, ( + –5)4
( + –7)6

24. 1
115 (2020) .3/22
, .
: «
;»
: «
»
: ( + –4)2
= 0 , ( + –5)4
= 0 ( + –7)6
= 0
, .
: + –4 , + –5 + –7 .
:
.
, ,
.
:
.
: 2( + + )=16 + + =8.
.
.
5. :
:
:
.
6. :
:

25. 1
115 (2020) .3/23
+ + =
:
: ( + + ) +6 –2( + + ) = 40 = 8.
= 1, = 2, = 5.
,
1. :
. :
: = 2, = 1
2. :
3. :
4.
5. ,
6.
I. = –
II.
7.
8.
9. 19, 23, 20 .
. : ( =8, =11, =12)

26. 115 (2020) .3/24
.
=============================================================
, , ,
:
« ».
(
).
.
1) ,
.
.
.
2) :
x-25 x-23 x-21 x-19 x-17 x-15 x-1975 x-1977 x-1979 x-1981 x-1983 x-1985
+ + + + + + + + + +
1975 1977 1979 1981 1983 1985 25 23 21 19 17 15
.
3)
2
( +2)
-3
;
4) , 8
. .
5) : 32
=8+1, 52
=3·8+1, 72
=6·8+1, 92
=10·8+1.
.
.
114
1) 2
=(x-4)2
+(x-6)2
,
2
=(x-4)2
+x2
.
2
+ 2
= 2
(x-4)2
+(x-6)2
+(x-4)2
+x2
=(2x-6)2
:
4x2
-28x+68=4x2
-24x+36 4x=32 x=8

27. -------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/25
2)
2 2
2 2 2 2
x
+
x +y +
=
2
2 22
2 22 2 2 2
2
xx
yy
+ +
x + +x+1 +1
y y
2
x
y
:
2
2 2 2 2 22
2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
+ + 2
+ + + + +
+1+1
2
.
2 2
= 2
+ 2
=0 .
3) , ,
,
.
, .
=4
( ;).
=3 =8 =8.
= + = + =8.
4) 4 , , , .
:
+ + =186, + + =206, + + =215, + + =194.
3( + + + )=801
+ + + =267.
+ + =186 + + + =267 =81 4.
5) 4 2.222.
3 246, 200 200
2.222.
246+200·2.222 4444646
4 4646.

28. 115 (2020) .3/26
====================================================== :
80
« »
18 2020
1
4 3 2
0 10 10 0 10 10 ,
, , , 0 , 9 4.
9,
9. , , , :
.9
0 10 30 , :
18, 0 27, 0
, , , { 1,2,6,9 , 1,2,7,8 , 1,3,5,9 , 1,3,6,8 . 1,4,5,8 , 1,4,6,7 ,
2,3,4,9 , 2,3,5,8 , 2,3,6,7 , 2,4,5,7 , 3,4,5,6 }
, , , 4,6,8,9 , 5,6,7,9 , 3,7,8,9 .
4,
4, 4.
:
, , , 1,3,6,8 , , , 3,4,5,6 .
: 13068, 34056.
2
600
80 .
100
%
9
100
%
7
,
.

29. ------------------------------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/27
, 600 .
100 1
9 100 9
,
100 1 600
600
7 100 7
.
600
80 7 9 600 5040
9 7
5400 2 5040 2 360 180.
180 600 180 420 .
3
cm 2 cm.
.
( )
.
( )
, . 1
( ) :
1 1
( ) 2( ) 2 2 .
2 2
2
cm
2 2
. cm,
. ,
. .
, , .
( ) ,
. 0ˆ ˆ 45 . 0ˆ ˆ 45 (
)
.
2
:
2 2
2 2
1
(2 ) 4
.
4
,
.
2020.
.
.
, :
2020.
2020 , 2, :
4, 4000, 1000,
3000 2020, .

30. ------------------------------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/28
3,
3 3 3000 100 10 300 10 2700 90 9 2020, .
2,
2 2 2020 2000 100 10 200 10 2020
1800 90 9 2020 90 9 220.
, , , 0 9 90,
130 90 220 2. 9 40 31 9 40 4. :
40 36 4 2244.
1
,
2 2
9 3 9 3 ,
2 2
.
:
2
6 (1)
2
6 (2)
(1) (2) :
2 2 2 2
6 7 (3)
(1) (2) :
2 2
6 5 0 (4)
5 0 5. (5)
(3) (5) : 2 2
35 .
2
,
.
2019.
.
.
, :
2019.
2019 , 2, :
4, 4000, 1000,
3000 2019, .
3,
3 3 3000 100 10 300 10 2700 90 9 2019, .

31. ------------------------------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/29
3.
, , 1
:
(i) 2 1 , (ii) 1
(iii) 1 .
, ,
: 2 1 , 1 , 1 .
:
1
2 1 1 1 ( 1) 1 1 2 1 .
2
, :
2 0 2.
, , :
1. 3 .
3, 1 , 1 3, 4, 5 , , 3,5,4 .
4
.
0ˆ 90 .
( ) ˆ
( ) :
: .
( ) ,
180 , 90 .
ˆ 90
45
2
.
ˆ ˆ , ˆ 45
2

32. ------------------------------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/30
( ) ˆ , ˆ 90
ˆ ˆ180 180 90 90 . ˆ 90 .
.
ˆ ˆ 45 .
ˆ 45 . .
37
« »
22 2020
1.
:
4 2
3
x 2 x 2 x
x 2x 16
.
0x :
4 2 4 2
3 3
24 2 2 22 4
3 3
22 2 2 2
x 2 x 2 x 2 x 2x x
0
x 2x 16 x 2x 16
4(x 2) x16 x 2 8 x 2 x x
0 0
16x 16x
x 4(x 2) x 0, x 0 x 0, x 0 4(x 2) x 0
4
x 0 2x 4 x 2x 4 x 0 x 0 3x 4 x 4 0 x 0 x x 4.
3
0x :
4 2 4 2 4 2
3 3 4 2
22
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2x x 1
0 x 0
x 2x 16 x 2x 16 x 2x 16
x 2 1 x 2 1 4
x 0 x 0 x 0 x x 4
x 4 x 2 3
2.
. ,
. .
( ) ˆ .
( ) ˆ ˆ ˆ .
( ) ,
,
2
.
: 0
1
ˆ ˆ ˆ180 2 (1)

33. ------------------------------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/31
2
0
2
ˆ ˆ ˆ180 2 (2)
0 0 0 0 0
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ180 2 180 2 360 2 360 2 180 2 ,
0 0
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ180 180 2 .
, (
2
), :
0 ˆ180 (180 2 ) ˆˆ ˆ .
2
1
( )
ˆˆ ˆ . (3)
ˆ ˆ (4)
, ( 0ˆ ˆ 90 )
ˆ ˆ . (5)
: ˆ ˆ ˆ .
3
, ,
. ( )
, ( ).
, ,
. :
0
3 3 1 3 .
:
3. . 3,. .
3. 1 3 3 1 1, 2 3 1.
, , 1,1,1 .
2. 1 2 3 1 1, 2 2 2.

34. ------------------------------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/32
, , 2,1,1
, , 1,2,1 , , 1,1,2 .
1. 1 3 1,2,3 .
1, 1 2 1 , .
2, 2, 1 3 2 3.
, , , 3,2,1 :
, , 2,1,3 , , , 3,2,1 , , , 3,1,2 , , , 1,2,3 , , , 2,3,1 .
3, 3, 1 4 3 2. ( , ).
, , : 1 2 3.
4
99
1 99:
:
( ) ( ). « »,
:
1 50
51 99.
( ) .
( ) « » .
( : ,
).
( ) 2 ,
.
:
99
99
2 2 2... 2 2 .
( ) :1 2 3.........50 51..............98 99
x y
.
« », x y , , x y .
« » B .
.
, :1 2 3.........50 51..............98 99
x y
, x y .
,
(50 ) (49 )
:1 2 3.........50 51..............98 99
x y
,
, : x y x y 49 x 49 y 50 x 49 y .
.

35. ------------------------------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/33
, :1 2 3.........50 51..............98 99
x y
, x y .
,
(50 ) (49 )
:1 2 3.........50 51..............98 99
x y
,
, : x y x y 49 x 49 y 50 x 49 y.
.
, ,
,
99
982
2 .
2
60.
11
594 .
100 10 , , , , 0. :
11
594 100 10 (100 10 ) 594
99 594 6 6.
6 9 3, :
1, 7 3. 137.
2, 8 1. 218.
3, 9 11, .
61. ,
2 2
3, 10,
1 1
.
:
2 2
2 2
3 3
3 3 (1)
10 10 (2)
(1) , :

36. ------------------------------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/34
3 2 2 2 3 2
3 3
:
3 3
2 (3)
(2) :
5 (4)
(1) :
(4)
2
5 5 ,
1 1
1.
42. 0ˆ 20 .
0ˆ 40 , ˆ .
0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ 40 20 20 ,
. , ,
,
0 0
0180 40ˆ 70 .
2
38. , :
5 2 121 .
:
5 2 121 5 2 10 131 2 5 131
2 1, 5 131 2 131, 5 1 , 1, 126 , 129, 4 .
62. , , :
2 2 2 2 2 2
3 , 3 .
.
39. ,
0 , .
43. , , 2 .
0 0ˆ ˆ45 60 . ˆ .

37. 115 (2020) .3/35
=======================================================================
-
; ;
, ( . .)
. , , ,
. . , Gardner, 8 !
, Renzulli & Reis (1997), :
1. , . . .
2.
3. .
;
, . ,
.
.
. «
» :
« »: .
« »:
.
« »: .
« »: .
, « »,
[2].
. ,
. ,
,
,
( ) .

38. 115 (2020) .3/36
: ,
, ;
. . ;
. : «To fill the gap»,
. , . , Nicholas
Letchford,
.
, ( , . . .)
[1].
:
.
( . .)
, . . . «
;», «
;»
,
.
. .
:
, … .
.
.
. (Raven Test, Numbers &
Letters . . .) , ,
.
- .
:
,
( ), .

39. 115 (2020) .3/37
Richard Paul [3].
STEM .
, : , , , ,
, , , , . . .
:
. ,
, .
, ,
‘ ’ (ONE SIZE FITS ALL).
. , ,
, , .
, ,
. .
, ,
,
, .
:
[1] Boaler, J. (2019). Everyone Can Learn Mathematics to High Levels. The Evidence from
Neuroscience that Should Change our Teaching. Stanford University blog.
[2] , . (2010). . , : .
[3] Paul, R. & Elder, L. (2006). «Concepts and Tools» The Miniature Guide to Critical Thinking,
The Foundation for Critical Thinking.
.
« »
.
.

40. 115 (2020) .3/38
==============================================
« »
.
,
. :
.
(2020) « » 17.000
.
• .
•
.
•
( ).
• .
•
.
• ,
.
•
.
• (
).
• .
•
.
• ,
.
•
.

41. 115 (2020) .3/39
:
. (1.
( ) 2. )
:
1. ,
( ).
, .
1.
, , 3
5.
3, 2 3+5=11, 2 11+5=27,… 3 , 11, 27,….
2. ,
.
2.
, 4 10
. 14
, ;
,
. ,
4 14
10 x
, x
, 4x = 14 10 x=140:4=35 .
« ».
1. ( )
1
.
. (
) ;
) 7 ) 8 ) 9 ) 12 ) 20
• ( ).
• .
:
.
!

42. 115 (2020) .3/40
(6:50).
:
5:00 5:15 5:30 5:45 6:00 6:15 6:30 6:45
1 1 1 1 1 1 1 1 8
: ).
2 .
,
.
.
;
) 255 ) 341 ) 560 ) 643 )
, 11+3+11+3=28 .
, 1 28 , 2 2 28=56 , 3 3 28=84
. 28.
, 560 28.
28 28, 56, 84, 112, …, 560 4
28 , 0.
: )
3
3 2018, 3
: 5 .
96 . ;
) 28 ) 23 ) 26
) 23 ) 18
5 3
: 3, 6, 12, 24, 48, 96.
5 , 5 5=25 . 3
25 25+3=28 .
: )

43. 115 (2020) .3/41
4
. 16.200€.
3.200€.
:
4
1
3
. ;
) 2002 ) 2007 ) 2008 ) 2010 )
. , .
4
1
3
. ,
2
3
. ,
1
2
16200 10800
3
€
2
2
10800 7200
3
€
3
2
7200 4800
3
€
4
2
4800 3200
3
€
4 (4 4 16 )
3200€. ¨ ¨
2019, 2002.
: )
2.
5
8 4
. 48
;
) 7 ) 6 ) 5 ) 4 ) 15

44. 115 (2020) .3/42
8 4 ,
12 .
48 ,
12 48
1 x
x
, 12 48x 4x .
: )
6
72 12 .
, 13
;
) 73 ) 80 ) 75 ) 78 )
72 12 .
13
12 13
72 x
x , 12 936x , 78x .
: )
7
1500
3
5
. ;
) 600 ) 500 ) 800 ) 900 ) 1000
3
5
,
2
5
. ,
2
5 1500
x
x
, 5 3000x , 600x .
: )
: 1500 ,
1
5
300 ,
2
5
600 .

45. 115 (2020) .3/43
, , .
1
5
,
(
3
5
,
2
5
)
1
5
.
8
1,20€ 90
.
,
, 1€.
:
) 1
) 80 ,
) 75 ,
) 70 ,
) 65 .
1,20€ 90 . 1€,
1,2 1
90 x
, x ,
1,2 90x , 75x .
:
( : 1,20€ =120 1€=100 , . 120 100)
: )
9
. ,
, 400 km
300 km
.
, . 300 km
,
.
;
) 100km ) 50km ) 75km ) 80km ) 150km
. , 300km 400km,
, 100km . km
100km , ,
x km , 400·x=30.000, x=75km.
: )

46. 115 (2020) .3/44
3
(3
) ' ',
,
.
10
.
:
T ( .1) ,
,
. ,
.
.
(
)
( 60 ).
Copernicus
, Tycho Brahe
.1
( .2)
( )
(
) ( . .
).
.2
( .3)
,
, .
( )
( . . , ,
, ), .
.3

47. ---------------------------------------------------------------------------------- 3 -------------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/45
( .4)
.
. .
.
( .5)
.4 .5
( .6)
3 . .
18 . .
,
,
( )
.
.6
,
.
.
.
, 4
( ), , ,
, , ,
,
.
Jean Fusoris.
( .7) 1400.
.7
( .8).
,
,
.
,
Tycho Brahe.
,
, ,
.
.8

48. ---------------------------------------------------------------------------------- 3 -------------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/46
:
1
(
).
.
( )
( -
).
Google,
,
=3,14159 =6405 Km
2
, (
).
( )
,
.

49. ---------------------------------------------------------------------------------- 3 -------------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/47
3
(
Al
Biruni)
.
,
,
,
100 .
, ,
,
,
« »
.
.
165
. , Google, 220 ,
.

50. ---------------------------------------------------------------------------------- 3 -------------------------------------------------------------------------------
115 (2020) .3/48
.
, , :
1) . http://10h math2018.blogspot.com/
2) , ,
.
https://drive.google.com/file/d/1DtPAig8annvoeYiFQHpeC4UpNxLYe5_b/view
3)
, «
» ( , 2006)
,
! http://kotsanas.com/
4) / :
http://kostaszig.blogspot.com/2018/04/blog post.html
3
, .
,
email : kostaszig@me.com

51. 115 (2020) .3/49
.
2020
2020=(20+20).(20+20)+20.20+20
2020=442
+82
+(44+8)+4x8
2020= - +
2020=1+2+3+ … +62+63+4
2020=(44
-4)(4+4)+4
2020=22
+25
+26
+27
+28
+29
+210
3 : 3
3, 3 3
2/3 ;
: (1798)
(158).
2020 8.
(7, 11, 14, 18, 54, 58, 62, 93, 94, 98, 292).
.
. « ». ;
: 4
. ;
: 7
.
: 100 100 €,
2€ , 1 € 0,50 €.
;
114
: « »
9 3 12. « » 1/5
« » 10. 22 .
:
20 26 260 .
40 .
: .
.
8 6 2 .
1500 .
: ,
35x60%=60x35%=21 .
: 7632 : 24
.32
.53 .
: 12x636 16x477 18x424 24x318 72x106 36x212
48x159 144x53 . 48x159=7632
.
: : +1, +2, +3, +4, +5.
.
9 36.
: 2019 ( ) 20% 80/100x
100/100x 25%.

52. Πανεπιστημίου 34 - Αθήνα
fax: 210 3641025
www.hms.gr e-mail: info@hms.gr
τηλ.: 210 3616532, 210 3617784
Κεντρική Διάθεση: Πανεπιστημίου 34 - Αθήνα
fax: 210 3641025
www.hms.gr e-mail: info@hms.gr
τηλ.: 210 3616532, 210 3617784
Κεντρική Διάθεση:
της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείαςτης Ελληνικής Μαθηματικής ΕταιρείαςΕκδόσεις
Τιμή τεύχους: 3€
Τιμή 12€βιβλίου: Τιμή 12€βιβλίου: Τιμή 12€βιβλίου:
Τιμή τεύχους: 3,5€Τιμή τεύχους: 3€
Τιμή 18€βιβλίου: Τιμή 15€βιβλίου: Τιμή 20€βιβλίου:
Τιμή βιβλίου: 30€ Τιμή βιβλίου: 20€ Τιμή βιβλίου: 25€
ΠεριοδικάΔιαγωνισμοίΟλυμπιάδεςΒιβλία
5
5
5
00
5
5
5
00
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100