Ευκλειδης β 114__2019

114
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ ΓΕΓΟΝΟΤΑ
B΄B΄ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ
Μαθηματικό περιοδικό για το ΛΥΚΕΙΟ
Ελληνικ Μαθηματικ Εταιρε αή ή ίΕλληνικ Μαθηματικ Εταιρε αή ή ί
ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ - ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ - ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1920 ευρώ 3,5ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ - ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ - ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1920 ευρώ 3,5
ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ
ΤΕΛΟΣ
ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ
ΤΕΛΟΣ
Ταχ.Γραφείο
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
Ταχ.Γραφείο
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
ΑριθμόςΆδειας
4156
ΑριθμόςΆδειας
4156
ΕΛΤΑHellenicPostHellenicPost
ΕΚΔΟΤΩΝ
ΕΝΤΥΠΟΚΛΕΙΣΤΟΑΡ.ΑΔΕΙΑΣ1099/96ΚΕΜΠ.ΑΘ.ΕΝΤΥΠΟΚΛΕΙΣΤΟΑΡ.ΑΔΕΙΑΣ1099/96ΚΕΜΠ.ΑΘ.
... ένας κόσμος που ελπίζει
Οι επτά γέφυρες και τα γραφήματα
ετήσια Γ.Σ. της Ε.Μ.Ε.
8 Μάρτη 2020
Μέναιχμος ο δάσκαλος
του Μεγάλου Αλεξάνδρου
Μεσογειάδα 2019
… μια ιστορία για τα Μαθηματικά
Θαλής 2019
20
20
= (20+20).(20+20)
20.20
+ 20
2020
Καλή Χρονιά
ΕΜΕ:ΧΡΥΣΟ ΜΕΤΑΛΛΙΟ 2018 ΑΚΑΔΗΜΙΑΣ ΑΘΗΝΩΝ
Mundo MayaMundo Maya
5
5
5
00
5
5
5
00
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ
ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ
Τεύχος 114 - Οκτώβριος - Νοέμβριος - Δεκέμβριος 2019 - Ευρώ: 3,50
e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr
ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏÕ 34
106 79 ÁÈÇÍÁ
Ôçë.: 210 3617784 - 210 3616532
Fax: 210 3641025
Ανάργυρος Φελλούρης
Παναγιώτης Δρούτσας
Åêäüôçò:
ÄéåõèõíôÞò:
ÁíäñïõëáêÜêçò Íßêïò
Áíôùíüðïõëïò Íßêïò
ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò
Âáêáëüðïõëïò Êþóôáò
ÊáêáâÜò Áðüóôïëïò
Êáìðïýêïò ÊõñéÜêïò
ÊáñêÜíçò Âáóßëçò
Êáôóïýëçò Ãéþñãïò
Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò
Êïíüìçò ¢ñôé
Êõñéáêüðïõëïò Áíôþíçò
Êõñéáêoðïýëïõ Êùí/íá
Ëáæáñßäçò ×ñÞóôïò
ËïõñéäÜò ÃéÜííçò
Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò
ÌáëáöÝêáò ÈáíÜóçò
ÌáõñïãéáííÜêçò Ëåùíßäáò
ÌÞëéïò Ãåþñãéïò
Ìðåñóßìçò Öñáãêßóêïò
Ìðñßíïò Ðáíáãéþôçò
Ìþêïò ñÞóôïò
Óßóêïõ Ìáñßá
ÓôåöáíÞò Ðáíáãéþôçò
ÓôñáôÞò ÃéÜííçò
Táðåéíüò Íéêüëáïò
T
ÔñéÜíôïò Ãåþñãéïò
ÔõñëÞò ÉùÜííçò
× éóôüðïõëïò ÈáíÜóçò
×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò
Øý÷áò ÂáããÝëçò
Απατσίδης Δημήτρης
Βλάχος Σπύρος
Γαμβρέλλης Αργύρης
Γιώτης Γιάννης
Δρούτσας Παναγιώτης
Ζέρβας Νίκος
Ζώτος Ευάγγελος
Κουτσούρης Λέων
Μανιατοπούλου Αμαλία
Μπρούζος Στέλιος
Χ
Μωραΐτη Κατερίνα
ουρναβίτης Στέργιος
Τσικαλουδάκης Γιώργος
Τσίτος Χρήστος
Τσιφάκης Χρήστος
Τσουλουχάς Χάρης
ρ
Êáñäáìßôóçò Óðýñïò
ÊõâåñíÞôïõ ×ñõóôαλένια
ΔΔ π ππ π
Επίκαιρα Θέματα
Γενικά Θέματα
Μέναιχμος ο Δάσκαλος του Μεγάλου Αλεξάνδρου 2
Οι ΕΠΤΑ Γέφυρες και τα Γραφήματα,
Μαθηματικές Ολυμπιάδες, 9
30
Άλγεβρα: Ασκήσεις Άλγεβρας, 26
Γεωμετρία: Ασκήσεις με βοηθητική ευθεία, 30
Άλγεβρα: Τριγωνομετρικές Εξισώσεις, 32
Γεωμετρία: Εμβαδά Ευθυγράμμων Σχημάτων, 38
Αναλυτική Γεωμετρία: Ευθεία Γραμμή, 43
Θέματα Διαφορικού Λογισμού για Επανάληψη, 46
Το Βήμα του Ευκλείδη, 53
Αξιοσημείωτες τριγωνομετρικές ανισότητες 53
Διαφορικό και ο ρυθμός μεταβολής, 56
Χρήσιμες Επισημάνσεις Ασκήσεις, 63
Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικα, 66
Ο Ευκλείδης προτείνει..., 68
Τα Μαθηματικ΄ά μας Διασκεδάζουν, 74
................................
....................................................
.......................................................................
.............................................
.....................................................
..........................................
...................................
................................................................................
..........................................
.......................................................
.........................................................
.................................................................
...........................................................................
........................................................
4
Homo Mathematicus, ..................................................................................
.................................................................
.....................................................
Α΄
Β΄
Γ΄
Τάξη
Τάξη
Τάξη
MUNDO MAYA, 77.............................................................................................
Αγαπητοίφίλοι,
μαθητέςκαισυνάδελφοι,
πολλέςευχέςγιαμια δημιουργικήχρονιά
χαρούμενη,
αισιόδοξη,
και αποτελεσματική
σεκάθεπροσπάθεια,φιλοδοξία, όνειρο...
H ó íôá òεπιτροπή ύ ξη
του περιοδικού
Υ.Γ. Υπεύθυνοι για την επιμέλεια της ύλης των τάξεων
είναι οι συνάδελφοι:
Α΄ Λυκείου
Β΄ Λυκείου
Γ΄ Λυκείου
[ Χρ. Λαζαρίδης, Χρ. Τσιφάκης, Χ. Τσίτος],
[ Β. Καρκάνης, Σ. Λουρίδας, Χρ. Τσιφάκης],
Δ. Αργυράκης, Κ. Βακαλόπουλος, Ι. Λουριδάς]
Γ. Κατσούλης, Λ. Κουτσούρης,
Απ. Κακκαβάς, Μ. Σίσκου,
Ν. Αντωνόπουλος,[
Γράμμα της Σύνταξης
Κωδικός ΕΛ.ΤΑ: 2054
ISSN: 1105 - 8005
Τιμή Τεύχους: ευρώ 3,50•
• Ïé óõíåñãáóßåò,
ÅôÞóéá óõíäñïìÞ (12,00 + 2,00 Ôá÷õäñïìéêÜ = åõñþ 14,00). ÅôÞóéá óõíäñïìÞ ãéá Ó÷ïëåßá åõñþ 12,00
áíôßôéìï (1). (2).
(3).
(4).
Ôá äéáöçìéæüìåíá âéâëßá äå óçìáßíåé üôé ðñïôåßíïíôáé áðü ôçí Å.Ì.Å.
[ôá Üñèñá, ïé ðñïôåéíüìåíåò áóêÞóåéò, ïé ëýóåéò áóêÞóåùí êëð.] ðñÝðåé íá óôÝëíïíôáé Ýãêáéñá, óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. ìå ôçí
Ýíäåéîç “Ãéá ôïí Åõêëåßäç B´”. Ôá ÷åéñüãñáöá äåí åðéóôñÝöïíôáé.
.
Tï ãéá ôá ôåý÷ç ðïõ ðáñáããÝëíïíôáé óôÝëíåôáé: Ìå áðëÞ ôá÷õäñïìéêÞ åðéôáãÞ óå äéáôáãÞ Å.Ì.Å. Ôá÷. Ãñáöåßï ÁèÞíá 54 Ô.È. 30044
Óôçí éóôïóåëßäá ôçò Å.Ì.Å., üðïõ õðÜñ÷åé äõíáôüôçôá ôñáðåæéêÞò óõíáëëáãÞò ìå ôçí ôñÜðåæá EUROBANK Ðëçñþíåôáé óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å.
Ìå áíôéêáôáâïëÞ, óå åôáéñåßá ôá÷õìåôáöïñþí óôï ÷þñï óáò, êáôÜ ôçí ðáñáëáâÞ.
Όλα τα άρθρα υπόκεινται σε κρίση, αλλά την κύρια ευθύνη τη φέρει ο
εισηγητής
Åêôýðùóç: (A. ÌÐÑÏÕÓÁËÇ & ÓÉÁ ÅÅ). ôçë.: 210 6623778 - 358 Ä. ÐáðáäüðïõëïòROTOPRINT Õðåýèõíïò ôõðïãñáöåßïõ:
Ζώτος Ευάγγελος
Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò
Áíôùíüðïõëïò Íßêïò
ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò
Âáêáëüðïõëïò Êþóôáò
ËïõñéäÜò ÃéÜííçò
Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò
Τσίτος Χρήστος
×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò
Το να έχει χαρά
και ελπίδα για το καλύτερο ...
2020
Η έγκαιρη πληρωμή της
βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού
συνδρομής
Εξώφυλλο:
Σχόλιο: Οι εργασίες για το περιοδικό στέλνονται
και ηλεκτρονικά στο e-mail: stelios@hms.gr
Υπεύθυνοι για το Δ.Σ
Επιτροπή Έκδοσης
ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ Συντακτική Επιτροπή
Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών
Ευκλείδης:
Θαλής:
Αρχιμήδης:
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί
9 2019Νοεμβρίου
22 2020Φεβρουαρίου
18 Ιανουαρίου 2020
Εικαστική σύνθεση βασισμένη
στην επικαιρότητα των Μαθηματικών
ΕΛΤΑHellenic PostHellenic Post
2020= 40 +4.10 +202 2
5
5
5
00
5
5
5
00
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100

114 (2019) .2/1
. . . . . 2019
. . .
, 23 2019, 10.00 ,
1
( 13 , ).
1. . . 2019
2. 2019
3.
4. , . .
5. 2020
6.
7.
8.
( 1/3
. . ., -
2019 2020),
88 22002200
10 , , -
, .
. ., -
2019, 2020
-
, www.hms.gr.

114 (2019) .2/2
(375 – 300 . .)
(356 – 323 . .)
,
.
. ,
6 : "
" 31 6 .
3
31 3 3 3 3
3
.
-
, -
.
342 . ., 13 , ,
(384 – 323 . .) .
10 -
.
(4 . . ), -
(375 – 300 . .),
' . -
, : "
;" -
, .
, : "
' ."
, ' -
.
(1 – 2 . . ), ,
, , :
"
."
( ,
, .)
,
16 17
, . ,
, .
335 . .,
, " ". (276 – 194
: " "

------------------------------------- (375 – 300 . .) -----------------------------------
114 (2019) .2/3
. .) "
: " .
. (= 1.089).
. 925. , 529.
925 529 396 . 396, 693. 396 693 1.089
.
.
, -
. . .
: , .
-
, .
" " ( ), " " ( ) "
" ( ). " ".
. -
: -
-
. -
, -
.
, , ( )
. ,
. -
: , ,
, ,
. . -
.
.
, .
, (6 . . ).
x :
2 x
x
(1), ( ). (1) 2
x (2) 2
x 2 (3). (2)
2
x
(4).
(3) (4)
2
2x
x 2
3
2x
2 3 3
x 2 . -
, x .
: ,
: " , . -
, , ." , , -
. , -
, , .
( ).

114 (2019) .2/4
.
( ).
( ) ( ),
. « » .
Königsberg
Kaliningrad ( ) 7 . Pregel
),
7 . ,
.
Königsberg ,
.
: ,
7 ;
.
.
, .
, 18 , Leonhard Euler
(1707 1783). Euler ( )
.
1736 Euler Königsberg :
« , ’ , ,
: , , ,
.
.
, ».
Euler .
.
« »
. Euler
26 1735 Commentarii
academiae scientiarum Petropolitanae 1741.
Euler , . Euler ,
.

------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/5
, ,
,
, ,
.
:
. ,
,
.
,
. , ,
, . Euler
, ,
,
. Königsberg
.
.
Euler
.
Königsberg
, , ,
. ,
,
. ,
20 .
,
, , , , ,
,
, . ..
;
(graph)
, ,
. ,
.
(V,E), V
n E m
V.
V (vertices) V (vertex
set), E (edges) E (edge
set). ,

------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/6
: .
7 Euler.
H : ( ,
), ,
.
.
. ,
,
, ( 7 ), (
Möbius 1840
1976), . ., . . ,
.
: , ,
, .
. Gauss,
Hamilton, . .
Coloumbia
.
4 2019
,
, . .
Tarjan Yannakakis.
W. Leibniz 1679 C. Huygens
,
.
7
7 ,
( ), .
.
.
,

------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/7
.
.
8
,
,
. ,
. ;
9
, ,
, ,
. .
.
;
10
.
, , .
;
8
.
8: Euler
. 2 ,
.
4 , .
. ,
.
, , .

------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/8
9: 9 8 .
.
.
,
.
9 10
10: 10 .
. Euler
. 9 ,
,
.
, 7
. Königsberg .
,
.
,
Kant Hilbert.
: « »
(Holzbrücke), « » (Honigbrücke) « »
High (Hohebrücke).
: « » (Köttelbrücke) « » (Schmiedebrücke).
, (Grünebrücke) « »
(Krämerbrücke)
.
.

114 (2019) .2/9
E.M.E.
80
“ ”
9 2019
1
,
2 2
10 29 7.
2 2
1 1 1 1
.
2 2 2
2
2 2
10 29 7.
:
2 2
10 2 29 10 20 29
2 27
2 10 10 7
10 49 10.
49 49
:
2 2
2 2
1 1 7 1 1 1 1 2 7 2 49 2 29
.
10 10 10 100 10 100
, 10 :
7 7 , 10 :
2 2
7 10 7 10 7 10 0.
9
7 3
5 2,
2
: , 5,2 , 2,5 . , ,
: 2 2
1 1 7 1 1 29
.
10 100
2
:
3019 3020 3021 4019 4020 4021
, , , , ,
3020 3021 3022 4020 4021 4022
,
. .
1.
1 1 1
1
1 1 1
,
,
1 1
:

-------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/10
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
.
,
4021
4022
, , ,
3019
3020
.
3
ˆ ˆ2 . H ˆ
. ˆ
.
( ) .
( ) ˆ .
3
ˆ ˆ 2 , ˆ ˆ , ˆ ˆ 2 .
( )
ˆ
ˆ ˆ
2
, .
ˆ
ˆ ˆ
2
.
, .
( ) ( ) :
ˆ ˆ ˆ 2
ˆ
ˆ .
2
,
. ˆ ˆ 2 2 ,
0 0 0 0ˆ ˆ ˆ 180 2 2 180 5 180 36 . 0ˆ 2 72 .
4
3
2
4
1
1
.
1, :
3 3 3 32
4 4
1 1 1 1
11 1
.
1 x, 1 x 2

-------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/11
3 3 2
2x 2 x 6x 12x 8 8
x 6x 12
x x x
.
, , ,
8 8
1 8 1 1, 2, 4, 8 2,3,5,9.0, 1, 3, 7 .
x 1
1
, 2 2 3 3
16 90 .
1 1
.
2 2 2 3 3 2 2
2
3 3
90 2 2
15 :
2 2
16 0
2 2
90 16 90 15 90 6.
,
2 2
2 22 2 6
16 2 16 18 2,
18 18
:
1 1 6
3
2
.
2
:
3
xy 8
x y y 2
.
(1 )
xy 0 , , :
2
4 2
2 23 2
2
2 2
2 22
y 0
2
22
y 2y 8 0
2 y y 8xy 8 xy y 8
2 y
x y y 2 xxy y 2 xy 2 y
y
2 62 36
y y 4y
y 222
2 y
2 y x 1x2 y
xx y
yy
y 2
.
x 1
2
xy 0 , , :
3 2
2
xy 8 xy y 8
.
x y y 2 xy y 2
: 2
xy , y 0 , :
2
8 8 2 8 2 8 0
2 2 2 2
, 4, 22 62 36 4 2
.22
2
22 , 2,4

-------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/12
2
y 0, , 2,4 , x, y
: 2
xy 2 xy 2
x,y 1, 2 x,y 1, 2 .
y 4 y 2 y 2
3
.
.
,
ˆ .
.
,
,
2
.
,
, .
,
. .
(
), .
ˆ ˆ
, , 0ˆ ˆ 60 . , 4
0 0 0ˆ ˆ ˆ 30 90 120 , :
0 0 0ˆ 180 120 60 .
4
3
2 2
3 x 1 x 11 18 0
17 .
, , :
2
2 2
17 17. (1)
3 , Vieta:
2
1 11 18
,
3 3
(2)
(1) :
22
22 2
2
2 22 4 2
2
1 2 11 18
17 2 17 17 0
33
1 2 11 18 3 17 3 0 7 44 0
7 225
4 ( ) 2.
2
2 : 2 2
x 5x 4 0 x 5x 4 0 x 1 x 4, 2
: 2 2
5x 5x 40 0 x x 8 0 ,
.
2.

-------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/13
1
34 2
108 x 2 4 x 0 .
:
34 4 3 32
4 3 3 3 3
3 33 2 3 2
3 33 2 3 2
3 2
108 x 2 4 x 0 108 x 2 2 x 2 x 0
108 x 2 x 2 2 x 0 x 2 108 x 2 x 2 0
x 2 108x 216 x 6x 12x 8 0 x 2 x 6x 96x 224 0
x 2 x 6x 96x 224 0 x 2 0 x 6x 96x 224 0
x 2( ) x 6x 96x 224 0.
3 2
x 6x 96x 224 0 , 224.
Horner 4 :
23 2 2
x 6x 96x 224 x 4 x 10x 56 x 4 x 14 .
: 2 ( ), 4 ( ) -14.
2
= .
.
= .
, , ,
.
,
ˆ ˆ ˆ .
ˆ , ˆ ˆ .
, = = .
, , :
0 0
0 0
ˆˆ ˆ180 180
ˆ
ˆ ˆ180 180
2
,
ˆ ˆ ˆ ,
, , ,
. 5
3
:
3
xy 108
x y y 3
.

-------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/14
(1 )
xy 0 , , :
4 2
2 23 2
2
2 2
y 3y 108 0
3 y y 108xy 108 xy y 108
3 y
x y y 3 xxy y 3 xy 3 y
y
2
2 22
y 0
2
22
3 213 441
y y 9y
y 3 y 322
.3 y
3 y x 4 x 4x3 y
xx y
yy
2
xy 0 , , :
3 2
2
xy 108 xy y 108
.
x y y 3 xy y 3
: 2
xy , y 0 , :
2
108 108 3 108 3 108 0
3 3 3 3
, 9, 123 213 441 9 12
.22
3
33 , 12,9
2
y 0, , 12,9 , x, y
:
2
xy 12 xy 12
x,y 4, 3 x,y 4, 3 .
y 9 y 3 y 3
4
2, 3, 4, …, 1024
.
.
2 2
.
2 3 4 5 6 7 8 9 10
2, 4 2 , 8 2 , 16 2 , 32 2 , 64 2 , 128 2 , 256 2 , 512 2 , 1024 2
, ,
. 10.
10 , i
iX , 2 , i 1,2,3,...,10
. , :
i i i 1 10
i 10X 2 ,2 1,...,2 1 , i 1,2,...,9 X 2 1024.
min 10.

-------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/15
22 2019
31 2019
1
ABC, A 60º , D (BC) D
A . B Cr ,r r ,
ABD, ADC ABC, . :
B C
1 1 1 1 1
2
r r r b c
,
b c AC AB .
2bc A bc 3
AD cos
b c 2 b c
. h AM
ABC. :
ac ab
BD ,CD .
b c b c
ABD
BD DA AB
p
2
ABD. (ABD)
D
a b c
p
2
, :
B
ABD ABD
h ac
ABD h BD h BD ahb cr
p 2 p BD AD AB ac bc 3 2p 3 b
c
b c b c
.
, : C
ah
r
2p 3 c
. :
B C
1 1 2p b 3 2p c 3 4p(b c) 3 2 (b c) 3 1 1 1
2
r r ah ah 2[ABC] r r b cbcsin
3
.
2
1 2 sm m ... m , s 2, ,
.
r 1 r s, : r srm m r 1 s 1 .
k
i
i 1
k, , 0 k r, k 1 s, T k, : m m .
1
r 1 2r s
2
T k, . , T k, T u,v
k u ,
u
u i
i k 1
m m m .
m ,
v k u. , T k, , .
1
r 1 2r s
2
T k,
1
r 1 2r s
2
, :
r r
s i s r
i 1 i 1
1
r 1 2r s T r,s m m m m r i .
2
i rm m r i, .

-------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/16
r srs s r rm m , .
3
x,y,z
4 4 2
4x y z 4xyz 2.
:
4 4 2 2 4 2 2 2 2 2
2 22 2 2 2 2 2
4x y z 4xyz 4x y 4x y 4x y z 4xyz
2x y 2xy z 2x y 2xy z 2x y 2xy z .
2 2 2 2
A 2x y 2xy z, B 2x y 2xy z 2 2
A B 4x 2y
x,y 2 2n 2 2 2n
A 4x 4 5 , B 2y 2 2 , 2n 2
AB 2 10
2.
, n 1 n 1 n
x 5 , y 2
2 2n 2
A 4x 4 5 , 2 2 2
2x y 2xy z 4x ,
2 2 2n 2 n 1 n
z 2x y 2xy 2 5 10 4 ,
z . , ,
x,y,z 4 4 2 2n 2
4x y z 4xyz 2 10 .
4
P 1. x,y,z
P ,
2 2 2 3 3 3
x y z x y z 6xyz.
P . x,y,z
P , x y z 1, 0 x,y,z 1
: x y z 1, 0 x,y,z 1, 2 2 2 3 3 3
x y z x y z 6xyz.
– x y z 1, :
33xy yz zx xy yz zx x y z 3 xy yz zx 3 xyz 9xyz
xy yz zx 3xyz 6xyz.
,
xy yz zx 3xyz xy 1 z yz 1 x zx 1 y xy x y yz y z zx z x 6xyz,
,
2
1 x y z , :
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
x y z xy x y yz y z zx z x 6xyz 1
x y z 2xy 2yz 2zx xy x y yz y z zx z x 6xyz 1
x y z 2xy x y z 2yz x y z 2zx x y z xy x y yz y z zx z x 6xyz 1
x y z 2xy x y 2yz y z 2zx x z xy x y yz y z zx z x 1
x y z 3x
3
y x y 3yz y z 3zx z x 1 x y z
:
3 3 3 3
x y z x y z 3xy x y 3yz y z 3zx z x 6xyz ,
: 2 2 2 3 3 3
x y z x y z 6xyz .
:
1
x y z ,
3
.

-------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/17
113
57. n . 1 2 nx ,x ,...,x
0,1 , :
2 2 2 2
1 2 n n1 2x x ... x 1 4 x x ... x .
.
1 2 nx ,x ,...,x 0,1 , : 2
i ix x , i 1,2,....,n , :
2 2 2
1 2 n 1 2 nS: x x x x x x .
, :
2 2 2
1 2 n 1 2 nx x ... x 1 4 x x ... x S 1 4S S 1 0,
.
A58. Gauss (Gaussian integer)
.
n, 1 2 nz ,z ,...,z Gauss
.
.
z x yi, Gauss, x,y
2 2 2
z x y .
4 0,
4 1.
2 2 2
z x y Gauss, 4
0, 1 2.
n 3,
2 2 2
1 2, ,..., nz z z 4 3,
, n 3. 2 2i,3 1 3i
8, 9 10, , n 3.
43. p,q
q 1 p 1
p q .
.
n q 1 p 1 2
p q n .
p,q .
p,q , (p,q) (2,2) , q 1 p 1 2
p q n n 4.
p,q , p 1,q 1 , q 1 p 1
p ,q
4 1.
4 2. 2
n 4
0 1, q 1 p 1 2
p q n .
p 2k 1, k q 2 , q 1 p 1 2
p q n
2k 2 2 2k k k
p 2 n p n 2 p n 2 n 2 . p k k
n 2 n 2
:
k k k 1
n 2 p, n 2 1 p 2 1.

-------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/18
p 2k 1, k ,
k 1 k 1 k
2 1 2k 1 2 2k 2 k, , Bernoulli
:
kk
2 1 1 1 k k .
47. .
, ,
. 0ˆ 12 , ˆ .
,
.
,
: 2
. (1)
:
2
. (2)
0 ˆˆ 90 : (3)
(1), (2) (3)
,
,
,
1
, .
: 0 0ˆ ˆ2 2 12 24 ,
:
0 0 0 01 1ˆ ˆ180 180 24 78 .
2 2
21. :
. , ,
1 2, ,...,
1 ... 11. ,
.
.
,
.
rr
10 1 mod11 , : 1 1 2... ... 1 mod11 .
, 1,2,..., 1... 11.
- , 1,2,..., ,
1
1 1 1 1,..., , mod11 ,
, 1 0 .
, 0, .
, 10,
1 2, ,..., . ,

-------------------------------------------------------------------------------- – -----------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/19
, ,1 , 1 1 1 1... ... ... 10 ,
11, 1 1... 11,
.
1 2, ,..., ,
1 , , .
, , 1 2 9, ,...,
1,2,3,4,5,6,7,8,9 , , , 10
1 2 9, ,..., .
, , 1 2 8, ,..., 1 10
, ,
1 2 9, ,..., 10. , ,
1. ,
1 1 10 mod11 .
,
1 2 8, ,..., .
7 .
1 2 7, ,..., 1,2,3,...,10 , , . ,
, . 1,
+1,
1 2 8, ,..., . , = – 1,
, 1, 1.
59. , , 2, :
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
.
4
22. .
, 2
x x
2
x x 2
(x ) (x ) , .
2
x 2x 1,
:
( ) 2
2x 1, ( ) 2
2x x 1.
48. .
, . 1 2
, , 1 2
.
44. m,n : m 2
2 7n 1.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HOMO MATHEMATIKOUS ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/20
HEMATICUS
Homo Mathematicus ,
: 1) , 2) , 3)
, 4) , 5)
.
: , , ,
I.
,
,
:
«
.
, .
,
,
( ),
(
).
.
,
. ,
. -
,
.
.
,
. '
. ,
,
, -
.
-
,
.
.
( 01)
(Aurora
Australis).
-
,
(
).
,
« » « »
'
. Möbius
( ),
( 02)
,
, « »
( ).
,
.
.
( . .
)
»

114 (2019) .2/21
( 03)
,
.
,
.
, -
, .
.
Seifert
( )
[ : «Scientific American»]
II.
, (2019-12-06)
-" "(;),
" …".
" " (;) .
" ", "
",
.
« ...»
(…) 2013 2400
. " ".
» (…)
III. ;
: "
.
,
.
,
''.[ ]
IV. « - »
1o
. " ", ,
,
, . ,
. ...
« Christian Goldbach (1690 – 1764) Leonard Euler, o 1742,
:
" "
" "

114 (2019) .2/22
(" "
1 ).
(" " " ")
.
: 5=3+2, 11=7+3+1, 12=7+5,
15=7+5+3, 16=11+5=13+3, 17=13+3+1,
527=3+37+487=…=167+179+181, 427
.
.
"1",
.
.
,
.
"2":
1+1=2. , 2 ,
.
"3": 1+2=3. "3" DNA
, . ,
.
1,2,3,
, (
),
, .
1,2,3,
1+3=4, 3+2=5, 1+2+3=6.
"5",
,
1,2,3,5.
, ,
1+2+3+5=11
7 11.
1,2,3,5,7,11,
1+2+3+5+7+11=29 . . .
, ,
,
.
,
. , ,
. ;
;
.
:
2=1x2=2, 15=3x5=5+5+5,
42=2x3x7=(3x7)+(3x7)=
=(7+7+7)+(7+7+7)=7+7+7+7+7+7, …, -
, ,
- .
.
.
.
9453 8769,
.
,
, .
"1"
. `
, :
1 .
»
2o
. Igor F. Sharygin, « 21 ;»
, . (
. . .),
,
Igor F. Sharygin (1937-2004),
« 21
;» ( ).
,
" " ,

114 (2019) .2/23
. . ,
.
. . .
«…
.
.
,
.
,
. (…)
.
, ,
, .
,
,
,
.(
).
, ,
.
« », . .
, : « ,
: ,
:
.
’ ,
’
.» (…)
,
.
.
, ,
,
.
,
,
.
. (…)
« »
.
« » ,
. (…)
(…) ,
,
. , .
…»
3o
.
« » , ’
;
« Dr Robyn Araujo
Queensland University of Technology (QUT)
,
,
.
, Nature
Communications,
« »
,
.
Dr Araujo,
QUT,
,

114 (2019) .2/24
–
.
«
« » –
« »
" "», . «
" "»
«
–
»
«
». « ,
»..
Dr Araujo
–
.
«
», . «
, ,
, –
– .
, ,
,
»
« – ,
–
,
,
»
«
,
.
,
»
Dr Araujo
«
».
, Lance Liotta,
« »
Dr. Araujo
.
«
Dr. Araujo
», .
« ,
–
;»
«
,
,
».
: phys.org –Math sheds light on how living cells ‘think’
sciencedaily.com – Math sheds light on how living cells ‘think’
V. –
1. " " . " "
, ,
.
,
. 27
2019 .
,

114 (2019) .2/25
: «
1932.
1955.
1961-1963
.
Forschungsstipendiat
A. V. Humboldt-Stiftung Erlangen (1966-
1967) (1967-1968).
,
. 1974
1984»
2. , ,
.
’
, ,
.
, ,
-
, -
. :
« » «
», . . .,
,
,
« »,
« », «
»,
.
3. ,
,
, .
,
: « 2006
« »
.
,
...»
4. Cole Prize 2020
John Maynard,
,
,
Duffin–Schaeffer
1941
.
«
»
-
.
5.
,
.
.
«
,
( ), .
;»
( )
, ’
, ...
. ,
.
VI. " ;"
Lev Nikolayevich Tolstoy (9/9/1828-20/11/1910), (
) « ».
VII.
34 113 «…
f(x)=x2
4x+7 … - - … f( )=( )2
4( )+7 …
… f(-2) 2 :
f( 2)=( 2)2
4( 2)+7=4+8+7=19»

114 (2019) .2/26
:
. « » , -
. -
, , , , -
4 .
1
) N :
3 3 2
( 1) ( 1) 2 ( 3), .
) 2 3 2 3
(x 1) (x 1) 0.
) 3 3
(x 5) (x 3) 0.
) , 3 3
( 1) ( 1)
3 2 3 2
3 3 1 3 3 1
3 2
2 6 2 ( 3) .
) .
) 2
x , ,
2 2 3
2x (x 3) 0 (1).
2 2 3 2 2 3
(1) 2x (x 3) 0 2x (x 3) 0.
2
x 0 2
x 3 0,
x 0.
) .
3 3
(x 5) (x 3) 0
3 3
[(x 4) 1] [(x 4) 1] 0 (1)
) , x 4 .
, 2
(1) 2(x 4)[(x 4) 3] 0 x 4 0
x 4.
: ( )
0 0 0 .
2
) N :
2 3
( 1) ( 1) 2 2 ( 1)( 3),
.
)
2 3
(x 2) (x 2) 2x 4 0.
) x 0, :
2 3
( x 1) ( x 1) 2 2 x.
) , , 2 3
( 1) ( 1) 2 2
2 3
( 1) ( 1) 2( 1)
2
( 1)[( 1) ( 1) 2]
2
( 1)( 1 2 1 2)
2
( 1)( 3 ) ( 1)( 3).
)
,
2 3
[(x 1) 1] [(x 1) 1] 2 2(x 1) 0 (1).
) x 1 :
(1) (x 1)[(x 1) 1)][(x 1) 3)] 0
( x 1 0 x 2 0 x 4 0)
(x 1 x 2 x 4).
) x 0, :
2 3
( x 1) ( x 1) 2 2 x 0.
( ), ,
x ( x 1)( x 3) 0 , .
3
) N :
2 2
2 2 2 ( 1) ( 1)
, 0.
) : 2 2 2,
, 0.
) , 0, 2 2 2
2
( 2 1) +
2
( 2 1)
2 2
( 1) ( 1) .
) :
2 2 2 0 (1)
( ) , ,
2 2
(1) ( 1) ( 1) 0 .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/27
1 0.
: ( ) ,
2 2
0 ( 0 0) .
4
) :
0, , .
) 3 3
x 2x x 2x .
) , .
2 2
2 2
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
4 0 0.
) .
) 3
x , 2x
3
x 2x 0 ,
4
2x 0, .
5
) : 3 3 ,
, .
) ,
5 5
x 3x
3 1 .
2019 2019
) , .
2 2
3 3 3 3
2 2
( 3 ) ( 3 )
2 2 2 2
6 9 6 9
2 22 2 2 2
8 8 .
)
5 :
x 3x
3 1 (2)
2019 2019
.
( )
x
, 1
2019
,
x
(2) 1 x 2019
2019
(1) x 2019 (x 2019 x 2019).
: ( ) :
, : .
6
) :
0, , .
) :
x 1 (x 2) (x 1) x 2 (1).
) .
0
0.
0
. -
, , .
) .
( )
x 1, x 2 :
(1) (x 1)(x 2) 0
x 1 0 x 1 0
x 1 x 2.
x 2 0 x 2 0
: -
.
7
) :
0, , .
) : x 100 x 1 99.
) , .
2 2
( )
2 2
( )
2 22 2
2 2
0.
)
, (x 1) 99 x 1 99 (1)
( ), x 1, 99 ,
(1) (x 1)99 0 x 1 0 x 1.
8
, , , :
) 2 2
2
) 2 2 2
) 4 4 4
, 1.
) :
4 4 4
.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/28
) :
2 2 2
2 0 ( ) 0.
.
) ( ) :
2 2 2 2 2 2
2 , 2 , 2 .
,
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
.
) ( ) , ,
2 2 2
, , :
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 2 2 2
( ) ( ) ( ) (1)
( ), , , , , -
, :
2 2 2
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
1
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )(2)
(1) ,(2)
4 4 4
.
)
1
1, 1,
2
.
4 4 4 33 5
,
16 2
, , ,
4 4 4
,
33 5
.
16 2
: ( ) -
« »
( ), ( ) . -
( )
« ».
9
) :
1
2, 0 .
) :
1 1 1
( )( )( ) 8,
, , 0.
) 0 . :
1
( ) ( 2) 2
1 2
2
1 2 0 2
( 1) 0 , .
) , , 0 , ( ),
1 1 1
2, 2, 2.
1
,
1 1 1
2, 2, 2. (*)
-
, .
1 1 1
( )( )( ) 2 2 2
1 1 1
( )( )( ) 8
1 1 1
( )( )( ) 8.
. (*) , -
1 -
.
10
) 2
x 3x 2 0 (1).
) x,y x y :
2 2
x 3xy 2y 0 (2) .
i) y 0.
ii)
x
y
iii)
x y
3.
x y
) -
.
2 2
4 ( 3) 4 1 2 1.
0 .
3 1
x
2 2
. :
(x 1 x 2)
) i) y 0 :
2 2 2
(2) x 3x 0 2 0 0 x 0 x 0 ,
, x y . ,
y 0.
ii) (i), y 0,
(2)
2
y 0 .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/29
:
2 2
2 2 2
x 3xy 2y
(2) 0
y y y
2x x
( ) 3( ) 2 0
y y
. -
x
x
y
:
x x
( 1 2).
y y
x
1
y
, x y , ,
x y .
x
2
y
.
iii) (ii) x 2y ,
x y 2y y 3y
3.
x y 2y y y
( i)
« ».
11
) , 2
x x 0 , ,
1 2x ,x .
, 2
1 2x x .
)
2
x 2019x 2020 0
1 2, , ,
2 2
1 22019 2020 2019 .
) 1 2x ,x
Vieta, 1 2x x (1).
1
1x -
-
, 2
1 1x x 0 (2).
,
(2)
2
1 2 1 2x x x x
(1)
2
1 2(x x ) .
,
2 2 2
1 2 1 2x x x x .
) , ,
2
( 2019) 4 2020 0.
( ) 2019, 2020 ,
,
2 2
1 22019 2020 2019 .
12
) :
2 2
,
2 2
, .
) 1
1
2
1
.
4
) x,y,z ,z 0 ,
x y z
xy 2
.
z 5
)
,
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
4 4
4
.
4
) ( ) -
,
2
2
.
2
0
2
-
0
2
-
. 1 :
1
2 1
2
.
1 1 1
.
2 2 4
) , x y z z 0
,
x y x y
1 1
z z z z
.
x y
,
z z
1.
)
1
4
,
1
4
.
1 2
4 5
2
.
5
:
x y 2 xy 2
.
z z 5 z 5
:
c,c .
: -
.

____________________________________ _____________________________________
114 (2019) .2/30
:
.
,
-
.
( )
. , ,
, -
. , -
, .
1. ,
. -
, ,
, : 60 .
: :
.
,
BM M MZ , -
.
( ;)
:
.
/ / .
. -
, : ,
,
. -
/ / ,
.
,
, .
/ / 90 -
:
2
. 30
60 .
:
.
2. , , -
.
:
: :
, -
, .
: ,
.
:
/ / ,
. , :
, :

_______________________________ _______________________________
114 (2019) .2/31
( ) ( ) , :
3. -
.
.
:
, . -
,
, -
,
, .
4. -
, .
, , , , -
, -
.
:
, -
.
, , , :
120
360 60
300 (180 ) 120
360 60 ( ) 120
. -
, , ,
,
, / /
2
, / /
2
,
/ /
2
-
.
5. ,
. .
:
.
/ / . -
. -
,
.
-
: ( ), -
(2 2 )
, ( (1)). < -
. ,
.

114 (2019) .2/32
:
– – .
g x , g x , g x ,
g x , .
:
g x , g x ,
g x , g x
g x x,
:
1:
.
2:
,
(
).
!
1 1,
. 1,1 .
, :
g x , g x ,
g x , g x
0 :
x x , x x ,
x x , x x .
3:
.
4: x
.
1. :
2 2x 1 0
6
. 2x
6
:
1
2 2x 1 0 2x
6 6 2
2
2x
6 2
2x
6 4
’ :
2x 2 2x 2
6 4 4 6
2x 2 2x 2
6 4 4 6
2x 2
12
5
2x 2
12
x
24
,
5
x
24
2. :
x 4x 1 0
x ,
2
x 4x 1 0 x 0 4x 1 0
: x 0 x 0 x ,
4x 1 0 4x 1
3
4x
2
3 3
4x 2 4x 2
2 2
3
x , x ,
2 8 2 8
.
3. :
2 2
x x 1
6 3
. :
x x
6 2 6
2
x x
3 3
x x
3 3
, :
2
2
x x 1
3 3
2
2 x 1
3
2 1
x
3 2
1 2
x
3 22
x
3 4
3
x
3 4

_______________________________ B _____________________________
114 (2019) .2/33
:
x 2
3 4
3
x 2
3 4
x 2
4 3
,
3
x 2
4 3
4. : x 4x 1
:
x 2
x 0 2
4x 0
x , x
2 2 4
x x 1.
,
1
x
x
:
1
x 4x 1 4x 1
x
4x x :
4x x 3x x ,
3
:
2
x x 0,
2
x x 0, 0, ,
2
x x 0,
2
x x 0, 0, ,
, : 2
x x 0,
2
x x 0, 0
x x 0, 0 0
, :
1: x x ,
1 1 x
x , ,
.
2: .
1 2, .
3:
: 1 2x , x
1 2x , x ( x, x )
.
:
2
x x 0, 0
2
x x 0, 0, :
2 2
x x 1
2
x x 0, 0, ,
2
x x 0, 0, , .
x x 0, 0 0, :
x x 1
.
5. :
2
2 x 5 x 3 0
x , 1,1 , :
2 1
2 5 3 0 3 ( )
2
.
, :
1
x x
2 3
x 2 ,
3
6. : x 3 x 2 3
. x x
2
, .
1
x x 1 x
x
,
:
21
3 x 2 3 1 3 x 2 3 x
x
2
3 x 2 3 x 1 0
x , ,
:
2
2
3 2 3 1 0 3 1 0
1 3
33
. :
3
x x
3 6
x ,
6
:
f x g x f x g x
1:
:
x x, x x,
2 2
x x, x x
2 2

_______________________________ B _____________________________
114 (2019) .2/34
2: .
7. :
2x x
4 4
x x x
4 2 4 4
: 2x x
4 4
:
2x 2 x
4 4
2x 2 x
4 4
3x 2
2
x 2
2
x
3 6
,
x 2
:
f x f x , , 0
1:
f x f x ,
f x f x .
2: .
8. : x 3 x 0
. : x 3 x
x 2 x 2 ,
x 0 x 0,
x ( x 2
x 2 , ) :
1
x 3 x x
3
3
x x
3 3
x
3
:
x x ,
3 3
1:
,
.
2:
, . : x .
x
1.
3:
.
.
4:
.
9.
2 x x 3 0
3
,
2 2
.
x , :
x
2 x x 3 0 2 x 3 0
x
2
2 x 3 x 0 2
2 1 x 3 x 0
2
2 x 3 x 2 0. x ,
1,1 , :
2
2 3 2 0 2 ( .)
1
2
. :
1
x x
2 6
x 2
6
,
5
x 2
6
.
3
,
2 2
.
3 3
x 2
2 2 2 6 2
1 2
....
6 3
. ,
’ x 2
6
3
,
2 2
.
5
x 2
6
.
3 5 3
x 2
2 2 2 6 2
1 1
....
6 3
,

_______________________________ B _____________________________
114 (2019) .2/35
0 . ,
0.
5
x
6
.
10. :
2 2
x 1 3 x x 3 x
. 1 : :
2 2
x x x 3 x x 3 x 0
x x x 3 x x x 0
x x x 3 x 0
x x 0 x 3 x 0 x 1
x 3 x
4
x
3
, .
2 : x 0
2
x 0 x 0 , . x 0
2
x
: 2
x 1 3 x 3 0 x 1 0
x 3 0 x 1 x 3
x
4
x
3
, .
11. :
1
1 x 2 x
x
. x 0 x
2
:
x x 2 x x 1
2 2
x x 2 x x x x
2
x x x x
x x 0 x x 1
x 1 x
4
,
2
x x 1 x
4 4 2
x 2
4 4
x 2
4 4
x 2 x 2 x 2 ,
2
.
x 2 x
4
, .
12. :
2x x
1 x x
2 2
2 x
2
4 2
2x x
1 x x
2 2
2 x
2
4 2
2x x
1 x x
2 2
x
1 2
4 2
2x x
1 x x 1 x
2 2
x x
x x 1 0
2 2
2
0
x x x
x 1 2 2 1 0
2 2 2
x
x 0 1
2
x , Z .
13.
2 2 9
x 2 3 x 7 3 0
4
x R 0,4 .
, S
,
:
i)
20
S
3
ii) S 15 iii) S 16 iv) S 17
. :
0
2 2 9
2 3 4 7 3 0
4
2 2 3 3
24 18 0
4 2
.
0,4
3
2 6
0,4
2
6
11 13 23
, , ,
6 6 6 6
3 5
2 6
0,4
5
2
6
5 7 17 19
, , ,
6 6 6 6
5 7 11 13 17 19
S
6 6 6 6 6 6 6
23
16
6
. iii).
14.
2018 2018 2020 2020
x x 2 x x .
0,2
: ) 3 ) 4 ) 5 ) 6

_______________________________ B _____________________________
114 (2019) .2/36
. 2018 2018 2020 2020
x x 2 x x
2018 2 2018 2
x 1 2 x x 2 x 1 0
2018 2018
x 2x x 2x 0
2018 2018
2x x x 0
2018 2018
2x 0 x x
2x 0 x ,
2 4
0
2018 2018 2018
x x x 1
x 1 x ,
4
.
4
0,2 ).
15.
x 1
x 2
1 x 1 x
.
.
x 1
x ,
x 0
:
x 1 x
2
1 x 1 x x
2
x 1 x 1 x x
2
x x
2
1 x x 2 x
x x 1 x x 0
x x 0 1 x x 0
x 0
x x 0 x 1
x ,
4
1 x x 0
x x 1 x x 1
4
2
x x
4 4 4 2
x 2 ,
2
( )
x 2 , ,
. :
x ,
4
x 2
2
, .
16. :
3
x 2 x
4
. x x
4 4
: 3
2
4
3
2
4 4
3 3
1
3 2 2
2 2 3
0
2 2
0
1 0
0 1
0 2 2
0 2 2 , .
0 ,
2
.
3
x ,
4 4
.
17. : ( x) 0
. ( x) 0 ( x) 0
x 2 (1) x 2 (2), Z
1 x 1 (1)
1 2 1 ,
1 1
, Z
2 2
1 1
1 1 , Z
2 2
0 .
x 0 x ,
2
(2) : 1 2 1 , Z
1 1
, Z
2 2
1 1
1 0 , Z
2 2
, .
x
2
Z .
18. :
| x x | | x x | 2
. | x x | | x x | 2
2
| x x | | x x | 4

_______________________________ B _____________________________
114 (2019) .2/37
2
| x x | 2| x x || x x |
2
| x x | 4
2 2| x x | | x x | 4
| x x || x x | 1
2 2
| x x | 1 2
| 2 x 1| 1 2
x 1
2
x 0 x 1 x 1 x 0
x
2
x
19.
:
2
f x 4 x 4 x 8 x R ,
.
.
: 2
f x 4 x 4 x 8
22
4 x 4 x 1 9 2 x 1 9 .
x R 1 x 1
2 2 x 2 1 2 x 1 3
2 2
0 2 x 1 9 9 2 x 1 9 0
9 f x 0 .
o of x 0 x 2 ,
2
of x 9
o o
7
x 2 x 2 ,
6 6
minf 9 maxf 0.
:
20.
f x A x B , , R
0,
2
.
12
S A B
:
i) S 1 ii) S 2 iii) S 3 iv) S 5
.
2
f 3
3
, f 0 0 , f 1
3
.
:
2
3
3
0 0
1
3
2
3 (1)
3
0 (2)
1 (3)
3
0 , .
0
1
3 (4)
3
.
(1)
2
3
3
2
3
3
4
3 1
3
.
1 :
1
2
2 3
3
2
3 3
0,
2
3
3 3
3 6
.
6
2.
12
S A B 3.
iii).

114 (2019) .2/38
:
. -
-
. , -
.
, ,
-
. .
. ,
,
.
1.
6 , 8 60 . -
,
, :
) ( ) = 12 3 ) ( ) = ( ) = 6 3
) ( ) = ( )
)
1 1
( ) 6 8 60
2 2
1 3
6 8 12 3
2 2
)
, :
( ) 12 3
( ) 6 3
2 2
) -
: ( ) 6 3 , ( ) ( ) 6 3
2.
8
. -
x -
.
1 2 4, ,
3
1 2 3
2
.
: 3 4x
2
.
1 2 4 3 4x
1 2 4x 48 21 63 6.
3.
120 2 .
.
)
.
)
.
)
.
)
1 1
( ) 120
2 2

_______________________________ B _____________________________
114 (2019) .2/39
2
21 3
2 (180 60 ) 60
2 2
)
ˆ 360 120 90 90 60
-
, :
( )
1
( )
) :
2 2
2 23 3
2 2
2
2 2 2 23
2 4 3 5
2
2
( 3 5)
4.
.
18
2 , :
)
)
)
)
-
, :
2 2(BZ ) 18
3
( ) 2
)
3 3
,
,
1
( ) 2 3
1( )
2
( ) 3( ) ,
( ) 3 2 6
)
3 3 3
1 1 1
1 3 2
1 ,
1
1
1
( ) 2 2 ( ) 2( )
1( )
2
( ) 2 ( ) ( ) 2(6 2) 16 . .
( ) ( ) ( ) 16 6 22 . .
5.
, ,
.
3, :
)
, -
.
)
-
.
) .
) -
,
2

_______________________________ B _____________________________
114 (2019) .2/40
,
. ,
2
1
( ) ( )
2 2 4
2
1
( )
2 2 2 8
)
, :
2
2 5
2 2
2 2
2
2 2 2
:
5 5 2
2 2 2
(2 5 2)
2
:
1 5 3 5
( ) 3
2 2 4
)
, , , -
:
2 2 2
2 3 5
2 5
4 8 4 4
6.
-
.
= 1 , = 2 = 3 , -
:
)
1
3
) 2
)
) , -
1
3
2
2( ) 1 1 1
( ) ( )
( ) 3 33
)
2
3
,
2
2( ) 2 2 2
( ) ( )
( ) 3 33
1
( ) 2 ( ) 2( )
3
.
) :
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) 2( )
3( ) 2( ) ( )
( ) ( ) ( )
7.
.
,
, , :
1
3
,
1
3
1
3
: ) 2
)
2
9
)
( ) 1
=
( ) 3
) -
.
)
:
2 2 2 2
2 2
)
:
1 1
3 3
,
2
3
1 1
3 3
,
2
3
1 1 2
2
3 3 3
,
2 2
3

_______________________________ B _____________________________
114 (2019) .2/41
:
2
1
2 9
2
1
45
2 9
2
1
45
2 9
) :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
=
=
2
2
2
1
3
12 9
1 3
2
)
2
2
2
2 2 2
2 2
2R 4
1 1 1( )
2 2 2
,
8.
.
/ / / /
, , ,
:
)
) 3
)
1
3
)
, / / , -
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
)
,
1
( ) 12
1( ) 3
2
,
1
( ) ( ) ( ) ( ) 3( )
3
)
1
( ) ( )
3
:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
9.
, , , , , ,
, ,
. -
, , -
- .
:
) .
) 9 8
) -
1
3
, / / 3
/ / (1) .
1
3
, / /
3 , / / (2) .
(1) (2)
/ / .
,
, / / ,
.
)
-
:

_______________________________ B _____________________________
114 (2019) .2/42
1 1
9 9
1 8
( ) ( ) ( )
9 9
10. .
,
, ,
1
3
,
1
3
.
, ,
.
)
.
) :
( ) 3
=
( ) 13
)
1
( )
13
) / /
1 1
3 3
-
. -
/ / .
/ / .
.
)
:
2 2
3 3
:
1 1
2 2
:
2 1 2 1
1
133 2 3 2
1 1 3
2 2
1 -
-
:
1
1
( K) 3
( ) 13
) -
:
( ) 1
( ) 3
:
( K)
( )
( ) 3 1 1
( ) 13 3 13
1
13

_______________________________ B _____________________________
114 (2019) .2/43
:
:
.
(x,y)
(x1,y1), (x2,y2),
/ /
1 1x x , y y , 2 1 2 1x x , y y
, (
2 1
2 1
y y
x x
)
.
1
1 1
1
y y
y y (x x )
x x
, 1x x 0 1x x
/ /
det( , )=0.
( ) x+ y+ =0
:
.
, , .
;
,
.
:
i) :
.
ii) :
, .
,
.
5 :
i) (x1,y1)
(x2,y2)
2 1
1 2
2 1
y y
,x x
x x
x1=x2
1x x .
ii) ( )
( ) =
.
iii) ( )
( ) · = 1
iv)
x x 900
=
v) ( )
( )
u / / v / / u 1,
v (1, ) (u,v)
(x0, y0) ,
;
- , :
: x=x0
1. ( )
(2,3)
i) 1350
x x
ii) (2,1)
iii) (–3,–4)
iv) ( ): 6x–2y–17=0
v) ( ): x–2y+2020=0
vi) 450
( ) y=2x–5
vii) 2
i. = = 1350
= – 450
=–1, :
y–3 = –1(x–2) y= –x+5
ii. x1= x2 =2,
x=2
iii.
4 3 7 7
3 2 5 5
,
7
y 3 (x 2) 7x 5y 1 0
5
iv. =
6
3
2
, y=3x–3
v. · = 1
1 1
2 2
= 2
vi. u / / v / /
u (1, ) v (1, ) (1,2)
(u,v)
2
(1, )(1,2) 2
21 5
,
0 0y y (x x )

____________________________________
B
___________________________________
114 (2019) .2/44
2
2(1 2 ) 1 5 2
2 2
4(1 4 4 ) 10(1 )
2 2
6 16 6 0 3 8 3 0
3
1
3
,
1 : y 3 3(x 2) , 2 :
1
y 3 (x 2)
3
vii. , d(O, )=2
x=2
, d(O, )=2 .
, : y 3 (x 2)
x y 2 3 0 . d(O, )=2
2
2 3
2
1
2 2
4 12 9 4(1 )
5
12
:
5
y 3 (x 2)
12
5x 12y 26 0 .
2.
1 5
y x
2 2
(1)
y 3x (2)
4x 3y 5 0 . :
i) .
ii)
i) 1 2
– .
y 3x
1 5
y x
2 2
y 3x
1 5
3x x
2 2
y 3x
6x x 5
y 3
x 1
(1,3).
4x 3y 5 0 .
:
y 3x
4x 3y 5 0
y 3x
4x 3(3x) 5
y 3
x 1
B( 1, 3)
:
1 5
y x
2 2
4x 3y 5 0
1 5
y x
2 2
1 5
4x 3( x ) 5 0
2 2
y 5
x 5
(5,5).
:
,
1 5 3 5
,
2 2
(2,1)
,
x 1
2
2
x 3
y 3
1 y 1
2
(3,–1)
ii) ( )=2( )=
1
2 | det( , ) |
2
( 1 1, 3 3) ( 2, 6)
(5 1,5 3) (4,2)
( )=
2 61
2 | |
4 22
=|–4+24| =20
3. :
: ( 2
–9)x+( 2
–3 )y+ 2
–9 +18=0 ,
.
;
. ,
450
x x
.
.
.
x x
) = 2
–9 0
= 2
–3 0 =0 2
–9=0 =3 = 3
=0 2
–3 =0 =0 =3 =3
= =0 .
–{3}
) = 450
=1
2
2
9 3
3
3 3
1 3
2
) 1 :
.
= 3 0x 18y 54 0 y 3
=0 9x 0y 18 0 x 2
(2,–3)
.
: ( 2
–9)·2+( 2
–3 )·(–3)+ 2
–
9 +18=0 2 2
–18–3 2
+9 + 2
–9 +18=0 0=0
2 :
.
2
x–9x+ 2
y–3 y+ 2
–9 +18=0

_______________________________ B _____________________________
114 (2019) .2/45
(x+y+1) 2
+(–3y–9) +(–9x+18)=0
x y 1 0
x 2
3y 9 0
y 3
9x 18 0
,
(2,–3)
4. ( )
(3,1) (–5,0).
d(A, )=d( , ). y y (
(0,0))
.
y= x x–y=0
d(A, )=d( , )
2 2
| ( 5) 0| | 3 1|
1 1
| 5 | |3 1|
5 =3 –1 5 =–3 +1
1
2
1
8
1:
1
y x
2
, 2:
1
y x
8
5. :
2 2 2
x y 4 x 2 y 3 0 ,
)
1, 2
)
.
) 2
x=2
6.
:
2 2 2 2
(x 4 x 4 ) (y 2 y ) 0
2 2
(x 2 ) (y ) 0
[(x 2 ) (y )] [(x 2 ) (y )] 0
[(x y 3 ) (x y ) 0
1: x y 3 0 2: x y 0 1=1,
2=–1 1· 2=–1 1 2
)
x y 3 0 x 2
x y 0 y
(–2 , ), x 2
x
2
y= . .
1
y x
2
) , 1, 2 x=2
:
x 2 x 2
x y 3 0 y 2 3
(2,2+3 ),
:
x 2 x 2
x y 0 y 2
, (2,–2– )
( )=6 |(2+3 )–(–2– )|=6 |4+4 |=6
4+4 =6 4+4 =–6
1
2
5
2
6. i)
( , ) ( , ), .
ii)
;
iii) 0,
2
)
1
2
.
i) 1.
0
1 1
4
,
: y 1(x ) y x
4
,
2
x
2
ii)
: 0
1 1
3
4
,
iii) :
( + , 0), (0, + )
1
| | | |
2
1
(1 2 )
2
=
1
2
>
1
2
( 0,
2
) >0 >0
(1,3)
1: x–3y=2, 2: 4x+3y=3
.
. .
. :
) )
) .
.
.

114 (2019) .2/46
:
. ,
.
, ,
, ,
.
1
2
2
x
f x
x
g x
x
, ,
) ,
0x 3 .
9
6
)
.
)
h x f x g x
.
) x,y
(B) ,
3cm / sec
1x h,
1 1A x ,h x
0t
B 0,4 .
) f g
*
f gD D .
f *
2
2 3
2 3
x 2
f x 1 x 2 x
x x
9
f 3 1
9 9
2
f 3
27
.
g *
: 2
g x
x x
: g 3
3
g 3
9
.
f g
0x 3 :
9
f 3 g 3 9 39 3
2 2 3f 3 g 3
27 9
3 9 3 9 3 9
2 3 9 3 6 18 3 6
9
6
.
, 9 6
f g
0x 3 .
) 9 6 :
2
2 2
x 9 9
f x 1
x x 3
18
f x
x
6
g x
x 2
6
g x
x
.
: y f 3 f 3 x 3 .
: 2
9
f 3 1 2
3
18 2
f 3
27 3
,
:
2 2
: y 2 x 3 y x 4
3 3
) 2
9 6
h x f x g x 1
xx
*
hD . h

_______________________________ _____________________________
114 (2019) .2/47
*
: 2 3 2
9 6 18 6
h x 1
x x x x
2
6 3
1
x x 2
6 3 x
x x
. :
2
6 3 x
h x 0 0 3 x 0 x 3
xx
2
x 0
2
6 3 x x 3
0 0h x 0
x x x
x 0 x 0 x 0
x x 3 0
x ,0 3,
x 0
h x 0
x 0,3
x 0
:
h
,0 , 3,
0,3 .
h 1x 3
, 2
9 6
h 3 1 0
33
:
2x x
9 6
lim h x lim 1 1
xx
.
)
( )
2
: y x 4
3
.
M x,y
2
M x, x 4 , x
3
.
2
M x, x 4
3
A 3,0 ,
:
2 2
M A M AAM x x y y
2
2 2
x 3 x 4
3
.
x x t cm
x t 3cm / sec .
, AM d d t cm, :
2
2 2
d t x t 3 x t 4
3
,
t :
2
2
2 2
2 x t 3 x t 2 x t 4 x t
3 3
d t
2
2 x t 3 x t 4
3
2
2
2 2
x t 3 x t x t 4 x t
3 3
: 1
2
x t 3 x t 4
3
0t M
B 0,4 : 0x t 0
0x t 3. , 0t t 1
:
0 0 0 0
0 2
2
0 0
2 2
x t 3 x t x t 4 x t
3 3
d t
2
x t 3 x t 4
3
2
2
2 2
0 3 3 0 4 3
9 8 17 cm3 3
5 sec9 162
0 3 0 4
3
2
2
f x x 12 , x
,f , 0, .
A)
f
.
B)
x x y y A B ,
E OAB
:
2
2
12
4
, 0,
) , E
2 .
x 0 3
h (x)
0
h

_______________________________ _____________________________
114 (2019) .2/48
)
0,
2
2
32 12 0, .
) f
2
f x x 12 2x .
M ,f , 0 :
: y f f x
2
y 12 2 x
2 2
y 2 x 2 12 2
y 2 x 12
)
:
y 0
2
12
x
2
,
x x
2
12
A ,0
2
.
x 0 2
y 12 ,
y y 2
B 0, 12 .
,
:
2
21 1 12
12
2 2 2
222 2 2
0
2
12 12 121 1
12
2 2 4 4
)
0, :
22 4 212 24 144
4 4
3 2
2
1 36 3 36
6 6
4 4
2 4 2
2 2
12 8 48
3 2 3
4 4
2 2
2
12 4
3
4
2
2
3 12 2
2
4
:
2
2
3 12 2
0 2 0 24
0
0
2
2
3 12 2
0 2 0
4
0
0
2 0
2
0
2
2
3 12 2
0 2 0
4
0
0
2 0
0 2
0
0 2
( ) 0
32
0,2 ,
2,
0 2 , 2 32.
) ( )
2, 2 32 ,
2 32 0 ,
2. ,
22
22
12
32 12 8 8
4
8 32 4 .
22
32 12
0, max 4.
3
2
f x ln 4 x .
)
f .
) fC

_______________________________ _____________________________
114 (2019) .2/49
x x
y y.
) f ,
.
) 0,
2
ln4 ln 4 x
x 2,2
) f .
fC x x
,
fC
y y
x x
fC .
) f
x
2
4 x 0 .
:
2 2 2
4 x 0 x 4 x 4 x 2 2 x 2
f
fD 2,2 .
x 2,2 :
x 2,2
2 2
f x ln 4 x ln 4 x f x
f .
) fC
x x
ff x 0,x D .
:
2 2
f
ln 4 x 0 4 x 1f x 0 x 3
x 2,2x D x 2,2x 2,2
fC x x
K 3,0 3,0 . f
2,2 :
2
2
2 2
4 x 2x
f x ln 4 x
4 x 4 x
.
: 2
2 3
f 3 2 3
3 4
2
2 3
f 3 2 3
3 4
.
fC K
x x :
1 : y f 3 f 3 x 3
y 2 3 x 3 y 2 3x 6
2 : y f 3 f 3 x 3
y 2 3 x 3 y 2 3x 6
1 2 :
y 2 3x 6 y 2 3x 6
y 2 3x 6 y 2 3x 6
y 2 3x 6 y 6
x 00 4 3x
1 2
, 1 2
y y .
) f 2,2
2
2x
f x
x 4
. :
2
2x
2x 00f x 0
4 x
x 2,2x 2,2 x 2,2
x 0
x 2,2
2
4 x 0
2
x 2,2
2x
2x 00f x 0
4 x
x 2,2x 2,2 x 2,2
2 x 0
f x 0
0 x 2
x 2,2
f
:
x 2 0 2
(x)f 0
f
ln4

_______________________________ _____________________________
114 (2019) .2/50
f :
2,0
0,2 ,
0x 0 ( )
2
f 0 ln 4 0 ln 4 2ln 2 .
f 2,2 :
2 2
22 2
2x x 4 2x x 42x
f x
x 4 x 4
2 22
2 2 22 2 2
2 x 4 2x 2x 2 x 42x 8
0
x 4 x 4 x 4
x 2,2 , f
2,2 .
) f 0x 0
f 0 ln 4 : f x f 0 f x ln4
x 2,2 .
2
ln 4 ln 4 x
x 2,2 , :
ln4 maxf x ln4 ln 4 ln 4 1.
2
ln 4 ln 4 x x 2,2 ,
min 1.
) ( )
:
2
2
x 2
t 4 x 0
2
x 2 x 2 t 0
lim 4 x 0
lim f x lim ln 4 x lim ln t
2
2
x 2
t 4 x 0
2
x 2 x 2 t 0
lim 4 x 0
lim f x lim ln 4 x limlnt
fC x x
K 3,0 3,0 ,
f
.
x 2 0 2
(x)f
(x)f 0
f
6 ln4 8
A x,f x
fC x 0, 3 . A
y y B x,f x
fC , f
( ).
x,0 x,0 A
x x . (
)
x x 2x ,
f x x 0, 3
x 0 f x 0 2x
f x .

_______________________________ _____________________________
114 (2019) .2/51
,
x
0, 3 ,
2x f x
0, 3 .
h x 2x f x ,
x 0, 3 .
H h 0, 3 ,
. :
h 0 2 0 ln 4 ln 4 0
2
h 3 2 3 ln 4 3 2 3 0
h 0 h 3 0 .
h
Bolzano
0, 3 ,
0, 3 h 0 ,
h x 0
0, 3 .
.
x 0, 3 h x 2x f x
2 2
2x 2x
h x 2x f x 2 2 0
4 x 4 x
,
x 0, 3 , h ,
0, 3
’ .
h x 0
0, 3 ,
fC
x x ,
( ).
4
x
f x e
2
g x x , x .
h x f x g x , x .
)
f g
.
) h
,
0,1 , h 0.
) h .
) x x
f x e e ,x ,
1 fC
1 1x ,f x :
1 1 1y f x f x x x 1 1x x
1y e e x x
1 1x x
1y e x x 1 e
1 1x x
1 1: y e x x 1 e .
2
g x x 2x , x ,
2 gC
2 2B x ,g x : 2 2 2y g x g x x x
2
2 2 2y x 2x x x 2
2 2y 2x x x
2
2 2 2: y 2x x x .
fC gC
1 2x ,x
1 2
.
:
1
1
x
2
x 2
1 2
e 2x
x 1 e x
1
1
x
2
x 2
1 2
1
x e
2
x 1 e x
1
1
11 1
x x
2 2
2
xx x
11
1 1x e x e
2 2
11
x 1 ex 1 e e
42

_______________________________ _____________________________
114 (2019) .2/52
x1
e x 1 0
4
.
x1
x e x 1 , x
4
.
,
1,0 . :
11 e
1 e 1 1 0
4 4
01 1 3
0 e 0 1 1 0
4 4 4
1 0 0
Bolzano
1,0 . x 0,
x1
e x 1 0
4
,
0x 1,0 .
,
fC gC
. x
x x1 1
x e x 1 e 1 0
4 4
,
0x
x 0
«1-1», :
1 0
x x
2 2
1 0 1 0
1 1
x e x e
2 2
x x x x
0x
1 2 0
1
x ,x x , e
2
, fC gC
.
) :
x 2 x 2
h x f x g x e x e x , x
h
: x 2 x
h x e x e 2x
x x
h x e 2x e 2 0 x ,
h .
h 0,1 ,
.
0
h 0 e 2 0 1 0
1 1 2e 1
h 1 e 2 2 0
e e
h 0 h 1 0 ,
Bolzano, 0,1
h 0 .
, h
, h x 0 x ,
.
) :
h
x h x h 0 h x 0
h
x h x h 0 h x 0
,
h , h
,
, ,
h x 0
0,1 .
:
f
3 113, 56-57,
f g 2,2 ,
f g ,
2,2 .
f g 2,2 ,
f
:
16 x, x 16,0
f x
h x , x B 0,
,
h .

114 (2019) .2/53
. , ,
, .
1.
x 0,
2
, : x x x .
( . 52, 2018).
1.
x ,0
2
, : x x x .
: x ,0
2
,
x 0 0 x
2 2
( 1)
( x) x ( x) x x x
x x x x x x .
2.
x 0,
2
, :
3
x
x x 0
4
.
: x 0,
2
, :
x
x x x x20 x 0
x2 2 4 2 2 2
2
2x x x x x x x
2 2 2 2 2 2 2
2 2x x x x
2 x x x 1
2 2 2 2
2
2x x x x x
0
2 4 2 2 2 4
2 2
2 2x x x x
1 1
2 4 2 4
3
2 x x
x 1 x
2 4
.
3
x
x x
4
. 0 x 2
2
,
x 2 0 x 2 0 ,
3 3x 0
2 3 x x
x 4 0 x 4x 0 x 0 x 0
4 4
.
3
x
x x 0
4
, x 0,
2
.
2,
1.
2.
x ,0
2
, :
3
x
x x x x
4
.
: x ,0
2
,
x 0 0 x
2 2
( 2
1)
3
x
x ( x) x ( x)
4
3
x
x x x x
4
3
x
x x x x
4
.
3.
x ,
2 2
, :
3
x
x x
4
.
: x 0,
2
, :
3
x
x x x
4
3 3
x x
x x 0
4 4
3 3
x x
x x
4 4
3
x
x x
4
.
x ,0
2
, :
3
x
x x x
4
3
x
0 x x
4

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/54
33
xx
0 x x
4 4
3 3
x x
x x
4 4
3 3
x x
x x
4 4
3
x
x x
4
.
0x .
4.
x , : x x .
( . 52, 2018).
.
3.
x , :
2 4x x
x 1 8 8
4 4
.
: 2 x
x 1 2
2
2
2 2x x x x
1 2 2 1 2 4
4 4 4 4
2 2x x
1 8 1
4 4
2 4x x
1 8 8
4 4
.
4.
x ,
2 2
, :
2 2 4
x x x
1 x 1
2 2 20
.
: x 0,
2
, :
x
0 x 0
2 2 4
,
2
2x x x x
0
2 2 2 4
2 2 2
2 2x x x x x
2 1 2 1 x 1
2 2 2 2 2
.
2 4
x x
x 1
2 20
,
x
0 x 0
2 4 8
3
x
x x 4
0
4 4 4
( 2)
3
4
x x x
0
4 4 4
23
2
4
x x x
0
4 4 4
23
2
4
x x x
8 8
4 4 4
23
2
4
x x x
1 8 1 8
4 4 4
(1)
:
x
0
4 8
x x
4 4
4
4 x x
4 4
4
4
4
x x
8 8
4 4
(2)
(1) (2) :
2 4x x
1 8 8
4 4
23 4
4 4
x x x
1 8 8
4 4 4
2 4 6 4
2 4
5 8 4
x x x x x x
1 8 8 1 8 2 8
4 4 16 4 4 4
2 4 6 4
2 4
5 8 4
x x x x x x
1 8 8 1 16 8 8
4 4 2 4 4 4
2 4 6 4
2 4
3 7 3
x x x x x x
1 8 8 1 2 2
4 4 2 4 4 4
2 4 6
2 4
3 7
x x x x x
1 8 8 1 3 2
4 4 2 4 4
.(3)
2 4 6 2 4 2 4
3 7 3
x x x x x x x
1 3 2 1 3 1 3
2 4 4 2 4 2 64
2 4 2 4
x x x x
1 3 1
2 60 2 20
(4)
(3), (4), 3
:
2 4
x x
x 1
2 20
, x 0,
2
.
x ,0
2
, :
x 0 0 x
2 2
2 2 4
x x x
1 x 1
2 2 20
2 2 4
x x x
1 x 1
2 2 20
.
x 0 .
x ,
2 2
, :
2 2 4
x x x
1 x 1
2 2 20
.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/55
1.
x 0,1 , : 3
x x x .
: 0 x 1
2
2
x
x 1
2
0 x 1 2
0 x x 1
2 2
x 1 x
1 1 0
2 2 2
, 2
1 1
xx
1
2
0 x x , x 0,1 .
, :
2 2 2
x x 2x
x
x 2 x 2 x
1
2 2
, x 0,1 .
x 0,1 :
3
2
2x
x x
2 x
.
3
2
2x
x x
2 x
2
2
2
1 x
2 x
2 2
2 1 x 2 x 2 2 4
2 2 x 2x x
2 4
x x 0 2 2
x 1 x 0 , .
1.
x 0, :
21
ln(1 x) ln2 x
4
.
: 21
ln(1 x) ln 2 x
4
21
ln(1 x) ln 2 x 0
4
21 x 1
ln x 0
2 4
2 2x 1
ln x 0
2 4
2 2x 1
ln x 0
2 4
.
f : 0, ,
2x 1
f x 2ln x
2 4
.
f 0,
1 x
1 x x2 2f x 2 x
x 2 2 2
2
,
:
0 x
x
0
2 2
x x
2 2
x x
0
2 2
f x 0
f 0, , f
0, ,
f x f 0 2x 1
ln x 0
2 4
.
2.
x 0,
2
:
2
2
1 x
(2x) .
1 x
: x 0,
2
,
: 2 2
x x 0 x x 0
2
2 2 2 2
1 1 x 1
1 1
x x x x
2 2
2
2 2 2
1 x 1 x
x
x x x 1
2 2
2 2
1 (2x) x 2x
1 (2x)
2 x 1 x 1
2 2
2 2
2x 1 x
1 (2x) (2x)
x 1 x 1
.
3.
x 0,
2
:
2
2
1
x
x 1
.
: x 0,
2
, :
2 2
x x 0 x x 0 2 2
1 x 1 x
2
2
1
x 1
x
2
2
1
x
x 1
.
4.
x 0, :
2 x x(1 x) .
: x 0, , :
x
x x x x20 0 0
x2 2 2 2 2
2
2x x x x x x
0 2 x
2 2 2 2 2 2
1 x
x x 2 x x(1 x)
2
.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/56
. , .
:
« »
.
« -
»
, -
, , -
, ,
.
f :D , y f x
0f f x f x , 0 0x x x , x D,
0
x 0
f
f ' x lim
x
( f x
0x ). 0f ' x
, ,
f : D R y f x 0x
x 0 0f ' x x, x x D .
0 0 0df x f ' x x, x x D
x D , df x f ' x x 1 ,
x x D.
f : , f x x dx x .
df x f ' x dx
dy f ' x dx dx 0 -
,
df x
f ' x
dx
dy
f ' x
dx
dy
dx
Leibniz (1646
-1719). 0f ' x 0x D
0 0
0
x x x x
df x df xdy
dx dx dx
(
0df x
dx
-
-
x 0f x ).
:
2 3
v
2 3
d y d y d y
f '' x , f ''' x ,...,f x
dx dx dx
.
-
3
f ', f '', f ''' f ... f
Lagrange (1736 – 1813).
Leibniz.
, gg : D , u g x , -
gD D f ff : D , g D D
f x g D ,
f g y f u , u g x
y f g x :
dy dy du
,
dx du dx
dy dy
g' x ,
dx du
du
u g x g' x
dx
.
x
t ,
x x t , x ,
2
y x ,
dy dx
2x .
dx dt
dy dy du
,
dx du dx
.
. -
f g h , y f u v ,
v h x , u g h x g v -
dy dy du dv
dx du dv dx
.
1 2f f ... f .
dy
dx
,
.
« »
-
.
dx 1
dydy
dx
(
dx dy
1
dy dx
« -

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/57
» ) -
1
d f y 1
d f xdy
dx
. -
Leibniz,
-
Lagrange ( -
, ,
,
, .). -
-
,
, -
.
. -
-
y f x
0
2
2
x x
d y
dx
dy
y'
dx
0x . Leibniz Lagrange
« » ,
-
,
-
. -
-
Leibniz
« »
.
-
, -
f x dx -
-
f x .
1.
f : ,
2
x 1
y e
. Leibniz:
f R
2 v
z x 1, u z, v u, y e
.
dy dy dv du dz
,
dx dv du dz dx
v
2
dy dv du dz x
e , u, z, .
dv du dz dx x 1
x -
2
x 1
2 2
2
x x 1 x 1 e
dy
.
dx x 1
Lagrange:
2
x 1
f x e
f R -
2
x 1
f ' x e '
2
x 1
2
x 1 ' e
2
x 1
2 2
x 1 x 1 ' e
2 2
x 1 x 1
2
x 1
2
x 1 ' e
2 2
x 1 x 1
2
x 1
2
x
e
x 1
2
x 1
2 2
2
x x 1 x 1 e
x 1
2. f : ,
y f x , y
y' ny -
0,e .
. Leibniz: y
y' ny
ydy
ny .
dx
u
u ny y e udy dy du dy du
e
dx du dx dx dx
,
1 du
1
u dx
du
nu ' x c '
dx
, x c
nu x c ne ,
x c
u e , x
ny ke ,
x
ke
y e -
0,e -
x
e
y e .
Lagrange: x R
f x
f ' x ln f x f ' x f x ln f x
f ' x
ln f x ln f x ' ln f x
f x
x
ln f x c e . fC -

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/58
0,e : 0
ln f 0 c e lne c c 1.
x
x e
ln f x e f x e ,x R .
3 .
2 2 2
x y r , r 0.
r r 3
A ,
2 2
1 , y -
a .
x -
A.
. Leibniz: -
x, y
-
t.
2 2 2
x y r , r 0, t :
dx dy dx dy
2x 2y 0 x y 0 1 .
dt dt dt dt
y a
dy
a.
dt
dx
dt
x,
A
r
x
2
r 3
y .
2
1
r dx r 3
a 0
2 dt 2
r dx ra 3 dx
a 3.
2 dt 2 dt
Lagrange: -
t -
: 2 2 2
x t y t r .
2x t x' t 2y t y' t 0
y t y' t
x' t
x t
.
t -
r r 3
,
2 2
,
r
x t
2
,
r 3
y t
2
y' t a
sec
r 3
ay t y' t 2x' t a 3
rx t sec
2
4.
20Km . -
Km
40
h
Km
20
h
.
20km ,
;
. Leibniz:
d 2 2
d x y
x x t , y y t . -
2 2 2
h t d x y .
y -
x .
:
dh dx dy
2x 2y
dt dt dt
dh
40x 80y 40 x 2y .
dt
x 2y, ,
dh
0
dt
-
h , x 2y, ,
dh
0
dt
h ,
x 2y 20t 2 20 40t
2
t ,
5
2
x 20 8
5
2
y 20 40 4
5
, -
dh
0.
dt
h
2
h 80,
5
d 80 10,
.
Lagrange:
-
. t
OI 20 40t O 20t

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/59
2 2 22 2
d 20 40t 20t 20 1 2t t
2
20 5t 4t 1 . -
, 2
f t 5t 4t 1,t 0
. :
f ' t 10t 4
2
f ' t 0 t
5
f ' t 0
2
t
5
f ' t 0
2
t
5
. -
.
:
min
1
d 20 80 10
5
,
.
: 2
f t 5t 4t 1,t 0
5 0
2 2
t
2 5 5
2 1
f
5 5
.
5. A
31
y x
3
, x 0 -
.
' t t -
M -
,
-
3.
.
,
fC .
Leibniz: -
3
,
3
:
3
2
y x
3
. y 0 0
2
x 0.
3
3 0 ,
2 dx 2 d d
x .
3 dt 3 dt dt
3
dx
2,
dt
0t .
Lagrange:
3
,
3
3
2
y x
3
.
x'x
2
,0
3
. -
t :
2
x t t
3
. -
:
2 2
x' t ' t t
3 3
.
t :
2 2 . . .
x' t t 3 2
3 3 . . .
6.
2 2
C: x y 1.
o oM x ,y o1 x 0
o0 y 1 M .
K M -
x'x x'x
P , :
) PK .
) MKP ,
K O 0,0 ot
odx cm
0,2
dt sec
ox 0,25 .
. Leibniz:
o1 x 0 o0 y 1 o oM x ,y
2 .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/60
2 2 2
o o o oM C x y 1 y 1 x
M
2
o o o o: x x y y 1 x x y 1 x 1
K,P oK x ,0
o
1
P ,0
x
.
) o1 x 0 ,
o o
o o
1 1
s KP x x
x x
( ;)
PK -
: o o o
2
o o
ds x ds x dx 1
1 0,2
dt dx dt x
.
ot ox 0,25 -
:
o
o
x 0,25
ds x cm
1 16 0,2 3,4
dt sec
.
) MKP :
2
o o
o
1 1 1
E MKP PK MK x 1 x
2 2 x
.
:
o o o
o
dE x dE x dx
dt dx dt
2 o o
o o2 2
o o o
x dx1 1 1
1 1 x x
2 x x dt1 x
2 o
o 2
o
dx1 1
1 x 2
2 x dt
.
ot ox 0,25 -
:
o
2
o
x 0,25
dE x 1 15 9 15 cm
9 0,2
dt 2 4 20 sec
.
7.
2 2
C:x y 4 .
y'y x'x x,0
A 2,0
O 0,0
1 cm
2 sec
.
M M' ,
:
) AM .
) OAM .
)
MAM'M . ot -
OA .
. ) M x,y
2 2
x y 4
2 2
AM s x x 2 y 0 2 x 2 .
:
ds x ds x dx 1 1 1
2
dt dx dt 22 x 2 2 x 2
ot
OA ox 1,
x 1
ds x 1 1 cm
dt 2 sec2 1 2
) OAM :
1
OAM E x OA M
2
2 21
2 4 x 4 x
2
.
:
dE x dE x dx 2
dt dx dt
x
2 2 2
dx x
dt4 x 2 4 x
ot ox 1,
o
2 2
x 1
dE x 1 cm 3 cm
dt sec 6 sec2 3
.
) :
T x MAM'M O,MAM' MOM'
1 1
2 2 2 MM' O
2 2
x 0
2 21
4 2 x 4 x 4 x 4 x
2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/61
2
dT x d 2
4 4 x x
dt dt
x
2 2
dx
dt4 x
2
2
d 2 x
4
dt 4 x
. ) :
o
2
x 1
dE x 3 cm
dt 6 sec
.
1
E x OA OM 2
2
dE x d
2
dt dt
.
ot ox 1,
3 , 3
3
.
:
o ot t
d 3 d 3 rad
2
3 dt 6 dt 6 sec
.
0
2 2
x 1
dT x 3 1 cm cm
4 3
dt 6 sec sec3 3
.
8. :
1 : x y , 0 2 : y x ,
o
0 90 .
rad
sec
-
OAB , 0,0 ,
A ,0
1 2,
3
.
.
y x y x
x y x x
1 0
y
1
x
1
.
,
1 1
.
;
2
1 1
x det OA,OB
2 2 1
.
:
'2
dE dE d 1 d
dt d dt 2 1 dt
2
22
2 1
. ot
3
, :
2 2
3
dE
dt sec2 3
.
9.
: 2 q B q 3 q .
( ).
1
21 -
0,4M -
. -
5t
e
. ( -
: ( 4
10 ).
.
t 5t
I t 0,4 1 e
:
5t
5t
5t
5 e
I' t 0,4 1 e ' 0,4
2 e
5t
5t
5t
e
e
e
. :
4 5t 4 4
10 e 10 5t ln 10
4
5t 4ln 10 t ln10
5
.
10. μ
ox t A t . :

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/62
i) .
ii) μ μ -
μ μ μ -
. 21
m
2
, 21
D x
2
2
D m .
. O
-
. t x' t A t
2
' t x'' t A t .
Leibniz :
2
2
dx d x
x' t , x'' t
dt dt
)
ii) 2 2 2 21 1
E m mA t
2 2
2 2
E ' t mA t t
2
D A t t D x t x' t
21
E ' t D x t ' D x t x' t
2
Leibniz :
dE
E E t E ' t
dt
).
-
, -
. -
.
11. x
,
p x -
. x
,
R x x p x . R -
R'
. -
x
P x R x C x , C
. P
P' -
.
) x
,
.
) -
, -
2
C x 3800 5x 0,001 x
p x 50 0,01 x ;
. )
P x R x C x P' x R ' x C' x .
x
P' x 0 R ' x C' x 0 R ' x C' x .
) 2
R x x p x x 50 0,01x 50x 0,01x
R ' x 50 0,02x .
2
C x 3800 5x 0,001 x
C' x 5 0,002 x . P' x 0
50 0,02x 5 0,002x x 2500 .
x 2500 P' x 0 , P
x 2500
P' x 0 , P .
.
,
, x 2500 .
12. -
.
, ,
2
400t
P t
t 25
, t -
,
.
2019, -
.
. :
2 2 2
2 2
2 2
400 t 25 800t 400 25 t
P' t
t 25 t 25
2
P' t 0 25 t 0 t 5 .
t 5 P' t 0, P
t 5 P' t 0 , P
. -
.
5 -
,
2019.
:
1. ’ ,
2. ’ -
’
3. . : ,
4. . :
5. . ROSS: Elementary Analysis, Springer
6. H JEROME KEISLER: Elementary Calculus
7.

114 (2019) .2/63
:
1) p q, : « p, q »,
: « p q ».
2) p q, : « q, p»,
: «q p ».
3) p q, :
«p q» (« p, q» « q, p»), « p q ».
:
4) «p q» : « p q ».
5) «p q» : «q p ».
6) «p q» : « p q ».
7) «p , , q» : « p q ».
8) « p , , q» : « p q ».
,
o , ,
.
( « »,
« » p( p) p ):
p (q r) (p q) (p r) , p (q r) (p q) (p r) ( )
p q p q , p q p q , p q p q ( ).
( « »
« »:
« » « » « » « ».
p(x) q(x) o .
( ):
1) x, p(x) q(x) x,p(x) x,q(x)
2) x, p(x) q(x) x,p(x) x,q(x)
3) x,p(x) x,q(x) x, p(x) q(x)
4) x, p(x) q(x) x,p(x) x,q(x)
: :
x, p(x) q(x) x,p(x) x,q(x)
x,p(x) x,q(x) x, p(x) q(x)
, f g , :
x , f(x) g(x) 0 x , f(x) 0 g(x) 0 (1)
( . :
(1) x ,f(x) 0 x ,g(x) 0 .
. : « » « ».
( ) . ,
!!!, « » « »,
, ,
!!!. , , .
.
! (
) !!!

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/64
1) ,
: x + x + , x R .
. x , :
2 22 2
x x x x x x
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x 2 x x 2 x x (1).
, (1) x .
) . (1) x . , 2 2
0 ,
2
x 1 , x , 2 2
0 , 2
x 1 , x , . , :
2 2
0
) . . : 2 2
0 (1)
x .
, : .
2) : 2
2x | 2x 1| x (1) x .
. ) : 0. : (1) 2x | 2x 1| 0 2x | 2x 1| 0 2x 1 2x
2 2
x 0
(2x 1) (2x)
x 0 1
x
x 1/ 4 4
.
) : 0. : 2
x 0
(1)
2x | 2x 1| x 2
x 0
2x 2x 1 x
( : 2x 1 0 )
2
x 0
4x 1 x 2
x 0
4x 1 x
( : 4x 1 0 ) 2
x 0
4 x 1
(2).
2 (2) . : 2 . :
2
2
2
1
x 0 0
4
(2) 1
1x
x4
4
(3)
( 2 ): 2
2
1
0 4 0
4
2
4 2 2 . , (3)
2 2 : 2
1
x
4
, .
:
1
0 : x
4
2 2 : 2
1
x
4
2 2, 0 : .
3) f f 0 1 . :
f x 2 , x –2 f x 3 , x 3 . f .
.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/65
. H f –2,3 . ,
0x 2,3 0f x f x , x 2,3 . x 0 , 0f 0 f x
f 0 1 , 01 f x .
x –2 , : 0f x 2 1 f x 0f x f) ( )x(
x 3 , : 0f x 3 1 f x 0f x f) ( )x(
, x , : 0f x f x .
, f ( x0).
4) f,
f (0) = 1 , x :
2 2
f (x) f (x) = 1 . (1)
. f . (1), , :
2f (x)f (x) 2f(x)f (x) 0 f (x) f (x) f(x) 0 (2).
f ( ) 0 . , (1) x : 2
f ( ) 1,
.
:f (x) 0 , x .
, (2), x :
f (x) f(x) 0 f (x) f (x) f (x) f(x) f (x) f (x) f (x) f (x) (3) .
: h(x) f (x) f(x) .
(3), x :
x x
h (x) h(x) e h (x) e h(x) 0
x x
e h(x) 0 e h(x) c(c )
x
h(x) ce . (4)
(1) x 0 f (0) 1, f 0 0 . :
h(0) f (0) f(0) 1. (4) x 0 , : h 0 c c 1. , (4),
, x :
x x x x 2x
h(x) e f (x) f (x) e e f (x) e f (x) e
x 2x x 2x1 1
e f (x) e e f (x) e c
2 2
x x1
f (x) e c e
2
. (5)
(5) x 0 f 0 0 :
1
c
2
. , (5) :
x x
e e
f(x) , x
2
.
.

114 (2019) .2/66
------------ --------
.
, , (4 – 3 . . ), " ",
,
. " "
.
, -
" " (2 . . )
" ". .
.
" "
, [ ],
[
].
, , ,
, , , , , ,
, , .
, ,
,
,
, -
, ,
, , -
.
,
. . , -
, .
, , , , .
, , , , ,
, .
[ ]
. -
, [
, ].
, ,
, , -

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/67
. , ,
.
' -
' , . ,
. ,
, . ( , , )
, , .
, , ZK . . -
K . , , H .
H . H . . ,
, , , .
, , , , -
, , , ( ),
1
.
6 " "
.
,
,
,
. ,
, ,
, , ,
,
.
, ˆ ˆ .
2 2 2
( ) ( ) ( ) .
( )
. ,
// . , -
, , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ,
ˆˆ , .
2 2 2
.
:
2 2 2
( ) ( ) ( ) .
1
,
.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ … ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/68
: – –
321. ( 108)
fC
2
x
f(x)
4
-
gC
2
x
g(x) 3
2
,
( ).
( – ).
( – )
,
,
-
. :
.
.
fC fC .
( ) ( ) ( ) ( )
3 , ( ) ( )
,
gC , fC .
:
– , . - -
, – , -
– . .
322. ( 108)
, 0 -
:
2 2
2 2 ( ) 2 ( 4 )
4
( – )
( – )
(1, 1)
,
.
,
O ΕυκλείδηςO Ευκλείδης
προτείνει ...προτείνει ...

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ … ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/69
.
.
:
.
,
.
(1) .
,
323. ( 108)
:
2
2 2
R 1 1
2 ( )
E
R,E, , , , -
, , -
-
.
( – ).
( – )
:
2 2 2 2
2 2 2 2
R 1 1 R
2 ( ) 2
E E 4
, (1)
, ,
,
x, y, z
(1)
, (2)
(2) ,
-
:
, ,
,
x, y, z
( ) .
( . :
)
, -
Ravi Substitution
:
,
,
: –
, – ,
324. ( 108)
:
2 2 2
x y z xz 0
( )
yz 2 3
( – )

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ … ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/70
( – )
y, z .
.
-
:
-
, (1)
, -
, ,
(1) :
, -
,
. :
,
’
–
, -
:
– .
325. ( 109)
:
4R
3
3
, , , , , , R
-
.
( – )
( - )
,
,
x, y, z
, , .
:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ … ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/71
.
, Euler
,
.
.
:
– ,
- , – ,
, – . ,
- .
326. ( 109)
.
12
:
5
12
.
( - ).
( – , )
. ,
-
.
,
, (1)
, . -
:
, (2)
(1) (2) :
,
.
,
, .
:
.
,
,
, -
.
,
« » -
( ) ( -
) , -
.
-
:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ … ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/72
, -
:
, R -
, :
, (1)
(1) :
’ .
:
, -
-
,
.
-
.
327. ( 109)
( ) , , . -
( )
, -
, , . ( – )
( – , )
, -
,
.
-
, ( )
. ,
.
,
:
, (1)
:
, (2)
(1) (2)
, (3)
. :
(3) :
, (3)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ … ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/73
, -
.
.
( ),
( ) .
.
( ) -
(h) ( ) , . -
( ) .
(C) -
( ) , (h) .
. :
.
, (4)
, , (5)
(4) (5) :
. -
, .
: . . ( )
: -
-
341. -
, , ,
, R
-
.
( – )
342.
.
.
( - )
343.
,
, .
,
( - )
344. -
, , ,
R
( - )
345. , , , .
,
, -
(
)
.
( - )

114 (2019) .2/74
.
.
;
, , , , .
- … ;
- , 504.
- 504!!! ;
- … 4 …
,
, .
« ,
»
.
.
,
.
, , ,
, .
« .
: , , ,
, »

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/75
, , , , .
.
=3,14159 …, 14 - 14/3,
, 3/14 1:59 , .
22 ( ~22/7)
.
1988.
Exploratorium , .
( pie =
pi = ).
23 Fibonacci (11, 23)
Fibonacci .
1170 Leonardo Pisano,
Fibonacci, Filius Bonacci ( Bonacci), .
.
(
), . Liber
Abaci ( 1202).
Fibonacci : 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…..
.
=0,618, ,
.
.
, .
( ), ( )
.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/76
38 . . 10
. . ;
2016
: « 5
, 5
5 ».
, ;
.
. 4
5. .
;
4
.
. ( , , , ).
;
.
. ,
. 1/8
1/10 , ;
, 113
: 8 / 2/3 8
. 1+2+3+…+ . 1/2( +1) 1/3 . 2/3
( +1) =8 +1=8 =7 . 2/3 7.8=56
56:2/3=84 . .
: 54 , (
) 51 . 51 3 17.
, 34 .
: 3+5+7=15 . 3/15=1/5, 5/15=1/3
7/15. 3.1/5=3/5=0,6 , 3.1/3=1
3.7/15=21/15=7/5=1,4 . .
: 24
36( 3) 24 =36( 3) =9 24·9=216 220
.
: 7 .
: 80.
: . 30 .
: 24
23 .
: ,
20€ .
, 2·20=40 60€.
1 9€
2 9€
3 8€
4 10€

114 (2019) .2/77
21 2012,
,
.
, ’
,
,
;
,
, ,
.
,
.
;
;
,
, ,
. , ,
, ,
,

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Mundo Maya ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/78
.
.
,
, .
.
, ,
.
.
.
.
’ , , ,
. ,
. .
.
.
,
. 21 2012, , .
, . ,
.
. , .
, ,
.
, .
. . , , ,
, . ,
. .
; . ,
.
,
. .
, ;
, .
, .
;
.
. ,
,
, . .
. ,
.
, , .
, .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Mundo Maya ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/79
. , ,
, .
. :
– ,
!
,
.
– ,
;
;
,
.
– ;
; . ,
. .
. . ’
.
–
;
– ! !
.
– ; …
– . .
, . .
. .
– . ;
.
– . 13
14 . « ».

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Mundo Maya ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/80
– « »; ;
– , .
– …
– , .
260 . « ».
– 260 ; ; ;
– , ,
…
260 .
9 , 40
280 .
. .
.
20
.
260
. .
, ,
.
, .
, 224,694
. 8 « » 13 « »
.
– .
260
.
–
,
, ,
.
– ;
–
.
, ,
.
.
8 , « » 21 . 260
.
1 15 .
– . !
!

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Mundo Maya ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114 (2019) .2/81
– . , :
20 = 1
20 18=360 = 1
( )
20 360=7200 = 1
20 7200=144000 = 1
– , ,
, ;
– , 11 3114,
0.
,
.
8 12 14 8 15 8 , 12 , 14 , 8 15 ,
3407 3114 . .
– 293 . . , . !
2012, ;
– , 21 2012
13 .
– ;
: 13 1872000 .
11 –3114, 21 2012.
« » , .
– ;
– , – . .
.
– . ,
.
– .
. ,
, .
,
.
.
« », .
. .
.
.
: .
.

Πανεπιστημίου 34 - Αθήνα
fax: 210 3641025
www.hms.gr e-mail: info@hms.gr
τηλ.: 210 3616532, 210 3617784
Κεντρική Διάθεση: Πανεπιστημίου 34 - Αθήνα
fax: 210 3641025
www.hms.gr e-mail: info@hms.gr
τηλ.: 210 3616532, 210 3617784
Κεντρική Διάθεση:
της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείαςτης Ελληνικής Μαθηματικής ΕταιρείαςΕκδόσεις
Τιμή τεύχους: 3€
Τιμή 12€βιβλίου: Τιμή 12€βιβλίου: Τιμή 12€βιβλίου:
Τιμή τεύχους: 3,5€Τιμή τεύχους: 3€
Τιμή 18€βιβλίου: Τιμή 15€βιβλίου: Τιμή 20€βιβλίου:
Τιμή βιβλίου: 30€ Τιμή βιβλίου: 20€ Τιμή βιβλίου: 25€
ΠεριοδικάΔιαγωνισμοίΟλυμπιάδεςΒιβλία
5
5
5
00
5
5
5
00
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100

Ευκλειδης β 114__2019

More Related Content

What's hot

More from Θανάσης Δρούγας

Ευκλειδης β 114__2019