Eykleidhs b 118_eykleidhs_2020

118
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ ΓΕΓΟΝΟΤΑ
B΄
B΄ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ
Μαθηματικό περιοδικό για το ΛΥΚΕΙΟ
Ελληνικ Μαθηματικ Εταιρε α
ή ή ί
Ελληνικ Μαθηματικ Εταιρε α
ή ή ί
ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ - ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ - ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 20
20 ευρώ 3,5
ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ - ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ - ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 20
20 ευρώ 3,5
Θαλής 2020
Οι κύκλοι του
Οι κύκλοι του
5 μετάλλια
VIRTUAL
37 BMO
th
φιλοξενήθηκε
από τη
29 Οκτ. - 3 Νοε. 2020
Ρουμανία
ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ
ΤΕΛΟΣ
ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ
ΤΕΛΟΣ
Ταχ.
Γραφείο
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
Ταχ.
Γραφείο
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
Αριθμός
Άδειας
4156
Αριθμός
Άδειας
4156
ΕΛΤΑ
Hellenic
Post
Hellenic
Post
ΕΚΔΟΤΩΝ
ΕΝΤΥΠΟ
ΚΛΕΙΣΤΟ
ΑΡ.
ΑΔΕΙΑΣ
1099/96
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
ΕΝΤΥΠΟ
ΚΛΕΙΣΤΟ
ΑΡ.
ΑΔΕΙΑΣ
1099/96
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
Milutin Milankovitch

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ
ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ
ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ
Τεύχος 118 - Οκτώβριος - Νοέμβριος - Δεκέμβριος 2020 - Ευρώ: 3,50
e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr
ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏÕ 34
106 79 ÁÈÇÍÁ
Ôçë.: 210 3617784 - 210 3616532
Fax: 210 3641025
Ανάργυρος Φελλούρης
Παναγιώτης Δρούτσας
Åêäüôçò:
ÄéåõèõíôÞò:
ÁíäñïõëáêÜêçò Íßêïò
Áíôùíüðïõëïò Íßêïò
ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò
Âáêáëüðïõëïò Êþóôáò
ÊáêáâÜò Áðüóôïëïò
Êáìðïýêïò ÊõñéÜêïò
ÊáñêÜíçò Âáóßëçò
Êáôóïýëçò Ãéþñãïò
Êáñäáìßôóçò Óðýñïò
Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò
Êïíüìçò ¢ñôé
ÊõâåñíÞôïõ ×ñõóô
Êõñéáêüðïõëïò Áíôþíçò
Êõñéáêoðïýëïõ Êùí/íá
Ëáæáñßäçò ×ñÞóôïò
ËïõñéäÜò ÃéÜííçò
Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò
ÌáëáöÝêáò ÈáíÜóçò
ÌáõñïãéáííÜêçò Ëåùíßäáò
ÌÞëéïò Ãåþñãéïò
Ìðåñóßìçò Öñáãêßóêïò
Ìðñßíïò Ðáíáãéþôçò
Ìþêïò ñÞóôïò
Óßóêïõ Ìáñßá
ÓôåöáíÞò Ðáíáãéþôçò
ÓôñáôÞò ÃéÜííçò
Táðåéíüò Íéêüëáïò
T
ÔñéÜíôïò Ãåþñãéïò
ÔõñëÞò ÉùÜííçò
× éóôüðïõëïò ÈáíÜóçò
×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò
Øý÷áò ÂáããÝëçò
Απατσίδης Δημήτρης
Βλάχος Σπύρος
Γαμβρέλλης Αργύρης
Γιώτης Γιάννης
Δρούτσας Παναγιώτης
Ζέρβας Νίκος
Ζώτος Ευάγγελος
Κουτσούρης Λέων
αλένια
Λουμπαρδιά Αγγελική
Μανιατοπούλου Αμαλία
Μπρούζος Στέλιος
Χ
Μωραΐτου Κατερίνα
Πανταζή Αφροδίτη
Τζελέπης Αλκιβιάδης
ουρναβίτης Στέργιος
Τσικαλουδάκης Γιώργος
Τσίτος Χρήστος
Τσιφάκης Χρήστος
Τσουλουχάς Χάρης
Φανέλη Άννυ
ρ
Δ
Δ
Επίκαιρα Θέματα
Γενικά Θέματα
Οι κύκλοι του Milutin Milankovitch, 1
α παράξενα του διαδικτύου, 6
Η σύνοδος των μεγάλων πλανητών, 8
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί - Μαθηματικές Ολυμπιάδες, 9
25
Άλγεβρα: Αναλογίες, Ανισότητες, Εξισώσεις και προβλήματα, 31
Ευκλείδεια Γεωμετρία: Ασκήσεις, 39
Άλγεβρα: Θέματα για εμβάθυνση…, 41
Ευκλείδεια Γεωμετρία: Κύκλος Κανονικά Πολύγωνα, 45
Αναλυτική Γεωμετρία: Κωνικές Τομές, 47
ΣυναρτήσειςΌριοΣυνέχεια, 51
Το Βήμα του Ευκλείδη, 55
Ο Ευκλείδης προτείνει..., 69
Τα Μαθηματικ΄ά μας Διασκεδάζουν, 74
Ο πρίγκιπας Κύκλος και η πριγκίπισσα Ευθεία, 80
.......................................................
..................................................................
..........................................................
......................
............
..............................................................
.........................................................
............................
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Τ
Homo Mathematicus, ..................................................................................
.....................................................
Α΄
Β΄
Γ΄
Τάξη
Τάξη
Τάξη
Γράμμα της Σύνταξης
Κωδικός ΕΛ.ΤΑ: 2054
ISSN: 1105 - 8005
Τιμή Τεύχους: ευρώ 3,50
•
• Ïé óõíåñãáóßåò,
ÅôÞóéá óõíäñïìÞ (12,00 + 2,00 Ôá÷õäñïìéêÜ = åõñþ 14,00). ÅôÞóéá óõíäñïìÞ ãéá Ó÷ïëåßá åõñþ 12,00
Ôá äéáöçìéæüìåíá âéâëßá äå óçìáßíåé üôé ðñïôåßíïíôáé áðü ôçí Å.Ì.Å.
[ôá Üñèñá, ïé ðñïôåéíüìåíåò áóêÞóåéò, ïé ëýóåéò áóêÞóåùí êëð.] ðñÝðåé íá óôÝëíïíôáé Ýãêáéñá, óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. ìå ôçí
Ýíäåéîç “Ãéá ôïí Åõêëåßäç B´”. Ôá ÷åéñüãñáöá äåí åðéóôñÝöïíôáé.
.
Όλα τα άρθρα υπόκεινται σε κρίση, αλλά την κύρια ευθύνη τη φέρει ο
εισηγητής
Åêôýðùóç: (A. ÌÐÑÏÕÓÁËÇ & ÓÉÁ ÅÅ). ôçë.: 210 6623778 - 358 Ä. Ðáðáäüðïõëïò
ROTOPRINT Õðåýèõíïò ôõðïãñáöåßïõ:
Ζώτος Ευάγγελος
Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò
Áíôùíüðïõëïò Íßêïò
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ËïõñéäÜò ÃéÜííçò
Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò
Τσίτος Χρήστος
Τσιφάκης Χρήστος
×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò
Η έγκαιρη πληρωμή της
βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού
συνδρομής
Εξώφυλλο:
Σχόλιο: Οι εργασίες για το περιοδικό στέλνονται
και ηλεκτρονικά στο e-mail: stelios@hms.gr
Υπεύθυνοι για το Δ.Σ
Επιτροπή Έκδοσης
ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ Συντακτική Επιτροπή
Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών
Ευκλείδης:
Θαλής:
Αρχιμήδης:
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί
6 2020
Νοεμβρίου
27 2021
Φεβρουαρίου
23 Ιανουαρίου 2021
Εικαστική σύνθεση βασισμένη
στην πρόσφατη επικαιρότητα των Μαθηματικών
ΕΛΤΑ
Hellenic Post
Hellenic Post
Το για τα τεύχη που παραγγέλνονται στέλνεται:
Με κατάθεση του αντιτίμου της συνδρομής στους παρακάτω λογαριασμούς
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Πληρώνεται στα γραφεία της Ε.Μ.Ε
αντίτιμο
1.
2.
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5.
Αγαπητοί φίλοι,
μαθητές και συνάδελφοι,
πολλές ευχές για μια δημιουργικήχρονιά,
για μια χρονιά όπου η καθημερινότητα,
θαείναι σε κανονικούς ρυθμούς,
γιαένανκόσμοπιόαισιόδοξο, αυθόρμητο,
χαρούμενο,ξέγνοιαστο και επιθυμητό,
μεευκαιρίες και ελπίδα,
όπουηζωή, θα είναι πάλι στο προσκήνιο...
Καλή Χρονιά σε όλους
H ó íôá ò
επιτροπή ύ ξη
του περιοδικού
Υ.Γ.
Α΄ Λυκείου
Β΄ Λυκείου
Γ΄ Λυκείου
Υπεύθυνοι για την επιμέλεια της ύλης των τάξεων είναι οι συνάδελφοι:
[ Χρ. Λαζαρίδης, Χρ. Τσιφάκης, Χ. Τσίτος],
[ Β. Καρκάνης, Σ. Λουρίδας, Χρ. Τσιφάκης],
Δ. Αργυράκης, Κ. Βακαλόπουλος, Ι. Λουριδάς]
Γ. Κατσούλης, Λ. Κουτσούρης,
Απ. Κακκαβάς, Μ. Σίσκου,
Ν. Αντωνόπουλος,
[
Το να έχει χαρά
αισιοδοξία και όραμα για το καλύτερο ...
2021
2021 = + +
20 (2.20) 21
2 2
43 . 41 = 1763
43 . 47 = 2021
43 . 53 = 2279
) 6
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ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 118 (2020) Ĳ.2/1
ɃɿʃʑʃʄʉɿʏʉʐMilutinMilankovitch
ɅɲʆɲɶɿʙʏɻʎɅ.ɍʌɿʍʏʊʋʉʐʄʉʎ
țȠȪȝİ țĮșȘȝİȡȚȞȐ ȖȚĮ ĲȘȞ ȝȩȜȣȞıȘ ĲȠȣ ʌİȡȚȕȐȜȜȠȞĲȠȢ, ȖȚĮ ȣʌİȡșȑȡȝĮȞıȘ ĲȠȣ ʌȜĮȞȒĲȘ, ȖȚĮ
ıʌĮĲȐȜȘ ĲȦȞ ĳȣıȚțȫȞ ʌȩȡȦȞ, ț.Ȑ. ȉȚ ĮțȡȚȕȫȢ ıȣȝȕĮȓȞİȚ;
Ǿ ĮȞșȡȦʌȩĲȘĲĮ ʌȡȚȞ Įʌȩ ĲȠȞ 19Ƞ
ĮȚȫȞĮ įİȞ İȓȤİ ĮȣĲȐ ĲĮ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ʌȠȣ ĮȡȤȓıĮȝİ ȞĮ ĲĮ
ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ Įʌȩ ĲȠȞ 20Ƞ
ĮȚȫȞĮ. Ǿ ȕȚȠȝȘȤĮȞȚțȒ İʌȠȤȒ ȑĳİȡİ ȝİȖȐȜİȢ ĮȞȑıİȚȢ ıĲȘ ȗȦȒ ĲȠȣ ĮȞșȡȫʌȠȣ
ĮȜȜȐ ʌĮȡȐȜȜȘȜĮ țĮȚ ȝİȖȐȜĮ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ. ȉȠ ȜȓʌĮıȝĮ țĮȚ ĲĮ ĳȣĲȠĳȐȡȝĮțĮ ȑįȦıĮȞ ıĲȘȞ ĮȞșȡȦʌȩĲȘĲĮ
ȐĳșȠȞȘ ĲȡȠĳȒ ĮȜȜȐ țĮȚ ʌȠȜȜȐ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ȣȖİȓĮȢ.
[1879 – 1958]
ȆĮȜĮȚȩĲİȡĮ ȠȚ İȡȖĮıȓİȢ țĮȚ ȠȚ ȝİĲĮĳȠȡȑȢ ȖȓȞȠȞĲĮȞ ȝİ ĲȘȞ
ȕȠȒșİȚĮ ĲȦȞ ȗȫȦȞ, ĮȡȖȩĲİȡĮ ıĲȚȢ ʌȡȫĲİȢ ȝȘȤĮȞȑȢ İȓȤĮȝİ țȓȞȘıȘ
ȝİ Ȟİȡȩ Ȓ ĮĲȝȩ, ȝİ ĮȑȡĮ, ȝİ țȐȡȕȠȣȞȠ. ȉȠȞ 20Ƞ
ĮȚȫȞĮ ȩȜĮ
ȐȡȤȚıĮȞ ȞĮ țȚȞȠȪȞĲĮȚ ȝİ ʌİĲȡȑȜĮȚȠ.
ȉȠ ʌİĲȡȑȜĮȚȠ ȑįȦıİ ĲĮ ʌȜĮıĲȚțȐ, ĲȘ ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ ȝȐıĲȚȖĮ
ıĲȘ ȝȩȜȣȞıȘ ĲȠȣ ʌİȡȚȕȐȜȜȠȞĲȠȢ. ȅȚ șȐȜĮııİȢ, ȠȚ ȜȓȝȞİȢ, ĲĮ
ʌȠĲȐȝȚĮ, ȠȜȩțȜȘȡȘ Ș ĳȪıȘ įİȞ İȓȤİ ȣʌȠıĲİȓ ĲȘȞ țĮĲĮıĲȡȠĳȒ ʌȠȣ
ȣʌȑıĲȘ ĲĮ ĲİȜİȣĲĮȓĮ 100 ȤȡȩȞȚĮ. ǺȑȕĮȚĮ Ș İʌȚıĲȒȝȘ ȑțĮȞİ
ȐȜȝĮĲĮ ĮȣĲȐ ĲĮ ȤȡȩȞȚĮ țĮȚ Ƞ ȐȞșȡȦʌȠȢ ʌȜȑȠȞ İʌȚıțȑʌĲİĲĮȚ ĲȠ
įȚȐıĲȘȝĮ țĮȚ ȖȞȦȡȓȗİȚ ĲȠȞ ȤȫȡȠ ʌȠȣ ʌİȡȚȕȐȜİȚ ĲȘ īȘ.
Ȃİ ĲȘȞ ȕȠȒșİȚĮ ĲȠȞ ȝȘȤĮȞȫȞ įȘȝȚȠȪȡȖȘıİ ĲİȡȐıĲȚĮ țĲȒȡȚĮ
țĮȚ ĲİȡȐıĲȚĮ ȑȡȖĮ. ȈȣȖțİȞĲȡȫșȘțĮȞ ȝİȖȐȜȠȚ ʌȜȘșȣıȝȠȓ țĮȚ
įȘȝȚȠȪȡȖȘıĮȞ ĮʌȐȞșȡȦʌİȢ ʌȩȜİȚȢ.
ȈĲȚȢ ʌȩȜİȚȢ ȐȡȤȚıĮȞ ȠȚ İȜȜİȓȥİȚȢ ȞİȡȠȪ, İȞȑȡȖİȚĮȢ țĮȚ ȐȜȜȦȞ ĳȣıȚțȫȞ ʌȩȡȦȞ. īȚĮ ĲȚȢ ĮȞȐȖțİȢ ĲȘȢ
İȞȑȡȖİȚĮȢ ȑȖȚȞİ İțȝİĲȐȜȜİȣıȘ țĮȚ ĲȘȢ ʌȣȡȘȞȚțȒȢ İȞȑȡȖİȚĮȢ ȝİ ĲİȡȐıĲȚȠȣȢ țȚȞįȪȞȠȣȢ, ıĲȚȢ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ
ĮĲȣȤȘȝȐĲȦȞ. ǻȚıİțĮĲȠȝȝȪȡȚĮ ĮȣĲȠțȓȞȘĲĮ, İțĮĲȠȝȝȪȡȚĮ ĮİȡȠʌȜȐȞĮ țĮȚ ʌȜȠȓĮ țȚȞȠȪȞĲĮȚ ʌȐȞȦ ıĲȘ īȘ
țĮȚ įȚıİțĮĲȠȝȝȪȡȚĮ Ȓ ĲȡȚıİțĮĲȠȝȝȪȡȚĮ ȝȘȤĮȞȑȢ țȐșİ İȓįȠȣȢ įȠȣȜİȪȠȣȞ ȝİ ʌİĲȡȑȜĮȚȠ. īİȞȚțȐ Ș
ĮȞșȡȦʌȩĲȘĲĮ ĮȞȑʌĲȣȟİ ȑȞĮ ʌȠȜȚĲȚıȝȩ ĲȠȞ
«ʌȠȜȚĲȚıȝȩ ĲȘȢ țĮȝȚȞȐįĮȢ» ȩʌȦȢ
ȠȞȠȝȐıĲȘțİ, ĮĳȠȪ ıĲȘȡȓȤĲȘțİ ıĲȘȞ țȐʌȞĮ
ĲȠȣ ʌİĲȡİȜĮȓȠȣ. ȈȒȝİȡĮ Ƞ ȐȞșȡȦʌȠȢ ȕȜȑʌİȚ
ĮȣĲȐ ĲĮ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ʌȠȣ įȘȝȚȠȪȡȖȘıİ țĮȚ
ĮȖȦȞȓȗİĲĮȚ ȞĮ ĲĮ įȚȠȡșȫıİȚ, ȝİ ȝİȖȐȜȠ
țȩıĲȠȢ ȕȑȕĮȚĮ, ȝİ ĲȘȞ İțȝİĲȐȜȜİȣıȘ ĲȘȢ
įȪȞĮȝȘȢ ĲȠȣ ȞİȡȠȪ ĮȜȜȐ țĮȚ ĲȘȢ
ʌĮȞĲȠįȪȞĮȝȘȢ ȘȜȚĮțȒȢ İȞȑȡȖİȚĮȢ. Ǿ ȝȩȜȣȞıȘ ĮȣĲȒ ĲȠȣ ʌİȡȚȕȐȜȜȠȞĲȠȢ, Ș țȐȜȣȥȘ ȝİȖȐȜȦȞ İțĲȐıİȦȞ ȝİ
ĲıȚȝȑȞĲȠ, Ƞ ʌİȡȚȠȡȚıȝȩȢ ĲȦȞ ȡİȝȐĲȦȞ ȝİ įȚȐĳȠȡĮ ȑȡȖĮ țĮȚ ȠȚțȠįȠȝȑȢ, ĲȠ țȩȥȚȝȠ ĲȦȞ įĮıȫȞ ȑĳİȡİ țĮȚ
țĮĲĮıĲȡȠĳȑȢ Įʌȩ įȚȐĳȠȡĮ ȝİĲİȦȡȠȜȠȖȚțȐ ĳĮȚȞȩȝİȞĮ. ǵȝȦȢ İțĲȩȢ Įʌȩ ĮȣĲȐ ʌȠȣ ʌȡȠțȐȜİıİ Ƞ ȐȞșȡȦʌȠȢ,
įȘȝȚȠȣȡȖİȓĲĮȚ ĲȠ İȡȫĲȘȝĮ ʌȠȚĮ ȞĮ İȓȞĮȚ, ĲĮ ȝİĲİȦȡȠȜȠȖȚțȐ ĳĮȚȞȩȝİȞĮ ʌȠȣ ȑȤİȚ ʌȐȞĲĮ Ș īȘ țĮȚ ȠȚ
ʌȜĮȞȒĲİȢ ĮȞȐ ĲȠȣȢ ĮȚȫȞİȢ; ǹȣĲȩ ĲȠ «ȝȣıĲȚțȩ» ȝĮȢ ĲȠ ĮʌȠțȐȜȣȥİ Ƞ Milutin Milankovitch.
ȅ ȂȚȜȐȞțȠȕȚĲȢ ȒĲĮȞ ʌȠȜȚĲȚțȩȢ ȝȘȤĮȞȚțȩȢ ĮȜȜȐ țĮȚ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ, ĮıĲȡȠȞȩȝȠȢ țĮȚ țȜȚȝĮĲȠȜȩȖȠȢ.
ǻȚĮĲȪʌȦıİ ȑȞĮ ĮțȡȚȕȑȢ ĮȡȚșȝȘĲȚțȩ țȜȚȝĮĲȠȜȠȖȚțȩ ȝȠȞĲȑȜȠ ȝİ ĲȘ įȣȞĮĲȩĲȘĲĮ ĮȞĮįȘȝȚȠȣȡȖȓĮȢ ĲȠȣ
ʌĮȡİȜșȩȞĲȠȢ țĮȚ ʌȡȩȕȜİȥȘȢ ĲȠȣ ȝȑȜȜȠȞĲȠȢ. ȀĮșȚȑȡȦıİ ĲȘȞ ĮıĲȡȠȞȠȝȚțȒ șİȦȡȓĮ ĲȠȣ țȜȓȝĮĲȠȢ ȦȢ
ȖİȞȚțİȣȝȑȞȘ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ șİȦȡȓĮ ĲȘȢ ȘȜȚĮțȒȢ ĮțĲȚȞȠȕȠȜȓĮȢ. Ǿ ʌȡȫĲȘ ıȣȞİȚıĳȠȡȐ ĲȠȣ ıĲȘȞ İʌȚıĲȒȝȘ
İȓȞĮȚ Ƞ «ȀĮȞȩȞĮȢ ĲȘȢ ǾȜȚĮțȒȢ ǲțșİıȘȢ ĲȘȢ īȘȢ», ʌȠȣ ȤĮȡĮțĲȘȡȓȗİȚ ĲĮ țȜȓȝĮĲĮ ȩȜȦȞ ĲȦȞ ʌȜĮȞȘĲȫȞ
ĲȠȣ ǾȜȚĮțȠȪ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ. Ǿ įİȪĲİȡȘ İȓȞĮȚ Ș İȟȒȖȘıȘ ĲȦȞ ȝĮțȡȠʌȡȩșİıȝȦȞ țȜȚȝĮĲȚțȫȞ ĮȜȜĮȖȫȞ ĲȘȢ
īȘȢ ʌȠȣ ʌȡȠțĮȜȠȪȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȚȢ ĮȜȜĮȖȑȢ ıĲȘ șȑıȘ ĲȘȢ ıİ ıȤȑıȘ ȝİ ĲȠȞ ǳȜȚȠ. ȅȚ ȖȞȦıĲȠȓ ıȒȝİȡĮ
«țȪțȜȠȚ ĲȠȣ ȂȚȜȐȞțȠȕȚĲȢ».
ǹ

--------------------------------------------------------------------------------------- ȅȚ țȪțȜȠȚ ĲȠȣ Milutin Milankovitch -----------------------------------------------------------------------------------
ǲĲıȚ İȟȘȖȒșȘțĮȞ ȠȚ İʌȠȤȑȢ ĲȦȞ
ʌĮȖİĲȫȞȦȞ ʌȠȣ İȝĳĮȞȓıșȘțĮȞ ıĲȠ
ȖİȦȜȠȖȚțȩ ʌĮȡİȜșȩȞ ĲȘȢ īȘȢ, țĮșȫȢ țĮȚ
ȠȚ țȜȚȝĮĲȚțȑȢ ĮȜȜĮȖȑȢ ıĲȘ īȘ ʌȠȣ
ĮȞĮȝȑȞȠȞĲĮȚ ıĲȠ ȝȑȜȜȠȞ. ǼʌȠȤȒ ĲȦȞ
ȆĮȖİĲȫȞȦȞ ȠȞȠȝȐȗİĲĮȚ ȝȚĮ ȝĮțȡȠȤȡȩȞȚĮ
ȖİȦȜȠȖȚțȒ ʌİȡȓȠįȠȢ țĮĲȐ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ
ʌĮȡĮĲȘȡİȓĲĮȚ ıȘȝĮȞĲȚțȒ ʌĲȫıȘ ĲȘȢ
șİȡȝȠțȡĮıȓĮȢ ıĲȘ īȘ. Ǿ ʌȚȠ ʌȡȩıĳĮĲȘ
İʌȠȤȒ ʌĮȖİĲȫȞȦȞ ȒĲĮȞ ʌȡȚȞ 12.000
ȤȡȩȞȚĮ.
ȆĮȖİĲȫȞİȢ: ȝİȖȐȜİȢ ȝȐȗİȢ ʌȐȖȠȣ ʌȠȣ ȡȑȠȣȞ ȦȢ ʌȠĲĮȝȠȓ
ȖȜȚıĲȡȫȞĲĮȢ Įʌȩ ĲȘ ıȣȝʌȓİıȘ țĮȚ ĲȘ ȕĮȡȪĲȘĲĮ.
ǹȜȜȐ țĮȚ Įʌȩ ĲĮ ȝȑıĮ ĲȠȣ 16Ƞȣ ȝȑȤȡȚ ĲĮ ȝȑıĮ ĲȠȣ 19Ƞȣ ĮȚȫȞĮ İȓȤĮȝİ ȝȚĮ ȥȣȤȡȒ ʌİȡȓȠįȠ, ȑȞĮ ȝȓȞȚ
ʌĮȖİĲȫȞĮ ȝİ ȤĮȝȘȜȑȢ șİȡȝȠțȡĮıȓİȢ ıİ ıȤȑıȘ ȝİ ĮȣĲȑȢ ĲȘȢ ıȘȝİȡȚȞȒȢ İʌȠȤȒȢ țĮȚ ĮțȡĮȓĮ țĮȚȡȚțȐ
ĳĮȚȞȩȝİȞĮ. ȅ Milutin Milankovitch ȓįȡȣıİ ĲȘȞ ʌȜĮȞȘĲȚțȒ țȜȚȝĮĲȠȜȠȖȓĮ, ȣʌȠȜȩȖȚıİ ĲȚȢ șİȡȝȠțȡĮıȓİȢ
ĲȦȞ ĮȞȫĲİȡȦȞ ıĲȡȦȝȐĲȦȞ ĲȘȢ ĮĲȝȩıĳĮȚȡĮȢ ĲȘȢ īȘȢ țĮșȫȢ țĮȚ ĲȚȢ șİȡȝȠțȡĮıȓİȢ ĲȠȣ ǼȡȝȒ, ĲȘȢ
ǹĳȡȠįȓĲȘȢ, ĲȠȣ ǱȡȘ țĮȚ ĲȘȢ ȈİȜȒȞȘȢ. ȂȑĲȡȘıİ ĲȠ ʌȐȤȠȢ
ĲȘȢ ĮĲȝȩıĳĮȚȡĮȢ ĲȦȞ İȟȦĲİȡȚțȫȞ ʌȜĮȞȘĲȫȞ. ǺȡȒțİ ĲȘ
ıȤȑıȘ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ȠȚ ȞȩȝȠȚ ĲȘȢ țȓȞȘıȘȢ ĲȦȞ ȠȣȡĮȞȓȦȞ
ıȦȝȐĲȦȞ țĮȚ ĲȦȞ İʌȚıĲȘȝȫȞ ĲȘȢ īȘȢ. ǲșİıİ ĲȚȢ ȕȐıİȚȢ ȖȚĮ
ĲȘ ȝİĲȐȕĮıȘ Įʌȩ ĲȘȞ ȠȣȡȐȞȚĮ ȝȘȤĮȞȚțȒ ıĲȚȢ İʌȚıĲȒȝİȢ ĲȘȢ
īȘȢ țĮȚ ĲȘ ȝİĲĮĲȡȠʌȒ ĲȦȞ ʌİȡȚȖȡĮĳȚțȫȞ İʌȚıĲȘȝȫȞ ıİ
ĮțȡȚȕİȓȢ ȝİȜȑĲİȢ. ȅ Milutin Milankovitch ȖİȞȞȒșȘțİ ĲȠ
1879 ıĲȚȢ ȩȤșİȢ ĲȠȣ ǻȠȪȞĮȕȘ ıĲȠ ȤȦȡȚȩ ȃĲȐȜȚ ʌȠȣ ȝİ ĲȘ
įȓįȣȝȘ ĮįİȡĳȒ ĲȠȣ ȒĲĮȞ ĲĮ ȝİȖĮȜȪĲİȡĮ Įʌȩ ĲĮ İʌĲȐ ʌĮȚįȚȐ
ĲȘȢ ȠȚțȠȖȑȞİȚĮȢ. ȅ ʌĮĲȑȡĮȢ ĲȠȣȢ ȒĲĮȞ ȑȝʌȠȡȠȢ țĮȚ
ȖĮȚȠțĲȒȝȠȞĮȢ ʌȠȣ ʌȑșĮȞİ ȩĲĮȞ Ƞ Milutin ȒĲĮȞ ȠțĲȫ İĲȫȞ,
ĮȜȜȐ ĮțȩȝĮ ʌȑșĮȞĮȞ țĮȚ 3 ĮįȑȜĳȚĮ ĲȠȣ Įʌȩ ĳȣȝĮĲȓȦıȘ. ȅ ȓįȚȠȢ ȑȜĮȕİ ĲȘ ȕĮıȚțȒ ĲȠȣ İțʌĮȓįİȣıȘ ıĲȠ
ıʌȓĲȚ, Įʌȩ ĳȓȜȠȣȢ ĲȘȢ ȠȚțȠȖȑȞİȚĮȢ, ʌȠȣ ȝİȡȚțȠȓ ȒĲĮȞ įȚȐıȘȝȠȚ ĳȚȜȩıȠĳȠȚ, İĳİȣȡȑĲİȢ țĮȚ ʌȠȚȘĲȑȢ.
ȉȠ 1896 ʌȒȖİ ıĲȘ ǺȚȑȞȞȘ țĮȚ ıʌȠȪįĮıİ ʌȠȜȚĲȚțȩȢ ȝȘȤĮȞȚțȩȢ ıĲȠ ȆȠȜȣĲİȤȞİȓȠ țĮȚ ĮʌȠĳȠȓĲȘıİ ĲȠ
1902 ȝİ ĲȘȞ țĮȜȪĲİȡȘ ȕĮșȝȠȜȠȖȓĮ. ȀĮĲĮıțİȪĮıİ ĳȡȐȖȝĮĲĮ, ȖȑĳȣȡİȢ, ĮİȡȠȖȑĳȣȡİȢ, ȣįȡĮȖȦȖİȓĮ țĮȚ
ȐȜȜİȢ țĮĲĮıțİȣȑȢ Įʌȩ ȠʌȜȚıȝȑȞȠ ıțȣȡȩįİȝĮ ȖȚĮ ĲȠ ȠʌȠȓȠ İȓȤİ țĮȚ İȣȡİıȚĲİȤȞȓĮ. īİȞȚțȐ ıĲȠ İʌȐȖȖİȜȝĮ
ĮȣĲȩ İȓȤİ ȑȟȚ İȣȡİıȚĲİȤȞȓİȢ țĮȚ Ș ĳȒȝȘ ĲȠȣ ıĲȚȢ țĮĲĮıțİȣȑȢ ȒĲĮȞ ĲİȡȐıĲȚĮ.
ȉȠ 1909 ĲȠȣ ʌȡȠıĳȑȡșȘțİ Ș ȑįȡĮ ĲȦȞ ǼĳĮȡȝȠıȝȑȞȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ (țȜĮıȚțȒ ȝȘȤĮȞȚțȒ, ȠȣȡȐȞȚĮ
ȝȘȤĮȞȚțȒ țĮȚ șİȦȡȘĲȚțȒ ĳȣıȚțȒ) ıĲȠ ȆĮȞİʌȚıĲȒȝȚȠ ĲȠȣ ǺİȜȚȖȡĮįȓȠȣ. Ǽțİȓ ȑțĮȞİ ȑȡİȣȞİȢ ȖȚĮ įȚȐĳȠȡĮ
ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ.
ȂİȜİĲȫȞĲĮȢ ĲĮ ȑȡȖĮ ĲȠȣ țȜȚȝĮĲȠȜȩȖȠȣ Gut For Han, Ƞ
Milankovitch ȑțĮȞİ ȝȚĮ ıȘȝĮȞĲȚțȒ ʌĮȡĮĲȒȡȘıȘ, ʌȠȣ ȑȖȚȞİ ȑȞĮ
Įʌȩ ĲĮ ıȘȝĮȞĲȚțȩĲİȡĮ ĮȞĲȚțİȓȝİȞĮ ĲȘȢ İʌȚıĲȘȝȠȞȚțȒȢ ĲȠȣ
ȑȡİȣȞĮȢ, ȖȚĮ ĲȘȞ İʌȠȤȒ ĲȦȞ ʌĮȖİĲȫȞȦȞ. ǲȖȚȞĮȞ ĮȡțİĲȑȢ
ʌȡȠıʌȐșİȚİȢ İȟȒȖȘıȘȢ ĲȘȢ țȜȚȝĮĲȚțȒȢ ĮȜȜĮȖȒȢ Įʌȩ ĲȘȞ
İʌȓįȡĮıȘ ĲȦȞ ĮıĲȡȠȞȠȝȚțȫȞ įȣȞȐȝİȦȞ. ȅȚ țȜȚȝĮĲȠȜȩȖȠȚ țĮȚ ȠȚ
ȖİȦȜȩȖȠȚ įİȞ ȝʌȠȡȠȪıĮȞ ȞĮ ĮȞĮțĮȜȪȥȠȣȞ ĲȚȢ ȕĮıȚțȑȢ ĮȚĲȓİȢ.
ȅ Milutin ȐȡȤȚıİ ȞĮ İȡȖȐȗİĲĮȚ ʌȐȞȦ ıİ ĮȣĲȩ ĲȠ 1912, țĮȚ įȘȝȠıȓİȣıİ ıĲȠ ǺİȜȚȖȡȐįȚ ĲȠ ʌȡȫĲȠ ȑȡȖȠ
ĲȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚȖȡȐĳİȚ ʌȫȢ ȠȚ ĮțĲȓȞİȢ ĲȠȣ ǳȜȚȠȣ țĮșȠȡȓȗȠȣȞ ĲȘ șİȡȝȠțȡĮıȓĮ ʌȐȞȦ ıĲȘȞ İʌȚĳȐȞİȚĮ ĲȘȢ īȘȢ
«ȈȣȝȕȠȜȒ ıĲȘ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ șİȦȡȓĮ ĲȠȣ țȜȓȝĮĲȠȢ». Ǿ İʌȩȝİȞȘ İȡȖĮıȓĮ ĲȠȣ İȓȤİ ĲȓĲȜȠ «ȀĮĲĮȞȠȝȒ ĲȘȢ
ȘȜȚĮțȒȢ ĮțĲȚȞȠȕȠȜȓĮȢ ıĲȘȞ İʌȚĳȐȞİȚĮ ĲȘȢ ȖȘȢ» ʌȠȣ įȘȝȠıȚİȪșȘțİ ĲȠ 1913. ȊʌȠȜȩȖȚıİ ıȦıĲȐ ĲȘȞ

ȑȞĲĮıȘ ĲȘȢ ȘȜȚĮțȒȢ ĮțĲȚȞȠȕȠȜȓĮȢ țĮȚ ĮȞȑʌĲȣȟİ ȝȚĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ șİȦȡȓĮ ʌȠȣ ʌİȡȚȖȡȐĳİȚ ĲȚȢ țȜȚȝĮĲȚțȑȢ
ȗȫȞİȢ ĲȘȢ īȘȢ. ȅ ıĲȩȤȠȢ ĲȠȣ ȒĲĮȞ ȝȚĮ ȠȜȠțȜȘȡȦȝȑȞȘ, ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ĮțȡȚȕȒȢ șİȦȡȓĮ ʌȠȣ ȞĮ ıȣȞįȑİȚ ĲȘ
șİȡȝȚțȒ țĮĲȐıĲĮıȘ ĲȦȞ ʌȜĮȞȘĲȫȞ ȝİ ĲȘȞ țȓȞȘıȘ ĲȠȣȢ ȖȪȡȦ Įʌȩ ĲȠȞ ǳȜȚȠ. ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ʌȡȠıʌȐșȘıİ
ȞĮ ȕȡİȚ ȑȞĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ ȝȠȞĲȑȜȠ İȞȩȢ ıȣȝʌĮȞĲȚțȠȪ ȝȘȤĮȞȚıȝȠȪ ĮȜȜȐ ȤȡİȚȐıĲȘțİ ĲȡİȚȢ įİțĮİĲȓİȢ ȖȚĮ ȞĮ
ĮȞĮʌĲȪȟİȚ ȝȚĮ ĮıĲȡȠȞȠȝȚțȒ șİȦȡȓĮ. ȉȠ 2014 ȝİ ĲȠȞ ʌȩȜİȝȠ, Ƞ Milankovitch ʌȒȖİ ıĲȘ ǺȠȣįĮʌȑıĲȘ țĮȚ
İȡȖȐıĲȘțİ ıĲȘ ǺȚȕȜȚȠșȒțȘȢ ĲȘȢ ǹțĮįȘȝȓĮȢ ǼʌȚıĲȘȝȫȞ. ȉȑııİȡĮ ȤȡȩȞȚĮ ıĲȘ ǺȠȣįĮʌȑıĲȘ, ȝİȜȑĲȘıİ ĲȠ
țȜȓȝĮ ĲȦȞ İıȦĲİȡȚțȫȞ ʌȜĮȞȘĲȫȞ(ǼȡȝȒ țĮȚ ǹĳȡȠįȓĲȘȢ) ĲȠȣ ȘȜȚĮțȠȪ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ. ȉȠ 1916 įȘȝȠıȓİȣıİ
ȝȚĮ İȡȖĮıȓĮ ȝİ șȑȝĮ «ǻȚİȡİȪȞȘıȘ ĲȠȣ țȜȓȝĮĲȠȢ ĲȠȣ ʌȜĮȞȒĲȘ ǱȡȘ».
ȉȠ 1919 ıȣȞȑȤȚıİ ĲȘȞ țĮȡȚȑȡĮ ĲȠȣ ȦȢ țĮșȘȖȘĲȒȢ ıĲȠ ȆĮȞİʌȚıĲȒȝȚȠ ĲȠȣ ǺİȜȚȖȡĮįȓȠȣ. ǹʌȩ ĲȠ 1912
ȑȦȢ ĲȠ 1917 ȑȖȡĮȥİ țĮȚ įȘȝȠıȓİȣıİ İʌĲȐ ȐȡșȡĮ ıȤİĲȚțȐ
ȝİ ĲȚȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȑȢ șİȦȡȓİȢ ĲȠȣ țȜȓȝĮĲȠȢ ĲȩıȠ ıĲȘ īȘ ȩıȠ
țĮȚ ıĲȠȣȢ ȐȜȜȠȣȢ ʌȜĮȞȒĲİȢ.
ȅȚ İȡȖĮıȓİȢ ĲȠȣ Milankovitch ıȤİĲȚțȐ ȝİ ĲȘȞ
ĮıĲȡȠȞȠȝȚțȒ İȟȒȖȘıȘ ĲȦȞ İʌȠȤȫȞ ĲȦȞ ʌĮȖİĲȫȞȦȞ, İȚįȚțȐ
Ș İȡȖĮıȓĮ «țĮȝʌȪȜȘ ĲȠȣ ȘȜȚĮțȠȪ ĳȦĲȩȢ ʌȠȣ įȑȤİĲĮȚ Ș
ȖȒȚȞȘ İʌȚĳȐȞİȚĮ» ĲĮ ĲİȜİȣĲĮȓĮ 130.000 ȤȡȩȞȚĮ,
ȣʌȠıĲȘȡȓȤșȘțİ Įʌȩ ĲȠȞ țȜȚȝĮĲȠȜȩȖȠ ǺȜȐȞĲȚȝȚȡ ȀȑʌʌİȞ Ƞ
ȠʌȠȓȠȢ ȝİ İʌȚıĲȠȜȒ ĲȠȣ ȗȒĲȘıİ ȞĮ İʌİțĲİȓȞİȚ ĲȚȢ ȝİȜȑĲİȢ
Įʌȩ ĲĮ 130.000 ıĲĮ 600.000 ȤȡȩȞȚĮ. ȈȣȝĳȫȞȘıĮȞ įİ ȩĲȚ Ș
șİȡȚȞȒ ȘȜȚȠĳȐȞİȚĮ İȓȞĮȚ țĮșȠȡȚıĲȚțȩȢ ʌĮȡȐȖȠȞĲĮȢ ȖȚĮ ĲȠ
țȜȓȝĮ țĮȚ ȠȡȓȗİȚ ĲȠ ȣȥȩȝİĲȡȠ ĲȘȢ ȖȡĮȝȝȒȢ ĲȠȣ ȤȚȠȞȚȠȪ.
ȉȚ ĮțȡȚȕȫȢ ȩȝȦȢ ȑțĮȞİ Ƞ Milankovitch țĮȚ țĮĲȐĳİȡİ ȞĮ ȖȞȦȡȓȗİȚ ĲȠ țȜȓȝĮ ĲȘȢ īȘȢ țĮȚ ĲȦȞ
ʌȜĮȞȘĲȫȞ ıĲȠ ʌĮȡİȜșȩȞ ĮȜȜȐ țĮȚ ıĲȠ ȝȑȜȜȠȞ. ȈĲȠ İʌȓțİȞĲȡȠ ĲȘȢ șİȦȡȓĮȢ ĲȠȣ ȑȕĮȜİ ĲȠȞ ȒȜȚȠ, ȦȢ ĲȘ
ȝȩȞȘ ʌȘȖȒ șİȡȝȩĲȘĲĮȢ țĮȚ ĳȦĲȩȢ ıĲȠ ȘȜȚĮțȩ ıȪıĲȘȝĮ. ȉȠ ĳȐıȝĮ ĲȠȣ ǾȜȚĮțȠȪ ĳȦĲȩȢ İȓȞĮȚ ĳȐıȝĮ ʌȠȣ
įȓȞİȚ ȑȞĮ ȝȑȜĮȞ ıȫȝĮ. ȅ ǳȜȚȠȢ ĮțĲȚȞȠȕȠȜİȓ ȝİ ȑȞĲĮıȘ Ș ȠʌȠȓĮ ȩĲĮȞ ĳșȐȞİȚ ıĲȘȞ ĮĲȝȩıĳĮȚȡĮ ĲȘȢ īȘȢ
İȓȞĮȚ 1,4 kw/m2
. To 43% ĮȞĮțȜȐĲĮȚ ȟĮȞȐ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ țĮȚ ĲȠ 57% ʌİȡȓʌȠȣ ĳșȐȞİȚ ıĲȘȞ İʌȚĳȐȞİȚĮ ĲȘȢ
īȘȢ. ǻȘȜĮįȒ ıĲȘȞ ǼȜȜȐįĮ ĳșȐȞİȚ Įʌȩ 50–350 kw/m2
ĮȞȐȜȠȖĮ ȝİ ĲȘȞ İʌȠȤȒ, ĲȠ ĮȞȐȖȜȣĳȠ ĲȘȢ ʌİȡȚȠȤȒȢ
țĮȚ ĲȠ ȖİȦȖȡĮĳȚțȩ ʌȜȐĲȠȢ ĲȠȣ ĲȩʌȠȣ.
ȉȡȠȤȚĮțȒ İțțİȞĲȡȩĲȘĲĮ, ȜȠȟȩĲȘĲĮ țĮȚ ʌȡȠʌȩȡİȣıȘ.
ȂİȜȑĲȘıİ ĲȚȢ ĲȡİȚȢ țȚȞȒıİȚȢ ĲȘȢ īȘȢ: ĲȘȞ İțțİȞĲȡȩĲȘĲĮ (țȪțȜȠȢ 100.000 ȤȡȩȞȦȞ – Kepler 1609),
ĲȘȞ ĮȟȠȞȚțȒ țȜȓıȘ (țȪțȜȠȢ 41.000 İĲȫȞ – Ludwig Pilgrim, 1904) țĮȚ ĲȘȞ ʌȡȠʌȩȡİȣıȘ (țȪțȜȠȢ 23.000
ȤȡȩȞȦȞ – ǴʌʌĮȡȤȠȢ, 130 ʌ.ȋ.). ǹȣĲȑȢ ȠȚ țȚȞȒıİȚȢ İʌȘȡİȐȗȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȘ ȕĮȡȪĲȘĲĮ ĲȘȢ ȈİȜȒȞȘȢ, ĲȠȣ
ǳȜȚȠȣ, ĲȠȣ ǻȓĮ țĮȚ ĲȠȣ ȀȡȩȞȠȣ țĮȚ ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ĲȘ ȕȐıȘ ĲȦȞ țȪțȜȦȞ ĲȠȣ Milankovitch. ȀȐșİ țȪțȜȠȢ
ȜİȚĲȠȣȡȖİȓ ıİ įȚĮĳȠȡİĲȚțȒ ȤȡȠȞȚțȒ țȜȓȝĮțĮ țĮȚ İʌȘȡİȐȗİȚ ĲȘȞ ʌȠıȩĲȘĲĮ ȘȜȚĮțȒȢ İȞȑȡȖİȚĮȢ ʌȠȣ įȑȤȠȞĲĮȚ
ȠȚ ʌȜĮȞȒĲİȢ ıİ ȠʌȠȚȠįȒʌȠĲİ ıȘȝİȓȠ ĲȘȢ
İʌȚĳĮȞİȓĮȢ ĲȠȣȢ.
ȉȠ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ ĲȠȣ țĮĲȩȡșȦȝĮ ȖȚĮ ȞĮ
ʌİĲȪȤİȚ ĲĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȒĲĮȞ, ĲȠ ıȪıĲȘȝĮ
Milankovitch įȚĮȞȣıȝĮĲȚțȫȞ ıĲȠȚȤİȓȦȞ ĲȦȞ
ʌȜĮȞȘĲȚțȫȞ ĲȡȠȤȚȫȞ. ȂİȓȦıİ ĲĮ ȑȟȚ İȜȜİȚʌĲȚțȐ
ıĲȠȚȤİȓĮ ĲȦȞ Lagrange – Laplace ıİ įȪȠ
įȚĮȞȪıȝĮĲĮ ʌȠȣ țĮșȠȡȓȗȠȣȞ ĲȘ ȝȘȤĮȞȚțȒ ĲȦȞ
ʌȜĮȞȘĲȚțȫȞ țȚȞȒıİȦȞ. ȉȠ ʌȡȫĲȠ ʌȡȠıįȚȠȡȓȗİȚ
ĲȠ ĲȡȠȤȚĮțȩ İʌȓʌİįȠ ĲȠȣ ʌȜĮȞȒĲȘ, ĲȘȞ
ʌİȡȚıĲȡȠĳȒ ĲȠȣ țĮȚ ĲȘȞ ʌĮȡȐȝİĲȡȠ ĲȡȠȤȚĮțȒȢ ȑȜȜİȚȥȘȢ. ȉȠ įİȪĲİȡȠ ʌȡȠıįȚȠȡȓȗİȚ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ ĲȘȢ ĲȡȠȤȚȐȢ
ıĲȠ İʌȓʌİįȠ ĲȘȢ țĮȚ ĲȘȞ ĲȡȠȤȚĮțȒ İțțİȞĲȡȩĲȘĲĮ. Ȃİ ĲȘȞ İĳĮȡȝȠȖȒ ĮȣĲȫȞ ĲȦȞ įȚĮȞȣıȝȐĲȦȞ ĮʌȜȠʌȠȓȘıİ
ıȘȝĮȞĲȚțȐ ĲȠȞ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȩ țĮȚ ȑĲıȚ ȕȡȒțİ ȐȝİıĮ ȩȜȠȣȢ ĲȠȣȢ ĲȪʌȠȣȢ ĲȘȢ țȜĮııȚțȒȢ șİȦȡȓĮȢ ĲȦȞ
țȠıȝȚțȫȞ įȚĮĲĮȡĮȤȫȞ.

ǻȘȜĮįȒ Ƞ Milankovitch, ȝİ ĮʌȜȩ ĮȜȜȐ ʌȡȦĲȩĲȣʌȠ ĲȡȩʌȠ, ıȣȞȒȖĮȖİ ĲȠ ȞȩȝȠ ĲȠȣ ȃİȪĲȦȞĮ ȖȚĮ ĲȘ
ȕĮȡȪĲȘĲĮ Įʌȩ ĲȠȣȢ ȞȩȝȠȣȢ ĲȠȣ Kepler.
Ǿ ȚțĮȞȩĲȘĲȐ ĲȠȣ ȞĮ İțȜĮȧțİȪİȚ ĲȘȞ İʌȚıĲȒȝȘ
ĳĮȓȞİĲĮȚ ıĲȠ ȕȚȕȜȓȠ ĲȠȣ «Ȉİ ȂĮțȡȚȞȠȪȢ ȀȩıȝȠȣȢ țĮȚ
ȀĮȚȡȠȪȢ» ʌȠȣ ȑȖȡĮȥİ ĲȠ 1925 ȝİ ĲȘ ȝȠȡĳȒ İʌȚıĲȠȜȫȞ
ʌȡȠȢ ȝȓĮ ĮȞȫȞȣȝȘ ȖȣȞĮȓțĮ. ȉȠ ȑȡȖȠ ĮıȤȠȜİȓĲĮȚ ȝİ ĲȘȞ
ȚıĲȠȡȓĮ ĲȘȢ ĮıĲȡȠȞȠȝȓĮȢ, ĲȘȢ țȜȚȝĮĲȠȜȠȖȓĮȢ țĮȚ ĲȘȢ
İʌȚıĲȒȝȘȢ ȝȑıȦ ȝȚĮȢ ıİȚȡȐȢ ĳĮȞĲĮıĲȚțȫȞ İʌȚıțȑȥİȦȞ
ıİ įȚȐĳȠȡĮ ıȘȝİȓĮ ĲȠȣ ȤȫȡȠȣ țĮȚ ĲȠȣ ȤȡȩȞȠȣ Įʌȩ ĲȠȞ
ıȣȖȖȡĮĳȑĮ țĮȚ ĲȘȞ ĮȞȫȞȣȝȘ ıȪȞĲȡȠĳȩ ĲȠȣ.
ȆİȡȚȜĮȝȕȐȞİȚ ĲȠ ıȤȘȝĮĲȚıȝȩ ĲȘȢ ȖȘȢ, ʌĮȜȚȠȪȢ ʌȠȜȚĲȚıȝȠȪȢ, įȚȐıȘȝȠȣȢ ĮȡȤĮȓȠȣȢ țĮȚ
ĮȞĮȖİȞȞȘıȚĮțȠȪȢ ıĲȠȤĮıĲȑȢ țĮȚ ĲĮ İʌȚĲİȪȖȝĮĲȐ ĲȠȣȢ ĮȜȜȐ țĮȚ ĲȠ ȑȡȖȠ ĲȠȣ Kepen țĮȚ Vegener. ǹțȩȝĮ
İʌİțĲȐșȘțİ ıİ ȝİȡȚțȑȢ Įʌȩ ĲȚȢ įȚțȑȢ ĲȠȣ șİȦȡȓİȢ ȖȚĮ ĲȘȞ ĮıĲȡȠȞȠȝȓĮ țĮȚ ĲȘȞ țȜȚȝĮĲȠȜȠȖȓĮ.
ȅ ȂȚȜȐȞțȠȕȚĲȢ ȑțĮȞİ ȝİȜȑĲİȢ țĮȚ ȖȚĮ ĲȠ İıȦĲİȡȚțȩ ĲȘȢ īȘȢ țĮȚ ȖȚĮ ĲȘȞ țȓȞȘıȘ ĲȦȞ ʌȩȜȦȞ, ȒĲĮȞ
ʌİʌİȚıȝȑȞȠȢ ȩĲȚ ȠȚ ȒʌİȚȡȠȚ «İʌȚʌȜȑȠȣȞ» ıİ ȝȚĮ țȐʌȦȢ ȣȖȡȒ ȣʌȩȖİȚĮ İʌȚĳȐȞİȚĮ țĮȚ ȩĲȚ ȠȚ șȑıİȚȢ ĲȦȞ
ȘʌİȓȡȦȞ ıİ ıȤȑıȘ ȝİ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ ʌİȡȚıĲȡȠĳȒȢ İʌȘȡİȐȗȠȣȞ ĲȘ ĳȣȖȩțİȞĲȡȘ įȪȞĮȝȘ ĲȘȢ ʌİȡȚıĲȡȠĳȒȢ țĮȚ
ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ ȝİĲĮĲȠʌȓıȠȣȞ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ Įʌȩ ĲȘȞ ȚıȠȡȡȠʌȓĮ ĲȠȣ țĮȚ ȞĮ ĲȠȞ ĮȞĮȖțȐıȠȣȞ ȞĮ țȚȞȘșİȓ.
Ǿ įȚȐȜİȟȘ ȝİ șȑȝĮ «ȆȡĮȖȝĮĲȚțȒ ȆȠȜȚțȒ ȂİĲĮĲȩʌȚıȘ» ȖȚĮ ĲȘ ĳĮȚȞȩȝİȞȘ ıĲȡȠĳȒ ĲȦȞ ʌȩȜȦȞ
ȑȖȚȞİ ıĲȘȞ ǹșȒȞĮ ĲȠ 1934, ıİ ǺĮȜțĮȞȚțȩ ıȣȞȑįȡȚȠ Įʌȩ ĲȘȞ ǼȜȜȘȞȚțȒ ȂĮșȘȝĮĲȚțȒ ǼĲĮȚȡİȓĮ [ǼȂǼ].
ȅȚ ȝİȜȑĲİȢ ĲȠȣ Milankovitch, ȝİ ĲȘȞ ĮȞȐʌĲȣȟȘ ĲȠȣ ȞȑȠȣ İʌȚıĲȘȝȠȞȚțȠȪ țȜȐįȠȣ ĲȘȢ ȖİȦĳȣıȚțȒȢ
(ʌĮȜĮȚȠȝĮȖȞȘĲȚıȝȩȢ) ȝİĲȐ ĲȠ 1960, ĮȞĮȕȓȦıĮȞ ĲȘ șİȦȡȓĮ ĲȘȢ ȠȜȓıșȘıȘȢ ĲȦȞ ȘʌİȓȡȦȞ țĮȚ ĲȘȞ
ȠȞȩȝĮıĮȞ șİȦȡȓĮ ĲȦȞ ĲİțĲȠȞȚțȫȞ ʌȜĮțȫȞ.
ȉȠ 1930 Ƞ Milankovitch ȝİȜȑĲȘıİ ĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ĲȦȞ ĮȡȚșȝȘĲȚțȫȞ țȠıȝȚțȫȞ țȚȞȒıİȦȞ ĲȠȣ ȐȟȠȞĮ
ʌİȡȚıĲȡȠĳȒȢ ĲȘȢ īȘȢ. ȋȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞĲĮȢ įȚĮȞȣıȝĮĲȚțȒ ĮȞȐȜȣıȘ
țĮĲĮıțİȪĮıİ ȑȞĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ ȝȠȞĲȑȜȠ ĲȘȢ īȘȢ ȖȚĮ ȞĮ įȘȝȚȠȣȡȖȒıİȚ ȝȚĮ
șİȦȡȓĮ ĲȘȢ țȠıȝȚțȒȢ țȓȞȘıȘȢ ĲȦȞ ʌȩȜȦȞ ĲȘȢ. ǹʌȑįİȚȟİ ȩĲȚ Ș īȘ
ıȣȝʌİȡȚĳȑȡİĲĮȚ ȦȢ İȜĮıĲȚțȩ ıȫȝĮ. ȈȤİįȓĮıİ ȑȞĮ ȤȐȡĲȘ ĲȘȢ ʌȠȡİȓĮȢ ĲȦȞ
ʌȩȜȦȞ ĲĮ ĲİȜİȣĲĮȓĮ 300 İțĮĲȠȝȝȪȡȚĮ ȤȡȩȞȚĮ țĮȚ ȕȡȒțİ ȩĲȚ ȠȚ ĮȜȜĮȖȑȢ
ıȣȝȕĮȓȞȠȣȞ Įʌȩ 5 ȑȦȢ 30 İțĮĲȠȝȝȪȡȚĮ ȤȡȩȞȚĮ. ǹțȩȝĮ ȕȡȒțİ ȩĲȚ Ș ĲȡȠȤȚȐ
ĲȠȣ ʌȩȜȠȣ İȟĮȡĲȐĲĮȚ Įʌȩ ĲȘ ȖİȦȝİĲȡȓĮ ĲȘȢ ȖȒȚȞȘȢ ȝȐȗĮȢ. ǻȘȜĮįȒ ȠȚ
ȒʌİȚȡȠȚ ĲȘȢ īȘȢ ȕȣșȓȗȠȞĲĮȚ ıĲȘȞ ȣȖȡȒ ȕȐıȘ ĲȠȣȢ țĮȚ įȚȠȜȚıșĮȓȞȠȣȞ ȖȚĮ ĲȘȞ İʌȓĲİȣȟȘ ȚıȠıĲĮĲȚțȒȢ
ȚıȠȡȡȠʌȓĮȢ.
ȉȠ īȒȚȞȠ ĲİĲȡȐİįȡȠ
ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲĮ įİįȠȝȑȞĮ ĲȘȢ ĬİȦȡȘĲȚțȒȢ ȂȘȤĮȞȚțȒȢ Ƞ ĳȜȠȚȩȢ ĲȘȢ īȘȢ ȑʌȡİʌİ ȞĮ ʌȐȡİȚ ȝȠȡĳȒ
İȜȜİȚȥȠİȚįȠȪȢ İț ʌİȡȚıĲȡȠĳȒȢ. ȁȩȖȦ ȩȝȦȢ ĲȘȢ ȥȪȟİȦȢ țĮȚ ĲȘȢ ıȣıĲȠȜȒȢ ĲȠȣ ʌȣȡȒȞĮ Ƞ ĳȜȠȚȩȢ ȣʌȑıĲȘ
țĮĲĮʌĲȫıİȚȢ țĮȚ ʌĲȣȤȫıİȚȢ ĮȜȜȐ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĳȣıȚțȠȪȢ ȞȩȝȠȣȢ. ǲĲıȚ ȠȚ
ȝİȖȐȜİȢ ʌĲȣȤȫıİȚȢ ĲȠȣ ĳȜȠȚȠȪ ĮțȠȜȠȪșȘıĮȞ ĲȘȞ ĲİĲȡĮİįȡȚțȒ ıȣȝȝİĲȡȓĮ. ǹʌȩ
ĲȘȞ īİȦȝİĲȡȓĮ ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ ȩĲȚ ĲȠ țĮȞȠȞȚțȩ ĲİĲȡȐİįȡȠ ȑȤİȚ ĲȠȞ İȜȐȤȚıĲȠ ȩȖțȠ
ȝİ įİįȠȝȑȞȘ İʌȚĳȐȞİȚĮ. ǻȘȜĮįȒ ȩĲĮȞ ıȤȘȝĮĲȓıĲȘțİ Ƞ ĳȜȠȚȩȢ İȓȤİ ȠȡȚıȝȑȞȘ
ȑțĲĮıȘ ʌȐȞȦ ıİ įȚȐʌȣȡȠ ʌȣȡȒȞĮ, ȩȝȦȢ ȩĲĮȞ Ƞ ʌȣȡȒȞĮȢ İȜĮĲĲȫșȘțİ ıİ ȩȖțȠ Ƞ
ĳȜȠȚȩȢ įȚĮĲȒȡȘıİ ĲȘȞ ȑțĲĮıȘ ʌȠȣ İȓȤİ ĮȜȜȐ ʌİȡȚİȜȐȕĮȞİ ȝȚțȡȩĲİȡȠ ȩȖțȠ. ȅȚ
ȒʌİȚȡȠȚ ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ıĲȚȢ ĮțȝȑȢ ĲȠȣ ĲİĲȡĮȑįȡȠȣ İȞȫ ȠȚ șȐȜĮııİȢ ıĲȚȢ ȑįȡİȢ.
ȂİĲȐ ĲȠȞ ʌȩȜİȝȠ Ƞ Milankovitch ȒĲĮȞ ĮȞĲȚʌȡȩİįȡȠȢ ĲȘȢ ȈİȡȕȚțȒȢ
ǹțĮįȘȝȓĮȢ ǼʌȚıĲȘȝȫȞ țĮȚ ʌȑșĮȞİ ıĲȠ ǺİȜȚȖȡȐįȚ ĲȠ 1958 Įʌȩ İȖțİĳĮȜȚțȩ.
ȉĮ ȤȡȩȞȚĮ ĮȣĲȐ İȓȤİ įȘȝȠıȚİȪıİȚ ʌȠȜȜȐ ȕȚȕȜȓĮ ȖȚĮ ĲȘȞ ȚıĲȠȡȓĮ ĲȘȢ İʌȚıĲȒȝȘȢ, ȩʌȦȢ: ȅȚ ȚįȡȣĲȑȢ ĲȘȢ
ĳȣıȚțȒȢ İʌȚıĲȒȝȘȢ ȆȣșĮȖȩȡĮȢ – ǻȘȝȩțȡȚĲȠȢ – ǹȡȚıĲȠĲȑȜȘȢ – ǹȡȤȚȝȒįȘȢ, ȉİȤȞȚțȑȢ ıĲȘȞ ĮȡȤĮȚȩĲȘĲĮ,
ǿıĮȐț ȃİȪĲȦȞ țĮȚ ȠȚ ǹȡȤȑȢ ĲȠȣ, ǿıĲȠȡȓĮ ĲȘȢ AıĲȡȠȞȠȝȓĮȢ – ȝȑȤȡȚ ĲȠ 1727, ǹȣĲȠțȡĮĲȠȡȓĮ ĲȘȢ

İʌȚıĲȒȝȘȢ – İȚțȩȞİȢ Įʌȩ ĲȘ ȗȦȒ ĲȦȞ ȝİȖȐȜȦȞ İʌȚıĲȘȝȩȞȦȞ, ǼȓțȠıȚ įȪȠ ĮȚȫȞİȢ ȋȘȝİȓĮȢ.
ȉĮ ʌȡȫĲĮ ȤȡȩȞȚĮ ȝİĲȐ ĲȠ șȐȞĮĲȠ ĲȠȣ ȣʌȒȡȟİ ȝȚĮ ĮȝĳȚıȕȒĲȘıȘ ıĲȘ șİȦȡȓĮ ĲȠȣ, ȩȝȦȢ ıȪȞĲȠȝĮ Ș
șİȦȡȓĮ ĲȠȣ ĮʌȠįİȓȤșȘțİ ĮțȡȚȕȒȢ. ȉȠ ʌȡȩȖȡĮȝȝĮ CLIMAP (Climate: Long Range Investigation, Mapping
and Production) İʌȑȜȣıİ ĲİȜȚțȐ ĲȘ įȚȑȞİȟȘ țĮȚ ĮʌȠįİȓȤșȘțİ Ș șİȦȡȓĮ ĲȦȞ țȪțȜȦȞ ĲȠȣ ȂȚȜȐȞțȠȕȚĲȢ. ȉȠ
1972 ȠȚ İʌȚıĲȒȝȠȞİȢ ıȣȞȑĲĮȟĮȞ ȝȚĮ țȜȓȝĮțĮ țȜȚȝĮĲȠȜȠȖȚțȫȞ ȖİȖȠȞȩĲȦȞ ĲĮ ĲİȜİȣĲĮȓĮ 700.000 ȤȡȩȞȚĮ
Įʌȩ ʌȣȡȒȞİȢ Įʌȩ ȝİȖȐȜĮ ȕȐșȘ. ȆȡĮȖȝĮĲȠʌȠȓȘıĮȞ ĮȞȐȜȣıȘ ĲȦȞ ʌȣȡȒȞȦȞ țĮȚ ĲȑııİȡĮ ȤȡȩȞȚĮ ĮȡȖȩĲİȡĮ
țĮĲȑȜȘȟĮȞ ıĲȠ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ ȩĲȚ ĲĮ ĲİȜİȣĲĮȓĮ 500.000
ȤȡȩȞȚĮ ĲȠ țȜȓȝĮ ȑȤİȚ ĮȜȜȐȟİȚ ĮȞȐȜȠȖĮ ȝİ ĲȘȞ țȜȓıȘ ĲȠȣ
ȐȟȠȞĮ ʌİȡȚıĲȡȠĳȒȢ ĲȘȢ īȘȢ țĮȚ ĲȘ ȝİĲȐʌĲȦıȒ ĲȠȣ. ȉȠ 1988
ȑȞĮ ȞȑȠ ȝİȖȐȜȠ ʌȡȩȖȡĮȝȝĮ, ĲȠ COHMAP (Cooperative
Holocene Mapping Project) ȟĮȞĮıȣȞįȑİȚ ĲĮ ʌȡȩĲȣʌĮ ĲȘȢ
ʌĮȖțȩıȝȚĮȢ ĮȜȜĮȖȒȢ ĲȠȣ țȜȓȝĮĲȠȢ ĲȦȞ ĲİȜİȣĲĮȓȦȞ 18.000
ȤȡȩȞȦȞ, ĮʌȠįİȚțȞȪȠȞĲĮȢ țĮȚ ʌȐȜȚ ĲȠ ȕĮıȚțȩ ȡȩȜȠ ĲȦȞ
ĮıĲȡȠȞȠȝȚțȫȞ ʌĮȡĮȖȩȞĲȦȞ. ȉȠ 1989 ĲȠ ʌȡȩȖȡĮȝȝĮ
SPECMAP (Spectral Mapping Project) ȑįİȚȟİ ȩĲȚ ȠȚ
țȜȚȝĮĲȚțȑȢ ĮȜȜĮȖȑȢ İȓȞĮȚ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ ıĲȚȢ ĮȜȜĮȖȑȢ ĲȘȢ
ȘȜȚĮțȒȢ ĮțĲȚȞȠȕȠȜȓĮȢ ʌȠȣ ȠĳİȓȜİĲĮȚ ıĲȠȣȢ ĲȡİȚȢ
ĮıĲȡȠȞȠȝȚțȠȪȢ țȪțȜȠȣȢ.
ȉȠ 1999 ĮʌȠįİȓȤșȘțİ ȩĲȚ ȠȚ ʌĮȡĮȜȜĮȖȑȢ ıĲĮ ȚıȩĲȠʌĮ
ĲȠȣ ȠȟȣȖȫȞȠȣ ıĲĮ ȚȗȒȝĮĲĮ, ıĲȠȣȢ ʌȣșȝȑȞİȢ ĲȦȞ ȦțİĮȞȫȞ
ĮțȠȜȠȣșȠȪȞ ĲȘ șİȦȡȓĮ ĲȠȣ Milankovitch. ȆȠȜȜȑȢ ȐȜȜİȢ
ʌȡȩıĳĮĲİȢ ȝİȜȑĲİȢ ĮʌȠįİȚțȞȪȠȣȞ ĲȘȞ İȖțȣȡȩĲȘĲĮ ĲȘȢ
șİȦȡȓĮȢ ĲȠȣ.
ȅ Milankovitch țĮȚ ĲȠ ȘȝİȡȠȜȩȖȚȠ
ȅ ȐȞșȡȦʌȠȢ Įʌȩ ʌȠȜȪ ʌĮȜȚȐ ʌȡȠıʌȐșȘıİ ȞĮ ȝİĲȡȒıİȚ ĲȠ ȑĲȠȢ(įȘȜĮįȒ ĲȠ ȤȡȠȞȚțȩ įȚȐıĲȘȝĮ ȝȚĮȢ
ʌİȡȚĳȠȡȐȢ ĲȘȢ īȘȢ ȖȪȡȠ Įʌȩ ĲȠȞ ȒȜȚȠ) țĮȚ ȞĮ įȘȝȚȠȣȡȖȒıİȚ ȘȝİȡȠȜȩȖȚȠ. ǹȣĲȩ ȩȝȦȢ İȓȤİ ȝİȖȐȜȘ
įȣıțȠȜȓĮ ȖȚĮĲȓ Ƞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩȢ ȤȡȩȞȠȢ įİȞ ĮȞĲȚıĲȠȚȤİȓ ıİ ĮțȑȡĮȚȠ ĮȡȚșȝȩ ȘȝİȡȫȞ(İȓȞĮȚ 365 ȘȝȑȡİȢ, 5
ȫȡİȢ, 49 ȜİʌĲȐ țĮȚ ʌİȡȓʌȠȣ 12 įİȪĲİȡĮ ȝİ ȜȐșȠȢ ȝȚĮ ȝȑȡĮ ĮȞȐ 3300 ȤȡȩȞȚĮ).
ȉȠ 46 ʌ.ȋ. İĳȐȡȝȠıİ ȑȞĮ ȘȝİȡȠȜȩȖȚȠ Ƞ ǿȠȪȜȚȠȢ ȀĮȓıĮȡĮȢ ȖȚĮ ȞĮ įȚȠȡșȫıİȚ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞĮ ȜȐșȘ
ĮȜȜȐ țĮȚ ʌȐȜȚ ĲȠ 1582 ĲȠ ȘȝİȡȠȜȩȖȚȠ țĮșȣıĲİȡȠȪıİ Įʌȩ ĲȘȞ İĮȡȚȞȒ ȚıȘȝİȡȓĮ 10 ȝȑȡİȢ. ǲĲıȚ
įȘȝȚȠȣȡȖȒșȘțİ ĲȠ īȡȘȖȠȡȚĮȞȩ ȘȝİȡȠȜȩȖȚȠ ĲȠ
ȠʌȠȓȠ ȩȝȦȢ țȐʌȠȚİȢ ȤȫȡİȢ țĮȚ ȚįȚĮȓĲİȡĮ Ș
ȅȡșȩįȠȟȘ İțțȜȘıȓĮ ĮȡȞȚȩȞĲȠȣıĮȞ ȞĮ ĲȠ
įİȤĲȠȪȞ. Ǿ ǼȜȜȐįĮ ĲȠ İĳȐȡȝȠıİ ĲİȜİȣĲĮȓĮ Įʌȩ
ȩȜİȢ ĲȚȢ ȤȫȡİȢ ĲȘȢ ǼȣȡȫʌȘȢ ĲȠ 1923 țĮȚ Ș
ǼȜȜȘȞȚțȒ İțțȜȘıȓĮ ȑȞĮ ȤȡȩȞȠ ȝİĲȐ. ȉȠ
ȘȝİȡȠȜȠȖȚĮțȩ ĮȣĲȩ ȗȒĲȘȝĮ ȜȪșȘțİ ȤȐȡȚȢ ıĲȠȞ
Milankovitch, Ƞ ȠʌȠȓȠȢ įȘȝȚȠȪȡȖȘıİ ȑȞĮ ȞȑȠ
ȘȝİȡȠȜȩȖȚȠ ȖȚĮ ĲȚȢ ȅȡșȩįȠȟİȢ ǼțțȜȘıȓİȢ, ĲȠ
«ǹȞĮșİȦȡȘȝȑȞȠ ǿȠȣȜȚĮȞȩ ǾȝİȡȠȜȩȖȚȠ», ʌȠȣ İȓȞĮȚ ıȤİįȩȞ ĲĮȣĲȩıȘȝȠ ȝİ ĲȠ īȡȘȖȠȡȚĮȞȩ. ǹȣĲȩ ĲȠ
ȘȝİȡȠȜȩȖȚȠ įȑȤĲȘțĮȞ ȞĮ İĳĮȡȝȩıȠȣȞ ȠȚ ȅȡșȩįȠȟİȢ ǼțțȜȘıȓİȢ ĲȦȞ ǺĮȜțĮȞȓȦȞ țĮȚ Ș ǼȜȜȘȞȚțȒ
İțțȜȘıȓĮ. ǲĲıȚ ʌİȡȚȠȡȓıĲȘțĮȞ ȠȚ İıȦĲİȡȚțȑȢ țĮȚ ȜĮȧțȑȢ ĮȞĲȚįȡȐıİȚȢ ĳĮȞĮĲȚțȫȞ ʌȠȣ įİȞ ȒșİȜĮȞ ĲȠ
īȡȘȖȠȡȚĮȞȩ ȘȝİȡȠȜȩȖȚȠ.
ȆȡȠȢ ĲȚȝȒȞ ĲȠȣ, ıİ ȑȞĮȞ țȡĮĲȒȡĮ, ıĲȘȞ ĮșȑĮĲȘ ʌȜİȣȡȐ ĲȠȣ ĭİȖȖĮȡȚȠȪ țĮȚ ıİ ȑȞĮȞ țȡĮĲȒȡĮ ĲȠȣ
ǱȡȘ įȩșȘțİ ĲȠ ȩȞȠȝȐ ĲȠȣ. ǹıĲİȡȠİȚįİȓȢ ʌȠȣ ĮȞĮțĮȜȪĳșȘțĮȞ ĲȠ 1936 ȑȤȠȣȞ ȠȞȠȝĮıĲİȓ ȂȚȜȐȞțȠȕȚĲȢ.
ǼʌȓıȘȢ Ș ǼȣȡȦʌĮȧțȒ īİȦĳȣıȚțȒ ǼĲĮȚȡİȓĮ ȑȤİȚ șİıʌȓıİȚ ȕȡĮȕİȓȠ, ĲȠ ȝİĲȐȜȜȚȠ Milutin Milankovitch.
Ǿ ȑțįȠıȘ ĲȘȢ ȃǹȈǹ ȝİ ĲȓĲȜȠ «ȈĲȠȣȢ ǷȝȠȣȢ īȚȖȐȞĲȦȞ» ĲȠȞ țĮĲĮĲȐııİȚ ıĲĮ įİțĮʌȑȞĲİ țȠȡȣĳĮȓĮ
ȝȣĮȜȐ ȩȜȦȞ ĲȦȞ İʌȠȤȫȞ ıĲȠȞ ĲȠȝȑĮ ĲȦȞ İʌȚıĲȘȝȫȞ ĲȘȢ īȘȢ.
“… ıĲȠȞ İʌȚıĲȘȝȠȞȚțȩ ȝȠȣ ʌȡȠȠȡȚıȝȩ
ȑȤȦ ȕȡİȚ ȑȞĮ İȣȤȐȡȚıĲȠ țĮĲĮĳȪȖȚȠ, ȖȚĮĲȓ
ʌȡȠıĲĮĲİȪȠȝĮȚ ȝİ ĮȣĲȩ Įʌȩ ʌȠȜȜȑȢ
ĮȞĮĲĮȡĮȤȑȢ ʌȠȣ ıȣȖțȜȩȞȚıĮȞ ĲȠȞ țȩıȝȠ.
ȀȐĲȦ Įʌȩ ĮȣĲȒ ĲȘ ıĲȑȖȘ ȑȤȦ
ʌȡȠİĲȠȚȝȐıİȚ țĮȚ İȟȠʌȜȓıİȚ ĲȠ
İʌȚıĲȘȝȠȞȚțȩ ȝȠȣ İȡȖĮıĲȒȡȚȠ,
įȚĮȤȦȡȚıȝȑȞȠ Įʌȩ ĲȠȞ İȣȡȪĲİȡȠ țȩıȝȠ
ĮȜȜȐ ıİ ıȣȞİȤȒ ʌȞİȣȝĮĲȚțȒ ıȪȞįİıȘ ȝİ
įȚȐıȘȝȠȣȢ İʌȚıĲȒȝȠȞİȢ, įȘȝȚȠȪȡȖȘıĮ
ĲȠȞ İʌȚıĲȘȝȠȞȚțȩ ȤȫȡȠ ȝȠȣ, ĲȘȞ
ĮįȚĮȝĳȚıȕȒĲȘĲȘ ʌȞİȣȝĮĲȚțȒ ȚįȚȠțĲȘıȓĮ
ȝȠȣ. Ȉİ ĮȣĲȩ ĲȠ İȡȖĮıĲȒȡȚȠ ȑȤȦ ʌİȡȐıİȚ
ıĮȡȐȞĲĮ ȤȡȩȞȚĮ, ıȣȝʌİȡȚȜĮȝȕĮȞȠȝȑȞȦȞ
ıȪȞĲȠȝȦȞ įȚĮțȠʌȫȞ ȖȡȐĳȠȞĲĮȢ țĮȚ
įȘȝȠıȚİȪȠȞĲĮȢ ĲȚȢ İȡȖĮıȓİȢ ȝȠȣ…”

Ɉɲʋɲʌɳʇɸʆɲʏʉʐɷɿɲɷɿʃʏʑʉʐ
ɅɲʆɲɶɿʙʏɻʎɅ.ɍʌɿʍʏʊʋʉʐʄʉʎ

ȝĮșȒĲȡȚĮ ĲȘȢ ĳȦĲȠȖȡĮĳȓĮȢ İȓȞĮȚ Ș Gracie Cunningham 16 İĲȫȞ. Ǿ Gracie ȝİ ȑȞĮ video ıĲȠ
Tik Tok țĮȚ ĲȠ Twitter ʌȠȣ ȑȖȚȞİ viral, įȘȝȚȠȪȡȖȘıİ ıȐȜȠ. ǹʌȜȐ ȡȦĲȠȪıİ ĲȚ İȓȞĮȚ ĲĮ
ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ, ĮȞ İȓȞĮȚ ĮȜȘșȚȞȐ, țĮȚ ĮțȩȝĮ ȖȚĮĲȓ Ƞ ȆȣșĮȖȩȡĮȢ ĮıȤȠȜȒșȘțİ ȝİ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ
İțİȓȞĮ ĲĮ ȤȡȩȞȚĮ ĮĳȠȪ ȠȪĲİ ȣįȡĮȣȜȚțȐ įİȞ İȓȤĮȞ; ȆȠȚȠȢ İȓȤİ ȝȚĮ ĲȑĲȠȚĮ ĮȞȐȖțȘ; ʌȠȚȠȢ ıțȑĳĲȘțİ
ĮȣĲȒ ĲȘȞ ȚįȑĮ; ȂİĲȐ Įʌȩ ȤȚȜȚȐįİȢ ıȤȩȜȚĮ ʌȠȣ įȑȤĲȘțİ ĮȡȞȘĲȚțȐ țĮȚ șİĲȚțȐ Ȓȡșİ Ș ıĲȚȖȝȒ, ȝİ ĮĳȠȡȝȒ ĲȠ
İȡȫĲȘȝĮ ĲȘȢ ȝĮșȒĲȡȚĮȢ, ȞĮ ĮȡȤȓıİȚ ȑȞĮȢ ıȠȕĮȡȩȢ įȚȐȜȠȖȠȢ ȝİĲĮȟȪ İʌȚıĲȘȝȩȞȦȞ.
ȉȠ İȡȫĲȘȝĮ įİȞ İȓȞĮȚ
țĮșȩȜȠȣ ĮıĲİȓȠ İȓʌĮȞ: Ƞ
țĮșȘȖȘĲȒȢ ǼĳĮȡȝȠıȝȑȞȦȞ
ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ Steven Strogatz
ĲȠȣ Cornell, Ƞ Jordan Ellenberg
țĮșȘȖȘĲȒȢ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ıĲȠ
ȆĮȞİʌȚıĲȒȝȚȠ ĲȠȣWisconsin, Ƞ
țĮșȘȖȘĲȒȢ ĳȚȜȠıȠĳȓĮȢ Philip
Goff ĲȠȣ ȕȡİĲĮȞȚțȠȪ Durham
University țĮȚ Ș ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ
Eugenia Cheng ĲȠȣ Art Institute
of Chicago. ǼȓʌĮȞ ȩĲȚ, Ș ȝĮșȒĲȡȚĮ
ȑșİıİ ĮȝİȓȜȚțĲĮ țĮȚ ıȠȕĮȡȐ
İȡȦĲȒȝĮĲĮ ȖȚĮ ĲȘ ĳȪıȘ ĲȦȞ
ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ țĮȚ İʌĮȞȐĳİȡİ ȑȞĮ ʌĮȞȐȡȤĮȚȠ, ȐȜȣĲȠ țĮȚ ȠȣıȚȫįİȢ İȡȫĲȘȝĮ ȖȚĮ ĲȘ ĳȚȜȠıȠĳȓĮ ĲȘȢ
İʌȚıĲȒȝȘȢ. ȉȚ İȓȞĮȚ įȘȜĮįȒ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ; ȉĮ İĳȘȪȡĮȝİ Ȓ ĲĮ ĮȞĮțĮȜȪȥĮȝİ; ȅȚ ȝĮșȘȝĮĲȚțȑȢ ȑȞȞȠȚİȢ,
ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ, ȠȚ İȟȚıȫıİȚȢ, ĲĮ șİȦȡȒȝĮĲĮ, ĲĮ ȖİȦȝİĲȡȚțȐ ıȤȒȝĮĲĮ, ĲĮ ĮȟȚȫȝĮĲĮ, İȓȞĮȚ ȣʌĮȡțĲȑȢ ȠȞĲȩĲȘĲİȢ
Ȓ ĮȞșȡȫʌȚȞİȢ țĮĲĮıțİȣȑȢ;
ǹʌȩ ĲȘ ȝȓĮ ȑȤȠȣȝİ ĲȠȣȢ ıĲȠȤĮıĲȑȢ ʌȠȣ ȕȜȑʌȠȣȞ ĲȚȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȑȢ ıȤȑıİȚȢ ȦȢ ȣʌĮȡțĲȑȢ. ǼȓȞĮȚ «İțİȓ
ȑȟȦ» țĮȚ ʌİȡȚȝȑȞȠȣȞ ĮʌȜȫȢ ȞĮ ĮȞĮțĮȜȣĳșȠȪȞ Įʌȩ ĲȠȞ ȐȞșȡȦʌȠ. ǹȣĲȒ Ș ıȤȠȜȒ ıțȑȥȘȢ ĮȞĲȜİȓ ĲȘ
ȡȘĲȠȡİȓĮ ĲȘȢ Įʌȩ ĲȠȞ ʌȜĮĲȦȞȚıȝȩ.
ȅ ȆȜȐĲȦȞĮȢ șİȫȡȘıİ ʌȦȢ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ĮȞĲȚțİȓȝİȞĮ İȓȞĮȚ ĮĳȘȡȘȝȑȞĮ ȩȞĲĮ ʌȠȣ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ıĲȘȞ
ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩĲȘĲĮ. ȅȚ ȝĮșȘȝĮĲȚțȑȢ ȚįȑİȢ țĮĲȠȚțȠȪȞ ıİ ȑȞĮȞ įȚțȩ ĲȠȣȢ țȩıȝȠ, ȩȤȚ ĲȠȞ ĳȣıȚțȩ įȚțȩ ȝĮȢ
țȩıȝȠ, ĮȜȜȐ ıİ ȝȚĮ ȣʌİȡȕĮĲȚțȒ ıĳĮȓȡĮ ĮȝİĲȐȕȜȘĲȘȢ ĲİȜİȚȩĲȘĲĮȢ («ıĳĮȓȡĮ ĲȠȣ İȓȞĮȚ») ʌȠȣ ȣĳȓıĲĮĲĮȚ
ʌȑȡĮ Įʌȩ ĲȠȞ ȤȫȡȠ țĮȚ ĲȠȞ ȤȡȩȞȠ.
ȊʌȠıĲȘȡȚțĲȑȢ ĲȠȣ ʌȜĮĲȦȞȚıȝȠȪ ȒĲĮȞ Ƞ B. Russel, Ƞ Frage, Ƞ K. Gödel țĮȚ Ƞ R. Penrose Ƞ ȠʌȠȓȠȢ
ȑȖȡĮȥİ: «ȝȠȚȐȗİȚ ȞĮ ȣʌȐȡȤİȚ țȐʌȠȚĮ ʌȡȩįȘȜȘ ĮȜȒșİȚĮ ıİ ĮȣĲȑȢ ĲȚȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȑȢ ȚįȑİȢ, ʌȠȣ ʌȡȠȤȦȡȠȪȞ
ʌȑȡĮ Įʌȩ ĲȚȢ įȚĮȞȠȘĲȚțȑȢ ȑȡİȣȞİȢ İȞȩȢ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȠȣ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪ». ȈĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȩıȠ
ĮȞĮțĮȜȪʌĲȠȣȝİ ȞȑĮ ʌȡȐȖȝĮĲĮ ȝȠȚȐȗİȚ ıĮȞ ĮȣĲȐ ȞĮ ȒĲĮȞ ʌȐȞĲĮ İțİȓ țĮȚ ȞĮ ʌİȡȓȝİȞĮȞ ĮʌȜȫȢ ȞĮ ĲĮ
įȠȪȝİ. ȈĮȞ ĮȚȫȞȚİȢ ĮȜȒșİȚİȢ, ĮȞİȟȐȡĲȘĲĮ țĮȚ ʌȑȡĮ Įʌȩ ȝĮȢ.
ȅ įȚĮțİțȡȚȝȑȞȠȢ țĮșȘȖȘĲȒȢ ıĲȘ ĳȚȜȠıȠĳȓĮ ĲȘȢ İʌȚıĲȒȝȘȢ James Robert Brown ȜȑİȚ: «ȆȚıĲİȪȦ
ʌȦȢ Ƞ ȝȩȞȠȢ ĲȡȩʌȠȢ ȞĮ ȕȖȐȜȠȣȞ ȞȩȘȝĮ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ İȓȞĮȚ ȞĮ ʌȚıĲȑȥİȚȢ ʌȦȢ İȓȞĮȚ ĮȞĲȚțİȚȝİȞȚțȑȢ
ȝĮșȘȝĮĲȚțȑȢ ĮȜȒșİȚİȢ, ĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ ĮȞĮțĮȜȪʌĲȠȣȞ ȠȚ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȓ ȠȚ ȠʌȠȓȠȚ İȓȞĮȚ ȣʌİȡȕȠȜȚțȐ ʌȜĮĲȦȞȚıĲȑȢ».
ǹțĮįȘȝĮȧțȠȓ Ȓ İʌȚıĲȒȝȠȞİȢ ȐȜȜȦȞ țȜȐįȦȞ, ĮȞĲȚȝİĲȦʌȓȗȠȣȞ ĲȠȞ ʌȜĮĲȦȞȚıȝȩ ȝİ įȣıʌȚıĲȓĮ. ȆȠȜȜȠȓ
İʌȚıĲȒȝȠȞİȢ ĲİȓȞȠȣȞ ȞĮ İȓȞĮȚ İȝʌİȚȡȚıĲȑȢ. ȆȡȠıȜĮȝȕȐȞȠȣȞ ĲȠȞ țȩıȝȠ ȦȢ ʌȡȐȖȝĮĲĮ țĮȚ ıȤȑıİȚȢ ʌȠȣ
ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȕȚȫıȠȣȝİ, ȞĮ ȞȚȫıȠȣȝİ, ʌȡȐȖȝĮĲĮ ȖȚĮ ĲĮ ȠʌȠȓĮ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȝȐșȠȣȝİ ʌİȡȚııȩĲİȡĮ ȝȑıȦ
ĲȘȢ ʌĮȡĮĲȒȡȘıȘȢ țĮȚ ĲȠȣ ʌİȚȡȐȝĮĲȠȢ.
ǹȣĲȠȓ ʌȠȣ ĮȡȞȠȪȞĲĮȚ ĲȘȞ ʌȡȠĮȚȫȞȚĮ ĮȜȒșİȚĮ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ, ĲĮ șİȦȡȠȪȞ ȩĲȚ İȓȞĮȚ
įȘȝȚȠȣȡȖȒȝĮĲĮ ĲȠȣ ȞȠȣ, ȑȞĮ ʌĮȚȤȞȓįȚ ıȣȝȕȩȜȦȞ. ǹȞ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ĮȞĲȚțİȓȝİȞĮ ȑȤȠȣȞ įȚțȒ ĲȠȣȢ ȗȦȒ ıİ
ȐȜȜİȢ ıĳĮȓȡİȢ, ĲȩĲİ ʌȫȢ ĳĲȐȞȠȣȝİ ȞĮ ȖȞȦȡȓıȠȣȝİ țȐĲȚ ȖȚ’ ĮȣĲȐ İįȫ, ıĲȘ įȚțȒ ȝĮȢ įȚȐıĲĮıȘ;
ȅȚ ʌȜĮĲȦȞȚıĲȑȢ, ȩȝȦȢ ȜȑİȚ, Ƞ Brown, ʌȦȢ ʌȡȠıȜĮȝȕȐȞȠȣȝİ ĲȚȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȑȢ ĮȜȒșİȚİȢ ȝİ ĲȠȞ ȓįȚȠ
ĲȡȩʌȠ ʌȠȣ Ƞ īĮȜȚȜĮȓȠȢ Ȓ Ƞ ǹȧȞıĲȐȚȞ ıȣȞȑȜĮȕĮȞ ĳȣıȚțȑȢ ĮȜȒșİȚİȢ, įȚĮȚıșȘĲȚțȐ ȝȑıȦ «ȞȠȘĲȚțȫȞ
ʌİȚȡĮȝȐĲȦȞ».
Ǿ

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ȉĮ ʌĮȡȐȟİȞĮ ĲȠȣ įȚĮįȚțĲȪȠȣ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ȃȠȘĲȚțȐ ʌİȚȡȐȝĮĲĮ, ʌȠȣ ʌȡȠȘȖȒșȘțĮȞ ĲȦȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȫȞ ʌİȚȡĮȝȐĲȦȞ ʌȠȣ ĮʌȑįİȚȟĮȞ ĲȚȢ șİȦȡȓİȢ
ĲȠȣȢ. ȋȦȡȓȢ ȞĮ țȐȞİȚ țȐĲȚ, Ƞ īĮȜȚȜĮȓȠȢ ıțȑĳĲȘțİ ʌȦȢ ȕĮȡȚȐ țĮȚ İȜĮĳȡȚȐ ĮȞĲȚțİȓȝİȞĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ʌȑĳĲȠȣȞ
ȝİ ĲȠȞ ȓįȚȠ ȡȣșȝȩ. Ȃİ ĲȠȞ ȓįȚȠ ĲȡȩʌȠ, ȑȞĮȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİȚ ʌȦȢ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ
ȖȦȞȚȫȞ İȞȩȢ ĲȡȚȖȫȞȠȣ İȓȞĮȚ 180 ȝȠȓȡİȢ, ȤȦȡȓȢ ȞĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȝİĲȡȒıİȚ ĲȚȢ ȖȦȞȓİȢ ȩȜȦȞ ĲȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ.
ȅȪĲİ țĮȞ İȞȩȢ ĲȡȚȖȫȞȠȣ. ȂȩȞȠ ȑȞĮȞ ȑȟȣʌȞȠ ȞȠȣ ȤȡİȚȐȗİıĮȚ.
Ǿ ıȣȗȒĲȘıȘ ȕȐȗİȚ ıĲȠ İʌȓțİȞĲȡȠ țĮȚ ĲȠȞ ȠȡȚıȝȩ ĲȦȞ ĮĳȘȡȘȝȑȞȦȞ İȞȞȠȚȫȞ. ȅȚ ʌȜĮĲȦȞȚıĲȑȢ ȜȑȞİ
ȩĲȚ ȝİ ĲȠȞ ȓįȚȠ ĲȡȩʌȠ ʌȠȣ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ĲĮ ĳȣıȚțȐ ĮȞĲȚțİȓȝİȞĮ ĲȠȣ țȩıȝȠȣ ȝĮȢ, ȣʌȐȡȤȠȣȞ țĮȚ ȠȚ ĮĳȘȡȘȝȑȞİȢ
ȑȞȞȠȚİȢ. Ǿ ȜȠȖȚțȒ ĮȡȤȒ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ĲȠ ĮȟȓȦȝĮ, İȓȞĮȚ ȝȚĮ ʌȡȩĲĮıȘ ʌȠȣ įİȞ ĮʌȠįİȚțȞȪİĲĮȚ, ĮȜȜȐ șİȦȡİȓĲĮȚ
ʌȡȠĳĮȞȒȢ.
ȉĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ıİ ĮȣĲȒ ĲȘȞ İțįȠȤȒ ĲȠȣ
ʌȜĮĲȦȞȚıȝȠȪ İȓȞĮȚ ȑȞĮ ıȪȞȠȜȠ țĮȞȩȞȦȞ ʌȠȣ
ʌȡȠțȪʌĲȠȣȞ Įʌȩ ĮȡȤȚțȑȢ ȣʌȠșȑıİȚȢ ʌȠȣ ȑȤȠȣȝİ
șİȦȡȒıİȚ ĮȜȘșİȓȢ. ǲĲıȚ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȝȠȚȐȗȠȣȞ ıĮȞ
İĳİȪȡİıȘ.
ǵȝȦȢ ĮȞ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ İȓȞĮȚ ıȤȑıİȚȢ ʌȠȣ
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ĮȞĲĮʌȠțȡȓȞȠȞĲĮȚ ĲȩıȠ İȟĮȚȡİĲȚțȐ ıĲȠȞ ĳȣıȚțȩ ȝĮȢ
țȩıȝȠ; īȚĮĲȓ įȚȐĳȠȡĮ șȑȝĮĲĮ ĲȘȢ ĳȣıȚțȒȢ, ĲȘȢ
ȕȚȠȜȠȖȓĮȢ, ĲȘȢ ȝİĲİȦȡȠȜȠȖȓĮȢ țĮȚ ĲȩıĮ ȐȜȜĮ
ʌİȡȚȖȡȐĳȠȞĲĮȚ ȐȡȚıĲĮ ȝİ ĲȚȢ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ;
īȚĮĲȓ Ș ĮțȠȜȠȣșȓĮ Fibonacci İȝĳĮȞȓȗİĲĮȚ
įȚĮȡțȫȢ ıĲĮ ȝȠĲȓȕĮ ĲȦȞ ȘȜȚȠĲȡȠʌȓȦȞ, ĲȦȞ ıĮȜȚȖțĮȡȚȫȞ, ĲȦȞ ĲȣĳȫȞȦȞ, ĮțȩȝĮ țĮȚ ıĲȠȣȢ ıʌİȚȡȠİȚįİȓȢ
ȖĮȜĮȟȓİȢ; īȚĮĲȓ, ȝİ įȣȠ ȜȩȖȚĮ, ȑȤȠȣȞ ĮʌȠįİȚȤĲİȓ ĲȩıȠ ȤȡȒıȚȝĮ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ıĲȘȞ ʌİȡȚȖȡĮĳȒ ĲȠȣ
ĳȣıȚțȠȪ țȩıȝȠȣ; Ǿ ĮʌȐȞĲȘıȘ ĮțȩȝĮ țĮȚ ıĲȠ ʌĮȡȐįȠȟȠ ĲȠȣ Eug. Wigner (ȅȪȖȖȡȠȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ țĮȚ
ĳȣıȚțȩȢ ȝİ ȕȡĮȕİȓȠ Nobel ĭȣıȚțȒȢ ĲȠ 1963) İȓȞĮȚ ȩĲȚ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ĮȟȚȫȝĮĲĮ įİȞ İʌȚȜȑȖȠȞĲĮȚ ĲȣȤĮȓĮ,
İʌȚȜȑȖȠȞĲĮȚ ȦȢ ĮȜȘșİȓȢ ʌȡȠĲȐıİȚȢ ĮțȡȚȕȫȢ İʌİȚįȒ ȑȤȠȣȞ ȞĮ țȐȞȠȣȞ ȝİ ĲȠȞ ĲȡȩʌȠ ʌȠȣ įȠȣȜİȪİȚ Ƞ ĳȣıȚțȩȢ
țȩıȝȠȢ. Ǿ ĮʌȩįİȚȟȘ İȓȞĮȚ ȠȚ ĮȜȒșİȚİȢ ĲȘȢ ǼȣțȜİȓįİȚĮȢ īİȦȝİĲȡȓĮȢ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȠȚțȠȣȝİȞȚțȑȢ țĮȚ
ĮȞĮȜȜȠȓȦĲİȢ, ȩʌȦȢ țĮȚ ĲȦȞ ȝȘ ǼȣțȜİȓįİȚȦȞ īİȦȝİĲȡȚȫȞ, ĲȘȢ ǼȜȜİȚʌĲȚțȒȢ (Riemann) īİȦȝİĲȡȓĮȢ țĮȚ
ĲȘȢ ȊʌİȡȕȠȜȚțȒȢ (Lobachevski) īİȦȝİĲȡȓĮȢ. ȉȠ ȓįȚȠ ȚıȤȪİȚ ȖȚĮ ĲȠȣȢ ĳȣıȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ.
ǺȑȕĮȚĮ ȝȚĮ ȐȜȜȘ ȠȝȐįĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ĮȞĮĳȑȡİȚ ȩĲȚ ȩȜĮ ĮȣĲȐ İȓȞĮȚ ȝĮșȘȝĮĲȚțȑȢ țĮĲĮıțİȣȑȢ ȖȚĮĲȓ ĮȞ
ȗȠȪıĮȝİ ıİ ȑȞĮȞ ȐȜȜȠ ĳȣıȚțȩ țȩıȝȠ, ʌ.Ȥ. ȝȑıĮ ıĲȠ Ȟİȡȩ, ĲȩĲİ Ș șİȦȡȓĮ ĲȦȞ ȡİȣıĲȫȞ șĮ ȒĲĮȞ ʌȠȜȪ ʌȚȠ
ıȘȝĮȞĲȚțȒ țĮȚ Ș ĮȡȓșȝȘıȘ ȓıȦȢ įȚĮĳȠȡİĲȚțȒ.
ȅ Pigliucci, țĮșȘȖȘĲȒȢ ĳȚȜȠıȠĳȓĮȢ ĲȘȢ ȃ. ȊȩȡțȘȢ
İʌȚȝȑȞİȚ: ȉĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ įȠȣȜİȪȠȣȞ İʌİȚįȒ ȑĲıȚ ĮțȡȚȕȫȢ ĲĮ
ȑȤȠȣȝİ ĳĲȚȐȟİȚ, ȩʌȦȢ ȑȞĮ ıĳȣȡȓ ʌȠȣ įȠȣȜİȪİȚ ʌȠȜȪ țĮȜȐ
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ȝĮșȘȝĮĲȚțȑȢ ĮȜȒșİȚİȢ ĲȘȢ ĮȞșȡȫʌȚȞȘȢ İʌȚȞȠȘĲȚțȩĲȘĲĮȢ ȑȤȠȣȞ
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ȝȑȤȡȚ ȞĮ țĮĲĮȜȒȟȠȣȞ țȐʌȠȣ, ȠȚ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȓ șĮ ıȣȞİȤȓıȠȣȞ
ȞĮ ĮȞĮțĮȜȪʌĲȠȣȞ ȞȑİȢ șİȦȡȓİȢ țĮȚ ȞĮ İȡȝȘȞİȪȠȣȞ ĲȠȞ țȩıȝȠ
ȝĮȢ.
ȅ ʌȠȜȣȕȡĮȕİȣȝȑȞȠȢ ǲȜȜȘȞĮȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ țĮȚ ĳȣıȚțȩȢ ǻȘȝȒĲȡȘȢ ȋȡȚıĲȠįȠȪȜȠȣ ȝĮȢ İȓȤİ
İțȝȣıĲȘȡİȣĲİȓ ıİ ȝȚĮ ıȣȞȑȞĲİȣȟȘ [ǼȊȀȁ ǺǯĲ. 84], “…ȩĲĮȞ ȠȜȠțȜȒȡȦıĮ ĲȘȞ İȡȖĮıȓĮ ȝȠȣ ȖȚĮ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ
ȕȡĮȕİȪĲȘțĮ (SHAW PRIZE, 2011), șȣȝȐȝĮȚ, ȝʌȒțİ ıĲȠ ȝȣĮȜȩ ȝȠȣ ȝȚĮ ĮȝĳȚȕȠȜȓĮ, İȓȤĮ ĲȡȠȝİȡȩ ȐȖȤȠȢ, ȝİ
ȑĲȡȦȖİ ĮȞ ıĲȘȡȓȤĲȘțĮ ıİ țȐʌȠȚȠ Įʌȩ ĲĮ șİȝȑȜȚĮ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ʌȠȣ ıĲȠ ȝȑȜȜȠȞ șĮ ĮȝĳȚıȕȘĲȘșİȓ.
ǵȝȦȢ ıȣȗȒĲȘıĮ ȝİ ȐȜȜȠȣȢ ȑȝʌİȚȡȠȣȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪȢ țĮȚ ȝȠȣ İȓʌĮȞ ȩĲȚ ĲȠ ıȪȞįȡȠȝȠ ĮȣĲȩ İȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȩ.
ǲȤİȚ ıȣȝȕİȓ ıİ ĮȡțİĲȠȪȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪȢ ıĲȠ ʌĮȡİȜșȩȞ ıİ ʌĮȡȩȝȠȚİȢ ıȣȞșȒțİȢ țĮȚ ȑĲıȚ ȘȡȑȝȘıĮ …”.
Ɉɻʅɲɽɻʅɲʏɿʃɼʍʃɹʗɻʏɻʆ
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ʏʙʌɲʉɿʋʄɲʆɼʏɸʎʏʉʐȸʄɿɲʃʉʑʍʐʍʏɼʅɲʏʉʎʃɿʆʉʑʆʏɲɿʍɸʍʐɶʃɸʃʌɿʅɹʆɸʎʏʌʉʖɿɹʎʃɲɿʏʉʐʎɴʄɹʋʉʐʅɸ
ʍɸɷɿɳʔʉʌɲʍɻʅɸʀɲʏʉʐʉʐʌɲʆʉʑ.ɀɸʌɿʃɹʎʔʉʌɹʎɷʑʉɼʋɸʌɿʍʍʊʏɸʌʉɿɲʋʊɲʐʏʉʑʎʔɲʀʆʉʆʏɲɿʍʏʉ
ʀɷɿʉʍɻʅɸʀʉʏʉʐʉʐʌɲʆʉʑ,ʏʊʏɸʄɹʅɸʉɿʋʄɲʆɼʏɸʎɲʐʏʉʀɸʀʆɲɿʍɸ«ʍʑʆʉɷʉ».

ɇʏɿʎ21ȴɸʃɸʅɴʌʀʉʐʔɹʏʉʎ,ʏʉ2020,ʏɻʅɹʌɲʋʉʐɹʖʉʐʅɸʏʉʖɸɿʅɸʌɿʆʊȸʄɿʉʍʏɳʍɿʉ,ɽɲɴʌɸɽʉʑʆ
ʍɸʍʑʆʉɷʉʉɿɷʑʉʋʉɿʉʅɸɶɳʄʉɿʋʄɲʆɼʏɸʎȴʀɲʎʃɲɿȾʌʊʆʉʎ.
Ɉʉʋʄɻʍʀɲʍʅɲʏʘʆɷʑʉɲʐʏʙʆʋʄɲʆɻʏʙʆɷɸʆɶʀʆɸʏɲɿʍʐʖʆɳ.Ʌɸʌʀʋʉʐʃɳɽɸ20ʖʌʊʆɿɲʋʄɻʍɿɳɺɸɿʉ
ɹʆɲʎʏʉʆɳʄʄʉ.Ȱʐʏɼʏɻʔʉʌɳɽɲ«ʋɹʍɸɿ»ʉɹʆɲʎʋɳʆʘʍʏʉʆɳʄʄʉ,ɷɻʄɲɷɼɽɲʔɲʀʆʉʆʏɲɿʍɲʆɹʆɲʎ
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2080ɽɲɸʀʆɲɿʋɳʄɿʍɸʍʑʆʉɷʉʉȴʀɲʎʅɸʏʉʆȾʌʊʆʉɲʄʄɳɷɸʆɽɲʇɲʆɲʍʐʅɴɸʀɹʘʎʏʉ2400.
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ɀɸʅɸɶɳʄɻɸʋɿʏʐʖʀɲɹɶɿʆɸʍʏɿʎ13ȴɸʃɸʅɴʌʀʉʐ2020eͲɻʅɸʌʀɷɲ,ʋʉʐɷɿʉʌɶɲʆʙɽɻʃɸɲʋʊʏɻʆ
ȵɀȵ–Ʌɲʌɳʌʏɻʅɲȸʅɲɽʀɲʎ,ʍʖɸʏɿʃɼɲʆɲʔʉʌɳʉʅɿʄɻʏʙʆ
ɶʀʆɸʏɲɿʍʏɻɷɿʋʄɲʆɼɲʔʀʍɲ.Ȱʇɿʊʄʉɶɸʎʉɿʍʐɺɻʏɼʍɸɿʎʃɲɿʉɿ
ɲʆɲʔʉʌɹʎ ʏʘʆ ʉʅɿʄɻʏʙʆ ʍɸ ʋʉʄʑ ʍɻʅɲʆʏɿʃɳ ʍɻʅɸʀɲ ʏɻʎ
ɸʋɿʃɲɿʌʊʏɻʏɲʎ.Ⱥɸʏɿʃɼɸʆʏʑʋʘʍɻʃɲɿʅɸɶɳʄʉɸʆɷɿɲʔɹʌʉʆ,
ʅɸʏɲʇʑ ʏʘʆ ɳʄͲ
ʄʘʆ, ʋɲʌʉʐʍʀɲʍɸ
ɻ ɸɿʍɼɶɻʍɻ, ɶɿɲ
ʏɻ ȳɸʘʅɸʏʌʀɲ ʃɲɿ
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ȂĮșȘȝĮĲȚțȠȓ ǻȚĮȖȦȞȚıȝȠȓ
ȂĮșȘȝĮĲȚțȑȢ ȅȜȣȝʌȚȐįİȢ
ȵʋɿʏʌʉʋɼȴɿɲɶʘʆɿʍʅʙʆʏɻʎE.M.E.

61ɻ
ȴɿɸɽʆɼʎɀɲɽɻʅɲʏɿʃɼɃʄʐʅʋɿɳɷɲ
Ɇʘʍʀɲ,18Ͳ28ɇɸʋʏɸʅɴʌʀʉʐ2020

Ǿ 61Ș
ǻȚİșȞȒȢ ȂĮșȘȝĮĲȚțȒ ȅȜȣȝʌȚȐįĮ įȚİȟȒȤșȘ įȚĮįȚțĲȣĮțȐ ȝİ ȀȑȞĲȡȠ ĲȘȞ ǹȖȓĮ ȆİĲȡȠȪʌȠȜȘ
ĲȘȢ ȇȦıȓĮ ıĲȚȢ 18-28 ȈİʌĲİȝȕȡȓȠȣ 2020, ȩʌȦȢ ĮʌȠĳȐıȚıİ Ș ǻȚİșȞȒȢ ǼʌȚĲȡȠʌȒ (IMO Advisory Board).
Ȃİ ȖȞȫȝȠȞĮ ĲȘȞ ĮıĳȐȜİȚĮ ĲȦȞ ıȣȝȝİĲİȤȩȞĲȦȞ, țȐșİ ȠȝȐįĮ įȚĮȖȦȞȓıĲȘțİ ıĲȘ ȤȫȡĮ ĲȘȢ ıİ ȑȞĮ
İȟİĲĮıĲȚțȩ țȑȞĲȡȠ. īȚĮ ĲȘ įȚİȞȑȡȖİȚĮ ĲȠȣ įȚĮȖȦȞȚıȝȠȪ, ʌȑȡĮȞ Įʌȩ ĲĮ ȣȖİȚȠȞȠȝȚțȐ ʌȡȦĲȩțȠȜȜĮ,
İĳĮȡȝȩıșȘțĮȞ İȚįȚțȐ ʌȡȦĲȩțȠȜȜĮ ʌȠȣ İȓȤĮȞ ıțȠʌȩ ȞĮ įȚĮıĳĮȜȓıȠȣȞ ĲȠ ĮįȚȐȕȜȘĲȠ ĲȠȣ įȚĮȖȦȞȚıȝȠȪ țĮȚ
ĲȘȞ İȖțȣȡȩĲȘĲĮ ĲȦȞ ĮʌȠĲİȜİıȝȐĲȦȞ. ǻȚĮȝȠȡĳȫșȘțĮȞ ȑĲıȚ ȞȑȠȚ țĮȞȠȞȚıȝȠȓ İȚįȚțȐ ȖȚĮ ĲȘ įȚĮįȚțĲȣĮțȒ
«İȚțȠȞȚțȒ» (virtual) įȚȠȡȖȐȞȦıȘ. ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĮȣĲȠȪȢ ıİ țȐșİ ȤȫȡĮ ȒĲĮȞ ʌĮȡȫȞ, țĮĲȐ ĲȘ įȚȐȡțİȚĮ ĲȠȣ
įȚĮȖȦȞȚıȝȠȪ, ǼʌȓĲȡȠʌȠȢ įȚȠȡȚıȝȑȞȠȢ Įʌȩ ĲȘ ǻȚȠȡȖĮȞȫĲȡȚĮ ǹȡȤȒ, Ƞ ȠʌȠȓȠȢ İʌȚĲȘȡȠȪıİ ĲȘȞ ȩȜȘ
İȟİĲĮıĲȚțȒ įȚĮįȚțĮıȓĮ. ǼʌȚʌȜȑȠȞ, țĮĲȐ ĲȘ įȚȐȡțİȚĮ ĲȘȢ İȟȑĲĮıȘȢ Ș įȚĮįȚțĮıȓĮ ȝİĲĮįȓįȠȞĲĮȞ ȝİ ȗȦȞĲĮȞȒ
İȚțȩȞĮ ıĲȘ ǻȚȠȡȖĮȞȫĲȡȚĮ ǹȡȤȒ, İȞȫ ĲĮ șȑȝĮĲĮ İıĲȐȜȘıĮȞ ıİ ȩȜİȢ ĲȚȢ ȤȫȡİȢ ȜȓȖȠ ʌȡȚȞ ĲȘȞ ȑȞĮȡȟȘ ĲȠȣ
įȚĮȖȦȞȚıȝȠȪ.
ǵȜȠȚ ȠȚ ǲȜȜȘȞİȢ ȝĮșȘĲȑȢ ʌȠȣ ıȣȝȝİĲİȓȤĮȞ ıĲȘȞ 61Ș
ǻȚİșȞȒ ȂĮșȘȝĮĲȚțȒ ȅȜȣȝʌȚȐįĮ țĮĲȐĳİȡĮȞ ȞĮ
įȚĮțȡȚșȠȪȞ ıİ ȑȞĮȞ ȚįȚĮȓĲİȡĮ įȪıțȠȜȠ țĮȚ ĮʌĮȚĲȘĲȚțȩ įȚĮȖȦȞȚıȝȩ, țĮĲĮțĲȫȞĲĮȢ ĲȑııİȡĮ ȋȐȜțȚȞĮ
ȂİĲȐȜȜȚĮ țĮȚ įȣȠ ǼȪĳȘȝİȢ ȂȞİȓİȢ. ȈȣȖțİțȡȚȝȑȞĮ:
ȂĮȡȖĮȡȓĲȘȢ ȂȘȞȐȢ ȆİȚȡĮȝĮĲȚțȩ ȁȪțİȚȠ ǾȡĮțȜİȓȠȣ ȀȡȒĲȘȢ ȋȐȜțȚȞȠ ȂİĲȐȜȜȚȠ
ȃĲȩțĮȢ ǼȣșȪȝȚȠȢ 2Ƞ
ȁȪțİȚȠ ȆĮȜĮȚȠȪ ĭĮȜȒȡȠȣ ȋȐȜțȚȞȠ ȂİĲȐȜȜȚȠ
ǹįĮȝȩʌȠȣȜȠȢ ǻȚȠȞȪıȚȠȢ 3Ƞ ȁȪțİȚȠ ȆȪȡȖȠȣ ǾȜİȓĮȢ ȋȐȜțȚȞȠ ȂİĲȐȜȜȚȠ
ǼȝȝĮȞȠȣȒȜ ǻȘȝȒĲȡȚȠȢ ȆȡȩĲȣʌȠ ȁȪțİȚȠ ǼȣĮȖȖİȜȚțȒȢ ȈȤȠȜȒȢ ȈȝȪȡȞȘȢ ȋȐȜțȚȞȠ ȂİĲȐȜȜȚȠ
ȁȚȖȞȩȢ ȅȡȑıĲȘȢ ǼțʌĮȚįİȣĲȒȡȚĮ «Ǿ ǼȜȜȘȞȚțȒ ȆĮȚįİȓĮ» ǼȪĳȘȝȘ ȝȞİȓĮ
ǻȘȝȠȣȜȚȩȢ ǿȦȐȞȞȘȢ ǼțʌĮȚįİȣĲȒȡȚĮ ȂĮȞĲȠȣȜȓįȘ ǼȪĳȘȝȘ ȝȞİȓĮ
ǹȡȤȘȖȩȢ ĲȘȢ ǼȜȜȘȞȚțȒȢ ĮʌȠıĲȠȜȒȢ ȒĲĮȞ Ƞ ȆȡȩİįȡȠȢ ĲȘȢ ǼȜȜȘȞȚțȒȢ ȂĮșȘȝĮĲȚțȒȢ ǼĲĮȚȡİȓĮȢ,
ȅȝȩĲȚȝȠȢ ȀĮșȘȖȘĲȒȢ ǼȂȆ ǹȞȐȡȖȣȡȠȢ ĭİȜȜȠȪȡȘȢ, ȣʌĮȡȤȘȖȩȢ įȚįȐțĲȦȡ Ƞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ ȈȚȜȠȣĮȞȩȢ
ȂʌȡĮȗȚĲȓțȠȢ țĮȚ ʌĮȡĮĲȘȡȘĲȒȢ ǹ Ƞ įȚįȐțĲȦȡ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ ǹȤȚȜȜȑĮȢ ȈȣȞİĳĮțȩʌȠȣȜȠȢ.
ȉĮ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ țĮȚ ȠȚ ȜȪıİȚȢ ĲȠȣȢ
ȆȡȩȕȜȘȝĮ 1.
ĬİȦȡȠȪȝİ țȣȡĲȩ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ABCD. ȉȠ ıȘȝİȓȠ P İȓȞĮȚ ıĲȠ İıȦĲİȡȚțȩ ĲȠȣ ABCD, ȑĲıȚ ȫıĲİ ȞĮ
ȚıȤȪȠȣȞ ȠȚ İʌȩȝİȞİȢ ĮȞĮȜȠȖȓİȢ: ‫ס‬PAD : ‫ס‬PBA : ‫ס‬DPA = 1 : 2 : 3 = ‫ס‬CBP : ‫ס‬BAP : ‫ס‬BPC.
ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ȠȚ ĮțȩȜȠȣșİȢ ĲȡİȚȢ İȣșİȓİȢ ʌİȡȞȠȪȞ Įʌȩ ĲȠ ȓįȚȠ ıȘȝİȓȠ: ȠȚ İıȦĲİȡȚțȑȢ įȚȤȠĲȩȝȠȚ
ĲȦȞ ȖȦȞȚȫȞ ‫ס‬ADP țĮȚ ‫ס‬PCB țĮȚ Ș ȝİıȠțȐșİĲȠȢ ĲȠȣ İȣșȣȖȡȐȝȝȠȣ ĲȝȒȝĮĲȠȢ AB.
ȁȪıȘ: 1ȠȢ ĲȡȩʌȠȢ
ǲıĲȦ PAD
M ‘ țĮȚ CBP
‘ . ȉȩĲİ PBA 2 , DPA 3 , BAP 2
‘ M ‘ M ‘ țĮȚ BPC 3 .
‘
ǲıĲȦ ȋ ıȘȝİȓȠ ʌȐȞȦ ıĲȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ ĲȝȒȝĮ AD ȝİ XPA
‘ M . ȉȩĲİ

-------------------------------------------------------------------------------- ȂĮșȘȝĮĲȚțȠȓ ǻȚĮȖȦȞȚıȝȠȓ – ȂĮșȘȝĮĲȚțȑȢ ȅȜȣȝʌȚȐįİȢ -----------------------------------------------------------------------------
PXD PAX XPA 2 DPA XPA DPX
‘ ‘ ‘ M ‘ ‘ ‘
ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ DPX İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ȝİ DP DX , ȠʌȩĲİ Ș įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ ADP
‘ İȓȞĮȚ țĮȚ
ȝİıȠțȐșİĲȠȢ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ XP.
ȅȝȠȓȦȢ, ĮȞ Y İȓȞĮȚ ıȘȝİȓȠ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ BC ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ
BPY
‘ , ĲȩĲİ Ș įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ PCB
‘ İȓȞĮȚ țĮȚ
ȝİıȠțȐșİĲȠȢ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ PY. ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ʌȡȑʌİȚ ȞĮ
ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ȠȚ ȝİıȠțȐșİĲȠȚ ĲȦȞ İȣșȣȖȡȐȝȝȦȞ ĲȝȘȝȐĲȦȞ
XP, PY țĮȚ AB ıȣȞĲȡȑȤȠȣȞ.
ǲȤȠȣȝİ ȩĲȚ:
o o o
AXP 180 PXD 180 2 180 PBA
‘ ‘ M ‘
ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ AXPY İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ, ȠʌȩĲİ ĲȠ
ıȘȝİȓȠ X ȕȡȓıțİĲĮȚ ʌȐȞȦ ıĲȠȞ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ țȪțȜȠ ĲȠȣ
ĲȡȚȖȫȞȠȣ APB. ȅȝȠȓȦȢ, ĲȠ ıȘȝİȓȠ Y ȕȡȓıțİĲĮȚ ʌȐȞȦ ıĲȠȞ
ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ țȪțȜȠ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ APB. ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ȠȚ
ȝİıȠțȐșİĲȠȚ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ XP, PY țĮȚ AB ʌİȡȞȠȪȞ Įʌȩ ĲȠ
ȈȤȒȝĮ 1
țȑȞĲȡȠ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ ĲĮ ıȘȝİȓĮ A,B,Y,P,X.
2ȠȢ ĲȡȩʌȠȢ
ȈȤȒȝĮ 2
ǲıĲȦ PAD
M ‘ țĮȚ CBP
‘ . ȉȩĲİ
PBA 2 , DPA 3 , BAP 2
‘ M ‘ M ‘
țĮȚ BPC 3 .
‘ ǲıĲȦ O ĲȠ ʌİȡȓțİȞĲȡȠ ĲȠȣ
ĲȡȚȖȫȞȠȣ APB. ǲȤȠȣȝİ ȩĲȚ:
o o
ADP 180 PAD DPA 180 4 ,
‘ ‘ ‘ M
ȠʌȩĲİ 0
4 180
M . ǼʌȚʌȜȑȠȞ, ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ
o
POA 2 PBA 4 180 ADP,
‘ ‘ M ‘
ȠʌȩĲİ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ADPO İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ.
ǼʌİȚįȒ AO OP , ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ADO ODP,
‘ ‘
ȠʌȩĲİ Ș DO İȓȞĮȚ Ș įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ
ADP.
‘
ȅȝȠȓȦȢ, Ș CO İȓȞĮȚ Ș įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ PCB.
‘ ǼʌȓıȘȢ, ĲȠ ıȘȝİȓȠ O ĮȞȒțİȚ ıĲȘ ȝİıȠțȐșİĲȘ ĲȠȣ
ǹǺ ĮĳȠȪ İȓȞĮȚ ĲȠ ʌİȡȓțİȞĲȡȠ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ APB.
ȆȡȩȕȜȘȝĮ 2.
ȅȚ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ Į, b, c, d İȓȞĮȚ ĲȑĲȠȚȠȚ ȫıĲİ b c d 0
D t t t ! țĮȚ Į+b+c+d=1.
ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ

b c d
2b 3c 4d b c d 1
D
D D
ȁȪıȘ
1ȠȢ ĲȡȩʌȠȢ
ǹʌȩ ĲȘȞ ĮȞȚıȩĲȘĲĮ ĮȡȚșȝȘĲȚțȠȪ – ȖİȦȝİĲȡȚțȠȪ ȝȑıȠȣ ȝİ ȕȐȡȘ ,b,c,d
D ȑȤȠȣȝİ
b c d 2 2 2 2
b c d b b c c d d b c d ,
D
D d D˜D ˜ ˜ ˜ D
ȠʌȩĲİ Įȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ:

3
2 2 2 2
2b 3c 4d b c d 1 b c d
D D D .
Ǿ ĲİȜİȣĲĮȓĮ ĮȞȚıȩĲȘĲĮ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȝİ įȚȐĳȠȡȠȣȢ ĲȡȩʌȠȣȢ, ȩʌȦȢ

3 2 2 2 2
2 2 2 2
b c d 3b 3c 3d b 3 b 3c 3d c 3 3b c 3d d 3 3b 3c d
b c d 2b 3c 4d
D ! D D D D D
t D ˜ D
2ȠȢ
ĲȡȩʌȠȢ
ǹʌȩ b d
t ȑȤȠȣȝİ 2b 3c 4d 3b 3c 3d 3 2
D d D D .
ǹȞ
1
2
D , ĲȩĲİ ĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ Įʌȩ ĲȘ ıȤȑıȘ:

b c d b c d
2b 3c 4d b c d 3 2 b c d 3 2 1 1 1 2 1.
D D
D D d D D D D D D
ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȣʌȠșȑĲȠȣȝİ ȩĲȚ
1
1
2
d D țĮȚ İʌİȚįȒ b,c,d 1
D , ȑȤȠȣȝİ

b c d 1
b c d
b c d 1 1 1 1 .
D
d D ˜ D ˜ D D
ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ȑȤȠȣȝİ:

1
b c d
2b 3c 4d b c d 3 2 1 .
D
D D
D D D D D (*)
īȚĮ 0 x 1
, șİȦȡȠȪȝİ ĲȚȢ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ:

g x logf x log 3 2x xlogx 1 x log 1 x ,

ȩʌȠȣ ȝİ log ıȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ ĲȠ ĳȣıȚțȩ ȜȠȖȐȡȚșȝȠ. ǼȪțȠȜĮ įȚĮʌȚıĲȫȞȠȣȝİ ȩĲȚ

2
2 2
1 8 1 x
4 1 1
g'' x 0,
x 1 x
3 2x x 1 x 3 2x

!

ȠʌȩĲİ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ g İȓȞĮȚ țȣȡĲȒ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ

0,1 . ǼʌİȚįȒ
1 1 1
g 2 2 log
2 2 2
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d ȖȚĮ țȐșİ
1
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țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ ȜȩȖȦ ĲȘȢ (*) ȑȤȠȣȝİ:

b c d
2b 3c 4d b c d f 1.
D
D D D d
ȆȡȩȕȜȘȝĮ 3.
ȊʌȐȡȤȠȣȞ 4n ȕȩĲıĮȜĮ ȝİ ȕȐȡȘ 1,2,3,…,4n. ȀȐșİ ȕȩĲıĮȜȠ ȤȡȦȝĮĲȓȗİĲĮȚ ȝİ ȑȞĮ Įʌȩ n ȤȡȫȝĮĲĮ țĮȚ
ȣʌȐȡȤȠȣȞ ĲȑııİȡĮ ȕȩĲıĮȜĮ Įʌȩ țȐșİ ȤȡȫȝĮ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ĲȠʌȠșİĲȒıȠȣȝİ ĲĮ
ȕȩĲıĮȜĮ ıİ įȪȠ ıĲȠȓȕİȢ ȑĲıȚ ȫıĲİ ȞĮ ȚțĮȞȠʌȠȚȠȪȞĲĮȚ țĮȚ ȠȚ įȪȠ ĮțȩȜȠȣșİȢ ıȣȞșȒțİȢ:
x ȉȠ ıȣȞȠȜȚțȩ ȕȐȡȠȢ țĮșİȝȚȐȢ Įʌȩ ĲȚȢ įȪȠ ıĲȠȓȕİȢ İȓȞĮȚ ĲȠ ȓįȚȠ.
x ȀȐșİ ıĲȠȓȕĮ ʌİȡȚȑȤİȚ įȪȠ ȕȩĲıĮȜĮ Įʌȩ țȐșİ ȤȡȫȝĮ.
ȁȪıȘ
ǲıĲȦ ^ `
S 1,2,3,...,4n ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ȕȩĲıĮȜȦȞ. ȈȤȘȝĮĲȓȗȠȣȝİ ȗİȣȖȐȡȚĮ Įʌȩ ȕȩĲıĮȜĮ ȝİ ȕȐȡȘ ʌȠȣ
ȑȤȠȣȞ ȐșȡȠȚıȝĮ 4n 1
, ȠʌȩĲİ ʌȡȠțȪʌĲȠȣȞ ĲĮ 2n ȗİȪȖȘ: ^ ` ^ `
1,4n , 2,4n 1 ,...,
^ `
2n,2n 1 .
ǼʌȠȝȑȞȦȢ,
Įȡțİȓ ȞĮ įȚĮȝİȡȓıȠȣȝİ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ S ıİ įȪȠ ȣʌȠıȪȞȠȜĮ ʌȠȣ țĮșȑȞĮ șĮ ȑȤİȚ n ȗİȪȖȘ ȑĲıȚ ȫıĲİ țȐșİ
ȣʌȠıȪȞȠȜȠ ȞĮ ʌİȡȚȑȤİȚ įȪȠ ȕȩĲıĮȜĮ Įʌȩ țȐșİ ȤȡȫȝĮ.
ĬİȦȡȠȪȝİ ȑȞĮ ʌȠȜȣȖȡȐĳȘȝĮ G, įȘȜĮįȒ ȑȞĮ ȖȡȐĳȘȝĮ n țȠȡȣĳȫȞ ȝİ ȕȡȩȖȤȠȣȢ țĮȚ ʌȠȜȜĮʌȜȑȢ ʌȜİȣȡȑȢ,
ȑĲıȚ ȫıĲİ țȐșİ țȠȡȣĳȒ ĲȠȣ ȞĮ ĮȞĲȚıĲȠȚȤİȓ ıİ ȑȞĮ ȤȡȫȝĮ. Ȉİ țȐșİ ȗİȪȖȠȢ Įʌȩ ȕȩĲıĮȜĮ ʌȡȠıșȑĲȠȣȝİ ȝȓĮ
ʌȜİȣȡȐ ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ țȠȡȣĳȫȞ ʌȠȣ ĮȞĲȚıĲȠȚȤȠȪȞ ıĲĮ ȤȡȫȝĮĲĮ ĮȣĲȫȞ ĲȦȞ ȕȩĲıĮȜȦȞ. ȈȘȝİȚȫȞȠȣȝİ ȩĲȚ
țȐșİ țȠȡȣĳȒ ȑȤİȚ ȕĮșȝȩ 4. ǼʌȓıȘȢ ȝȓĮ țĮĲȐȜȜȘȜȘ įȚĮȝȑȡȚıȘ ĲȦȞ ȕȩĲıĮȜȦȞ ĮȞĲȚıĲȠȚȤİȓ ıİ ȤȡȦȝĮĲȚıȝȩ
ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ĲȠȣ G ȝİ įȣȠ ȤȡȫȝĮĲĮ, ȑıĲȦ țȩțțȚȞȠ țĮȚ ȝʌȜİ, ȑĲıȚ ȫıĲİ țȐșİ țȠȡȣĳȒ ȞĮ ȑȤİȚ ȕĮșȝȩ 2 ȦȢ
ʌȡȠȢ țȐșİ ȤȡȫȝĮ, įȘȜĮįȒ țȐșİ țȠȡȣĳȒ ȞĮ ȑȤİȚ ȓıȠȣȢ țȩțțȚȞȠȣȢ țĮȚ ȝʌȜİ ȕĮșȝȠȪȢ.
īȚĮ ĲȘȞ ıȣȝʌȜȒȡȦıȘ ĲȘȢ ĮʌȩįİȚȟȘȢ, İȓȞĮȚ ĮȡțİĲȩ ȞĮ İʌȚĲȪȤȠȣȝİ ȑȞĮ ĲȑĲȠȚȠ ȤȡȦȝĮĲȚıȝȩ ȖȚĮ țȐșİ
ȣʌȠȖȡȐĳȘȝĮ Gǯ ĲȠȣ G. ǼʌİȚįȒ ȩȜȠȚ ȠȚ ȕĮșȝȠȓ ĲȦȞ țȠȡȣĳȫȞ İȓȞĮȚ ȐȡĲȚȠȚ, ıĲȠ ȣʌȠȖȡȐĳȘȝĮ Gǯ ȣʌȐȡȤİȚ
ȑȞĮ țȪțȜȦȝĮ Euler C, įȘȜĮįȒ ȑȞĮ țȪțȜȦȝĮ ʌȠȣ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ țȐșİ țȠȡȣĳȒ ĲȠȣ Gǯ ĮțȡȚȕȫȢ ȝȓĮ ĳȠȡȐ.
ȈȘȝİȚȫȞȠȣȝİ ȩĲȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ĲȠȣ C İȓȞĮȚ ȐȡĲȚȠȢ ĮĳȠȪ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ĲȠ įȚʌȜȐıȚȠ ĲȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ
ĲȦȞ țȠȡȣĳȫȞ ĲȠȣ Gǯ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ȩȜİȢ ȠȚ ʌȜİȣȡȑȢ ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ ȤȡȦȝĮĲȚıĲȠȪȞ ȝİ țȩțțȚȞȠ țĮȚ ȝʌȜİ ȤȡȫȝĮ,
ȑĲıȚ ȫıĲİ țȐșİ įȪȠ ȖİȚĲȠȞȚțȑȢ ʌȜİȣȡȑȢ ıĲȠ C ȞĮ ȑȤȠȣȞ įȚĮĳȠȡİĲȚțȐ ȤȡȫȝĮĲĮ (ȝʌȠȡİȓ țȐʌȠȚȠȢ ȞĮ țȚȞİȓĲĮȚ
ȝȑıĮ ıĲȠ C țĮȚ ȞĮ ȤȡȦȝĮĲȓȗİȚ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ İȞĮȜȜȐȟ ȝİ țȩțțȚȞȠ țĮȚ ȝʌȜİ ȤȡȫȝĮ). ǲĲıȚ ȝȑıĮ ıĲȠ Gǯ țȐșİ
țȠȡȣĳȒ șĮ ȑȤİȚ ȓıȠȣȢ ȕĮșȝȠȪȢ ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȠ țȩțțȚȞȠ țĮȚ ȝʌȜİ ȤȡȫȝĮ.
ȆȡȩȕȜȘȝĮ 4.
ǲıĲȦ ĮțȑȡĮȚȠȢ n 1. ȊʌȐȡȤȠȣȞ n2
ıĲĮșȝȠȓ ıĲȘȞ ʌȜĮȖȚȐ İȞȩȢ ȕȠȣȞȠȪ, ȩȜȠȚ ıİ įȚĮĳȠȡİĲȚțȐ ȪȥȘ.
ȀĮșİȝȓĮ Įʌȩ įȪȠ İĲĮȚȡİȓİȢ ĲİȜİĳİȡȓț, ǹ țĮȚ Ǻ, ȜİȚĲȠȣȡȖİȓ k ĲİȜİĳİȡȓț. ȀȐșİ ĲİȜİĳİȡȓț İțĲİȜİȓ

ȝİĲĮĳȠȡȐ Įʌȩ ȑȞĮȞ ıĲĮșȝȩ ıİ ȑȞĮȞ ȐȜȜȠȞ ʌȠȣ ȕȡȓıțİĲĮȚ ȣȥȘȜȩĲİȡĮ (ȤȦȡȓȢ İȞįȚȐȝİıİȢ ıĲȐıİȚȢ). ȉĮ
k ĲİȜİĳİȡȓț ĲȘȢ İĲĮȚȡİȓĮȢ ǹ ȑȤȠȣȞ k įȚĮĳȠȡİĲȚțȐ ıȘȝİȓĮ İțțȓȞȘıȘȢ țĮȚ k įȚĮĳȠȡİĲȚțȐ ıȘȝİȓĮ
ĲİȡȝĮĲȚıȝȠȪ țĮȚ ȑȞĮ ĲİȜİĳİȡȓț ĲȠ ȠʌȠȓȠ ȟİțȚȞȐ ȣȥȘȜȩĲİȡĮ Įʌȩ țȐʌȠȚȠ ȐȜȜȠ, İʌȓıȘȢ ĲİȡȝĮĲȓȗİȚ ıİ
ıĲĮșȝȩ ʌȠȣ ȕȡȓıțİĲĮȚ ȣȥȘȜȩĲİȡĮ. ȅȚ ȓįȚİȢ ıȣȞșȒțİȢ ȚıȤȪȠȣȞ țĮȚ ȖȚĮ ĲȘȞ İĲĮȚȡİȓĮ Ǻ. ȁȑȝİ ȩĲȚ įȪȠ
ıĲĮșȝȠȓ ıȣȞįȑȠȞĲĮȚ Įʌȩ ȝȓĮ İĲĮȚȡİȓĮ, ĮȞ țȐʌȠȚȠȢ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȟİțȚȞȒıİȚ Įʌȩ ĲȠȞ ıĲĮșȝȩ ʌȠȣ
ȕȡȓıțİĲĮȚ ȤĮȝȘȜȩĲİȡĮ țĮȚ ȞĮ ĳĲȐıİȚ ıĲȠ ıĲĮșȝȩ ʌȠȣ ȕȡȓıțİĲĮȚ ȣȥȘȜȩĲİȡĮ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ȑȞĮ Ȓ
ʌİȡȚııȩĲİȡĮ ĲİȜİĳİȡȓț ĲȘȢ İĲĮȚȡİȓĮȢ ĮȣĲȒȢ (įİȞ İʌȚĲȡȑʌȠȞĲĮȚ ȐȜȜİȢ ȝİĲĮțȚȞȒıİȚȢ ȝİĲĮȟȪ
ıĲĮșȝȫȞ). ȃĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİĲİ ĲȠȞ İȜȐȤȚıĲȠ șİĲȚțȩ ĮțȑȡĮȚȠ k ȖȚĮ ĲȠȞ ȠʌȠȓȠ ȝʌȠȡİȓ țȐʌȠȚȠȢ ȞĮ
İȖȖȣȘșİȓ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤȠȣȞ įȪȠ ıĲĮșȝȠȓ ȠȚ ȠʌȠȓȠȚ ıȣȞįȑȠȞĲĮȚ țĮȚ Įʌȩ ĲȚȢ įȪȠ İĲĮȚȡİȓİȢ.
ȁȪıȘ
ǹȡȚșȝȠȪȝİ ĲȠȣȢ ıĲĮșȝȠȪȢ Įʌȩ ĲȠ 1 ȝȑȤȡȚ țĮȚ ĲȠ 2
n ĮȡȤȓȗȠȞĲĮȢ Įʌȩ ĲȘ ȕȐıȘ țĮȚ ĮȞİȕĮȓȞȠȞĲĮȢ ʌȡȠȢ ĲȘȞ
țȠȡȣĳȒ.
ȀĮĲĮȡȤȒȞ șĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ȖȚĮ 2
k n n
d įİȞ șĮ ȣʌȐȡȤİȚ țĮȞȑȞĮ ȗİȣȖȐȡȚ ıĲĮșȝȫȞ ʌȠȣ ȞĮ ıȣȞįȑȠȞĲĮȚ
țĮȚ Įʌȩ ĲȚȢ įȪȠ İĲĮȚȡİȓİȢ. ǹȡțİȓ ȞĮ įȫıȠȣȝİ ȑȞĮ ĲȑĲȠȚȠ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ ȖȚĮ 2
k n n
.
ǲıĲȦ ȩĲȚ Ș İĲĮȚȡİȓĮ A ȝİ ĲĮ 2
k n n
ĲİȜİĳİȡȓț ʌȠȣ įȚĮșȑĲİȚ ıȣȞįȑİȚ ĲĮ ȗİȪȖȘ ıĲĮșȝȫȞ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ

i,i 1
ȝİ n įİȞ įȚĮȚȡİȓ ĲȠ .
i ȉȩĲİ ȩȜĮ ĲĮ ȗİȪȖȘ ıĲĮșȝȫȞ

i, j ʌȠȣ ıȣȞįȑȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ A ȚțĮȞȠʌȠȚȠȪȞ
ĲȘ ıȤȑıȘ:
i j
.
n n
ª º ª º
« » « »
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ǲıĲȦ ȩĲȚ Ș İĲĮȚȡİȓĮ B ȝİ ĲĮ 2
k n n
ĲİȜİĳİȡȓț ʌȠȣ įȚĮșȑĲİȚ ıȣȞįȑİȚ ĲĮ ȗİȪȖȘ ıĲĮșȝȫȞ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ

i,i n
, ȩʌȠȣ 2
1 i n n.
d d ȉȩĲİ ĲĮ ȗİȪȖȘ ıĲĮșȝȫȞ

i, j ʌȠȣ ıȣȞįȑȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ B ȚțĮȞȠʌȠȚȠȪȞ ĲȘ
ıȤȑıȘ

i j modn
{ . ȆȡȠĳĮȞȫȢ, įİȞ ȣʌȐȡȤİȚ ȗİȪȖȠȢ

i, j ʌȠȣ ȞĮ ȚțĮȞȠʌȠȚİȓ țĮȚ ĲȚȢ įȪȠ ıȣȞșȒțİȢ
i j
n n
ª º ª º
« » « »
« » « »
țĮȚ

i j modn
{ , ȠʌȩĲİ įİȞ ȣʌȐȡȤȠȣȞ įȪȠ ıĲĮșȝȠȓ ıȣȞįİȩȝİȞȠȚ țĮȚ Įʌȩ ĲȚȢ įȪȠ İĲĮȚȡİȓİȢ.
ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ șĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ȖȚĮ 2
k n n 1
ȣʌȐȡȤȠȣȞ ʌȐȞĲȠĲİ įȪȠ ıĲĮșȝȠȓ ʌȠȣ ıȣȞįȑȠȞĲĮȚ țĮȚ
Įʌȩ ĲȚȢ įȪȠ İĲĮȚȡİȓİȢ. ȅȡȓȗȠȣȝİ ȦȢ A ĮȜȣıȓįĮ ȝȓĮ ĮțȠȜȠȣșȓĮ ıĲĮșȝȫȞ 1 2 t
Į Į ... Į ĲȑĲȠȚĮ ȫıĲİ Ș
İĲĮȚȡİȓĮ A ıȣȞįȑİȚ ĲȠȞ ıĲĮșȝȩ i
D ȝİ ĲȠȞ ıĲĮșȝȩ i 1

D ȖȚĮ țȐșİ i:1 i t 1,
d d ĮȜȜȐ įİȞ ȣʌȐȡȤİȚ
ĲİȜİĳİȡȓț ĲȘȢ A ʌȠȣ ȞĮ ıȣȞįȑİȚ țȐʌȠȚȠȞ ıĲĮșȝȩ ȝİ ĲȠȞ 1
D țĮșȫȢ İʌȓıȘȢ țĮȚ ĲȠ ıĲĮșȝȩ t
D ȝİ țȐʌȠȚȠȞ
ȐȜȜȠ ıĲĮșȝȩ. ȅȡȓȗȠȣȝİ țĮȚ ĲȘ BĮȜȣıȓįĮ ȠȝȠȓȦȢ. ǼȪțȠȜĮ įȚĮʌȚıĲȫȞȠȣȝİ ȩĲȚ țȐșİ ıĲĮșȝȩȢ ʌİȡȚȑȤİĲĮȚ
ıİ ȝȓĮ ĮțȡȚȕȫȢ A ĮȜȣıȓįĮ (ʌȠȣ ʌȚșĮȞȫȢ ȞĮ ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ ȝȩȞȠ Įʌȩ ĮȣĲȩȞ ĲȠ ıĲĮșȝȩ) țĮșȫȢ İʌȓıȘȢ țĮȚ
ıİ ȝȓĮ ĮțȡȚȕȫȢ B ĮȜȣıȓįĮ. ȉȫȡĮ șȑĲȠȣȝİ țȐșİ ıĲĮșȝȩ ıİ ĮȞĲȚıĲȠȚȤȓĮ ȝİ ĲȠ ȗİȪȖȠȢ ʌȠȣ ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ
Įʌȩ ĲȘȞ A ĮȜȣıȓįĮ țĮȚ ĲȘ B ĮȜȣıȓįĮ ʌȠȣ ĮȣĲȩȢ ĮȞȒțİȚ.
ǼʌİȚįȒ ȩȜĮ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ĲİȡȝĮĲȚıȝȠȪ ĲȦȞ ĲİȜİĳİȡȓț ĲȘȢ İĲĮȚȡİȓĮȢ A İȓȞĮȚ įȚĮĳȠȡİĲȚțȐ, șĮ ȣʌȐȡȤȠȣȞ
2
n k n 1
ıĲĮșȝȠȓ ȠȚ ȠʌȠȓȠȚ įİȞ İȓȞĮȚ ĲȑĲȠȚĮ ıȘȝİȓĮ ĲİȡȝĮĲȚıȝȠȪ. ȀĮșȑȞĮ Įʌȩ ĮȣĲȐ İȓȞĮȚ ıȘȝİȓȠ
İțțȓȞȘıȘȢ ȝȚĮȢ ĮțȡȚȕȫȢ A ĮȜȣıȓįĮȢ, ȠʌȩĲİ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ĲȦȞ A ĮȜȣıȓįȦȞ İȓȞĮȚ n 1.
ȅȝȠȓȦȢ, Ƞ
ĮȡȚșȝȩȢ ĲȦȞ B ĮȜȣıȓįȦȞ İȓȞĮȚ n 1.
ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ȣʌȐȡȤȠȣȞ

2
n 1
ȗİȪȖȘ ʌȠȣ ĮʌȠĲİȜȠȪȞĲĮȚ Įʌȩ ȝȓĮ
A ĮȜȣıȓįĮ țĮȚ ȝȓĮ B ĮȜȣıȓįĮ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ, įȪȠ Įʌȩ ĲȠȣȢ 2
n ıĲĮșȝȠȪȢ ĮȞĲȚıĲȠȚȤȠȪȞ ıĲȠ ȓįȚȠ ȗİȪȖȠȢ,
ȠʌȩĲİ ĮȣĲȠȓ ĮȞȒțȠȣȞ ıĲȘȞ ȓįȚĮ A ĮȜȣıȓįĮ, ĮȜȜȐ țĮȚ ıĲȘȞ ȓįȚĮ BĮȜȣıȓįĮ. ǹȣĲȩ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ȠȚ įȪȠ
ĮȣĲȠȓ ıĲĮșȝȠȓ ıȣȞįȑȠȞĲĮȚ țĮȚ Įʌȩ ĲȚȢ įȪȠ İĲĮȚȡİȓİȢ.
ȆĮȡĮĲȒȡȘıȘ 1. Ǿ ıȣȞșȒțȘ ȩĲȚ ȑȞĮ ĲİȜİĳİȡȓț ʌȠȣ ȟİțȚȞȐ ȣȥȘȜȩĲİȡĮ İʌȓıȘȢ ĲİȡȝĮĲȓȗİȚ ıİ ıĲĮșȝȩ ʌȠȣ
ȕȡȓıțİĲĮȚ ȣȥȘȜȩĲİȡĮ įİȞ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȒșȘțİ ʌĮȡĮʌȐȞȦ.
ȆĮȡĮĲȒȡȘıȘ 2. ǹȞ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ĲȦȞ ıĲĮșȝȫȞ ȒĲĮȞ N , ĲȩĲİ Ș ĮʌȐȞĲȘıȘ ıĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ șĮ ȒĲĮȞ
ª º

« »
N N 1. Ǿ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȜȪıȘ, ȩʌȦȢ ȑȤİȚ įȠșİȓ, ȚıȤȪİȚ țĮȚ ȖȚĮ ĮȣĲȒ ĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ.
ȆȡȠȕȜȘȝĮ 5.
ǻȓȞİĲĮȚ ȝȚĮ įİıȝȓįĮ ȝİ n 1 țȐȡĲİȢ. ǲȞĮȢ șİĲȚțȩȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ ĮȞĮȖȡȐĳİĲĮȚ ʌȐȞȦ ıİ țȐșİ țȐȡĲĮ. Ǿ
įİıȝȓįĮ ȑȤİȚ ĲȘȞ ȚįȚȩĲȘĲĮ ȩĲȚ Ƞ ĮȡȚșȝȘĲȚțȩȢ ȝȑıȠȢ ĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ ıİ țȐșİ ȗİȪȖȠȢ țĮȡĲȫȞ İȓȞĮȚ

İʌȓıȘȢ Ƞ ȖİȦȝİĲȡȚțȩȢ ȝȑıȠȢ ĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ țȐʌȠȚĮȢ ıȣȜȜȠȖȒȢ ȝȓĮȢ Ȓ ʌİȡȚııȠĲȑȡȦȞ țĮȡĲȫȞ. īȚĮ
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ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ șİĲȚțȒ ıĲĮșİȡȐ c, ĲȑĲȠȚĮ ȫıĲİ ȞĮ ĮȜȘșİȪİȚ Ș ĮțȩȜȠȣșȘ ʌȡȩĲĮıȘ:
ĬİȦȡȠȪȝİ ȑȞĮȞ ĮțȑȡĮȚȠ n 1 țĮȚ ȑȞĮ ıȪȞȠȜȠ S ʌȠȣ ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ Įʌȩ n ıȘȝİȓĮ ĲȠȣ İʌȚʌȑįȠȣ, ĲȑĲȠȚĮ
ȫıĲİ Ș ĮʌȩıĲĮıȘ ȝİĲĮȟȪ įȪȠ įȚĮĳȠȡİĲȚțȫȞ ıȘȝİȓȦȞ ĲȠȣ S İȓȞĮȚ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ 1. ȉȩĲİ ȣʌȐȡȤİȚ ȝȚĮ
İȣșİȓĮ A ʌȠȣ įȚĮȤȦȡȓȗİȚ ĲȠ S, ȑĲıȚ ȫıĲİ Ș ĮʌȩıĲĮıȘ ȠʌȠȚȠȣįȒʌȠĲİ ıȘȝİȓȠȣ ĲȠȣ S Įʌȩ ĲȘȞ İȣșİȓĮ A
İȓȞĮȚ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ 1/3
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(ȂȚĮ İȣșİȓĮ A įȚĮȤȦȡȓȗİȚ ȑȞĮ ıȪȞȠȜȠ ıȘȝİȓȦȞ S, ĮȞ țȐʌȠȚȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ ĲȝȒȝĮ ʌȠȣ ıȣȞįȑİȚ įȪȠ
ıȘȝİȓĮ ĲȠȣ S ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ İȣșİȓĮ A .)
ȈȘȝİȓȦıȘ. Ȉİ ĮıșİȞȑıĲİȡĮ ĮʌȠĲİȜȑıȝĮĲĮ ȝİ ĮȞĲȚțĮĲȐıĲĮıȘ ĲȠȣ 1/3
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ȝȠȞȐįİȢ ĮȞȐȜȠȖĮ ȝİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ıĲĮșİȡȐȢ 1/ 3.
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țĮȚ ȠʌȠȚȠįȒʌȠĲİ ıȘȝİȓȠ X, ıȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ ȝİ XA ĲȘȞ ʌȡȠȕȠȜȒ ĲȠȣ ıȘȝİȓȠȣ X ʌȐȞȦ ıĲȘȞ A. ǲȞĮȞ ȩȝȠȚȠ
ıȣȝȕȠȜȚıȝȩ șĮ İĳĮȡȝȩıȠȣȝİ țĮȚ ȖȚĮ ıȪȞȠȜĮ ıȘȝİȓȦȞ.

ȊʌȠșȑĲȠȣȝİ ȩĲȚ ȖȚĮ țȐʌȠȚĮ İȣșİȓĮ A , ĲȠ ıȪȞȠȜȠ SA ʌİȡȚȑȤİȚ įȪȠ ȖİȚĲȠȞȚțȐ ıȘȝİȓĮ X țĮȚ Y ȝİ XY 2d.
ȉȩĲİ Ș İȣșİȓĮ ʌȠȣ İȓȞĮȚ țȐșİĲȘ ʌȡȠȢ ĲȘȞ İȣșİȓĮ AțĮȚ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȠȣ İȣșȪȖȡĮȝȝȠȣ ĲȝȒȝĮĲȠȢ
XY įȚĮȤȦȡȓȗİȚ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ S țĮȚ ȩȜĮ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ĲȠȣ S ĮʌȑȤȠȣȞ ĮʌȩıĲĮıȘ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ d Įʌȩ ĲȘȞ
İȣșİȓĮ A. ǲĲıȚ, ĮȞ İȓȞĮȚ d ,
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ǹȢ ȣʌȠșȑıȠȣȝİ ȩĲȚ įİȞ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ĲȑĲȠȚĮ ıȘȝİȓĮ X țĮȚ Y ıİ ȠʌȠȚĮįȒʌȠĲİ ʌȡȠȕȠȜȒ SA .
ǼʌȚȜȑȖȠȣȝİ įȪȠ ıȘȝİȓĮ ıĲȠ A țĮȚ B ĲȠȣ ıȣȞȩȜȠȣ S ȝİ ĲȘ ȝȑȖȚıĲȘ įȣȞĮĲȒ ĮʌȩıĲĮıȘ M AB, įȘȜĮįȒ
AB İȓȞĮȚ «įȚȐȝİĲȡȠȢ» ĲȠȣ S. ǹʌȩ ĲȘ ıȣȞșȒțȘ ĲȠȣ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ, șĮ İȓȞĮȚ M 1.
t ȈȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ ȝİ A
ĲȘȞ İȣșİȓĮ AB. ȉȠ ıȪȞȠȜȠ S ʌİȡȚȑȤİĲĮȚ ıĲȘȞ ĲȠȝȒ įȪȠ įȓıțȦȞ A
D țĮȚ B
D ĮțĲȓȞĮȢ M țĮȚ ȝİ țȑȞĲȡĮ ĲĮ
ıȘȝİȓĮ A țĮȚ B , ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ, Ș ʌȡȠȕȠȜȒ SA ʌİȡȚȑȤİĲĮȚ ıĲȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ ĲȝȒȝĮ AB .
ǼʌȚʌȜȑȠȞ, ĲĮ ıȘȝİȓĮ ĲȠȣ SA įȚĮȚȡȠȪȞ ĲȠ AB , ĲȠ ʌȠȜȪ ıİ n 1
ĲȝȒȝĮĲĮ ʌȠȣ ĲȠ țĮșȑȞĮ ȑȤİȚ ȝȒțȠȢ
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Ș ȜȦȡȓįĮ PʌİȡȚȑȤİȚ ĲȠ ıȪȞȠȡȩ ĲȘȢ, įȘȜĮįȒ ĲȚȢ įȣȠ İȣșİȓİȢ Į țĮȚ h . ĬȑĲȠȣȝİ T P S
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ʌȐȞȦ ıİ ȑȞĮ ĲȝȒȝĮ ȝȒțȠȣȢ ȝȚțȡȩĲİȡȠȣ Įʌȩ ĲȠ 2 M , ĲĮ ȠʌȠȓĮ ĮʌȑȤȠȣȞ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣȢ ĮʌȩıĲĮıȘ
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ȠʌȠȓȠ įİȞ ĮȜȘșİȪİȚ ȖȚĮ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȠȣ į ʌȠȣ İʌȚȜȑȟĮȝİ.


37ɻȲɲʄʃɲʆɿʃɼɀɲɽɻʅɲʏɿʃɼɃʄʐʅʋɿɳɷɲ
Ɇʉʐʅɲʆʀɲ,29Ƀʃʏʘɴʌʀʉʐ3Ɂʉɸʅɴʌʀʉʐ2020
Ǿ 37Ș
ǺĮȜțĮȞȚțȒ ȂĮșȘȝĮĲȚțȒ ȅȜȣȝʌȚȐįĮ įȚİȟȒȤșȘ įȚĮįȚțĲȣĮțȐ Įʌȩ ĲȘȞ ȇȠȣȝĮȞȓĮ Įʌȩ 29
ȅțĲȦȕȡȓȠȣ ȝȑȤȡȚ 3 ȃȠİȝȕȡȓȠȣ 2020, ȩʌȦȢ ĮʌȠĳȐıȚıİ Ș ǺĮȜțĮȞȚțȒ ȈȣȝȕȠȣȜİȣĲȚțȒ ǼʌȚĲȡȠʌȒ (ǺMO
Advisory Board), ʌȐȞĲĮ ȝİ ȖȞȫȝȠȞĮ ĲȘȞ ĮıĳȐȜİȚĮ ĲȦȞ ıȣȝȝİĲİȤȩȞĲȦȞ, ȫıĲİ țȐșİ ȠȝȐįĮ ȞĮ
įȚĮȖȦȞȚıĲİȓ ıĲȘ ȤȫȡĮ ĲȘȢ ıİ ȑȞĮ İȟİĲĮıĲȚțȩ țȑȞĲȡȠ. īȚĮ ĲȘ įȚİȞȑȡȖİȚĮ ĲȠȣ įȚĮȖȦȞȚıȝȠȪ, ʌȑȡĮȞ Įʌȩ ĲĮ
ȣȖİȚȠȞȠȝȚțȐ ʌȡȦĲȩțȠȜȜĮ, İĳĮȡȝȩıșȘțĮȞ İȚįȚțȐ ʌȡȦĲȩțȠȜȜĮ ȝİ ıțȠʌȩ ȞĮ įȚĮıĳĮȜȓıȠȣȞ ĲȠ ĮįȚȐȕȜȘĲȠ
ĲȠȣ įȚĮȖȦȞȚıȝȠȪ țĮȚ ĲȘȞ İȖțȣȡȩĲȘĲĮ ĲȦȞ ĮʌȠĲİȜİıȝȐĲȦȞ țĮȚ ĲȦȞ ȝİĲĮȜȜȓȦȞ. ǻȚĮȝȠȡĳȫșȘțĮȞ ȑĲıȚ ȞȑȠȚ
țĮȞȠȞȚıȝȠȓ İȚįȚțȐ ȖȚĮ ĲȘ įȚĮįȚțĲȣĮțȒ «İȚțȠȞȚțȒ» (Virtual) įȚȠȡȖȐȞȦıȘ. ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĮȣĲȠȪȢ țĮĲȐ ĲȘ
įȚȐȡțİȚĮ ĲȘȢ İȟȑĲĮıȘȢ Ș įȚĮįȚțĮıȓĮ ȝİĲĮįȓįȠȞĲĮȞ ȝİ ȗȦȞĲĮȞȒ İȚțȩȞĮ ıĲȘ įȚȠȡȖĮȞȫĲȡȚĮ ȤȫȡĮ, İȞȫ ĲĮ
șȑȝĮĲĮ İıĲȐȜȘıĮȞ ıİ ȩȜİȢ ĲȚȢ ȤȫȡİȢ ȜȓȖȠ ʌȡȚȞ ĲȘȞ ȑȞĮȡȟȘ ĲȠȣ įȚĮȖȦȞȚıȝȠȪ.
ǵȜȠȚ ȠȚ ǲȜȜȘȞİȢ ȝĮșȘĲȑȢ țĮĲȐĳİȡĮȞ ȞĮ įȚĮțȡȚșȠȪȞ ıİ ȑȞĮȞ ȚįȚĮȓĲİȡĮ įȪıțȠȜȠ țĮȚ ĮʌĮȚĲȘĲȚțȩ
įȚĮȖȦȞȚıȝȩ, țĮĲĮțĲȫȞĲĮȢ 5 ȋȐȜțȚȞĮ ȂİĲȐȜȜȚĮ țĮȚ ȝȓĮ ǼȪĳȘȝȘ ȂȞİȓĮ. ȈȣȖțİțȡȚȝȑȞĮ:
īĮȜĮȞȩʌȠȣȜȠȢ ȈʌȣȡȓįȦȞ 1Ƞ
ǼȞȚĮȓȠ ȁȪțİȚȠ ȄȐȞșȘȢ ȋȐȜțȚȞȠ ȂİĲȐȜȜȚȠ
ǼȝȝĮȞȠȣȒȜ ǻȘȝȒĲȡȚȠȢ ȆȡȩĲȣʌȠ ȁȪțİȚȠ ǼȣĮȖȖİȜȚțȒȢ ȈȤȠȜȒȢ ȈȝȪȡȞȘȢ ȋȐȜțȚȞȠ ȂİĲȐȜȜȚȠ
ǹįĮȝȩʌȠȣȜȠȢ ǻȚȠȞȪıȚȠȢ 3Ƞ ǼȞȚĮȓȠ ȁȪțİȚȠ ȆȪȡȖȠȣ ǾȜİȓĮȢ ȋȐȜțȚȞȠ ȂİĲȐȜȜȚȠ
ȂĮȡȖĮȡȓĲȘȢ ȂȘȞȐȢ ȆİȚȡĮȝĮĲȚțȩ ȁȪțİȚȠ ǾȡĮțȜİȓȠȣ ȀȡȒĲȘȢ ȋȐȜțȚȞȠ ȂİĲȐȜȜȚȠ
ȃĲȩțĮȢ ǼȣșȪȝȚȠȢ 2Ƞ
ǼȞȚĮȓȠ ȁȪțİȚȠ ȆĮȜĮȚȠȪ ĭĮȜȒȡȠȣ ȋȐȜțȚȞȠ ȂİĲȐȜȜȚȠ
ǻȘȝȠȣȜȚȩȢ ǿȦȐȞȞȘȢ ǼțʌĮȚįİȣĲȒȡȚĮ ȂĮȞĲȠȣȜȓįȘ ǼȪĳȘȝȘ ȝȞİȓĮ
ǹȡȤȘȖȩȢ ĲȘȢ ǼȜȜȘȞȚțȒȢ ĮʌȠıĲȠȜȒȢ ȒĲĮȞ Ƞ įȚįȐțĲȦȡ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ ț. ȈȚȜȠȣĮȞȩȢ ȂʌȡĮȗȚĲȓțȠȢ,
ȣʌĮȡȤȘȖȩȢ Ƞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ ǼȣȐȖȖİȜȠȢ ǽȫĲȠȢ țĮȚ ʌĮȡĮĲȘȡȘĲȒȢ ǹ, Ƞ įȚįȐțĲȦȡ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ ǹȤȚȜȜȑĮȢ
ȈȣȞİĳĮțȩʌȠȣȜȠȢ.
Ǿ ǼȜȜȘȞȚțȒ ȂĮșȘȝĮĲȚțȒ ǼĲĮȚȡİȓĮ ʌȡȠİĲȠȚȝȐȗİȚ țĮȚ ȣʌȠıĲȘȡȓȗİȚ ĲȚȢ ʌȡȠıʌȐșİȚİȢ ĮȣĲȫȞ ĲȦȞ
ȝĮșȘĲȫȞ ʌȐȞĲĮ ıİ İșİȜȠȞĲȚțȒ ȕȐıȘ ıĲȠ ʌȜĮȓıȚȠ ĲȦȞ ıĲȩȤȦȞ ĲȘȢ ʌȠȣ İȓȞĮȚ Ș ĮȞĮȕȐșȝȚıȘ ĲȘȢ
ȂĮșȘȝĮĲȚțȒȢ ȆĮȚįİȓĮȢ țĮȚ ǼțʌĮȓįİȣıȘȢ ıĲȘ ȤȫȡĮ ȝĮȢ.
ȉĮ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ țĮȚ ȠȚ ȜȪıİȚȢ ĲȠȣȢ.
ȆȡȩȕȜȘȝĮ 1.
ǲıĲȦ ȠȟȣȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ABC ȝİ AB AC ĲȠ ȝȑıȠ ۲ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ AC țĮȚ Ƞ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȢ
țȪțȜȠȢ J ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ABD. Ǿ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ ĲȠȣ J ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ǹ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ İȣșİȓĮ BC ıĲȠ
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ĲȠ ȝȑıȠ ĲȠȣ İȣșȪȖȡĮȝȝȠȣ ĲȝȒȝĮĲȠȢ ǹȅ ĮȞȒțİȚ ıĲȠȞ J .
ȁȪıȘ: ĬĮ įİȓȟȠȣȝİ ʌȡȫĲĮ ȩĲȚ ĲȠ C İȓȞĮȚ ȝȑıȠȞ ĲȠȣ ĲȝȒȝĮĲȠȢ ǺǼ.
ǼʌİȚįȒ DCB ABC
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BC DC DC 1
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ǹȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ XD OC.
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f(n) n . ǼʌİȚįȒ f(1)|1, ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ȩĲȚ

f 1 1.
ȊʌȠșȑĲȠȣȝİ ĲȫȡĮ ȩĲȚ ȖȚĮ țȐʌȠȚȠ n ȑȤȠȣȝİ
2 2
n 1 n 1
3
i 1 i 1
n (n 1)
f (i) i .
4

¦ ¦
ȉȩĲİ, șȑĲȠȣȝİ
2
n
i 1
n(n 1)
f (n) k
2

§ ·

¨ ¸
© ¹
¦ , ȠʌȩĲİ
2 2 2
2
n(n 1) n (n 1)
f (n) k k(n n k)
2 4

§ ·

¨ ¸
© ¹
. ǹȣĲȩ
ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ

2 3 2 3 2 3 2 2
k n n k | n n n k | n n n k | n n n n k n nk.
Ÿ Ÿ
ǵȝȦȢ Ƞ 2 2
n n k n nk
! , İʌȠȝȑȞȦȢ, ȖȚĮ ȞĮ ȚıȤȪİȚ Ș ĲİȜİȣĲĮȓĮ ıȤȑıȘ įȚĮȚȡİĲȩĲȘĲĮȢ, șĮ ʌȡȑʌİȚ
2
n nk 0 k n.
Ÿ ȉȩĲİ 2 3
f(n) n(n n n) n
, ʌȠȣ İȓȞĮȚ ĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ.
ȆȡȩȕȜȘȝĮ 3.
ǲıĲȦ șİĲȚțȩȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ k. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠȞ İȜȐȤȚıĲȠ șİĲȚțȩ ĮțȑȡĮȚȠ n k 1,
t ȖȚĮ ĲȠȞ ȠʌȠȓȠ ĲȠ ʌȚȠ
țȐĲȦ ʌĮȚȖȞȓįȚ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ıȣȞİȤȚıĲİȓ İʌ' ȐʌİȚȡȠȞ:
ĬİȦȡȠȪȝİ n țȠȣĲȚȐ, ĲĮ 1 2 n
b ,b , ,b
} . īȚĮ țȐșİ įİȓțĲȘ i, ĲȠ țȠȣĲȓ i
b ʌİȡȚȑȤİȚ ĮȡȤȚțȐ ĮțȡȚȕȫȢ i
ȞȠȝȓıȝĮĲĮ. Ȉİ țȐșİ ȕȒȝĮ ĲȠȣ ʌĮȚȖȞȚįȚȠȪ, İțĲİȜȠȪȝİ ȝİ ĲȘ ıİȚȡȐ ĲĮ ʌȚȠ țȐĲȦ:
(1): ǼʌȚȜȑȖȠȣȝİ k 1
țȠȣĲȚȐ.
(2): ǹʌȩ ĮȣĲȐ ĲĮ k 1
țȠȣĲȚȐ, İʌȚȜȑȖȠȣȝİ k țĮȚ ĮĳĮȚȡȠȪȝİ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ ĲĮ ȝȚıȐ ȞȠȝȓıȝĮĲĮ Įʌȩ ĲȠ
țĮșȑȞĮ. ǻİįȠȝȑȞȠȣ ȩĲȚ ʌİȡȓııİȥİ ĲȠ țȠȣĲȓ i
b , ʌȡȠıșȑĲȠȣȝİ ıİ ĮȣĲȩ i ȞȠȝȓıȝĮĲĮ.
(3): ǹȞ țȐʌȠȚȠ Įʌȩ ĲĮ țȠȣĲȚȐ ĮįİȚȐıİȚ, ĲȠ ʌĮȚȖȞȓįȚ ĲİȡȝĮĲȓȗİĲĮȚ. ǹȜȜȚȫȢ ʌȡȠȤȦȡȠȪȝİ ıĲȠ İʌȩȝİȞȠ
ȕȒȝĮ.

ȁȪıȘ: ĬĮ ıȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ ȝİ i
x ĲȠ ʌȜȒșȠȢ ĲȦȞ țİȡȝȐĲȦȞ ıĲȠ țȠȣĲȓ i
b ıĲȘ įȣĮįȚțȒ ȝȠȡĳȒ ĲȘȢ țĮȚ ȑıĲȦ
i
D Ƞ ȝȑȖȚıĲȠȢ İțșȑĲȘȢ įȪȞĮȝȘȢ ĲȠȣ 2, ȩʌȠȣ ʌȡȠĳĮȞȫȢ i 2 i
log (x )
D « »
¬ ¼ . ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ
1 2 n
S ...
D D D țĮȚ ʌĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ʌȦȢ ȝİ țȐșİ țȓȞȘıȘ ĮȣĲȩ ȝİȚȫȞİĲĮȚ ĮțȡȚȕȫȢ țĮĲȐ k ȜȩȖȦ ĲȘȢ
ĮĳĮȓȡİıȘȢ ĲȦȞ ȝȚıȫȞ țİȡȝȐĲȦȞ Įʌȩ k țȠȣĲȚȐ, İȞȫ ĮȣȟȐȞİĲĮȚ țĮĲȐ 2
i
i
log ( 1)
x
« »
D
« »
¬ ¼
. ȩʌȠȣ i Ș șȑıȘ
ĲȠȣ țȠȣĲȚȠȪ ıĲȠ ȠʌȠȓȠ ȕȐȗȠȣȝİ țȑȡȝĮĲĮ. ȉȠ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȐșȡȠȚıȝĮ įİȞ ȖȓȞİĲĮȚ ȞĮ ȝİȚȫȞİĲĮȚ ȝİ țȐșİ
țȓȞȘıȘ, įȚȩĲȚ ȩĲĮȞ ĳĲȐıİȚ ıĲȠ 0, ĮȞĮȖțĮıĲȚțȐ ĲȠ ʌĮȚȤȞȓįȚ ĲİȜİȚȫȞİȚ. ǼȓȞĮȚ İȪțȠȜȠ ȞĮ įȠȪȝİ ĲȫȡĮ ʌȦȢ Ș
ȝȑȖȚıĲȘ įȣȞĮĲȒ ĲȚȝȒ ĲȠȣ Į İȓȞĮȚ 2
log (n 1) ,

« »
¬ ¼ ȠʌȩĲİ ȖȚĮ ȞĮ ȝȘ ȝİȚȫȞİĲĮȚ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ȝİ țȐșİ țȓȞȘıȘ,
ʌȡȑʌİȚ k
2
k log (n 1) n 2
d Ÿ t
« »
¬ ¼
ǹȢ ȣʌȠșȑıȠȣȝİ ȩĲȚ k
n 2 .
A ȉȩĲİ, ĮȞ ȑȞĮ țȠȣĲȓ ıİ șȑıȘ k
i 2 1
, ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚİȓĲĮȚ ȐʌİȚȡȠ ʌȜȒșȠȢ
ĳȠȡȫȞ, İȓĲİ șĮ țĮĲĮȜȒȟİȚ ȞĮ ĮįİȚȐıİȚ. ǹȞ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȘșİȓ ȐʌİȚȡȠ ʌȜȒșȠȢ ĳȠȡȫȞ ʌȐȞȦ ĲȠȣ Ș țȓȞȘıȘ
İʌĮȞĮĲȠʌȠșȑĲȘıȘȢ țİȡȝȐĲȦȞ, ȠįȘȖİȓ ıİ ȝİȓȦıȘ ĲȠȣ S țĮĲȐ
k
2 2
i
i
k log ( 1) k log (2 1) k (k 1) 1
x
« »
« »
t
« » ¬ ¼
¬ ¼
țȐșİ ĳȠȡȐ. ǲĲıȚ, ĮȞ k
2 1,

A İʌİȚįȒ k 1
2 2
log (n 1) log (2 1) k,

« »
D d d
« »
¬ ¼ ¬ ¼ ĲȠ S įİȞ ĮȣȟȐȞİĲĮȚ ıİ
țĮȝȓĮ țȓȞȘıȘ țĮȚ ĲİȜȚțȐ șĮ ĳĲȐıİȚ ıĲȠ 0, ȠʌȩĲİ țĮȚ ıĲȚȢ įȪȠ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ ȑȤȠȣȝİ ȐĲȠʌȠ. ǱȡĮ, ıĲȘȞ
ʌİȡȓʌĲȦıȘ ʌȠȣ k
2 1,

A , ĲİȜȚțȐ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȞĲĮȚ ȝȩȞȠ ĲĮ țȠȣĲȚȐ ıĲȚȢ șȑıİȚȢ k
i 2 1,
t ȠʌȩĲİ ʌȡȑʌİȚ
k
2 k 1 k 1 n 2 k 1.
t Ÿ t Ÿ t
A A
ĬĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ĮȣĲȒ İȓȞĮȚ țĮȚ Ș ĮʌȐȞĲȘıȘ ıĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ. ȆȡȐȖȝĮĲȚ, ȖȚĮ k
n 2 k 1
,
İĳĮȡȝȩȗȠȞĲĮȢ İʌĮȞĮȜĮȝȕĮȞȩȝİȞĮ ĲȘȞ țȓȞȘıȘ ıĲĮ k 1
țȠȣĲȚȐ ıĲȚȢ șȑıİȚȢ k k k k
2 1,2 ,2 1,...,2 k 1,

ȝİĲĮțȚȞȫȞĲĮȢ țȣțȜȚțȐ ĲȘ șȑıȘ ĲȠȣ țȠȣĲȚȠȪ ʌȠȣ İʌȚȜȑȖȠȣȝİ ȞĮ ȕȐȜȠȣȝİ țȑȡȝĮĲĮ, ȕȜȑʌȠȣȝİ ʌȦȢ įİȞ
ȣʌȐȡȤİȚ țȠȣĲȓ ʌȠȣ ĮįİȚȐȗİȚ. ǱȡĮ Ș ĮʌȐȞĲȘıȘ İȓȞĮȚ k
n 2 k 1.

ȆȡȩȕȜȘȝĮ 4.
ĬȑĲȠȣȝİ 1 2.
D īȚĮ țȐșİ șİĲȚțȩ ĮțȑȡĮȚȠ n, ȠȡȓȗȠȣȝİ ȦȢ n 1

D ĲȠȞ ȝȚțȡȩĲİȡȠ ĮțȑȡĮȚȠ Ƞ ȠʌȠȓȠȢ
İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȢ ĲȠȣ n
D țĮȚ ȑȤİȚ ʌİȡȚııȩĲİȡȠȣȢ șİĲȚțȠȪȢ įȚĮȚȡȑĲİȢ Įʌȩ ĲȠȞ n
D . ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ
ȩĲȚ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ n 1 n
{n :2 3 }

D D
` İȓȞĮȚ ʌİʌİȡĮıȝȑȞȠ.
ȁȪıȘ: Ȃİ ( )
W D șĮ ıȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ ĲȠ ʌȜȒșȠȢ ĲȦȞ įȚĮȚȡİĲȫȞ ĲȠȣ D . ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ ʌȠȣ ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ıĲȘȞ
ĮțȠȜȠȣșȓĮ ȠȞȠȝȐȗȠȞĲĮȚ ʌȠȜȪ ıȪȞșİĲȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ (highly composite numbers), țĮȚ İȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȩ ȩĲȚ ȖȚĮ
țȐșİ șİĲȚțȩ ĮțȑȡĮȚȠ k , ȣʌȐȡȤȠȣȞ ʌİʌİȡĮıȝȑȞȠȚ ȩȡȠȚ ĲȘȢ ĮțȠȜȠȣșȓĮȢ ʌȠȣ įİȞ įȚĮȚȡȠȪȞĲĮȚ Įʌȩ k .
ǼȚįȚțȩĲİȡĮ, șĮ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȒıȠȣȝİ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ ȑȞĮȢ șİĲȚțȩȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ 0 , ĲȑĲȠȚȠȢ ȫıĲİ:
ĮȞ n M
D ! , ĲȩĲİ 10
n
3 | D . (*)
ȈĲȠ İȟȒȢ șĮ įȠȣȜİȪȠȣȝİ ȝİ ȩȡȠȣȢ ĲȚȢ ĮțȠȜȠȣșȓĮȢ Įʌȩ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ n 1 n
{n :2 3 }

D D
` , ĲȠ ȠʌȠȓȠ
ȣʌȠșȑĲȠȣȝİ ȩĲȚ İȓȞĮȚ ȐʌİȚȡȠ. ȉȩĲİ, Ș ıȤȑıȘ n 1 n
( ) ( )

W D ! W D İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝȘ ȝİ n n
(3 / 2) ( )
W D ! W D , ȠʌȩĲİ
ĮȞ x y
n 2 3 z
D ˜ ˜ , ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ȩĲȚ x y 2
t , Įʌ’ ȩʌȠȣ ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ ȩĲȚ n
8|D . ȉȩĲİ ȩȝȦȢ, Ƞ n
9 / 8
D
İȓȞĮȚ ȑȞĮȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ ĮȞȐȝİıĮ ıĲȠȣȢ n n 1
,
D D , ȠʌȩĲİ ĮĳȠȪ Ƞ n 1

D İȓȞĮȚ Ƞ İȜȐȤȚıĲȠȢ ʌȠȣ ȑȤİȚ ʌȚȠ ʌȠȜȜȠȪȢ
įȚĮȚȡȑĲİȢ, șĮ ʌȡȑʌİȚ n n
(9 / 8) ( )
W D d W D , ȠʌȩĲİ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ
2x 3y 7
d . (1)
ǹȣĲȩ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ n
D įȚĮȚȡİȓĲĮȚ Įʌȩ 3, ĮȜȜȚȫȢ, Ƞ İțșȑĲȘȢ ĲȠȣ 2, șĮ ȒĲĮȞ ĳȡĮȖȝȑȞȠȢ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ƞ
n
4 / 3
D İȓȞĮȚ ȐȜȜȠȢ ȑȞĮȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ ĮȞȐȝİıĮ ıĲȠȣȢ n n 1
,
D D , ȠʌȩĲİ n n
(3 / 2) ( )
W D d W D , Įʌȩ ȩʌȠȣ
2y 1 x
d . (2)
ǹʌȩ ĲȚȢ (1) țĮȚ (2) ȑȤȠȣȝİ 4y 2x 2 3y 9
d d , ȠʌȩĲİ y 9
d , țĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ (1) ȑȤȠȣȝİ x 17
d ʌȠȣ
ĮȞĲȚȕĮȓȞİȚ ıĲȘȞ (*).

81Ǌǌ
ƳƧưƩƮƮƫưƬƲƵ ƯƧĲƫƶƬƭƲƵ ¨ƬƧıŸưƬƵƯƲƵ
Ȉȉǹ ȂǹĬǾȂǹȉǿȀǹ “ȅ ĬǹȁǾȈ” 6 ȃȠİȝȕȡȓȠȣ 2020
ǼȞįİȚțĲȚțȑȢ ȜȪıİȚȢ
ǹǯ ȁȊȀǼǿȅȊ
ȆȡȩȕȜȘȝĮ 1 (ȝȠȞȐįİȢ 6): ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ƞ ĮțȑȡĮȚȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ
n
3 2n 1
81 4
$ İȓȞĮȚ ıȪȞșİĲȠȢ ȖȚĮ
ȠʌȠȚȠȞįȒʌȠĲİ șİĲȚțȩ ĮțȑȡĮȚȠ n.
ȁȪıȘ: 1ȠȢ
ĲȡȩʌȠȢ: ȅ ĮȡȚșȝȩȢ A ȖȡȐĳİĲĮȚ:

n n n
2n 1 4 4
4 3 2 3 4 n 2 3 4 n
(3 ) 2 (3 ) 2 2 (3 ) 4 2 .

$
ĬȑĲȠȣȝİ
n
3
x 3 țĮȚ n
y 2 ȠʌȩĲİ:

2
4 4 2 2 2 2 2 2 2
x 4y (x ) 2y 4x y 4x y
$

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