1. Батлав.............................. Сургалтын албаны дарга Г. Мөнхзаяа
Лекц №2
Вектор
Бидний өдөр тутмын амьдралд янз бүрийн хэмжигдэхүүн тааралддаг.Тэдгээрийн
зарим нь зөвхөн тоон утгаараа,зарим нь тоон утга болон чиглэлээрээ
тодорхойлогддог.Зөвхөн тоон утгаараа тодорхойлогддог хэмжигдэхүүнийг скаляр
0
хэмжигдэхүүн гэнэ.Жишээ нь: S,V,m,t ,урт ,өргөн гэх мэт.
Тоон утга болон чиглэлээрээ тодорхойлогддог хэмжигдэхүүнийг вектор хэмжигдэхүүн
гэнэ.Жишээ нь : хурд,хүч,хурдатгал гэх мэт.
Геометрт вектор хэмжигдэхүүнийг чиглэлтэй хэрчмээр дүрсэлдэг.Чиглэлтэй хэрчмийн урт
нь вектор хэмжигдэхүүний тоон утгыг,чиглэл нь вектор хэмжигдэхүүний чиглэлийг заана.
B
A AB гэж тэмдэглэнэ.Жижиг үсгээр ч тэмдэглэж болно.
Векторын уртыг уг векторын модуль гээд AB , a гэх мэт тэмдэглэнэ.Урт нь 0- тэй тэнцүү
векторыг тэг вектор гээд 0 гэж тэмдэглэнэ. 0 -ыг дурын чиглэлтэй гэж үзнэ.Урт нь нэгтэй
тэнцүү векторыг нэгж вектор гэнэ.Ямар нэг шулуунтай параллель векторуудыг коллинеар
векторууд гээд AB // CD гэж тэмдэглэнэ. Коллинеар, модулиараа тэнцүү, ижил чиглэлтэй
векторуудыг тэнцүү векторууд гээд AB  CD гэж тэмдэглэнэ. Тэнцүү векторын
тодорхойлолтоос векторыг параллелиар зөөхөд анхны вектортой тэнцүү вектор гарна гэж
харагдаж байна. Иймээс векторыг геометрт чөлөөт вектор гэнэ.
0-ээс ялгаатай дурын векторын хувьд түүнтэй модулиараа тэнцүү боловч чиглэл нь эсрэг
байх векторыг түүний эсрэг вектор гэнэ. AB -ийн эсрэг векторыг - AB гэж тэмдэглэнэ.
Векторуудыг нэмэх,хасах,тоогоор үржүүлэх үйлдлүүдийг вектор дээрх шугаман үйлдлүүд
гэнэ.
1. Векторуудыг нэмэх:
1|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

2. Векторын нэмэх үйлдлийн чанар:
1. a  b  b  a /байр солих хууль/
   
2. a  b  c  a  b  c /хэсэглэн нэгтгэх хууль/
 
3. a   a  0
4. a  0  a
Векторуудын ялгавар:
Хэрэв b  d  a байвал d -г a -оос b -г хассан ялгавар гээд d  a  b гэж тэмдэглэнэ.
/ялгавар векторын чиглэл хасагдагч векторын төгсгөл рүү хандсан байна./
Векторыг тоогоор үржих:
Дараах 2 нөхцлийг хангах b -ийг a ,  тоо 2-ын үржвэр гэнэ.
1. ba
2. a, b векторууд   0 үед ижил,   0 үед эсрэг чиглэлтэй байна.
Энэ тодорхойлолтоос харахад 2 векторын коллинеар байх нөхцөл нь b   a байна.
Векторыг тоогоор үржих үйлдлийн үндсэн чанарууд :
1. a 1  a
2. a  b     a    b
3.    a   a   a
 
4.   a   a
Векторуудын шугаман хамаарал,суурь вектор
Векторуудын харилцан байршлыг тодорхойлохын тулд тэдгээрийн хоорондын
шугаман хамаарал гэсэн ойлголтыг оруулж ирдэг.
Тодорхойлолт1: 1  1  2  2  ...  n  n  0 тэнцэтгэл 1  2  ...  n  0 байхад биелж
  
байвал  i , i  1, n -уудыг шугаман хамааралгүй векторууд гэнэ.Дээрх тэнцэтгэл i , i  1, n 
2|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

3.  
тоонуудын ядаж нэг нь 0-ээс ялгаатай үед биелж байвал  i , i  1, n векторуудыг шугаман
хамааралтай векторууд гэнэ.
Хэрэв векторууд шугаман хамааралтай бол ядаж нэг векторыг бусдын шугаман эвлүүлэгт
бичиж болно. Хавтгай болон огторгуй дахь векторуудын шугаман хамаарлыг авч үзье.
Теорем: Хавтгай дахь дурын 3 вектор шугаман хамааралтай.
Тодорхойлолт2: Нэг хавтгай дээр орших,эсвэл нэг хавтгайтай параллель векторуудыг
компланар векторууд гэнэ.
Тодорхойлолт3: Огторгуй дахь дурын 4 вектор шугаман хамааралтай.
Тодорхойлолт4: Хавтгай дахь шугаман хамааралгүй дурын 2 векторыг хавтгайн суурь
гэнэ. 3 дахь вектор болгоныг энэ сууриудаар задалж болно.Суурь нь  1 ,  2 байг.
a  1  1  2  2 гэж задлах ба 1 , 2  -г аффин координат гэнэ.
Тодорхойлолт5: Огторгуй дахь шугаман хамааралгүй дурын 3 векторыг огторгуйн суурь
гэнэ.4 дэх вектор болгоныг энэ 3-аар задалж болно. a  1  1  2  2  3  3 байх
1 , 2 , 3  аффин координат гэнэ.
Векторын тэнхлэг дээрх проекц
Тодорхойлолт1: Цэгээс тэнхлэгт буулгасан  -ын суурийн цэгийг уг цэгийн тэнхлэг
дээрх проекц гэнэ.
A1B1 хэрчмийн уртыг AB -ын чиглэл  -ын чглэлтэй давхцаж байвал + давхцахгүй
байвал - тэмдэгтэйгээр авсныг AB -ын  тэнхлэг дээрх проекц гээд пр  AB = A1 B1 гэж
тэмдэглэнэ.  тэнхлэгийг AB  A1 M -тэй давхцуулахаар цагийн зүүний эсрэг чиглэлээр
эргүүлэхэд үүсэх хамгийн бага өнцгийг AB ,  2-ын хоорондох өнцөг гэнэ. 0    180 0
Теором: Векторын тэнхлэг дээрх проекц нь векторын уртыг уг вектор ,тэнхлэг 2-ын
хоорондох өнцгийн cos -аар үржүүлсэнтэй тэнцүү.
Декартын тэгш өнцөгт суурь,векторын координат
3|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

4. Харилцан  3 нэгж вектор авч үзье.Нэг хавтгайд оршихгүй тул огторгуйн суурь
болно.Үүнийг тэгш өнцөгт Декартын координатын системийн ортогональ суурь гэнэ.
z-аппликат
Oz тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс харахад Ox тэнхлэгийг Oy -тэй давхцуулахаар эргүүлэхэд
үүсэх хамгийн бага өнцөг нь цагийн зүүний эсрэг чиглэлд үүсэхээр байвал энэ системийг
баруун систем гэнэ.
 M цэг авч үзье. OM -ыг M цэгийн радиус вектор гэнэ. пр Ox OM  x; пр Oy OM  y ; пр
Oz OM  z гэе. M x; y; z  -г M цэгийн координатууд гэнэ.
OM  x 2  y 2  z 2 /параллелопипедийн диагональ тул/
Хавтгайн векторуудын олонлогийг R2;огторгуйн векторуудын олонлогийг R3 гэе.
Координатаараа өгөгдсөн векторууд дээрх шугаман үйлдлүүд дараах байдлаар
илэрхийлэгдэнэ.
ax1 ; y1 ; bx2 ; y 2 ; a; b  R 2
1.
2. a  b  x1  x 2 ; y1  y 2 
3.  a  x1 ; y1 
4. x1=x2;y1=y2  a  b
ТОД. ax1 ; y1 ; z1 ; bx 2 ; y 2 ; z 2 ; a; b  R 3
1. a  b  x1  x 2 ; y1  y 2 ; z1  z 2 
2.  a  x1 ; y1 ; z1 
4|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

5. 3.x1=x2;y1=y2 ;z1=z2  a  b
Векторын урт
a  x12  y12 ; a  x12  y12  z12
OM радиус векторын Ox;Oy;Oz тэнхлэгүүдтэй үүсгэж байгаа өнцгүүдийг  ,  ,  гэвэл
x x y y z z
cos    ; cos    ; cos    ;
OM x2  y2  z2 OM x2  y2  z2 OM x2  y2  z2
cos  ; cos  ; cos  -г OM радиус векторын чиглүүлэгч cos гэнэ./Векторын чиглэлийг ол
гэвэл чиглүүлэгч cos -уудыг ол гэсэн үг./
cos 2   cos 2   cos 2   1
2 векторын коллинеар байх нөхцөлийг координатаар нь илэрхийлбэл:
x1 y 1 z 1
a   b  x1  x 2 ; y1  y 2 ; z1  z 2   
x2 y2 z2
2 цэгийн хоорондох зай.
M 1 M 2  OM 2  OM 1  x 2  x1 ; y 2  y1 ; z 2  z1 
M1M 2  x 2  x1 2   y 2  y1 2  z1  z 2 2
Хэрчмийг өгөгдсөн харьцаагаар хуваах:
AM
 байх M(x,y,z) цэгийг олъѐ. M  AB байвал M цэгийн AB хэрчмийг хуваасан
MB
хуваалтыг дотоод хуваалт гэх ба энэ үед   0 байна. M  AB байвал M цэгийн AB
хэрчмийг хуваасан хуваалтыгхуваалт гэх ба энэ үед   0 байна
OM  OA OA   OB
AM  OM  OA; MB  OB  OM       1OM  OA   OB  OM  
OB  OM  1
 x  x 2 y1  y 2 z1  z 2 
M 1 ; ; 
 1  1  1  
5|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

6.   1 бол M нь AB хэрчмийн дундаж цэг болно.
Векторуудын скаляр үржвэр :
 
Тодорхойлолт1: 2 векторын скаляр үржвэр нь тоо байна. a  b буюу a b гэж тэмдэглэнэ.
ab  a b cos 
2 векторын скаляр үржвэрийг координатаар нь илэрхийлбэл :
Скаляр үржвэрийн чанар:
1. ab  ba
     
2. a  b   a b   ab
3. a b  c   ab  a c
2
4. a a  a
6|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг