1. Батлав.............................. Сургалтын албаны дарга Г. Мөнхзаяа
Лекц №6
Тоон дарааллын хязгаар
Натурал тоон олонлог дээр тодорхойлогдсон функцийг тоон дараалал гэнэ.
x1, x2 ,..., xn ... xn -г тоон дарааллын ерөнхий гишүүн гэнэ.
Тодорхойлолт:   0 тоо сонгон авах бүрд xn  a   нөхцөл биелэгдэж байх N дугаар
олдож байвал а-г xn дарааллын хязгаар гээд lim xn  a /1/ гэж тэмдэглэнэ.
n 
Дараалал төгсгөлөг хязгаартай бол түүнийг нийлдэг дараалал гэнэ.Нийлдэггүй дарааллыг
салдаг дараалал гэнэ. xn  a   гэдэг нь -   xn  a    a    xn  a  
a   ; a    -г а цэгийн  орчин гэнэ.
Дарааллын хязгаар нь a   ; a    орчинд xn дарааллын бүх гишүүд тодорхой N
дугаараасаа эхлэн агуулагдана гэдгийг илтгэнэ.Дараалал өөрийнхөө хязгаар руу янз
бүрийн байдлаар тэмүүлж болно.
Жишээ
1 1 (1)n
a. / xn  1  ; б / xn  1  в / xn  1  дарааллууд бүгд 1 рүү тэмүүлнэ.
n xn n
а/ нь 1 рүү зөвхөн баруун талаас нь буурч
б/ нь 1 рүү зөвхөн зүүн талаас нь өсөж
в/ нь 1 рүү 2 талаас нь хэлбэлзэх замаар тэмүүлж байна.
Хязгаарын дүрмүүд:
xn , yn нийлдэг бол xn  yn ,xn , xn yn дарааллууд мөн нийлнэ.
1. lim ( xn  yn )  lim xn  lim yn
n  n  n 
1|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

2. 2. lim (xn )   lim xn
n  n 
3. lim ( xn yn )  lim xn lim yn
n  n  n 
xn n  xn
lim
4. lim yn  0 бол lim 
n  n  y lim yn
n
n 
5. Хязгаар ба тэнцэтгэл биш xn  b бол lim xn  a  b
n 
xn  b бол lim xn  a  b байна.
n 
Тодорхой бус илэрхийллүүдийн тухай
Хязгаарыг бодох дүрмүүдийг шууд хэрэглэх боломжгүй тохиолдлуудыг “тодорхой бус
“илэрхийллүүд гэнэ.Ийм хэлбэрийн жишээ:
x  0
А/ xn  0, yn  0, үед  n  нь хэлбэртэй
 yn  0
x  
Б/ xn   yn  , үед  n  нь хэлбэртэй
 yn  
В/ xn  0, yn  , үед xn yn  нь 0 хэлбэртэй
Г/ xn   yn  , үед xn  yn  нь    хэлбэртэй
Ийм хэлбэрийн хязгаарыг бодохыг тодорхой бус илэрхийллийг тайлах гэнэ.
Жишээ
2n 2  n  1 
1. lim  энэ бодлого нь хэлбэрийн тодорхойгүй байна
n  3n  1
2

1 1
lim (2   )

n  n n2  2
1 3
lim (3  2 )
n  n
2|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

3. 2. lim ( n 2  1  n) энэ бодлого нь    хэлбэрийн тодорхойгүй байна.
n 
1
( n 2  1  n)( n 2  1  n) 1
lim  lim  lim n  0
n 
n2  1  n n 
n  1  n n  2
2
Монотон зааглагдсан дараалал нийлнэ.
Эйлерийн e тоо натураль логарифм
n n
 1  1
Tr: xn  1   / n  1,2,3,... / дараалал нийлнэ. lim 1    e /2/
 n n 
 n
e  2,718...
log a -г натураль логарифм гээд na гэж тэмдэглэнэ.
e
n 1
 1
Баталгаа. yn  1   дараалал авч үзье.Энэ дараалал монотон буурахыг тогтооё. n  2
 n
үед дарааллын дараалсан 2 гишүүний ногдворт Бернуллийн тэнцэтгэл биш хэрэглэвэл
1 n
(1  ) 2n
yn 1
 n 1  n n 1
(1  2 ) n
n n
 (1  2 )
n 1 n
 (1  )  1  yn 1  yn  yn
yn 1 n 1
(1  ) (n  1) n  1
2 n
n 1 n 1 n 1 n 1 n n 1
n
1 n 1
дараалал буурна. yn  (1  )n 1  1   2  дороосоо зааглагдсан  yn дараалал
n n
нийлнэ.
n n 1 1
 1  1  1
lim xn  lim 1    lim 1   1    lim yn
n  n
 n n 
 n  n n 
n
 1  1
Мөрдөлгөө. lim n n 1    lim n 1    n e  1
n
 n  n  n
1 1 1
zn  1    ...   lim zn  e
1! 2! n! n
e-иррациональ тоо
3|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг