1. Батлав: ..............................ПХТ-ийн эрхлэгч / Л.Батбилэг/
МТ102 Лекц -13
Тэмдэг нь солигдох цуваа.
Хэрвээ цувааны гишүүдийн тэмдэг нь солигддог бол уг цувааг тэмдэг нь солигдох цуваа
гэнэ. ∑∞
=1 = 1 + 2 + 3 + ⋯ нь тэмдэг солигдох цуваа байг. Тэгвэл ∑ | |∞
=1 = | 1| +
| 2| + | 3| + ⋯ цуваа нийлдэг бол тэмдэг нь солигдох ∑∞
=1 = 1 + 2 + 3 + ⋯ цуваа
нийлнэ. Энэ цувааг абсолют утгаараа нийлдэг цуваа гэнэ. Хэрвээ ∑∞
=1 = 1 + 2 + 3
нийлдэг, харин ∑ | |∞
=1 = | 1| + | 2| + | 3| + ⋯ цуваа үл нийлдэг бол уг цувааг нөхцөлт
байдлаар нийлдэг цуваа гэнэ. Цувааны зэрэгцээ гишүүд нь өөр өөр тэмдэгтэй бол тэмдэг
солбисон цуваа гэнэ.
Теорем 1 (Лейбницийн шинжүүр)
Тэмдэг солбисон цуваа
(−1) +1
∞
=1
= 1 − 2 + 3 − ⋯ + (−1) +1
+ ⋯ , ( > 0)
-ны гишүүдийн хувьд ≥ +1( = 1, 2, 3, …, 1 ≥ 2 ≥ 3 ≥ ⋯ ), lim →∞ = 0 нөхцөл
биелж байвал уг цуваа нь нийлдэг цуваа байна. Уг цувааны хувьд | | ≤ +1 нөхцөл
биелнэ.
Теорем 2 (Дирехлейн шинжүүр)
Тэмдэг солигдох цуваа
∑∞
=1 -ны хувьд
а) = ∑ =1 , = 1, 2, 3, … нь зааглагдсан буюу | | ≤ нөхцөл биелдэг,
б) , = 1, 2, 3, … нь 0 рүү жигд тэмүүлэх дараалал байдаг бол уг цуваа нь нийлдэг цуваа
байна.

2. Тодотгол 1.
Лейбницийн шинжүүр нь Дирехлейн шинжүүрийн тухайн нөхцөл байна. Үнэхээр хэрвээ
Дирехлейн шинжүүрийн хувьд , = 1, 2, 3, … нь 0 рүү жигд тэмүүлэх дараалал бөгөөд
= (−1) −1
гэж сонгон авбал ∑ (−1) +1∞
=1 цуваа тодорхойлогдоно. Уг цувааны хувьд
Лейбницийн шинжүүр биелнэ.
Теорем 3 (Абелийн шинжүүр)
Тэмдэг солигдох цуваа ∑∞
=1 -ны хувьд
а) ∑∞
=1 цуваа нийлдэг,
б) , = 1, 2, 3, … тоон дараалал жигд, мөн зааглагдсан дараалал байдаг бол уг цуваа нь
нийлдэг цуваа байна.
Жишээ 1. Тэмдэг солигдох цуваа нийлэх эсэхийг шинжил.
1 +
1
3
−
1
3
−
1
3
+
1
3
+
1
3
− ⋯ +
(−1)
( )
3
+ ⋯
Бодолт. Цувааны гишүүдийн абсолют утга бүхий цувааг авч үзье. Энэ нь 1 + + + +
+ + ⋯ + + ⋯ буюу = геометр цуваа байх тул нийлнэ. Абсолют цуваа нийлэх тул
анхны өгөгдсөн тэмдэг солигдох цуваа мөн адил нийлнэ.
Жишээ 2. Дараах цуваа нийлэх эсэхийг шинжил.
sin
3
∞
=1
Бодолт. Цувааны гишүүдийн абсолют утга бүхий цувааг авч үзье. Энэ нь
|sin 1|
1
+
|sin 2|
23 +
|sin 3|
33 + ⋯ +
|sin |
3 + ⋯ болно. |sin | ≤ 1 байдгийг ашиглавал 1 + + + ⋯ + + ⋯ гэсэн
Дирехлейн цувааг үүсгэнэ. = 3 > 1 тул уг цуваа нийлэх тул анхны өгөгдсөн тэмдэг
солигдох ∑
sin
3
∞
=1 цуваа мөн адил нийлнэ.
Жишээ 3. Тэмдэг солбих цуваа нийлэх эсэхийг шинжил.

3. 1 −
1
√2
+
1
√3
−
1
√4
+
1
√5
−
1
√6
+ ⋯ +
(−1)
√
+ ⋯
Бодолт. Цувааны гишүүдийн абсолют утга бүхий цуваа ∑
1
√
∞
=1 нь Дирехлейн цувааг
үүсгэх бөгөөд = < 1 тул уг цуваа нийлэх эсэх нь тодорхой бус байна. Лейбницийн
шинжүүрийг ашиглая. Уг цувааны хувьд ≥ +1 ( = 1, 2, 3, …, 1 ≥ 2 ≥ 3 ≥ ⋯ ) буюу
1 >
√
>
√
>
√
> ⋯ >
√
> ⋯ , мөн lim →∞
1
√
= 0 тул уг цуваа нийлнэ.
Жишээ 4. Дараах цуваанаас хэдэн гишүүний нийлбэрийг авбал цувааны нийлбэрийн
нарийвчлал 0.0001 бага байх вэ?
(−1) −1
1
3
∞
=1
= 1 −
1
23 +
1
33 −
1
43 + ⋯ +
(−1) −1
3 + ⋯
Бодолт. Энэ цуваа нь тэмдэг солбих цуваа бөгөөд Лейбницийн шинжүүрийн нөхцлийг
хангана. 1 > > > > ⋯ > > ⋯ , мөн lim →∞
1
3 = 0 байна. Эндээс уг цуваа нь
нийлэх ба абсолют нийлнэ гэдгийг хэлж болно. Уг цувааны хувьд | | ≤ +1 нөхцөл
биелнэ гэдгээс
1
3 < 0.001 =
1
1000
, буюу > 10 байна.
Жишээ 5. Дараах цуваа нийлэх эсэхийг шинжил.
1 +
1
2
−
1
3
−
1
4
+
1
5
+
1
6
−
1
7
−
1
8
+ ⋯ +
(−1)
( )( )
+ ⋯
Бодолт. Энэ цувааны гишүүдийн абсолют утгаар бичигдэх цуваа нь гармоник цуваа байх
ба үл нийлнэ. Дирехлейн шинжүүрийг ашиглая. Уг цувааг ∑∞
=1 , =
1
, =
(−1)
( −1)( −2)
2 , = 1, 2, 3, … хэлбэрт бичье. Эндээс =
1
, = 1, 2, 3, … нь 0 рүү жигд
тэмүүлдэг, = ∑ =1 , = 1, 2, 3, … нь | | < = {1, 2, 1, 0} байх тул Дирехлейн
шинжүүрийн дагуу цуваа нийлнэ.

4. Цуваан дээр хийгдэх үйлдлүүд.
Цувааны нийлбэр ба ялгавар нь
∑∞
=1 = 1 + 2 + 3 + ⋯ ба ∑∞
=1 = 1 + 2 + 3 + ⋯ цувааны нийлбэр, эсвэл ялгавар
нь
( ± )
∞
=1
= ( 1± 1) + ( 2± 2) + ( 3± 3) + ⋯
байна. Анхны 2 цуваа нийлдэг бол түүний нийлбэр, эсвэл ялгавар цуваа мөн адил нийлнэ.
Цувааг тогтмол тоогоор үржүүлэхэд ∑∞
=1 = 1 + 2 + 3 + ⋯ гэсэн цуваа үүснэ.
Хэрвээ ∑∞
=1 = бол ∑∞
=1 = байна.
∑∞
=1 ба ∑∞
=1 цувааны үржвэр нь ∑∞
=1 цуваа байна. Энд = 1 + 2 + ⋯ +
Абсолют ба нөхцөлт нийлэлт
Дараах хоёр тохиолдолд сөрөг гишүүдтэй цувааны нийлэлтийг эерэг гишүүдтэй цувааны
нийлэлт рүү шилжүүлэн тогтоож болно гэдэг нь цуваа нийлэх тодорхойлолтоос харагдана.
a) Бүх гишүүд нь сөрөг ∑∞ ( < 0) цуваа зөвхөн ∑ | |∞
цуваа нийлэх үед л
нийлнэ.
b) ∑∞
цуваа төгсгөлөг тооны сөрөг гишүүдийг агуулсан бол эдгээр гишүүдийг
оролцуулаад эхний N гишүүдийг орхиход үүсэх ∑∞
цуваа нийлэх зөвхөн тэр
үед л нийлнэ.
Ийм цувааны жишээ нь Тэмдэг сөөлжлөх цуваа
∑ (−1)∞
= 1 − 2+ 3 − ⋯ , − > 0 ( = 1,2, … )
Цувааг тэмдэг сөөлжих цуваа гэнэ.
Дараах теором нь тэмдэг сөөлжих цуваа нийлэх хүрэлцээтэй нөхцлийг өгч байна.

5. Теорем 1 (Лейбницийн шинж) Тэмдэг сөөлжих
∑ (−1)∞ ( > 0)
цуваа нь ( ) á¿õ = 1,2, … − èéí õóâüä >
( ) lim →∞ = 0 нөхцлийг хангаж байвал нийлнэ.
Абсолют нийлэлт
Абсолют нийлдэг цувааны ойлголт нь зарим цувааны нийлэлтийг тогтоох боломж
олгохоос гадна ийм цувааны гишүүдийн байрыг сэлбэх замаар шинэ цуваа үүсгэвэл
эдгээр цувааны нийлбэр нь ижилхэн байх зэрэг чухал чанаруудтай.
Тодорхойлолт 1
Хэрэв ∑ | |∞
цуваа нийлдэг бол ∑∞
цувааг абсолют нийлдэг цуваа гэнэ. Өөрөөр
хэлбэл гишүүдийнх нь абсолют хэмжигдэхүүнээс нь зохиосон эерэг гишүүдтэй цуваа
нийлдэг бол ∑∞
цуваа абсолют нийлдэг цуваа болно.
Теорем 2
Хэрэв ∑| | цуваа нийлдэг бол ∑ цуваа нйлнэ.
Өөрөөр хэлбэл абсолют нийлдэг цуваа бүр нийлдэг цуваа байна. Тэмдэг сөөлжих
гармоник цуваа нь абсолют нийлдэггүй бөгөөд нийлдэг цуваа байна. Ийм чанартай буюу
∑ | |∞
цуваа сарнидаг бөгөөд ∑∞
цуваа нийлдэг бол энэ цувааг абсолют биш
нийлдэг эсвэл нөхцөлт нийлдэг цуваа гэнэ.

6. Зэргийн цуваа
Тод: ∑ ( )∞
= + + + ⋯ (2)
Хэлбэрийн функционал цувааг зэргийн цуваа гэнэ.
, , , … тогтмол тоонуудыг зэргийн цувааны коэффициентүүд гэнэ.
(2) зэргийн цуваа бүр x=0 цэг дээр нийлэх нь илэрхий .
Зэргийн цувааны нийлэлтийн муж нь
 Эсвэл зөвхөн x=0 цэгь
 Эсвэл бүх бодит тоонуудын олонлог,
 Эсвэл x=0 цэг дээр төвтэй алв нэг юмуу хоёр үзүүрээ агуулсанч
байж мэдэх агуулаагүй ч байж мэдэх интервал, байна.
Теорем:
∑ ( )∞
= + + + ⋯ зэргийн цувааны хувьд
L=lim → гэсэн төгсгөлөг ба төгсгөлгүй хязгаар оршин байвал
(i) L=0 бол ∑ ( )∞
цуваа бүх бодит тоон олонлог дээр ни йлнэ.
(ii) L>0 ∑ ( )∞
цувааны нийлэлтийн радиус R= . Болно.
(iii) L=+∞ бол ∑ ( )∞
цувааы зөвхөн x=0 цэг дээр нийлнэ.