1. ОЛОНЛОГ
19-р зууны сүүл 20-р зууны эхээр математикийн бүхий л хуучин ойлголт
ухагданхууныг дахин авч үзэж судалсны үр дүнд математикийн шинэ салбар
болох олонлогийн онол бий болсон. Түүний үүсгэн байгуулагчийн нэг нь
Германы математикч Георг Кантор юм.
ОЛОНЛОГ БА ТҮҮНИЙ ЭЛЕМЕНТҮҮД
Натурал тоо, гурвалжин, квадрат гэх мэт эдгээр бүх ялгаатай бөөгнөрлийг
ОЛОНЛОГ гэдэг. Олонлогийн ухагдахуун бол математикийн үндсэн
ухагдахуунуудын нэг учраас тодорхойлдоггүй. Тухайлбал монгол хүмүүс монгол
орны гол мөрөн, нэг гэр бүл натурал тоонууд, бүх гурвалжнуудын олонлог гэх
мэтийг нэрлэж болно.
Аливаа юмсын цуглуулгыг олонлог гэх ба түүнийг бүрдүүлж буй тэр юмсыг
олонлогийн элементүүд гэнэ. Олонлогийг латин том үсгээр тэмдэглэнэ. (A, B,
C……гэх
мэт)
Олонлогийн бүрдүүлж байгаа объектыг түүний элементүүд гэж нэрлээд
латин цагаан толгойн жижиг үсгээр тэмдэглэнэ. Энд a,b,c….гэх мэт
Хэрэв А олонлогийн ямар нэгэн элемент нь бол х-ийг А олонлогт харъяалагдаж
байна гээд х∈ А гэж тэмдэглэнэ.
Хэрэв А олонлогийн элемент бүр нь В олонлогт харъяалагдаж байвал А
олонлогийг В олонлогийн дэд олонлог гэх ба А⊂В эсвэл В⊃А гэж тэмдэглэнэ.
Хэрэв хоѐр олонлог нэг нэгэндээ харъяалагдаж байвал тэдгээрийг хоорондоо
тэнцүү олонлогууд гэнэ. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв А⊂В ба В⊂А бол А=В байна.
Жишээ нь:
а) А={1, 3, 5, 7, 9 } гэсэн байвал 1, 3, 5, 7, 9 тоонууд нь А олонлогийн
элементүүд болно.
б) хэрэв В={х:х-сондгой, х<15} бол 15-аас бага сондгой тоонууд элементүүд нь
болно. тухайлбал: {1, 2, 3..........}
ХООСОН ОЛОНЛОГ
ТОДОРХОЙЛОЛТ: ямар ч элементгүй олонлогийг хоосон олонлог гэж нэрлээд
Ш гэж тэмдэглэдэг. Тэгшитгэлийн шийдийг олоход хоосон олонлог тохиолдож
болно. жишээ нь: 3х-7=3(+5) тэгшитгэлийг бодоход 0х=2 хэлбэрт шилжих
бөгөөд энэ тэгшитгэлийг үнэн болгох х-ийн тоон утга байхгүй. Иймд энэ
тэгшитгэлийн язгууруудын олонлог хоосон олонлог юм.
Математикт олонлогт ямар нэг юмс харьяалагдана, эсвэл харьяалагдахгүй
гэдгийг тайлбарлах хэрэг байнга гардаг. Жишээ: 5- натурал тоо, 0,75-натурал
тоо биш гэж ярьдаг. Өөрөөр хэлбэл 5 гэсэн тоо натурал тоон олонлогт
харьяалагдаж байгаагаар, 0,75 гэсэн тоо түүнд харьяалагдахгүй байгаагаар
тэдгээрийн үнэнийг баталж байгаа хэрэг. Эдгээр өгүүлбэрийг тэмдэглэхийн
тулд ϵ ба ∉ тэмдэглэгээг оруулсан «а объект А олонлогт харьяалагдана»

2. гэдгийг а ϵ А гэж тэмдэглэнэ. Харин «а объект А олонлогт харьяалагдахгүй»
гэдгийг а ∉ А гэж бичнэ.
Тухайлбал А- нэг оронтой тооны олонлог бол «3 гэсэн тоо нэг оронтой тоо»
гэсэн өгүүлбэрийг 3 ϵ А гэж бичнэ. Харин 12 ∉ А гэсэн бичлэг «12 бол нэг
оронтой тоо биш эсвэл 12 гэсэн А олонлогт харьяалагдахгүй утгыг илэрхийлн
Олонлог төгсгөлөг эсвэл төгсгөлгүй байна. Эдгээр ойлголтыг
тодорхойлолтгүйгээр хэрэглэнэ. Тэдгээрийг жишээгээр тайлбарлая.Долоо
хоногийн өдрийн олонлог жилийн сарын олонлог төгсгөлөг олонлог ба харин
шулуны цэгүүдийн олонлог, натурал тооны олонлог төгсгөлгүй олонлог юм.
ОЛОНЛОГИЙН ӨГӨХ АРГУУД
Олонлог нь янз бүрийн элементүүдээс бүрдсэн байх тул түүнийг яаж бичиж
тэмдэглэх нь чухал байдаг. Үүнтэй уялдаж ямар ч олонлогийг дараах хоѐр
аргын нэгээр нь өгдөг.
1. Олонлогийн нэг элементийг нь тоочиж нэрлэх, бичих олонлогийг өгч болно. энэ
үед олонлогийг элементүүдээр нь өглөө гэж ярьдаг.хэрэв А олонлог нь а, в, с, d
гэсэн ялгаатай 4 үсгээс бүтдэг бол түүнийг А={ а, в, с, d } гэж бичиж тэмдэглэдэг
ба а олонлог нь а, в, с, d элементээс бүтэж байна гэж ярьдаг.
2. Олонлогийн элемент бүрт байх ерөнхий шинжээр нь олонлогийг өгч болно. Энэ
үед, олонлогийг элементийн нь шинээр өглөө гэж ярьдаг.
Жишээ нь: А нь 7-оос бага натурал тоон олонлог бол түүний элемент бүр нь 7оос бага натурал тоо байна. Элементийнхээ шинж чанараараа өгөгдсөн
олонлогийг тэмдэглэхдээ их хаалтанд, элементийг х-үсгээр тэмдэглэн бичиж,
дараа нь босоо зураас татаж, түүний ард шинж чанарыг нь бичнэ.
Тодорхойлолт: Олонлогийн элемент бүрийн хувьд биелдэг, түүнд
харьяалагдахгүй нэг ч элементийн хувьд биелдэггүй чанарыг олонлогийн
элементийг
тодорхойлох
шинж
чанар
гэнэ.
ОЛОНЛОГ
ХООРОНДЫН
ХАРЬЦАА
Тодорхойлолт: Хэрэв В олонлогийн бүх элемент А олонлогийн элемент болж
байвал В-г А олонлогийн дэд олонлог гэнэ. Хоосон олонлогийг дурын
олонлогийн дэд олонлог гэж үзнэ
Хэрэв В⊂А бол тодорхойлолтоос В хоосон олонлог байж болох ба А,В
олонлог А- тай давхацсан үед А⊂А гэж мөрдөнө. Иймээс өгөгдсөн А
олонлогийн бүх дэд олонлогт хоосон олонлог,А олонлог өөрөө зайлшгүй орно.
Тухайлбал, А={2,3,4} олонлог нь {2},{3},{4} гэсэн нэг, нэг элементтэй гурван дэд
олонлог ,ба {2,3},{2,4},{3,4} гэсэн хоѐр, хоѐр элементэй гурван дэд олонлог, А
олонлог
өөрөө
хоосон
олонлог
гээд
нийт
8
дэд
олонлогтой
байна.
Хэрэв А олонлог n ширхэг элементэй бол 2n ширхэг ялгаатай дэд олонлогтойг
баталдаг.

3. Одоо А={хулан,тахь,хавтгай,}, В={хавтгай, хулан, тахь}гэсэн олонлогуудыг авч
үзье.
Тэд огтлолцох ба А олонлогийн бүх элемент В олонлогийн элемент
болж байна. Өөрөөр хэлбэл Урвуугаар В олонлогийн бүх элемент А
олонлогийн элемент болж байна. Өөрөөр хэлбэл В А. Энэ
Тодорхойлолт:А В ба В А бол А,В олонлогуудыг тэнцүү олонлогууд гээд
А=В
гэж
тэмдэглэнэ.
Леонард Эйлер (1707-1783). Тэрээр Щвейцарьт төрсөн ба 1727 онд
Петербургийн шинжлэх ухааны академийн урилгаар Орост очсон .Эйлерийн
нөр их хөдөлмөрийн үр дүнд математикт түүний нэрээр нэрлэгдэх 800 гаруй
бүтээл байдаг. Олонлогуудын хоорондох харьцааг Эйлерийн дугуй (Венийн
диаграмм гэж нэрлэх нь бий.) гэгдэх онцгой зураглалаар дүрсэлдэг Үүний тулд
олонлогыг дугуй ,зуйван дугуй , эсвэл геометрийн бусад дүрсээр төлөөлүүлдэг.
ОЛОНЛОГУУДЫН ОГТОЛЦОЛ
Тодорхойлолт: А олонлогт ч, В олонлогт ч харьяалагдах элементүүдээс бүрдэх
олонлогийг А ба В олонлогийн огтолцол гэнэ.
А ба В олонлогуудын огтлолцлыг А∩В гэж тэмдэглэдэг. Тодорхойлолт ѐсоор
А∩В={хІх∈ А ба х∈ В}
Огтлолцлын тодорхойлолтоос А∩В олонлогийн элементийн шинж чанар нь
огтлолцож байгаа олонлогуудын элементийн шинж чанаруудыг «ба»
холбоосоор холбоход үүсэх нь мөрдөн гарна.
Тухайлбал: тэгш тооны олонлог-А хоѐр оронтой тооны олонлог- В байхад
тэдгээрийн огтлолцлын олонлогийг олье. А олонлогийн элементийн
тодорхойлох шинж чанар нь «тэгш натурал тоо байх» В олонлогийнх «хоѐр
оронтой тоо байх». Тэгвэл тодорхойлот ѐсоор өгөгдсөн олонлогуудын
огтлолцлын элемент «тэгш натурал тоо байх ба хоѐр оронтой тоо байх» гэсэн
шинж чанарыг хангах ѐстой.
Ингэхлээр А∩В олонлог тэгш ба хоѐр оронтой ( энэ тохиолдолд «ба» холбоосыг
орхиж болно) тооноос бүрдэнэ. Гарах олонлог хоосон биш.
Тухайлбал 24 гэсэн тоо тэгш, хоѐр оронтой учир 24 є А∩В байна.

4. Одоо А олонлог, түүний дэд олонлог В хоѐрын огтлолцлыг олбол А∩В=В учир
А∩В олонлогийн элементийн шинж чанар нь В олонлогийн элементийн шинж
чанар байна.
Олонлогуудын нэгдэл, огтлолцлын чанарууд
Олонлогуудын огтлолцохыг огтлолцол, олонлогуудын нэгтгэхийг нэгдэл гэж
нэрлэдэг.
Ерөнхий боловсролын сургуулийн математикаас тоон дээрх үйлдэл олон
чанартай байдаг.Тухайлбал: бодит тооны нэмэх үйлдэл нь бүлэглэх ба байр
солих чанартай. Энд дурын бодит а, в, с тооны хувьд а+в=в+а ба а+в+с=а+в+с
биелнэ.
Бодит тоонуудын үржүүлэх үйлдэл үүнтэй адил чанаруудтай. Үүнээс гадна
үржүүлэх үйлдлийн хувьд хаалт нээх чанар биелдэг. Энд дурын бодит а, в, с
тоонуудын хувьд (а+в)с тэнцэтгэл биелнэ.
Олонлогуудын огтлолцох ба нэгдлийн бүлэглэл нэгдлийн мөн чанар нь:
Нэгдүгээрт: Гурван олонлогийн огтлолцол ба нэгдлийг өвнөх шиг 2 аргаар олох,
Хоѐрдугаарт: Энэ чанарт үндсэн (A∩B)∩C, A∩(B∩C), (AUB)UC, AU(BUC)
илэрхийлэлд хаалтыг орхиж AUBUC гэж бичлэг хөнгөвчлөх боломж олгодог.
дурын А,В,С олонлогийн хувьд (AUB)UC= AU(BUC) болохыг батлах ѐстой.
1. (AUB)UC олонлогийн дурын элемент х байг.Тэгвэл олонлогийн нэгдлийн
тодорхойлолт ѐсоор хєAUB, эсвэл хєС байх болно.
Хэрэв хєAUB байвал мөн олонлогийн нэгдлийн тодорхойлотоор хєA, эсвэл хєС
байх болно.
Хэрэв хєAUB байвал мөн олонлогийн нэгдлийн тодорхойлотоор хєA, эсвэл хєВ
байна.
Хэрэв хєA байвал нэгдлийн тодорхойлолтоор хє АU(ВUС)боллоо.
Хэрэв хєВ байвал хєВUС учир х є АU(ВUС) болно.
Ингэж хєA, эсвэл хєВ үед баталгаа дуусаж хєAUB үед х є АU(ВUС)
Хэрэв хєС үед олонлогийн нэгдлийн тодорхойлолтоор хєВUС болно.
Ингэхлээр мөн нэгдэл олонлогийн тодорхойлолтоор хєАU(ВUС) болно.
Эндээс хє АUB, эсвэл хєС байхын аль ч тохиолдолд хєАU(ВUС) болох нь
батлагдав.
Олонлогуудын ялагавар гүйцээлт
Тодорхойлолт:
харъяалагддаггүй
А
олонлогш
элементүүдээс
харьяалагддаг
зовхөн
бүрдэх
боловч,
В
олонлогийг
олонлогш
А
ба
В
олонлогуудын ялгавар гэнэ.
Хэрэв Эйлерийн дугуй ашиглан, А ба В олонлогийг дүрсэлбэл тэдгээрийн
ялгавар нь зургийн зурааслагдсан хэсэг болно.

5. Тодорхойлолт: В А байг. А- д харьяалагддаг ба В- д харьяалагддаггүй
элементүүдээс зөвхөн бүрдэх олонлогийг В олонлогийн А олонлог хүртэлх
гүйцээлт гэнэ.
Олонлогийн нэгдэл ба ялгаврын тухайд эн чацуу эрхтэй гэж тооцдог.
Тухайлбал, А В С илэрхийллийн хувьд эхэлж А олонлогоос В олонлогийг
хасаад, гарсан олонлогийг С олонлогтой нэгтгэдэг.
Олонлогуудын ялгавар олон чанартай.
ОЛОНЛОГИЙГ АНГИУДАД ХУВААХ НЬ
Тодорхойлолт:
Олонлогийн
ямар
ч
хуваалт
нь
тухайн
олонлогийн
элементүүдийг дэд олонлогуудад хуваах замаар үүсэж буй болно. Энэ үед
дараах нөхцлийг хангаж байвал X олонлогийг X1, Х2 ангиудад хуваасан хуваалт
гэнэ. Үүнд:
1. Х1 Х2,.... Хn дэд олонлогууд хоорондоо үл огтлолцоно.
2. Х1, Х2,.... Хn дэд олонлогуудын нэгдэл X олонлог байна.
Олонлогийг ангиудад хуваах нь түүний дэд олонлогийг ялгах үйлдэл учир
ангиудад Уваах үйлдлийг элементийн шинж чанараар гүйцэтгэж болно.
Тухайлбал натурал тоон олонлогийг авч үзэхэд элементүүд нь янз
бүрийн шинж чанартай. Түүнээс “3- ын хуваагдагч байх” гэсэн шинж чанартай.
Түүнээс “3- ын хуваагдагч байх” гэсэн шинж чанартай тоонуудыг сонирхоѐ.
Тэгвэл энэ шинж чанар натурал тоон олонлогоос 3- ын хуваагдагч байх тооноос
бүрдсэн дэд олонлогийг бидэнд ялгаж өгнө. Харин үлдсэн натурал тоонууд 3- т
хуваагдахгүй тоонууд байна.
Ер нь хэрэв X олонлогт нэг шинж чанар өгөгдвөл X олонлог хоѐр ангид
хуваагддаг.
Ингэж өгөгдсөн 2 шинж чанараар натурал тоон N олонлог дөрвөн ангид
хуваагдав.
ОЛОНЛОГУУДЫН ДЕКАРТ ҮРЖВЭР
а ба b элементээр зохиогдсон эрэмбэлэгдсэн хосыг дугуй хаалт ашиглан (а;
b) гэж бичдэг. а- г хосын нэгдүгээр координат (компонент), b- г хоѐрдугаар
координат (компонент) гэж нэрлэдэг.

6. Ингэж А, В хоѐр олонлогоос эрэмбэлэгдсэн хос тоонуудаар элементээ
хийсэн шинэ олонлог гарган авч болж байна.
Тодорхойлолт: А ба В олонлогуудын декарт үржвэр гэж эхний координат
нь А олонлогт харьяалагдах, хоѐр дахь координат нь В олонлогт харьяалагдах
бүх хосоос бүрдэх олонлогийг хэлнэ.
А ба В олонлогийн декарт үржвэрийг А х В гэж тэмдэглэдэг. Энэ
тэмдэглэгээг ашиглан декарт үржвэрийг А х В = {(х; у) |х А ба у В } гэж бичиж
болно.
1 дүгээр бодлого: Хэрэв а) А={m; р}, В={е; f; к }; б) А= В= {3; 5} бол А, В-ийн
декарт
үржвэрийг ол.
Бодолт: а) тодорхойлолт ѐсоор нэгдүгээр координатыг А-аас хоѐрдугаар
координатыг В-ээс тус тус сонгон авч бүх хосыг үүсгэвэл:
А х В = {(m; е), (m; f), (m; к), (р; е), (р; f), (р; к)}.
б) Өгөгдсөн олонлогуудын элементүүдээс бүх боломжит хосыг үүсгэж,
тэнцүү олонлогуудын декарт үржвэрийг олбол: А х А={(3; 3), (3; 5), (5; 3), (5; 5)}.
Декарт үржвэр олох үйлдлийг декартаар үржүүлэх гэж нэрлэдэг. Энэ
үйлдлийн хувьд ямар чанарууд биелэхийг авч үзье. А, В олонлог ялгаатай
элементтэй үед А х В, В х А декарт үржвэрүүд ялгаатай элементүүдтэй тул
декартаар үржүүлэх үйлдэлд байр солих чанар биелэхгүй. Мөн декартаар
үржүүлэх үйлдлийн хувьд бүлэглэх чанар биелэхгүйг баталж болно. Гэвч нэгдэл
ба ялгаврын хувьд декарт үржвэр нь дистрибутив чанартай.
Хэрэв А, В олонлогууд төгсгөлөг цөөн тооны элементтэй бол тэдгээрийн
декарт үржвэрийг граф, эсвэл хүснэгт ашиглан дүрсэлж болно. Тухайлбал, А={
1, 2, 3} ба В={3, 5} бол декарт үржвэрийг нь 12 дугаар зурагт үзүүлснээр
дүрсэлнэ.
3
5
1
(1;3)
(1;5)
2
(2;3)
(2;5)
3
(3;3)
(3;5)

7. Тодорхойлолт. А1, А2……. An олонлогуудын декарт үржвэр гэж эхний
компонент нь А1 олонлогт, хоёр дахь компонент нь А2 олонлогт,..., n дэх
компонент нь А2 олонлогт харьяалагдах n урттай бух кортежуудын
олонлогийг хэлнэ
ТӨГСГӨЛӨГ ОЛОНЛОГИЙН НЭГДЭЛ БА ОГТОЛЦЛЫН ЭЛЕМЕНТИЙН ТОО
Хэрэв А олонлог а ширхэг элементтэй, В олонлог в ширхэг элементтэй ба А,
В олонлогууд огтолцохгүй байвал А, В олонлогуудын нэгдэл олонлогийн
элементийн
тоо
а + в байхыг баталдаг. n (А+В)= n (А) + n(В)= а+b (1)
Төгсгөлөг ба үл огтлолцох 2 олонлогийн нэгдэл олонлогийн элементийн тоог
олох дүрмийг хос хосоороо үл огтлолцох i ширхэг олонлогуудын хувьд өргөтгөж
болно.
Хэрэв В⊂А байвал n (ВA)= n(А)- n(В) В дэд олонлогийн А олонлог хүртэлх
гүйцээлт дэд олонлогийн элементийн тоо эдгээр 2 олонлогийн элементийн
тооны ялгавартай тэнцүү байдгийг хялбархан баталж болно.
Төгсгөлөг олонлогуудын декарт үржвэрийн элементийн тоо
А олонлогийн элементийн тоо-а В олонлогийн элементийн тоо-в байвал
А ба В олонлогуудын декарт үржвэрийн элементийн тоо а•в болно.
n(AхB)=n(A)•n(B)=a•b