1. ГЕОМЕТРИЙН БОДЛОГО БОДОХ АРГА ЗҮЙ
МОНГОЛ УЛСЫН ГАВЬЯАТ БАГШ Б.СОДНОМДОРЖ
(Бага дунд ангийн багш нарын “Багшийн хөгжил” сургалтанд заасан хичээл)
Оршил.
Нэгдсэн хуралдаан дээр “Геометр” сургалтын талаар санаа зовж явдаг зүйлээ та бүхэнд
танилцуулсан билээ. Ер нь математикийн багш байна, тэр дундаа геометр заана гэдэг бол
маш их хүч энерги авхаалж самбаа, сэтгэлгээ шаарддагийг хэн хүнгүй мэдэх байхаа.
Геометрийн хичээл бол амьдралд ойрхон хичээл шүүдээ. Би бодохдоо геометрээс
арифметикийг эс тооцвол математикийн бусад салбар үүссэн гэж үздэг.Үнэн байх.
Амьдралын геометрлог асуудлыг шийдэхдээ алгебрийн болон математикийн олон
механизмыг ашигладаг жишээ нь: байшингийн суурь тавихдаа манай хашир мужаанууд
тэгш өнцөгтийн диагналийн чанарыг ашигладаг г м. Гэтэл энэ чухал хичээлийн ач
холбогдлыг бид дутуу ашигладаг. Өнөөдөр төрөөс инженер техникийн ажилтан ажилчдыг
бэлтгэх тал дээр онцгой ач холбогдол өгч байна. Гэтэл их дээд сургуульд сурч ба шавь
нарын маань геометрийн хичээлийн мэдлэг чадвар үнэхээр хангалтгүй байгааг та нар
мэдэж байгаа. Ийм болохоор сургалтандаа анхаарах гол нь геометрийн зөв ойлголттой
болгоход сургалтаа чиглүүлэх шаардлагатай байна. Хичээлийнхээ өмнө ер нь геометрийн
хичээлийг заахдаа юунд анхаарах талаар өөрийн туршлаганд тулгуурлан ярья.
Анхаарах асуудлууд
1.Геометрийн үндсэн ухагдахууныг сайтар ойлгуул
Цэг, шулуун, хавтгай гэсэн ухагдахуунуудыг эхлээд ямарч баталгаа тодорхойлолтгүй шууд
хүлээн авах, тулган хүлээлгэн учиртай. Эдгээр ухагдахуун дээр тулгуурлан дараа
дараагийн ухагдахуунуудыг маш сайн өгөх ѐстой. Цаг зав зориуд зарцуулан
Хэрчим, цацраг, биссектрис,медиан,өндөр олон өнцөгт, гурвалжин, 4-н өнцөгт,
паралелограмм, тэгш өнцөгт, ромбо, квадрат,трапец гэх мэт. Эдгээрийн хоорондын
төсөөтэй болон ялгаатай элементүүд мөн чанар холбоосыг гарган тодорхойлолтыг сайтар
мэдүүлэх учиртай. Зарим судалгаанаас харахад сурагчид тодорхойлолтыг тун хангалтгүй
эзэмшсэнь мөн чанар, учир шалтгааныг мэдэхгүй байгаа нь харагдсан. /Биссектрис
паралелограмм/
2.Үндсэн байгуулалтуудыг хийдэг байх
Юуны өмнө багш болон сурагчид гортик шугамтай ажиллах чадвартай байх.Багш зориуд
сурагчдад гортик шугамтай ажиллах дадлага ажлыг байнга хийлгэдэг байх нь чухал.
Гортик шугамтай ажиллах талаар бүр бага ангиас нь эхэлж дунд ангийн эхний
хичээлүүдийн 1-2 цагийг зориулах хэрэгтэй.

2. “Гортик шугамаар дуртай зургаа зурах” хичээл гэх юм уу “Ирээдүйн инженерүүд”
хичээлээр барилга байшин, сандал ширээ, план зураг машин онгоц зуруулах зохиолгох
зэрэг ажлуудыг хийлгэх нь маш үр дүнтэй болдог.Сурагчид их дуртай Хүүхдүүд их хөөрхөн
сэтгэдэг юм /Дондогмаамаа/
Үндсэн байгуулалтуудад

Хэрчмийг таллан хуваах
o Перпендикуляр байгуулах
o Биссектрис байгуулах
o Гурвалжин байгуулах
байгуулалтыг самбарт хийнэ.)
хэрчмүүдийг байгуулах гэх мэт (эдгээр
Ер нь геометрийн байгуулах бодлогыг бодох гэдэг нь гортиг шугамын тусламжтайгаар
байгуулж болох дүрсүүд нь тухай асуудал юм.
3.Бодлогын тавилт бичлэг математик соѐл
Сурагчид бодлогын бодолтыг замбараагүй
хийж байна. Зөвхөн хариуг гаргах нь тэдний зорилго юм шиг.Бодлогоо эргэж харах хүн
харахад ойлгомжтой, системтэй, эхлэл төгсгөлтэй уялдаа холбоотой учир шалтгааныг
гаргасан байх ѐстой.
Энэ бүхэнд багш нар 70-80% буруутай гэдэгт би эргэлздэггүй. Багш самбартай яаж
ажиллаж байна. Түүний самбарт бичсэн зүйл нь хир ойлгомжтой системтэй дэс дараалал
сайтай байгаа гэж багшийн болон сурагчдын математик соѐл шууд харагдана.
Геометрийн хувьд өгсөн нь - олох нь
олсон нь юм уу бодолт
– батлах нь –баталгаа гэдэг
системүүд дээр бодлогын тавилтыг хийх ѐстой. Гэтэл өнөөдөр энэ мөрдөгдөхгүй байна.
Хүүхдүүдийн дэвтрийг харж байхад геометрийн теоремын баталгаа багш нар хийж
сурагчид тэмдэглэж авдаггүй нь мэдэгдэж байна. Геометрийн баталгаа заавал хийж
хүүхдүүдээр баталгааг яриулж байх нь чухал шүү. Эцэст нь хэлэхэд математикийн
бичиглэл, бодлогын зөв тавилт нь ямар ч улсад ойлгогддог олон улсын хэл байдгийг ямагт
санаж бай.
4.Зураг маш чухал
Сайн зураг бодлого бодоход маш их нэмэр болох нь мэдээж. Зургийг аль болохоор
өгсөн нөхцөлд ойртуулж бодит байдлыг харуулсан зураг гаргахыг хичээх. Хэрвээ
гурвалжны өнцгүүд нь өгөгдсөн бол тэр хэмжээнд нь зурах перпендикуляр байвал тэгш
өнцөг зурах медиан биссектрисийг мөн чанар нь харагдахаар зурах гэх мэт. Хичээл дээр
бол сурагчдаа балын харандаагаар тойм зураг хийлгэх, харин гэртээ түүнийгээ тойруулж
жинхэнэ зургаа үйлдэх зэрэг нь хичээлийн цагийг хэмнэх ач холбогдолтой.

3. Сайн зургаас таамаглал дэвшүүлэх гол үзэл санаа, түлхүүрийг олж харах нь элбэг
байдаг юм шүү. Зургийг сайн зурж сурах, зургаа зөв уншдаг байх нь сурагчдын техник
сэтгэлгээг хөгжүүлэх, инженер техникийн мэргэжилд суралцахад нь дөхөм болох нь
ойлгомжтой.
5.Багшийн хичээлийн хэрэгсэл, багаж
Математикийн багшид олон өнгийн чанартай үзэг бал харандаа заавал байх
ѐстой.Түүнийгээ хүнд, ялангуяа шавь нартаа ойлгомжтой байхаар ашиглаж бодлогын
нөхцөл, онцгой сонин санааг тодотгох гол теорем, шинэ санаа, гайхамшигтай уран
бодолтыг тодотгодог, хүний анхаарлыг төвлөрүүлж, чадахаар зурж бичиж байхыг зөвлөж
байна. Багшийн хэрэглэж байгаа үзэг,бал харандаа гортиг шугам нь хүүхдийн анхаарлын
төвд байдаг.Сайн чанарын гоѐ, үзэмжтэй хичээлийн хэрэгслэлийг хүүхэд дуурайх нь элбэг
байдаг.Гоѐ хичээлийн хэрэгслэлээрээ хүүхэд зурдаг бичдэг байхыг хүсдэг. Тэр бололцоог
нь сайн ханга. Жинхэнэ шаардлага хангасан бодлогын тавилттай бичиглэл сайтай
бодлогын дэвтэр багшид заавал байх ѐстой шүү. Бодлогын дэвтэр ийм байна. Тавилт нь
ийм байна гэж үзүүлж ярина. Математикийн кабинетэд гортиг гурвалжин шугамгүй
байгааг сануулах . БСГ-аас “Бодлого- чадвар- хөгжил” аян зохиосныг туйлын их дэмжиж
байгаа шүү. Мөн МУГБ Ж.Нямжавын туршлагыг ярина. За ингээд дээрх ярьсантай
холбогдуулан хэд хэдэн бодлогыг авч үзье.
Зарим төрлийн геометр бодлогын бодолтын талаар
Геометрийн бодлого бодох гэдэг нь янз бүрийн нээлт хийж шинэ амжилтанд хүрч
байгаа юм шиг сэтгэгдэл төрүүлдэг сонин зүйл. Алгебр тригнометрийн бодлогонууд нь
хийсвэр юм шиг . Заримдаа бодит амьдралаас хөндий мэт санагддаг. Гэтэл геометрийн
бодлого нь нүдэн дээр харагдаж дүрслэгдэж байдгаараа онцлог байдаг. Ажиглалтаас
үзэхэд алгебр тригнометрийн бодлогонуудад толгой өвддөггүй сурагчид геометрийн
хамгийн энгийн бодлогонуудад барьц алдаж бэрхшээлтэй тулгардаг.
Уран ухаан тусгай бэлтгэл шаардагдах бодлого биш дунд сургуулийн стандартын
томьѐо теорем орсон бодлогонуудыг сурагчид бодож чадахгүй байна. Геометрийн
бодлогыг боддог универсал арга гэж байдаггүй. Тригнометрийн тэгшитгэлүүдийг боддог
арга зөндөө байдгийг бид мэднэ. Мөн иррационал логарифм, илтгэгч тэгшитгэл тэнцэтгэл
бишийг боддог арганууд бий. Геометрийн тийм арга байдаггүй нь тун харамсалтай. Бид
геометрийн бодлогыг яаж боддог вэ? Эхлээд нөхцлөө харж юу олох ѐстойгоо сайн ойлгож
авдаг.Олох гэж байгаа зүйл бусад элементтэйгээ хэрхэн холбогдож байгаа эдгээрийн
холбосон ямар томьѐо теорем байдаг билээ гэдгийг хардаг, нөхцөлд өгөгдсөн зүйлүүд нь
геометрийн ямар чанараар хангагддаг болохыг тогтоож бодох төлөвлөгөөгөө гаргадаг.
Эцэст нь тодорхой амжилтанд хүрэхгүй бол үүнтэй адилхан бодлого урьд өмнө бодож
байсан эсэх, бүүр болохгүй бол тухайн тохиолдлыг авч үзээд үүнийгээ ерөнхий тохиолдолд
хэрхэн ашиглаж болохыг эрж хайдаг. Иймэрхүү маягаар ихэвчлэн бодлого боддог юм.
Хэдүйгээр универсал нэг арга байхгүй ч гэсэн тэгш өнцөгт гурвалжны бодлогууд,талбай
ашиглаж боддог “ Талбайн арга” ,гурвалжны доторх метрийн хамаарал зэрэг сэдэв нэгтэй

4. бодлогонуудад түгээмэл хэрэглэдэг томьѐо теоремууд бас байдаг юм. Эдний заримаас
одоо дурьдья.

Тэгш өнцөгт гурвалжин
Тэгш өнцөгт гурвалжинтай холбоотой бодлогонууд нь дунд сургуулийн
геометрийн хичээлийн хөтөлбөрт томоохон байрыг эзэлдэг. Гэтэл сурагчид
маань Пифагорын теоремаас цаашихыг нь мэдэхгүй байна. Мэдэж байгаа нь
хэрэглэх тал дээрээ хангалтгүй, бодлого бодох явцдаа ашиглаж чадахгүй
байна. Тэгвэл тэгш өнцөгт гурвалжинд өөрийн өвөрмөц чанарууд нилээд
бий.
1.Гурвалжны талбай нь катетуудын үржвэрийн хагас
2.Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос татсан өндөр / перпендикуляр/ уг
гурвалжны төсөөтэй хоѐр гурвалжинд хуваах бөгөөд тус бүртээ анхны гурвалжинтай
төсөөтэй байдаг.
Уг өндөр нь катетуудын проекцуудын үржвэртэй тэнцүү гэх мэт. Олон харьцааг тэгш
өнцөгт гурвалжин дээр бичиж болно.
3.Мөн гурвалжны талбай нь гипотенуз өндөр хоѐрын үржвэрийн хагас, медиан өндөр
хоѐрын үржвэр, багтаасан тойргийн радиус өндөр хоѐрын үржвэр
S=
Мөн гурвалжны талбайг олдог бусад томьѐонууд хүчинтэй гэдгийг нэмж хэлье.
Гурвалжны доторхи метрийн хамаарал
Янз бүрийн талтай гурвалжнуудын элементүүдийн хоорондох харьцаа тэдгээрийн
харилцан хамааралыг ашиглаж бодогдох бодлогонуудыг энэ гарчгийн дор ярих болно.
1.Синусын теорем
Тал түүний эсрэг талын синусын харьцаа нь багтаасан тойргын радиусыг 2
дахин авсантай тэнцүү.
2.Косинусын теорем
Хоѐр тал хоорондын өнцгөөр гурав дахь талыг олдог томьѐо
3.Талбайн томьеонууд
4.Гурвалжны 4 гайхамшигт цэг 3 медиан, 3 өндөр, 3 биссектрис талуудын дундаас
босгосон 3 перпендикуляр нэг цэгт огтлолцоно. Медиан биссектрисийн чанарууд
5.Багтсан ба багтаасан тойргуудын радиусуудын чанар

5. 6.Гурвалжны тэнцүү ба төсөөтэй шинжүүд гэх мэт.
Хэрвээ геометрийн бодлогыг амжилттай бодож сурья гэвэл эдгээр томьеонуудыг бие даан
баталж чаддаг бодлого бодохдоо хэрэглэж сурах хэрэгтэй. Хэрвээ баталж чадахгүй бол
цээжлэхээс өөр зам байхгүй. Энэ томьеонууд өөр хоорондоо нягт уялдаатай бие биенээсээ
урган гардаг гэдгийг ямагт санаж аваарай.
Эцэст нь: Хэрвээ гурвалжны
Хоѐр тал хоорондох өнцөг
Хоѐр өнцөг хоорондох тал
3 тал
2 элемент ямар эгэн нэмэлт нөхцөл мэдэгдэж байвал бусад элементүүдийг олж болдгийг
хэлэхэд илүүдэхгүй байхаа.
Техникийн боломж, миний өөрийн чадвар тааруу учир геометрийн зураглал,
томьѐонуудын бичиглэлийг комьпютерт шивэхэд хүндрэлтэй байсан учир тэдгээрийг
оруулсангүй.
Хичээл дээрээ бол самбар шохой шугам гортикийн тусламжтайгаар энэ бүхэн үзүүлэн
таниулахтай өнгөтөөр тусгагдсан гэдэгт эрхэм уншигч авхай болгооно буйзаа.
Хичээл дээр бодогдсон бодлогонууд тусдаа
“Талбайн арга” “Гурвалжин доторхи
метрийн хамаарал” “Тэгш өнцөгт гурвалжин” сэдвүүдэд байгаа болохыг дашрамд дурьдья