1. Батлав:................................ ПХТ-ийн эрхлэгч :/ Л. Батбилэг/
МТ102 Лекц-9 2012-2013 оны хаврын Б улирал
Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Ерөнхий ойлголт ба тодорхойлолтууд
Үл хамаарах хувьсагч x ба түүнээс үл хамаарсан үл мэдэгдэх функц y болон
түүний ,
, ,,
, … , ( )
уламжлалуудыг агуулсан тэгшитгэлийг дифференциал тэгшитгэл
гэж нэрлэдэг. Математик, физик, техникийн олон бодлогууд дифференциал тэгшитгэлд
шилждэг.
Дифференциал тэгшитгэлийг
F(x,y, ,
, ,,
, … , ( )
)= 0 (1)
Ерөнхий хэлбэртэй бичиж болно. Тэгшитгэлийн шийд y=y(x) функц нь зөвхөн ганц
үл хамаарах хувьсагчаас хамаардаг бол (1)-ийг ердийн дифференциал тэгшитгэл гэнэ.
Тэгшитгэл дэх уламжлалуудын хамгийн их эрэмбийг уг дифференциал тэгшитгэлийн
эрэмбэ гэнэ. Тэгшитгэлд орлуулахад түүнийг адилтгал болгох функцийг уг дифференциал
тэгшитгэлийн шийд гэж нэрлэдэг.
Дифференциал тэгшитгэл төгсгөлгүй олон шийдтэй бол с - дурын тогтмолыг агуулсан
y= ( , ) шийдийг
F(x,y, ,
)=0 (2)
тэгшитгэлийн ерөнхий шийд гэнэ.
Ерөнхий шийд нь с-ийн янз бүрийн утганд өөр өөр шийдийг өгнө. ,
= гэсэн энгийн
тэгшитгэлийг интегралчилбал y=x3
/3 +c ерөнхий шийд олдоно. Дурын тогтмол с-д
тодорхой утга өгөхөд гарах шийдийг тухайн шийд гэнэ.

2. Ерөнхий тохиолдолд (1) тэгшитгэлийг n удаа интегралчлахад гарах ерөнхий шийд n
ширхэг дурын тогтмолыг агуулна. Өөрөөр хэлбэл:
ó = ó(x, ñ , ñ , … , ñ )
хэлбэртэй байна. Тэгшитгэлийн ерөнхий шийд ихэвчлэн
ô x, y, ñ , ñ , … , ñ = 0
гэсэн далд хэлбэрээр олдох бөгөөд түүнийг тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл гэнэ.
Ерөнхий шийдээс тухайн шийдийг сонгохын тулд ямар нэгэн нэмэлт нөхцөл шаардлагатай
бөгөөд эдгээр нөхцлийг анхны нөхцөл гэж нэрлэдэг.
Дифференциал тэгшитгэлийн тухайн шийдийн графикийг түүний интеграл муруй гэнэ.
Анхны нөхцөлтэй бодлогыг Кошийн бодлого гэж нэрлэдэг. (2) тэгшитгэл нь
ó = f(x, y) (3)
хэлбэрт шилждэг бол түүнд дараах геометр тайлбар хийж болно. Энэ тэгшитгэлийн анхны
нөхцөл нь y = y байг. Тэгшитгэлийн тухайн шийдүүд XOY хавтгайд интеграл
муруйгаар дүрслэгдэнэ. Хавтгайн дурын М цэг авч, f(x, y) утгыг тооцож олъё. Хэрэв
бидний олох муруй энэ цэгийг дайрдаг бол энэ цэгт татсан шүргэгчийн өнцгийн
коэффициент нь (3) тэгшитгэл ёсоор дээр тооцоолсон f(x,y)- утгатай тэнцүү байна. Өрөөр
хэлбэл, (3) тэгшитгэл нь цэгийн координат ба муруйн тэр цэгт татсан шүргэгчийн өнцгийн
коэффициентийн хоорондох хамаарал юм. М(х,у) цэг дээр tgα = y = f(x, y) өнцгийн
коэффициенттой жижиг хэрчим татаж, тэдгээрийг чиглэлийн орон гэж нэрлэдэг.
Хувьсагч нь ялгагдах дифференциал тэгшитгэл
Тодорхойлолт 1 f (x)φ (y)dx + f (x)φ (y)dy = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг 1-р
эрэмбийн хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэл гэнэ.
Энэ тэгшитгэлийг
φ ( )
φ ( )
dy +
( )
( )
dx = 0 хэлбэрт шилжүүлж гишүүнчлэн интегралчилвал анхны
тэгшитгэлийн ерөнхий шийд
∫
φ ( )
φ ( )
dy + ∫
( )
( )
dx = c гэж олдоно.

3. Нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл ба түүнд
шилжих тэгшитгэл
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 (1)
тэгшитгэлд P(x, y), Q(x, y) функцууд нь ижил -эрэмбийн нэгэн төрлийн функц байвал
(1) тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл гэнэ.
(1) Тэгшитгэлийг
tα
= α
-аар үржүүлбэл:
α
∙ P(x, y) dx + α
∙ Q(x, y) dy = 0
P(x, y), Q(x, y) -функцууд нь α эрэмбийн нэгэн төрлийн функцууд учир:
α
P(x, y) = P ∙ x, ∙ y = P 1, = P ( )
α
Q(x, y) = Q ∙ x, ∙ y = Q 1, = Q ( )
болох ба (1) тэгшитгэл нь
P dx + Q dy = 0 áóþó = φ( ) (2)
хэлбэртэй болно. (2) тэгшитгэлд = u орлуулга хийж хувьсагч нь ялгагдсан
дифференциал тэгшитгэлд шилжүүлж бодно. Үнэндээ
= u, y = ux, y = u + xu, болж (2) тэгшитгэл нь
u + x ∙ = φ(u) буюу φ( )
= болох ба
∫ φ
= ∫ + c интегралын дараа u –ийн оронд
харьцааг тавьж өгөгдсөн (1) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олно.
Тодорхойлолт 2 Хэрэв f(x, y) функцийн хувьд f(tx, ty) = tα
f(x, y)
тэнцэл биелж байвал энэ функцийг –эрэмбийн нэгэн төрлийн функц
гэнэ.