1. Батлав: .......................ПХТ-ийн эрхлэгч / Л.Батбилэг/
МТ102 Лекц -4
Нөхцөлт экстремумын бодлого ба Лагранжийн үржигдэхүүн
z=f(x,y) функцийн экстремумыг ( , ) = 0 гэсэн нөхцөлд олъё
Өөрөөр хэлбэл,
f(x,y)→ min ( ) (1)
( , ) = 0 (2)
бодлогыг бодно гэсэн үг юм. Хэрэв (2) нөхцлөөс y=y(x) илэрхийллийг олж чаддаг гэж
үзээд (1)-д орлуулбал энэхүү (1)-(2) бодлого нь нөхцөлт биш экстремумын бодлого
болж хувирна.
z=z(x)= f(x,y(x))→ min ( )
Энэ бодлогын хувьд экстремуи байх зайлшгүй нөхцлийг бичвэл
= + ∙ =0 (3)
Нөгөө талаар y=y(x)-ийн хувьд ( , ) = ( , ( )) = 0 тул энэ илэрхийлэлээс
уламжлал авбал:
+ ∙ =0 (4)
Илэрхийлэлийн баруун зүүн талыг ямар нэг тэгээс ялгаатай тоогоор үржүүлж (3)
тэнцэтгэл дээр нэмбэл:
( + ∙ )+λ( + ∙ )=0
болох ба бүлэглэн дараах хэлбэрт бичье
+ + ( + ) ∙ =0
λ тоог + =0 нөхцлийг хангасан байхаар сонгож авъя. Тэгвэл
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ + = 0
+ = 0
( , ) = 0
(5)
Систем тэгшитгэлийг ( , ) гэсэн экстремумын цэг хангана. Одоо (5) нөхцлөөс
Лагранжийн функцийг бичвэл
L(x,y,λ)= f(x,y)+λ ( , ) (6)
λ –г Лагранжийн үржигдэхүүн гэнэ.

2. Хоёрлосон интеграл
Зааглагдсан битүү шугам  -гаар хүрээлэгдсэн Oxy хавтгайд хэвтэх S мужид
тодорхойлогдсон )y,x(fz  функцийг авч үзье.
S талбайг сеткэн хөвчүүдээр n21 S,...,S,S  гэсэн элементар хэсгүүдэд хуваая.
Талбайн хэмжээг S , )n,...,2,1k(Sk  гэж тэмдэглэе. Элементар хэсэг бүрт
дурын ),( kkk yxM цэгийг сонгон авч уг цэг дээрх функцийн утга )y,x(f kk -г суурь
талбайн хэмжээ kS -ээр үржүүлье.
ТОДОРХОЙЛОЛТ


n
1i
kkkn S)y,x(fI  (1)
нийлбэрийг f функцийн S талбайн хувьд авсан интеграл нийлбэр гэнэ.
)n,...,2,1k(Sk  талбайн диаметрийг kd , эдгээр диаметрүүдийн хамгийн их
утгыг  гэж тэмдэглэе.
ТОДОРХОЙЛОЛТ
)y,x(M kkk цэгийг kS элементар хэсгээс сонгох сонголтоос үл хамааран
  nII::0,0 (2)
биелж байвал I -г 0 үеийн nI интеграл нийлбэрийн хязгаар гэнэ.
ТОДОРХОЙЛОЛТ
nI интеграл нийлбэрийн 0 үеийн хязгаарын утга
 


n
1i
kkk
0
S
S)y,x(flimdS)y,x(f 

(3)
)y,x(f функцийн S талбайн хувьд авсан хоёрлосон интеграл гэнэ.

3. ТОДОРХОЙЛОЛТ
)y,x(f функцийг интегралийн доорх функц, S талбайг интегралчлах муж
гэнэ.
)y,x(f функцийн S талбайн хувьд авсан хоёрлосон интегралыг
 


n
1i
kkk
0
S
S)y,x(flimdxdy)y,x(f 

(4)
хэлбэрээр бичиж болно.
ТЕОРЕМ
Хэрвээ )y,x(fz  функц нь талбайтай битүү муж дээр тасралтгүй бол (3)
илэрхийллийн тэнцүүгийн тэмдгийн баруун талын хязгаар оршин байна.
(19.8) хязгаар оршиж байвал )y,x(f функцийг S талбайн хувьд
интегралчлагдаж байна гэнэ. S мужид тасралтгүй бүх функц интегралчлагдана.
Тасралттай функцууд интегралчлагдаж болно. Интегралчлагдахгүй ч байж
болно.
(1.1), (3)-аас
VdS)y,x(f
S
 (5)
гарах ба уг илэрхийлэл нь хоёрлосон интегралын геометр хэрэглээг харуулж
байна. Ө.х., 0)y,x(f  функцийн S талбайн хувьд авсан хоёрлосон интеграл
нь S талбай бүхий суурьтай, дээрээсээ )y,x(fz  гадаргуугаар,хажуу
талаасаа S талбайн хүрээ шугам  -г дайрсан Oz тэнхлэгтэй параллель
цилиндирлэгээр зааглагдсан биетийн эзлэхүүн болно.
(1.1), (3)-аас
mdS)y,x(f
S
 (6)
гарах ба уг илэрхийлэл нь хоёрлосон интегралын физик хэрэглээг харуулж
байна. Ө.х., 0)y,x(f  нягтралын тархалтын функцтэй S талбайн бүхий
ялтсын жин болно.