1. Батлав: ..............................ПХТ-ийн эрхлэгч / Л.Батбилэг/
МТ102 Лекц -14
2 π үет функцийн Фурьегийн цуваа, тэгш сондгой функцийг
Фурьегийн цуваанд задлах, үет функцийг Фурьегийн цуваанд задлах
Фурье цуваа
Функционал цувааны дотор нэн чухалд тооцогдох Фурье цуваан тухай
ойлголтыг энэ бүлэгт авч үзнэ.
1. Фурьегийн тригонометрийн цуваа
ТОДОРХОЙЛОЛТ.
- + ∑ ( + ) хэлбэрээр өгөгдсөн, (1)
- , , ( = 1, 2, 3, … )коэффициентүүд нь бодит тоо байдаг
Функциональ цувааг тригонометрийн цуваа гэнэ.
ТОДОРХОЙЛОЛТ.
- 1, , , 2 , 2 , … , , , … (2)
Хэлбэрээр өгөгдсөн функцийн олонлогийг функцийн тригонометрийн үндсэн систем
гэнэ.
ЛЕММА .1.
Функцийн тригонометрийн систем (2)-ын хувьд дараах нөхцлүүд биелэгдэнэ.
- Уг системийн ялгаатай хоёр гишүүний үржвэрийн [− , ] интервалд авсан интеграл
тэгтэй тэнцүү.ө.х.,
-
1 ∙ = = 0; 1 ∙ = = 0;
∙ = 0; ∙ = 0; ( ≠ )
∙ = 0; ∙ = 0;
-
...,...);3,2,1,(0cossin
);(0sinsin);(0coscos
;0cos1cos1;0sinsin1









nmdxnxmx
nmdxnxmxnmdxnxmx
dxnxdxnxdxmxdxmx














3)

2. - Уг системийн аливаа гишүүний квадратын  , интервалд авсан интеграл
тэгээс ялгаатай буюу,
;21,cossin 222







  
dxdxmxdxmx (4)
байна.
ТЕОРЕМ 1
Хэрвээ




1
0
)sincos(
2
)(
n
nn nxbnxa
a
xf (5)
бөгөөд (5) томъёогоор өгөгдсөн цуваан  , хэрчим дээр жигд нийлдэг бол
,...)3,2,1(,,0 nbaa nn коэффициентүүд нь
,...)3,2,1(,sin)(
1
,cos)(
1
,)(
1
0






ndxnxxfb
dxnxxfadxxfa
n
n








(6)
Томъёогоор тодорхойлогдоно.
(5) цувааны гишүүн бүрийг kxsin , эсвэл kxcos -ээр үржүүлэхэд үүсэх цуваан
,1cos,1sin:  kxkxk нөхцлөөс шалтгаалан мөн жигд нийлдэг цуваа байна.
(5) –ийг гишүүн бүрээр нь kxsin , ба kxcos -ээр үржүүлэн  , хэрчим дээр интегралчлан
(3),( 4)-ийг ашиглан дараах хэлбэрт шилжүүлье.
 

  
 


 

 





























 dxkxxfaadxkxa
dxkxnxbdxkxnxadxkx
a
dxkxnxbnxadxkx
a
dxkxxf
kkk
n
n
n
n
n
nn
cos)(
1
,cos
cossincoscoscos
2
cossincoscos
2
cos)(
2
11
0
1
0

3.  

  
 


 

 





























 dxkxxfbbdxkxb
dxkxnxbdxkxnxadxkx
a
dxkxnxbnxadxkx
a
dxkxxf
kkk
n
n
n
n
n
nn
sin)(
1
,sin
sinsinsincossin
2
sinsincossin
2
sin)(
2
11
0
1
0
ТОДОРХОЙЛОЛТ.
Тригонометрийн 



1
0
)sincos(
2
)(
n
nn nxbnxa
a
xf хэлбэрээр өгөгдсөн,
Коэффициентүүд нь
 








dxnxxfbdxnxxfadxxfa nn sin)(
1
,cos)(
1
,)(
1
0
Тодорхойлогддог цувааг Фурьецуваа, nn ba , коэффициентүүдийг )(xf функцийн Фурье
коэффициентүүд гэнэ.
)(xf функцийн хувьд бичигдсэн Фурье цувааг




1
0
)sincos(
2
~)(
n
nn nxbnxa
a
xf
Гэж бичнэ.
2. Хэсэгчлэн-тасралтгүй функцийн Фурье цувааны нийлэлт
Фурье цувааны тухайн функц рүү нийлэх тухай теоремыг авч үзэхийн тулд
эхлэн функцийн хэсэгчлэн-дифференциальчлагддаг тухай тодотгоё.
ТОДОРХОЙЛОЛТ.
Хэрвээ ba, хэрчим дээр тодорхойлогдсон )(xf функцийн хувьд
 Уг хэрчмийг bxxxxa n  ...210 нөхцлийг хангах цэгүүдээр
  1,...,1,0, 1  nkxx kk гэсэн интервалуудад хувааж болох бөгөөд интервал бүрт
   xfxf , нь тасралтгүй,
 Интервалын захын цэгүүд дээр    xfxf , нь төгсгөлөг нэг талын хязгаартай

4. Байх нөхцөл биелж байвал уг функцийг хэсэгчлэн-дифференциальчлагддаг функц
гэнэ.
 ba, хэрчимдээрхэсэгчлэн-дифференциальчлагддаг )(xf функц нь уг хэрчим дээр
тасралтгүй, эсвэл 1-р төрлийн төгсгөлөг тооны тасралтын цэгтэй байж болно.
ТЕОРЕМ 2
Хэрвээ )(xf функц нь , хэрчим дээр хэсэгчлэн-дифференциальчлагддаг функц бол
 , хэрчмийн дурын 0x цэг дээр уг функцийн Фурье цуваа нийлэх ба утга нь
 
   
2
00 00
0


xfxf
xS (7)
томъёогоор, 0x нь )(xf функцийн тасралтгүйн цэг байх тухайн тохиолдолд




1
00
0
0 )sincos(
2
)(
n
nn nxbnxa
a
xf (8)
байна. Хэрчмийн захын цэгүүд дээрх утгыг
     
2
00 



ff
S (9)
Томъёогоор бодно.