1. Батлав: ..............................ПХТ-ийн эрхлэгч / Л.Батбилэг/
МТ102 Лекц -11
Тогтмолыг хувьсгах арга, тогтмол коэффициентэй НТШДТ, характеристик тэгшитгэл, тогтмол
коэффициентэй НТбШДТ, тодорхой бус коэффициентийн арга, дифференциал тэгшитгэл
тэгшитгэлийн нормаль систем
Энэ аргыг хэрэглэхдээ эхлээд нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг
y=C ∫ ( )
(1)
хэлбэрээр гаргаж авдаг. Энд с тогтмолыг х-ээс хамаарах функц гэж үзээд түүнийг (1)
функц нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийг хангаж байх нөхцлөөс сонгодог
Ингээд y=C(x) ∫ ( )
функцийн =
( )
e ∫ ( )
-C(x)p(x) ∫ ( )
уламжлалыг бодож
+ ( ) = ( ) тэгшитгэлд орлуулбал
( )
e ∫ ( )
-C(x)p(x) ∫ ( )
+p(x)C(x) ∫ ( )
=f(x) эндээс интегралчилбал
C(x)= ∫ ( )
+ гэж олдоно. Иймд
y= ( ) ∫ ( )
= ∫ ( )
+ ∫ ( )
∫ ( ) ∫ ( )
ийнхүү НТБШТ-ийн ерөнхий шийд нь харгалзах НТ-ийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд
болоод нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийн тухайн шийдийн нийлбэртэй тэнцэнэ.
тогтмол коэффициентэй НТШДТ:
тодорхойлолт1
a1,a2,…,an - бодит тоон тогтмолууд байг . yn
+a1yn-1
+…+an-1y’
+any=0 (1)
хэлбэрийн тэгшитгэлийг тогтмол коэффициент бүхий n эрэмбийн НТШДТ гэнэ.
(1)-тэгшитгэлийн шийдийг
y= , k- ямар нэг тоо (2)
хэлбэртэй олъё. (2)- функцийг дэс дараалан дифференциалчилбал
= , = , … , ( )
= (3)
олно. (2) функц ба түүний (3) уламжлалуудыг (1) тэгшитгэлд орлуулахад
+ + ⋯ + + = 0

2. тэнцэл гарна. Энэ тэнцлийг ≠ 0-д хураавал
+ + ⋯ + + = 0 (4)
болно. К тоо (4) тэгшитгэлийн язгуур байх зөвхөн тэр тохиолдолд функц (1)
тэгшитгэлийн шийд байна.
(4) тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн тэгшитгэл (1) –ийн характеристик
(тохируулагч) тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Характеристик тэгшитгэл нь өгсөн
дифференциал тэгшитгэлд үл мэдэгдэх функцийг к тоогоор, уламжлалын эрэмбийг
харгалзах зэргээр солиход гарч байна. Иймд (1) тэгшитгэлийн шийдийг =
хэлбэрээр олохын тулд (4) характеристик тэгшитгэл зохиож, түүний , , … ,
язгуурыг олно. ki язгуур бүрт = шийд харгалзана. Энд дараах тохиолдлууд
байна. Үүнд:
1. (4) характеристик тэгшитгэлийн , , … , язгуурууд бодитой бөгөөд ялгаатай.
Тэгвэл тэдгээрт (1) тэгшитгэлийн дараах n шийд харгалзана.
= , = , … , = (5)
Эдгээр шийдүүд шугаман хамааралгүй. Улмаар (5) нь шийдийн суурь систем үүсгэх
тул (1) тэгшитгэлийн ерөнхий шийд
= + + … + (6)
Энд с , с , … , с тогтмолууд болно.
Тогтмол коэффициент бүхий дээд эрэмбийн нэгэн төрлийн биш шугаман
дифференциал тэгшитгэл
Тодорхойлолт 1
а , а , … , а бодит тогтмол тоонууд, ямар нэг завсарт тасралтгүй функц f(x) байг.
( )
+ ( )
+ ( )
+ … + + = ( ) (1)
-ийг тогтмол коэффициент бүхий дээд эрэмбийн нэгэн төрлийн биш шугаман
дифференциал тэгшитгэл гэнэ.
(1) тэгшитгэлийг
( ) = ( )
Хэлбэрээр бичиж болно. Теорем 2.7 д баталснаар (1) –ийн ерөнхий шийд нь түүний
тухай шийд у*
, харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд у -ийн нийлбэр
байв. Үүнд:
= + ∗
= + + … + ∗

3. Иймд энэ зүйлд (1) тэгшитгэлийн тухайн шийд у*
-ийн олох сонголтын арга буюу
тодорхойгүй коэффициентийн аргатай танилцана. Энэ аргыг (1) тэгшитгэлийн баруун
тал зөвхөн
( ) = [ ( ) cos + ( ) sin ] (2)
(эсвэл ийм функцүүдийн нийлбэр хэлбэртэй байхад) хэрэглэдэг. Энд , тогтмолууд,
( ), ( )харгалзан n ба m зэргийн олон гишүүнт. Тэгшитгэлийн баруун тал f(x)
дурьдсан хэлбэртэй байвал (1) –ийн тухайн шийдийг дараах хэлбэрээр олно. Үүнд:
∗
= [ ( ) cos + ( ) sin ]
Энд r тоо нь характеристик тэгшитгэлийн шийд хэд давхар болохыг заах ба l=max(n.m)
( ) = + + ⋯ +
( ) = + + ⋯ +
Тодорхойгүй коэффициенттэйй олон гишүүнтүүд болно.
( ) , ( )