1. Стереометр
Стереометр II дэвтэр
2011 он
Улаанбаатар хот
1

2. Стереометр
Өмнөх үг
Энэхүү номын өмнөх дугаар болох планиметр хэмээх номыг та бүхэнд
толилуулсан билээ. Тэрхүү номны үргэлжлэл болгон энэ товхимолыг бичин
гаргалаа.Анги дэвших, их дээд сургуульд элсэн орох мөн огторгуйн
геометрийн хичээлийн шимтэн суралцаж буй суралцагсдад зориулан
стереометрийн томъёо, теорем, аксиом бүхий гарын авлагыг гаргалаа.
Энэхүү ном нь 102 төрлийн аксиом теоремыг агуулсан болно. Дараагийн
дугаарт бид планиметр, стереометрийн бодлого бодолт бүхий товхимолыг
цуврал болгон та бүхэндээ толилуулах болно.
Сурах их үйлсэд тань амжилт хүсье
2

3. Стереометр
1. Стереометрийн аксиомууд
Аксиомуудаас шууд мөрдөн гарах чанарууд
2. Шулуун болон түүн дээр үл орших цэгийг дайруулан цор ганц хавтгай
татаж болно.
3. Параллель хоёр шулууныг агуулсан цор ганц хавтгай татаж болно.
4. Өгөгдсөн шулуун дээр үл орших цэгийг дайруулан түүнд параллель
шулуун цор ганцийг татаж болно.
Огторгуйн параллелийн шинжүүд
5. Шулуун ба хавтгайн параллелийн шинж. a шулуун α хавтгайн ямар
нэг шулуунтай параллель бол а шулуун α хавтгайтай параллель.
6. С α хавтгайтай параллель а шулууныг агуулсан хавтгай α-тай b
шулуунаар огтлолцдог бол а ба b шулуунууд параллель.
7. Хэрэв a ба b параллель шулуунуудын а-г агуулсан хавтгай b-г
агуулсан хавтгайтай огтлолцдог бол хавтгайнуудын огтлолцол шулуун
a ба b шулуунтай параллель.
8. Огторгуйн шулуунуудын параллелийн дамжих чанар.
a шулуун b-тэй ,b шулуун c шулуунтай параллель бол a ба c шулуунууд
параллель.
9. Хавтгайнуудын параллелийн шинж. Хавтгайн огтлолцсон хоёр
шулуун өөр хавтгайн огтлолцсон хоёр шулуунтай харгалзан параллель
бол эдгээр хавтгайнууд параллель.
3

4. Стереометр
10. Хэрэв параллель хоёр хавтгай гурав дахь хавтгайтай огтлолцдог
бол огтлолцлын шулуунууд параллель.
11. Хавтгайнуудын параллелийн дамжих чанар.
α хавтгай β-тай, β хавтгай γ хавтгайтай параллель бол α ба γ хавтгайнууд
параллель.
12. Параллель хавтгайнуудын хооронд хашигдсан, параллель
шулуунуудын хэрчмүүд тэнцүү.
13. Өгөгдсөн хавтгайн гадна орших цэгийг дайруулан түүнд
параллель хавтгай цор ганцыг татаж болно.
14. Параллелпипедийн талсууд ба диагоналуудын чанар.
1) Параллелпипедийн эсрэг талсууд тэнцүү бөгөөд параллель
2) Параллелпипедийн диагоналиуд огтлолцох ба огтлолцлын
цэгээрээ хагаслан хуваагдана.
15. Тетраэдрийн медианы тухай теорем. Тетраэдрийн
медианууд (Тетраэдрийн оройг эсрэг талсын медиануудын огтлолцлын
цэгтэй холбосон хэрчим) нэг цэгт огтлолцох ба огтлолцлын цэгээрээ
оройгоос тооцоход 3:1 харьцаанд хуваагдана.
16. ABCDA1B1C1D1 параллелпипедийн AC1 диагональ A1BD гурвалжны
медиануудын огтлолцлын цэгийг дайрах бөгөөд түүгээр А цэгээс
тооцоход 1:2 харьцаанд хуваагдана.
17. Хэрэв пирамидыг суурийн хавтгайтай нь параллель хавтгайгаар
огтолвол оггтлолд нь суурьтай төсөөтэй олон өнцөгт үүснэ.
Солбисон шулуунууд.
4

5. Стереометр
18. Солбисон шулуунуудын шинж. а шулуунд α хавтгай дээр
оршино. b шулуун энэ хавтгайг а дээр оршдоггүй цэгээр огтолдог
бол a ба b солбисон шулуунууд.
19. Солбисон хоёр шулууныг тус тусд нь агуулсан цор ганц
параллель хос хавтгай оршин байна.
20. Төгсгөлүүд нь харгалзан солбисон хоёр шулуун дээр орших
хэрчмүүдийн дундаж цэгүүдийн геометр байр нь аль нэг хэрчмийн
дундажыг дайрсан , дээрх шулуунтай параллель байна.
21. Солбисон хоёр шулууны хоорондох өнцөг (М цэгийг дайрсан
өгөгдсөн шулуунтай хоорондох өнцөг) М цэгийн сонголтоос үл
хамаарна.
22. Аливаа солбисон хоёр шулуунд цор ганц ерөнхий перпендикуляр
оршин байна. (төгсгөлүүд нь эдгээр шулуунууд дээр оршдог хоёуланд
нь перпендикуляр хэрчим)
Параллель проекцлол.
23. Өөртэй нь параллель бус проекцлолоор шулуун шулуунд бууна.
24. Өөрсөдтэй нь параллель бус проекцлолоор параллель хоёр
шулуун, эсвэл параллель хоёр шулуунд, эсвэл нэг шулуунд бууна.
25. Нэг шулуун дээр буюу параллель шулуун дээр орших
хэрчмүүдийн харьцаа проекцоор хадгалагдана.
26. Налуу шулуун нь хавтгайг түүний нэн хавтгай дээрх дурын
параллель проекц дээр орших цэгээр огтолно.
27. Хавтгай олон өнцөгтийн хавтгай дээрх ортогональ проекцийн
талбай нь энэ олон өнцөгтийн талбай нь олон өнцөгтийн ба
проекцийн хавтгайн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцэнэ.
5

6. Стереометр
Огторгуйн векторууд ба координат.
28. Векторын координатууд нь энэ векторын төгсгөлийн
координатуудаас эхлэлийн координатуудыг харгалзан хассан ялгавар
болно.
29. a ба b векторууд коллинеар байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй
нөхцөл нь a=k∙b (к – ямар нэг тоо) тэнцэтгэл биелэж байх явдал
мөн.
30. Гурван вектор компланар байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй
нөхцөл нь тэдгээрийн нэгийг нөгөө хоёрын шугаман комбинац
дүрстэй илэрхийлж болох явдал юм. a=x∙b+y∙c ,энд x, y-ямар нэг
тоонууд
31. Аливаа векторыг компланар бус гурван вектороор цор ганц
аргаар шугаман задалж болно.
32. АВ –хэрчмийн дундаж M бол OM=OA+OB2
33. АВ –хэрчмийн дундаж M бол CD хэрчмийн дундаж N бол
MN=AC+BD2
34. ABC гурвалжны медиануудын огтлолцол М бол OM=OA+OB+OC3
35. ABCD параллелограммын диагоналуудын огтлолцол М бол
OM=OA+OB+OC+OD4.
36. Хэрчмийн дундажын координатууд нь төгсгөлүүдийн
координатуудын арифметик дундажтай тэнцүү.
37. Векторуудын скаляр үржвэрийн чанарууд.
1) a ∙b=b ∙a
2) α∙a∙b=α∙(a∙b)
6

7. Стереометр
3) a∙b+c=a∙b+a∙c
4) a=a2
5) a+b2=a2+2∙a∙b+b2
6) (a∙b)2≤a2∙b2 , a, b векторууд коллинеар байх зөвхөн тэр
үед тэнцэлдээ хүрнэ.
7) Тэг биш a ба b векторууд перпендикуляр байх зайлшгүй
бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь тэдгээрийн скаляр үржвэр нь
тэгтэй тэнцүү байх явдал юм.
38. Ax1; y1; z1 ба Bx2; y2; z2 цэгүүдийн хоорондын
39. зай (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2-тай тэнцүү
40. Тэгээс ялгаатай ax1; y1; z1 ба bx2; y2; z2 векторуудын
хоорондох өнцөг ∅ бол
cos∅=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12∙x22+y22+z22
41. M0x0; y0; z0 цэгийг дайрсан, цэгээс ялгаатай n(a;b;c)
векторт (нормаль вектор) перпендикуляр хавтгайн тэгшитгэл
42. a∙x-x0+b∙y-y0+c∙z-z0=0 .
43. M0x0; y0; z0 цэгийг дайрсан, тэгээс ялгаатай m(a;b;c)
вектортой (чиглүүлэгч вектор) параллель шулууны параметрт
тэгшитгэл
44. x-x0=aty-y0=btz-z0=ct
45.
46.
47. Шулууныг хоёр хавтгайн огтлолцол гэдэг утгаар дараах
системээр тодорхойлно.
7

8. Стереометр
48. A1x+B1y+c1z+D1=0A2x+B2y+c2z+D2=0 энд Ai2+Bi2+Ci2≠0 i=1,2
ба үл мэдэгдэгчдийн харгалзах коэффициентууд пропорциональ биш.
49. A1x+B1y+c1z+D1=0 ба A2x+B2y+c2z+D2=0 тэгшитгэлтэй
хавтгайнуудын хоорондох өнцөг ∅ бол
50. cos∅=A1A2+B1B2+C1C2A12+B12+C12∙A22+B22+C22
51. Хавтгайн хэрчимт тэгшитгэл. Хэрэв хавтгай координатын
тэнхлэгүүдийг
52. A(p;0;0) , B(0;q;0) ба C(0;0;r) (p,q,r≠0) цэгүүдээр огтолдог
бол түүний тэгшитгэл xp+yq+zr=1.
53. M0x0; y0; z0 цэгээс Ax+By+Cz+D=0 хавтгай хүртэлх зай
54. p=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2
55. томъёогоор бодогдоно.
56. Шулуун ба хавтгайн перпендикулярын шинж.
57. Шулуун ба хавтгайн перпендикулярын шинжүүр. Хэрэв шулуун
перпендикуляр бол тэр энэ хавтгайд перпендикуляр.
58. Хэрэв хоёр шулуун нэг хавтгайд перпендикуляр бол хоорондоо
параллель.
59. Хэрэв параллель хоёр шулууны нэг нь хавтгайд перпендикуляр
бол хоёр дахь шулуун мөн энэ хавтгайд перпендикуляр.
60. Нэг шулуунд перпендикуляр хоёр хавтгай параллель байна.
61. Шулуун ба хавтгай нь нэг шулуунд перпендикуляр бол
хоорондоо параллель байна.
62. Өгөгдсөн цэгийг дайруулан өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр
шулуун цор ганцыг татаж болно.
8

9. Стереометр
63. Өгөгдсөн цэгийг дайруулан өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр
хавтгай цор ганцыг татаж болно.
64. Гурван перпендикулярын тухай теорем . Хавтгай дээр
орших шулуун хавтгайг огтлогч шулууны энэ хавтгай дээрх нөхцөл нь
огтлогч шулууны энэн хавтгай дээрх ортогональ проекцтай
перпендикуляр байх явдал юм.
65. Хэрэв нэг цэгээс хавтгай руу перпендикуляр ба налуу хэрчим
татсан бол
1) Перпендикуляр нь налуугаас богино
2) Тэнцүү налуунууд тэнцүү ортогональ проекцтэй
3) Урт налууд урт ортогональ проекц харгалзана.
4) Ортогональ проекц нь урт байх налуу илүү урт байна.
66. Хэрчмийн төгсгөлийн цэгүүдээс ижил зайд алслагдсан цэгүүдийн
геометр байр нь энэ хэрчмийн дунджийг дайрсан түүнд
перпендикуляр хавтгай болно.
67. Өгөгдсөн хавтгайгаас өгөгдсөн зайд алслагдсан цэгүүдийн
геометр байр нь параллель хоёр хавтгай болно.
68. Гурвалжны оройнуудаас ижил зайд алслагдсан цэгүүдийн
геометр байр нь энэ гурвалжныг багтаасан тойргийн төвийг дайрсан,
гурвалжны хавтгайд перпендикуляр шулуун болно.
69. Хэрвээ пирамидын хажуу ирмэгүүд тэнцүү бол түүний өндөр нь
суурийг багтаасан тойргийн төвийг дайрна.
70. Хоёр талст өнцөг.
71. Хоёр талст өнцгийн шугаман өнцөг (хоёр талст өнцгийн ирмэгт
перпендикуляр хавтгайгаар огтлоход үүсэх огтлол ) нь түүний ирмэг
дээр авсан цэгүүдийн сонголтоос үл хамаарна.
9

10. Стереометр
72. Хоёр талст өнцгийн талсуудаас ижил зайд алслагдсан уг хоёр
талст өнцгийн дотор орших цэгүүдийн геометр байр нь хоёр талст
өнцгийн биссектор хавтгай болно.
73. Хавтгайнуудын перпендикуляр байх гарцаагүй бөгөөд
хүрэлцээтэй нөхцөл.
74. Хоёр хавтгай перпендикуляр (тэгш хоёр талст өнцөг үүсгэх)
байх гарцаагүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь тэдгээрийн нэг нь
нөгөөгийнхөө перпендикулярыг агуулах явдал юм.
75. Хэрвээ огтлолцсон хоёр хавтгай гурав дахь хавтгайд
перпендикуляр бол тэдгээрийн огтлолцлын шулуун нь мөн уг хавтгайд
перпендикуляр байна.
76. Хэрэв гурвалжин пирамидын хажуу талсууд нь суурийн
хавтгайтай тэнцүү хоёр талс өнцгүүд үүсгэдэг бол уг пирамидын
өндөр нь нэг бол багтсан тойргийн төвийг дайрна, эсвэл суурийн аль
нэг гадаад багтсан тойргийн төвийг дайрна.
77. Олон талст өнцөг.
78. Гурван талст өнцгийн хавтгай өнцөг нь түүний нөгөө хоёр
хавтгай өнцгийн нийлбэрээс бага.
79. Гүдгэр олон талст өнцгийн хавтгай өнцгүүдийн нийлбэр нь 3600-
аас бага.
80. Тэгш өнцөгт параллелпипедийн диагоналуудын чанар.
1) Тэгш өнцөгт параллелпипедийн диагоналууд тэнцүү.
2) Тэгш өнцөгт параллелпипедийн диагоналийн квадрат нь
ерөнхий оройтой гурван ирмэгийн квадратуудын нийлбэртэй
тэнцүү.
81. Бөмбөлөг. Шүргэгч хавтгай. Шүргэлцсэн бөмбөлгүүд.
10

11. Стереометр
82. Бөмбөлгийн радиусаас бага зайд бөмбөлгийн төвөөс алслагдсан
хавтгай бөмбөлгийг тойргоор огтолно.
83. Бөмбөлгийн төвөөс огтлогч хавтгайд буулгасан перпендикулярын
суурь нь энэ тойргийн төв болно.
84. Бөмбөлгийн шүргэгч хавтгай нь (бөмбөлөгтэй цор ганц ерөнхий
цэгтэй хавтгай) шүргэлтийн цэгт татсан бөмбөлгийн радиуст
перпендикуляр.
85. Бөмбөлгийн шүргэгч шулуун нь (бөмбөлөгтэй цор ганц ерөнхий
цэгтэй шулуун) шүргэлтийн цэгт татсан бөмбөлгийн радиуст
перпендикуляр.
86. Хоёр талст өнцөгт багтсан бөмбөлгийн төв нь энэ өнцгийн
биссектор хавтгай дээр оршино.
87. Бөмбөлөгт нэг цэгээс татсан шүргэгч хэрчмүүд хоорондоо
тэнцүү.
88. Шүргэлцсэн бөмбөлгүүдийн (нэг ерөнхий цэгтэй бөмбөлгүүд)
төвүүдийг дайрсан шулуун тэдгээрийн шүргэлтийн цэгийг дайрна.
89. Хэрэв ялгаатай хоёр бөмбөлөг нэгээс олон ерөнхий цэгүүдтэй
бол тэд тойргоор огтлолцоно. Тэр тойргийн хавтгай нь өгөгдсөн
бөмбөлгүүдийн төвүүдийг дайрсан шулуунд перпендикуляр.
90. Зөв пирамид.
91. ABCD нь D оройтой зөв гурвалжин пирамид, DM нь өндөр
бөгөөд суурийн тал нь a, харин A1, B1 ба C1 нь харгалзан BC, AC
ба AB талуудын дундаж цэгүүд бол
1) <DAM=<DMB=<DCM – хажуу ирмэгийн суурийн хавтгайтай
үүсгэх өнцөг.
2) <DA1M=<DB1M=<DC1M – хажуу талсын суурийн хавтгайтай
үүсгэх хоёр талст өнцгийн шугаман өнцөг.
11

12. Стереометр
3) <AFB (F нь А оройгоос DC хажуу ирмэгт буулгасан
перпендикулярын суурь)- пирамидын хажуу талсуудын
хоорондох шугаман өнцөг.
4) AA1=BB1=CC1=a32- суурийн гурвалжны өндөр
5) AM=BM=CM+2AA13=a3=a33- хажуу ирмэгийн суурийн хавтгай
дээрх ортогональ проекц.
6) A1M=B1M=C1M=AA13=a23=(a3)/6- апофемын суурийн хавтгай
дээрх ортогональ проекц.
7) C1F нь AB ба CD гэсэн эсрэг ирмэгүүдийн ерөнхий
перпендикуляр.
92. Зөв гурвалжин пирамидын эсрэг ирмэгүүд нь харилцан
перпендикуляр.
93. а ирмэгтэй зөв тетраэдрийн өндөр нь a23 байна.
94. Хэрэв PABCD нь P оройтой зөв дөрвөн өнцөгт пирамид бөгөөд
PM нь өндөр, суурийн тал нь а, харин A1, B1, C1 ба D1 нь харгалзан
AB, BC, CD ба AD талуудын дундаж цэгүүд бол
1) <PAM=<PBM=<PCM=<PDM –хажуу ирмэгийн суурийн
хавтгайтай үүсгэх өнцөг.
2) <PA1M=<PB1M=<PC1M=PD1M – хажуу талсын суурийн
хавтгайтай үүсгэх хоёр талст өнцгийн шугаман өнцөг.
3) <BFD (F нь B оройгоос хажуу ирмэгт татсан перпендикулярын
суурь) хөрш хажуу талсуудын хоорондох шугаман өнцөг.
4) <A1PC1=<B1PD1 –эсрэг хажуу талсын хоорондох хоёр талс
өнцгийн шугаман өнцөг.
5) AM=BM=CM=DM=DB/2=(a2)/2=a/2- хажуу ирмэгийн суурийн
хавтгай дээрх ортогональ проекц.
12

13. Стереометр
6) A1M=B1M=C1M=D1M =a/2-апофемын суурийн хавтгай дээрх
ортогональ проекц.
7) FM- суурийн BD диагональ ба AP хажуу ирмэгийн ерөнхий
перпендикуляр.
95. Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын хажуу ирмэг нь суурийн түүнийг
дайраагүй диагональд перпендикуляр.
8) Олон талстын гадаргуугийн талбай.
96. Призмийн хажуу гадаргуу нь түүний перпендикуляр огтлолын
периметр ба хажуу ирмэгийн үржвэртэй тэнцүү.
97. Зөв пирамидын хажуу гадаргуу нь түүний суурийн талбайг хажуу
талсын суурийн хавтгайтай үүсгэх өнцгийн косинуст хуваасантай
тэнцүү.
9) Олон талсын эзэлхүүн.
98. Тэгш өнцөгт параллелпипедийн эзэлхүүн нь түүний 3
хэмжээсийн үржвэртэй тэнцүү.
99. Налуу призмийн эзэлхүүн нь түүний перпендикуляр огтлолын
талбай ба хажуу ирмэгийн үржвэртэй тэнцүү.
100. Призмийн эзэлхүүн нь түүний суурийн талбай ба өндрийн
үржвэртэй тэнцүү.
101. Гурвалжин призмийн эзэлхүүн нь хажуу талсын талбайг энэ
хажуу талсаас түүний эсрэг орших ирмэг хүртэлх зайгаар үржүүлсэн
үржвэрийн хагастай тэнцүү.
102. Пирамидын эзэлхүүн нь түүний суурийн талбайг өндрөөр
үржүүлсний гуравны нэгтэй тэнцүү.
103. Ижил өндөртэй бөгөөд сууриуд нь тэнцүү пирамидууд
эзэлхүүнээрээ тэнцүү.
13

14. Стереометр
104. Пирамидын орой ба түүний суурь дээрх шулууныг агуулсан
хавтгай нь пирамидын эзэлхүүнийг тэр шулуун суурийн талбайг
хуваасантай адил харьцаатай хуваана.
105. ABCD гурвалжин пирамидын DA, DB ба DC хажуу ирмэгүүд
дээр, эсвэл тэдгээрийн үргэлжлэл дээр харгалзан A1, B1 , C1 цэгүүд
оршино. Тэгвэл
10) A1B1C1D1 пирамидын эзэлхүүнийг ABCD пирамидын эзэлхүүнд
харьцуулсан харьцаа нь DA1DA=DB1DB=DC1DC- тэй тэнцүү.
106. Төсөөтэй олон талстуудын эзэлхүүнүүдийн харьцаа нь төсөөгийн
коэффициентийн куб зэрэгтэй тэнцүү.
107. Тетраэдрийн суурийн талбайг өндрөөр үржүүлсэн үржвэр нь
тогтмол.
108. Тетраэдрийн эзэлхүүн V нь эсрэг орших хоёр ирмэгийн урт
болох a, b ба тэдгээрийн хоорондох зай c болон тэдгээрийн
хоорондох өнцөг φ-ийн синус, эдгээрийн үржвэрийн зургааны нэгтэй
тэнцүү.
109. Тетраэдрийн эзэлхүүн V нь түүний хоёр талсын талбай болох P
ба Q-ийн үржвэрийг хоорондох өнцөг φ-ийн синусээр үржсэн
үржвэрийг ерөнхий ирмэгийн урт а-д харьцуулсан харьцааны гуравны
хоёртой тэнцүү.
110. Тетраэдрийн эзэлхүүн нь түүний бүтэн гадаргуугийн талбайг
түүнд багтсан бөмбөрцгийн радиусаар үржсэн үржвэрийг гуравны нэг
дахин авсантай тэнцүү.
11) Бөмбөрцгийг багтааж болох олон талстын эзэлхүүн нь уг олон
талстын бүтэн гадаргуугийн талбай ба бөмбөрцгийн радиусын
үржвэрийн гуравны нэгтэй тэнцүү.
12) Дугуй биеийн эзэлхүүн ба гадаргуу.
14

15. Стереометр
111. Цилиндрийн эзэлхүүн нь түүний суурийн талбайг өндрөөр
үржсэнтэй тэнцүү.
112. Конусын эзэлхүүн нь түүний суурийн талбайг өндрөөр
үржүүлсний гуравны нэгтэй тэнцүү.
113. R радиустай бөмбөрцгийн эзэлхүүн нь 4πR3/3- тай тэнцүү.
114. R радиустай бөмбөрцгийн h өндөртэй бөмбөрцөг сегментийн
эзэлхүүн нь
13) πh2(R-h3)-тай тэнцүү.
115. Суурийн радиус нь r ба h өндөртэй цилиндрийн хажуу
гадаргуугийн талбайи нь 2 πrh-тай тэнцүү.
116. Суурийн радиус нь r ба үүсгэгчийн урт нь l-тэй тэнцүү конусын
хажуу гадаргуугийн талбай нь πrl-тэй тэнцүү.
117. R радиустай бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай нь 4πR2-тай
тэнцүү.
118. R радиустай бөмбөрцгийн h өндөртэй сегментийн бөмбөлөг
гадаргуугийн талбай нь 2πRh-тай тэнцүү.
15