Оюутнуудад зориулав.

1. СЭДЭВ: Тэгш координатын систем
Зорилго: Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем, туйлын координатын
системийн тухай болон тэдгээрийн хоорондын холбоо, үндсэн бодлогуудыг бодож
сурах
Шулуун дээрх координатын систем
Шулуун дээрх боломжит хоёр чиглэлийн нэгийг эерэг гэвэл нөгөө нь сөрөг
чиглэл болно. Эерэг чиглэл тогтоосон шулууныг тэнхлэг гэнэ. Тэнхлэг дээр нэг цэг
авч О үсгээр тэмдэглээд, түүнээ тооллын эх гэе. Бас ОМ гэсэн нэгж урттай хэрчим
авч түүнээ хэмжих нэгж гэе. Тооллын эх, хэмжих нэгж бүхий тэнхлэгийг тоон
тэнхлэг буюу коорданатын шулуун гэнэ. (1 дүгээр зураг)
1 дүгээр зураг
Координатын шулууны цэг нэг бүрд нэг нэг бодит тоо оноож болох ба мөн
эерэг, сөрөг ямар ч бодит тоо нэг бүрд тоон тэнхлэг дээр нэг нэг цэг харгалзуулж
болно. Энэ харгалзааг координатпын систем гэнэ.
Координатын шулууны тусламжтайгаар цэгт оноосон тоо тэрхүү цэгийн
координат гэж нэрлэнэ.
А цэг х координаттай гэхийг А(х) гэж бичнэ. Координатын эх О цэгийн координат
тэгтэй тэнцүү.
Шулуун дээр координатын систем тогтоосноор дараахь хэдэн үндсэн бодлогыг
шийдвэрлэж чадна.
Иймд А(х1), B(х2 ),хоёр цэгийн хоорондох зайн томьёо:
d= 12 xxd  ( 1)
Энэ томьёо х1, х2 -ын аль нэг нь тэгтэй тэнцэх буюу х1=х2 байх тохиолдлуудад
ч хүчин төгөлдөр байна.
2. А(х1), В(х2) хоёр цэг, 1 гэсэн нэг бодит тоо өгөгджээ. АВ хэрчмийг 
харьцаагаар хуваагч М(х) цэгийг ол. М(х) цэг А(х1), В(х2) хоёрын хооронд оршиж
байвал
Үүнтэй уялдуулж  > 0 үед М цэгийг дотуур хуваагч,  <0 үед гадуур хуваагч
гэж тус тус нэрлэнэ.
xxMBxxAM  21

2. Хэрэв  = 1 бол
21
2121 xx
x
xx
x







2. Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатьн систем
Хавтгай дээр О цэг авч түүнийг дайруулан харилцан перпендикуляр хоёр тоон
тэнхлэг байгуулаад нэгийг нь абсцисс буюу Ох нөгөөг нь ординат буюу Оу тэнхлэг гэж
тус тус нэрлэвэл уг хавтгай тэгш өнцөгт координатын системтэй болно. О цэгийг
координатын эх, тоон тэнхлэгүүдийн нэгжүүдийг координатын нэгжүүд гэж тус тус
нэрлэнэ.
Хэрэв Ох (эерэг хагас тэнхлэг)-ийг цагийн зүүний хөдөлгөөний эсрэг чиглэлд
90° эргүүлэхэд Оу-тэй давхацдаг байвал уг системийг баруун систем гэнэ. Хэрэв
Ох-ийг цагийн зүүний хөдөлгөөн Оу -тэй давхацдаг байвал уг системийг зүүн
систем гэнэ.
Хавтгайн геометрийн үндсэн хялбар бодлогууд
1. Хоёр цэгийн хоорондох зай А(х1,y1), В(х2, y2) цэгүүдийн хоорондох зай d-г эдгээрийн
координатаар илэрхийл.
(3 дугаар зураг) 4 дүгээр зураг
А, В цэгүүдээс Ок тэнхлэгт перпендикулярууд татаад А цэгийг дайруулан
абсцисстэй параллель шулуун татахад АВС тэгш онцогт гурвалжин үүсэх учир
2222
BCACABd  гэтэл
1212 yyBCxxAC 
тул    2
12
2
12
2
yyxxd 
Иймд
   2
12
2
12 yyxxd  (3)
Зайн утга ямагт эерэг байх тул арифметик язгуурыг авна.
Хэрэв А цэг координатын эхтэй давхцаж байвал d нь В цэгээс координатын

3. эх хүртэлх зай болно.
22
yxd 
Жишээ. А(2,-6), В(-1,-2) цэгүүдийн хоорондох зайг ол
(3) томьёог ашиглавал     56221
22
d
Хэрчмийг өгсөн харьцаагаар хуваах А(х1, y2) = В(х2, у2) цэгүүд ба 1 гэсэн бодит
тоо өгчээ. АВ хэрчмийг 1 харьцаагаар хуваагч М(х, у) цэгийг ол (4 дүгээр зураг)
М цэгийг АВ хэрчим дээр олсон юм гэж санаад М,А1,В цэгүүдийг дайруулан
ординат тэнхлэгтэй параллель шулуунууд татваас параллель проекцийн чанар
ёсоор
11
11
MB
MA
BM
AM
 xxMBxxMA  211111 тул
xx
xx



2
1

үүнээс





1
21 xx
x





1
21 yy
y томьёонуудаар тодорхойлогдов.
Мөрдлөг. Хэрэв М цэг АВ хэрчмийн дундаж бол 1 бол
22
2121 yy
y
xx
x




Өөрөөр хэлбэл хэрчмийн дундаж цэгийн координат нь түүний хоёр төгсгөлийн
харгалзах координатуудын арифметикийн дундажтай тэнцүү байна.
Жишээ. А(0;0), В(4; -3), С(12; 5) цэгүүдэд оройтой гурвалжны А оройн дотоод
өнцгийн биссектрис ВС талтай огтлолцох цэгийг ол.
Олох гэж байгаа цэгээ О гэж тэмдэглэвэл гурвалжны дотоод өнцгийн
биссектрисийн чанар ёсоор
5
13

BD
CD
AB
AC
 болж
9
7
5
13
1
3
5
13
5
9
2
6
5
13
1
4
5
13
12






 yx
Гурвалжны талбай олох. А(х1,y1), В(х2,y2) С(х3,у3) гэсэн нэг шулуун дээр биш
гурван цэг өгчээ. АВС гурвалжны талбайг гурван оройнх нь координатаар илэрхийл
(5 дугаар зураг)
Гурвалжны хоёр талыг|АВ|=с, |АС| = b гээд хоорондох өнцгийг нь 9 гэж
тэмдэглэвэл тригонометрт гурвалжны талбай олдог томьёо ёсоор sin
2
1
bcS 
болох ба   (үүнд , нь АВ), АС) хоёр тал Ох тэнхлэгтэй үүсгэсэн өнцөг) тул
   sincoscossin
2
1
sin
2
1
 bcbcS
1313
1212
sincos
sincos
yybxxb
yycxxc




тул

4.       12131312
2
1
yyxxyyxxS  - үүнийг гурвалжны талбай олдог томъёо
гэнэ.
Жишээ. А(-2; 0), В (0; -1), С (2; 0),О(3; 2), Е (-1;3) гэж өгснөөр АВСDЕ таван
өнцөгтийн талбайг ол.
АВСDЕ таван өнцөгтийг АDЕ, АСD, АВС гэсэн гурван гурвалжин болгоод тус
бүрд талбайгий нь дээрх томьёогоор олбол        5.602210323
2
1
ADES
үүнчлэн
SACD = 4 (кв нэгж)
SАВС = 2 (КВ НЭГЖ)
Иймд
SAВСDЕ = 6,5 + 4 + 2 = 12,5 (кв нэгж).