1. Батлав: .......................ПХТ-ийн эрхлэгч / Л.Батбилэг/ 2013.03.04
МТ102 Лекц -6
Гуравласан интеграл
Гурвалсан интеграл, Олон давхар интеграл:
Хоёрлосон интегралын нэгэн адил гурвалсан интегралын тухай
ойлголтыг авч үзье. Зааглагдсан битүү гадаргууга ар хүрээлэгдсэн V биет, уг
биетийн цэг бүр дээр )z,y,x(fu  функц тодорхойлогдсон байг.
V биетийг n21 V,...,V,V  гэсэн n элементар биетүүдэд хуваан тэдгээрийн
эзлэхүүнүүдийг n21 V,...,V,V  гэж тэмдэглэе. Элементар биет  n,1kVk  бүрт
дурын )z,y,x(M kkkk цэгийг сонгон авч уг цэг дээрх функцийн утга )z,y,x(f kkk -
г kV эзлэхүүний хэмжээгээр үржүүлэн доорх нийлбэрийг бичье.


n
1i
kkkkn V)z,y,x(f 
Дээрх нийлбэрийг f функцийн V эзлэхүүний хувьд авсан интеграл нийлбэр
гэнэ.
)n,...,2,1k(Vk  биетийн диаметрийг kd , эдгээр диаметрүүдийн хамгийн их
утгыг  гэж тэмдэглэе.
)z,y,x(M kkkk цэгийг kV элементар биетээс сонгох сонголтоос үл
хамааран 0 үеийн n интеграл нийлбэрийн хязгаарын утга олдож
байвал түүнийг )z,y,x(f функцийн V эзлэхүүний хувьд авсан гурвалсан
интеграл гэнэ.
 


n
1i
kkkk
0
V
V)z,y,x(flimdS)y,x(f 

 


n
1i
kkkk
0
V
V)z,y,x(flimdxdydz)y,x(f 

Хэрвээ зааглагдсан битүү гадаргуугар хүрээлэгдсэн V биет дээр )z,y,x(f
функц нь тасралтгүй функц байвал уг биет )n,...,2,1k(Vk  хэсгүүдэд яаж
хуваагдахаас үл хамааран 

n
1i
kkkk
0
V)z,y,x(flim 

хязгаар олдоно.

2. )z,y,x(f функцийг V биетийн нягтралын тархалтын функц гэвэл

V
dV)z,y,x(fm
болно.
1)z,y,x(f  орлуулга хийн V биетийн эзлэхүүнийг
 
VV
dxdydzV,dVV
томъёогоор тодорхойлно.
Гурвалсан интеграл нь хоёрлосон интегралтай адил чанаруудтай.
Өгөдсөн V муж нь Oz тэнхлэгийн дагуух стандарт муж бөгөөд
- Oz тэнхлэгтэй параллель шулуун V мужийг зөвхөн хоёр цэгээр дайран
өнгөрдөг
- V мужийн Oxy хавтгай дээрх проекц S хавтгай дүрс Ox, Oy тэнхлэгийн
дагуу мөн стандарт мужууд байна.
V муж нь Oz тэнхлэгийн дагуу дээрээсээ )y,x(zz 2 , доороосоо )y,x(zz 1
гадаргуугаар зааглагдсан бол
  








S
)y,x(z
)y,x(zV
dxdydz)z,y,x(fdxdydz)z,y,x(f
2
1
,
S хавтгай дүрс нь )x(yy)x(y,bxa 21  нөхцлөөр тодорхойлогдсон
Oy тэнхлэгийн дагуу стандарт муж бол
    
























 b
a
)y,x(z
)y,x(z
)x(y
)x(y
b
a
)x(y
)x(y
)y,x(z
)y,x(zS
)y,x(z
)y,x(z
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
dz)z,y,x(fdydxdxdydz)z,y,x(fdxdydz)z,y,x(f
болно. Ө.х.,
 
)y,x(z
)y,x(z
)x(y
)x(y
b
aV
2
1
2
1
dz)z,y,x(fdydxdxdydz)z,y,x(f
болно.
S хавтгай дүрс нь dyc),y(xx)y(x 21  нөхцлөөр тодорхойлогдсон Ox
тэнхлэгийн дагуу стандарт муж бол

3.     























 d
c
)y(x
)y(x
)y,x(z
)y,x(zS
)y,x(z
)y,x(z
dydxdz)z,y,x(fdxdydz)z,y,x(f
2
1
2
1
2
1
болно. Ө.х.,
 
)y,x(z
)y,x(z
)y(x
)y(x
d
cV
2
1
2
1
dz)z,y,x(fdxdydxdydz)z,y,x(f
байх ба эндээс
 
)y,x(z
)y,x(z
)x(y
)x(y
b
a
)y,x(z
)y,x(z
)y(x
)y(x
d
c
2
1
2
1
2
1
2
1
dz)z,y,x(fdydxdz)z,y,x(fdxdy
биелнэ.
Гурвалсан интегралын хувьсагчийг солих. Цилиндрийн болон
бөмбөрцгийн координатад гурвалсан интегралыг бодох.
)z,y,x(ww),z,y,x(vv),z,y,x(uu  функцүүд нь V мужийг V мужид
буулгадаг, дифференциалчлагддаг функцүүд, )z,y,x( нь )z,y,x(M цэгийн
тэгш өнцөгт Декартын координатууд байг.
Уг функцүүд нь )w,y,x(zz),w,v,u(yy),w,v,u(xx  урвуу
дифференциалчлагддаг функцүүдтэй гэж үзвэл
 

VV
dudvdwI))w,y,x(z),w,v,u(y),w,v,u(x(fdxdydz)z,y,x(f
томъёог ашиглан )w,v,u( координатын системд шилжинэ..
Энд
w
z
v
z
u
z
w
y
v
y
u
y
w
x
v
x
u
x
I


















 матрицийн тодорхойлогч бөгөөд түүнийг функционал
тодорхойлогч буюу мөн Якобиан хувиргагч гэнэ.
Тэгш өнцөгт координатын системээс цилиндрийн координатын системд
хувьсагчийг шилжүүлье.

4. Цилиндрийн координатад zz,siny,cosx   томъёогоор шилждэг
бөгөөд zw,v,u   болох ба
























100
0cossin
0sincos
w
z
v
z
u
z
w
y
v
y
u
y
w
x
v
x
u
x
I
байна. Цилиндрийн координатад гурвалсан интеграл нь
 

VV
dzdd)z,sin,cos(fdzdydx)z,y,x(f 
томъёогоор шилжин бодогдоно.
Бөмбөрцгийн координатын системд хувьсагчийг шилжүүлье.
Бөмбөрцгийн координатад  cosrz,sinsiny,cossinrx 
томъёогоор шилждэг бөгөөд   w,v,ru болох ба




sinr
0sincos
sinsinrsincosrsinsin
sinsinrcoscosrcossin
w
z
v
z
u
z
w
y
v
y
u
y
w
x
v
x
u
x
I 2























байна. Цилиндрийн координатад гурвалсан интеграл нь
 

V
2
V
dddrsinr)cosr,sinsinr,cossinr(fdzdydx)z,y,x(f 
томъёогоор шилжин бодогдоно.