Ediin zasgiin matematic hicheeliin lekts

Эдийн засгийн математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: А.Амарсанаа Page 1
БҮЛЭГ I : ШУГАМАН АЛГЕБРЫН ЭЛЕМЕНТҮҮД
ЛЕКЦ №01
Сэдэв: 1.1. Матриц, түүн дээр хийх үйлдлүүд
Хичээлийн цаг: 2 цаг
Хичээл заагч багш: Маг А.Амарсанаа
Утас: 99204676 , 96674676 E-mail: aamarsanaa@yahoo.com
Хичээлийн зорилго: Матрицын тухай ойлголт нь олон хэмжээст шугаман огторгуйн
хийсвэр бичлэг болон шугаман тэгшитгэлийн системийн оновчтой хураангуй бичлэг,түүнийг
бодох аргуудтай холбоотойгоор үүссэн бөгөөд энэхүү хичээлээр матрицын тухай үндсэн
ухагдахууныг авч үэх болно.
Хичээлийн зорилт: Хичээлийн зорилгын хүрээнд шугаман алгебрын онолын
элементүүдийн үндсэн ойлголтын нэг болох матрицын тухай ухагдахууныг авч үзэн, матриц
дээр хийх үйлдлүүд,тэдгээрийн чанарын талаархи мэдлэгийг эзэмшүүлнэ.
Лекцийн үйл явц: Асуудал дэвшүүлэх болон харилцан яриа, лекцийн зарчмаар
электрон хэлбэрээр лекц явагдана.
1.1.1. Матрицын тухай үндсэн ухагдахуун, ойлголт
Тодорхойлолт 1. m мөр, n баганатай тэгш өнцөгт хүснэгт хэлбэрээр бичигдсэн m⋅n
ширхэг тоог (объектүүдийг) mxn хэмжээст тэгш өнцөгт матриц гэж нэрлээд Amxn, Bmxn, Cmxn
гэх мэтчилэн латин цагаан толгойн том үсгээр тэмдэглэдэг. Матрицыг бүрдүүлж буй
тоонуудыг (объектүүдийг) матрицын элементүүд гэнэ. Матрицын хэмжээс нь тухайн
матрицын мөр, баганын тоогоор тодорхойлогддог.
Хэрэв Amxn матрицын i–р мөр, j–р баганын огтлол дээр орших элементийг aij гэж
тэмдэглэвэл, түүнийг Amxn=(aij), i=1,2,…,m; j=1,2,…,n гэж хураангуйлан дүрслэн бичдэг.
Үүнийг дэлгэрэнгүй бичвэл болно.
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
mnmjm
iniji
nj
mxn
aaa
aaa
aaa
A
......
...........
......
...........
......
1
1
1111
Матрицын элементийн эхний индекс нь уг элементийн оршин буй мөрийн дугаарыг,
хоёр дахь индекс нь оршин байгаа баганын дугаарыг тус, тус заадаг.
Матрицыг түүний хэмжээс болон элементүүдийн онцлог байдлаас шалтгаалан дараахь
төрлүүдэд хуваадаг.
Тодорхойлол2. Хэрэв тэгш өнцөгт матрицын мөрийн тоо нь баганын тооноос бага,
өөрөөр хэлбэл үед мөр болон баганын нь дугаар тэнцүү байх a11,a22,….,amm
элементүүдээс доош орших бүх элементүүд нь дан тэгтэй тэнцүү байдаг бол уг матрицыг mxn
хэмжээст трапец матриц гэнэ.
nm <

Тодорхойлолт 3. Хэрэв матрицын мөр ба баганын тоо тэнцүү, өөрөөр хэлбэл m=n
байвал түүнийг nxn хэмжээст эсвэл n эрэмбийн квадрат матриц гэнэ. Квадрат матрицын
хувьд нэгэнт мөр баганын тоо тэнцүү байх тул хэмжээсийг нь зөвхөн мөрийн тоогоор
илэрхийлж, түүнийгээ эрэмбэ хэмээн дууддаг.
Тодорхойлолт 4. Квадрат матрицын мөр болон баганын нь дугаар тэнцүү байх
элементүүдийг агуулсан диагоналийг матрицын гол диагональ гэнэ. Өөрөөр хэлбэл n эрэмбийн
квадрат матрицын гол диагональ дээр a11,a22,….,ann элементүүд оршин байна.
Тодорхойлолт 5. n эрэмбийн квадрат матрицын гол диагоналийн бүх элементүүд нь
нэгтэй тэнцүү бусад бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл a11=a22=a33=…=ann=1,
хэрэв i≠j бол aij=0 байвал түүнийг нэгж матриц гээд Enxn гэж тэмдэглэдэг. Нэгж матриц (Enxn)
нь матрицан тоололд нэгийн тоо шиг үүрэг гүйцэтгэдэг.
Тодорхойлолт 6. Хоёр матрицын мөр ба баганын тоонууд харгалзан тэнцүү бол ижил
хэмжээст матрицууд гэнэ. Ижил хэмжээст матрицуудын харгалзах байрлал дахь элементүүд
тэнцүү бол тэдгээрийг тэнцүү матрицууд гэнэ. Нэг үгээр хэлбэл хоёр матриц хоорондоо
тэнцүү байхын тулд мөр, баганын нь тоонууд тэнцүү байх төдийгүй, харгалзах байрлал дахь
элементүүд нь тэнцүү байх ёстой.
Тодорхойлолт 7. Гол диагональ болон түүнийхээ зөвхөн нэг талд тэгээс ялгаатай
элементтэй, бусад байрлалдаа дан тэг элементтэй квадрат матрицыг гурвалжин матриц гэнэ.
Хэрвээ гол диагоналийнхаа дээд талд тэгээс ялгаатай элементүүдтэй бол дээрээ гурвалжин,
харин гол диагоналийнхаа доод талд тэгээс ялгаатай элементүүдтэй бол доороо гурвалжин
матриц гэнэ.
Тодорхойлолт 8. Зөвхөн гол диагональ дээрээ тэгээс ялгаатай, бусад байрлалдаа тэг
элементтэй квадрат матрицыг диагональ матриц гэнэ. Түүнийг ихэвчлэн Dnxn үсгээр
тэмдэглэдэг. Бидний дээр тодорхойлсон нэгж матриц нь диагональ матрицын тухайн
тохиолдол юм. Мөн бүх элемент нь тэг байх матрицыг тэг матриц гэдэг. Тэг матриц нь
матрицан тоололд тэг элементийн үүргийг гүйцэтгэдэг. Тэг матрицыг голдуу Omxn үсгээр
тэмдэглэнэ.
Тодорхойлолт 9. Хэрвээ диагональ матрицын гол диагональ дээрх бүх элементүүд нь
тэнцүү байвал скаляр матриц гэнэ.
Тодорхойлолт 10. Зөвхөн ганц баганаас тогтох матрицыг багана, харин ганц мөрөөс
тогтох матрицыг мөр матриц гэнэ.
1.1.2. Матриц дээр хийх үйлдлүүд, тэдгээрийн
чанарууд
Бидний дээр тодорхойлсон матриц хэмээх ойлголт дээр тулгуурлан дараахь үйлдлүүдийг
тодорхойлж болдог. Үүнд:
1. Матрицуудыг нэмэх
2. Матрицыг тоогоор үржүүлэх
3. Матрицуудыг хасах
4. Матрицыг матрицаар үржүүлэх

5. Матрицыг хөрвүүлэх
6. Матрицыг зэрэгт дэвшүүлэх
1.Матрицуудыг нэмэх. Ижил хэмжээст Amxn=(aij), i=1,2,…,m; j=1,2,…,n ба Bmxn=(bij),
i=1,2,…,m; j=1,2,…,n матрицуудын нийлбэр гэж харгалзах байрлал дахь тоонуудыг нь нэмэхэд
үүсэх матрицыг хэлэх бөгөөд түүнийг Cmxn=(cij), i=1,2,…,m; j=1,2,…,n гэж тэмдэглэвэл
cij=aij+bij, i=1,2,…,m; j=1,2,…,n болно.
Хоёр матрицыг нэмэх үйлдлийн хувьд тавигдах үндсэн шаардлага нь тухайн хоёр матриц
ижил хэмжээстэй байх явдал юм. Мөн хоёр матрицыг нэмсний үр дүнд үүсэх матриц
нэмэгдэхүүн матрицуудын хэмжээстэй ижил хэмжээстэй байдаг.
Ийнхүү матрицыг нэмэх үйлдэл нь векторуудыг координатаар өгөгдсөн үед нэмэх
дүрмээс үүдэлтэй болно.
Матрицуудыг нэмэх үйлдлийн хувьд
1. A+B=B+A (байр сэлгэх хууль)
2. (A+B)+C=A+(B+C) (бүлэглэх хууль)
3. A+O=A (mэг матрицыг нэмэх хууль)
чанарууд биелдэг.
Ямарч матриц дээр түүнтэй ижил хэмжээст тэг матрицыг нэмэхэд тухайн матриц
өөрчлөгдөхгүй. Энэ нь тэг тооны чанартай яг ижил юм.
2. Матрицыг тоогоор үржүүлэх. Матрицыг тоогоор үржүүлэх үйлдэл гэж түүний бүх
элементийг өгсөн тоогоор үржүүлэхийг хэлнэ. Өөрөөр хэлбэл өгсөн Amxn=(aij), i=1,2,…,m;
j=1,2,…,n матриц болон 0≠λ тооны хувьд mxnA⋅λ матрицын элементүүдийг ( )ijmxn aA ⋅=⋅ λλ ,
i=1,2,…,m; j=1,2,…,n гэж олно.
Тоогоор үржүүлэх үйлдлийн хувьд тухайн матрицад ямар нэгэн шаардлага тавигддаггүй.
Матрицыг тоогоор үржүүлэх болон нэмэх үйлдлүүдийн хувьд дараахь чанарууд биелнэ.
Үүнд:
1. λλ ⋅=⋅ AA (байр сэлгэх)
2. ( ) AAA ⋅+⋅=⋅+ μλμλ (хаалт задлах)
3. ( ) BABA ⋅+⋅=+⋅ λλλ (хаалт задлах)
4. AA1 =⋅ (нэгжээр үржүүлэх)
5. 0A0 =⋅ (тэгээр үржүүлэх)
3. Матрицуудыг хасах. Матрицуудын нэмэх ба түүнийг тоогоор үржүүлэх үйлдлүүдийн
тусламжтай матрицуудыг хасах үйлдлийг тодорхойлж болно. Нэг үгээр хэлбэл A матрицаас B
матрицыг хасах A-B үйлдэл нь өгсөн A матриц дээр B матрицыг (-1)-ээр үржүүлсэн (-1)B
матрицыг нэмэх үйлдлүүдийн дарааллаар тодорхойлогдоно. Иймээс хоёр матрицын ялгавар нь
A-B =A+(-1)B болно.
Тодорхойлолт 1. Өгсөн A матрицын хувьд A+B=O чанарыг хангаж байгаа B матрицыг
A-ийн эсрэг матриц гээд B=–A гэж тэмдэглэнэ.
Дээрх тодорхойлолтоор өгсөн матрицын эсрэг матрицыг тухайн матрицыг (-1)-ээр
үржүүлж олох нь харагдаж байна. Өөрөөр хэлбэл –A=(-1)A болно.
4. Матрицуудыг үржүүлэх үйлдэл. Amxn=(aij), i=1,2,…,m; j=1,2,…,n, Bpxq=( bij),
i=1,2,…,p; j=1,2,…,q хоёр матриц өгөгдсөн болог. Хэрвээ үржвэрийн эхний матрицын
баганын тоо хоёр дахь матрицын мөрийн тоотой тэнцүү байвал хоёр матрицыг үржүүлж
болно. Энэхүү чанар биелж байгаа матрицуудыг нийцтэй матрицууд гэнэ. Өөрөөр хэлбэл

матрицуудын үржвэр заавал тодорхойлогдох албагүй бөгөөд AB үржвэр тодорхойлогдсон
байлаа ч BA нь тодорхойлогдохгүй, BA тодорхойлогдсон байсан ч AB-тэй тэнцүү биш эсвэл
AB-ээс өөр хэмжээстэй байж болно. Үүний учир нь матрицуудыг үржүүлэх үйлдлийн
шаардлагатай холбоотой. Хэрэв A ба B нь ижил эрэмбийн квадрат матрицууд бол AB, BA
үржвэрүүд үргэлж тодорхойлогдох ба тэдгээрийн хувьд AB=BA чанар биелэх албагүй байдаг.
Тодорхойлолт 2. Хэрвээ хоёр матрицыг үржүүлэх үйлдлийн хувьд байр солих хууль
биелж байвал, нэг үгээр хэлбэл AB=BA бол эдгээр матрицуудыг байр сэлгэдэг (коммутатив)
матрицууд гэнэ.
Тодорхойлолт 3. n эрэмбийн квадрат матрицын хувьд EAAAA =⋅=⋅ −− 11
нөхцөлийг
хангаж буй A-1
матрицыг өгсөн A матрицын урвуу матриц гэнэ.
Матрицыг матрицаар үржүүлэх үйлдлийн хувьд доорхи чанарууд биелнэ. Үүнд:
1. (хаалт задлах хууль)( ) CABACBA ⋅+⋅=+⋅
2. ( ) (хаалт задлах хууль)CBCACBA ⋅+⋅=⋅+
3. (бүлэглэх хууль)( ) ( CBACBACBA ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ )
43421
k
A...AAA ⋅⋅⋅=
( ) mnmn
AA ⋅
=
mn
6. Матрицыг хөрвүүлэх.
Тодорхойлолт 4. Amxn=(aij),i=1,2,…,m;j=1,2,…,n матрицын хувьд түүний багануудын
элементүүдийг нь дараалал алдуулалгүйгээр мөр болгон хувирган бичихэд үүсэх матрицыг
тухайн A матрицын хөрвөсөн матриц гээд AT
гэж тэмдэглэдэг. AT
-нь хөрвүүлэх үйлдлийн
чанараар nxm хэмжээст матриц болно.
Матрицыг хөрвүүлэх үйлдлийн хувьд дараахь чанарууд биелдэг. Үүнд:
1. ( ) AA
TT
=
2. ( ) TT
AA ⋅=⋅ λλ
3. ( ) TTT
BABA +=+
4. ( ) TTT
ABBA ⋅=⋅
1 −− T
5. 1
= T
A )()(A
Тодорхойлолт 5. Өгөгдсөн матриц хөрвөсөн матрицтайгаа тэнцүү байдаг бол түүнийг
тэгш хэмт матриц, харин хөрвөсөн матрицынхаа эсрэг матрицтай тэнцүү байвал эсрэг тэгш
хэмт матриц гэнэ. Нэг үгээр хэлбэл тэгш хэмт матрицын хувьд A=AT
, эсрэг тэгш хэмт
матрицын хувьд A=-AT
байна.
6. Матрицыг зэрэгт дэвшүүлэх. Дурын эрэмбийн квадрат матрицыг k удаа үржүүлсний
үр дүнд тухайн матрицыг k зэрэгт дэвшүүлж болно. Энд k нь байх натурал тоо. Нэг үгээр
хэлбэл k
үйлдлийн тусламжтай матрицыг k зэрэгт дэвшүүлнэ.
2k ≥
Матрицыг зэрэгт дэвшүүлэх үйлдлийн хувьд
1.
2. mn
A +
=A A⋅
( ) mm
AA 11−
44 344 21
m
111m1
AAAA −−−−
⋅⋅⋅⋅=
3. ( )−
=
чанарууд биелдэг. Энд ( ) гэж ойлгоно.

Тодорхойлолт 6. Хэрвээ өгөгдсөн квадрат матриц A-ийн хувьд чанар биелдэг
бол нильпотент матриц гэнэ. Нильпотент матрицын хувьд квадрат зэрэг нь тэг матриц байна.
OA =2
Тодорхойлолт 7. Хэрвээ өгөгдсөн квадрат матриц A-ийн хувьд EA =2
чанар биелдэг бол
инволютив матриц гэнэ. Өөрөөр хэлбэл квадрат зэрэг нь нэгж матриц байдаг бол уг матриц
инволютив матриц болно.
Тодорхойлолт 8. Хэрвээ өгөгдсөн квадрат матриц A-ийн хувьд AA =2
чанар биелдэг бол
идемпотент матриц гэнэ. Өөрөөр хэлбэл квадрат зэрэг нь өөртэйгөө тэнцүү байдаг матриц
нь идемпотент матриц болно.
Тодорхойлолт 9. Хэрвээ өгөгдсөн квадрат матриц A-ийн хувьд EAA T
=⋅ чанар биелдэг
бол ортогональ матриц гэнэ. Нэг үгээр хэлбэл өөрийг нь хөрвөсөн матрицаар нь үржүүлэхэд
нэгж матриц гардаг бол ортогональ матриц болно.

ЛЕКЦ №02
Сэдэв: 1.1. Тодорхойлогч үүний үндсэн чанарууд, т
Утас:
99204676 , 96674676 E-mail: aamarsanaa@yahoo.com
Хичээлийн зорилго: Энэхүү хичээлээр шугаман алгебрын элементүүдийн нэг
болох тодорхойлогч болон түүний үндсэн чанаруудын талаархи ойлголтуудыг авч
үзнэ.Тодорхойлогчийн тухай ойлголт нь n хувьсагчтай n шугаман тэгшитгэлийн
систем
ойлогчийн хувьд биелэх үндсэн
чанару
дэвшүүлэх болон харилцан яриа, лекцийн зарчмаар
1 а
Хоёрдуга мбийн тодорхойлогчийн тодорхойлолтыг өгөхийн тулд
(1)
эрэмбийн квадрат матрицыг авч үзье.
Тодорхойлолт 1. (1) хоёрдуга ийн квадрат матрицын хувьд
ийн шийдийг олох асудалтай холбоотой үүссэн болно.
Хичээлийн зорилт: Дээрхи зорилгын хүрээнд квадрат матрицуудын олонлог
дээр тодорхойлогдсон бодит тоон утгатай функц болох тодорхойлогчийн тухай
ойлголт, түүний утгыг олох аргууд, мөн тодорх
уд, тэдгээрийн хоорондын холбоог авч үзнэ.
Лекцийн үйл явц: Асуудал
.1.1 Хоёр б гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогч
ар эрэ
⎟
⎠
⎜
⎝ 2221
22
aa
x ⎟
⎞
⎜
⎛
= 1211 aa
A
хоёрдугаар
ар эрэмб
211211
2221
aaaa
aa
A)Adet( −==Δ= (2)
дүрмээр тодорхойлогдох илэрхийллийг түүнд харгалзах оё дугаар бийн
тодорхойлогч
22
1211 aa
=
х р эрэм
гэдэг. A матрицын тодорхойлогчийг ихэвчлэн A , Δ эсвэл гэж
тэмдэг
Гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийн тодорхойлолтыг өгье. Үүний тулд эхлээд
гуравдугаар эрэмбийн квадрат матриц (3) авч үзье.
Тодорхойлолт 2. (3) гуравдугаар эрэмбийн квадрат матрицын хувьд
)Adet(
лэнэ.
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎛
= 232221
131211
aaa
aaa
A
⎟
⎠
⎜
⎝ 333231 aaa
322311332112312213322113312312332211
333231
232221
131211
)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
AA −−−++==Δ==
(4)

илэрхийллийг түүнд харгалзах гуравдугаар эрэмбийн
1.1.2. Дээд эрэмбийн тодорхойлогч, түүнийг
м х
э и о уудыг
ичээлийн эцэст тэдгээрийг хоёр ба гуравдугаар эрэмбийн
тодор й
ойлгогдох болно.
n эрэмбийн вадрат матриц дараахь хэлбэрээр өгөгдсөн болог. Үүнд:
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎛
= n
n
aaa
aaa
A
L
L
22221
11211
үл
квадрат матрицын тодорхойлогчийг элементийн гүйцээгч нэрлээд гэж
тэмдэглэдэг. Гүйцээгч минорыг олохыг дараахь схемэ үзүүлье Үүнд:
дүрмээр тодорхойлогдох
тодорхойлогч гэнэ.
утгыг олох
Дөрвөөс дээш эрэмбийн тодорхойлогчийг хэрхэн тодорхойлох, түүний утгыг олох
аргуудыг авч үзье. Дээд эрэмбийн квадрат атрицын тодор ойлогчийг тодорхойлохын
тулд гүйцэ гч м нор, алгебрын гүйцээлт зэрэг йлголт оруулдаг. Ер нь дээд
эрэмбийн тодорхойлогчийн тодорхойлолт нь эхний үед нилээд хийсвэр байдлаар
ойлгогдох ба х
хо логчийг хэрхэн тодорхойлсон санаа дээр тулгуурлан индукцэлсэн болох нь
к
⎟
⎟
⎟
⎠
⎜
⎝ nnnn aaa L
MMMM
21
Тодорхойлолт 1. Өгөгдсөн квадрат матрицын i -р мөр, j -р баганыг дарж, дсэн
элементүүдийг эрэмбэ алдуулалгүйгээр шахаж бичихэд үүссэн )n( 1− -р эрэмбийн
ija
хэрхэн
минор гэж
эр
ijM
.
nnjjnnn
nnnjn
aaaa LL 11,21
21
+−
⎠⎝
n
niiii
niiii
nj
nj
ij
n
ijii
j
j
a
aaaaa
aaaaa
aaaa
aaaa
M
aaa
aaa
aaa
aaa
A
MLMLM
LL
LL
MLMLM
LL
LL
LL
LMLMM
LL
LMLMM
LL
LL
,
,1,12,1
,1,12,1
2,222
1,112
21
22221
11211
+++
−−−=⇒
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎛
=
р э в
эмбийн квадрат матрицын тодорхой нэг мөр эсвэл баганын
элеме да
аг.
Теорем 1. р эрэмбийн квадрат тодорхойлогч болох р эрэмбий
тодорхойлогч нь
j
j
1
1
1
1
+
+
+
+
ji
ji
j
j
a
a
M
M
1,1
1,1
1,2
1,1
−+
−−
−
−
in
n
n
a
a
a
a
M
M
2
1
M
M
1,1
1,1
21
11
+
−
n - рэмбийн к адрат матрицын хувьд түүний элементийн тоотой тэнцүү 2
n ширхэг
гүйцээгч минор байна.
Өгөгдсөн n -р эр
нтүүдийн гүйцээгч минор ба түүний тодорхойлогчийн хооронд раахь чухал
холбоо оршин байд
n - матрицын нn -
∑=k
ik
1
+
=⋅−⋅=
n
ki
ik n,i,M)(aA 11 (5) эсвэл=)Adet( ∑=k
kjkj
1
байна
+
=⋅−⋅==
n
jk
n,j,M)(aA)Adet( 11 (6)
.

йг р баганаар нь задалсан задаргаа хэмээн тус, тус
нэрлэдэг. Эдгээр задаргаанаас р эрэмбийн тодорхойлогчийн мөр ба багана тэнцүү
эрхтэ
лт 2. Дурын эрэмбийн квадрат матрицын элементүүдийн гүйцээгч
мино тухайн алгебрийн
рлаж буй мөр, баганын дугааруудын нийлбэр
эсрэг
тэмдэгтэй авсантай тоотой тэнцүү байна.
Алгебрийн гүйцээлтийн тодорхойлолтыг ашиглан (5), (6) томьёог бичвэл
Энд (5)-г n -р эрэмбийн тодорхойлогчийг i -р мөрөөр нь задалсан задаргаа, харин
(6)-г n -р эрэмбийн тодорхойлогчи j -
n -
й болох нь харагдаж байна.
Тодорхойло ija
рыг (-1)-ийн (i+j) зэргээр үржүүлэхэд гарах тоог элементийн
гүйцээлт гэдэг.
Дээрх тодорхойлолтоор алгебрийн гүйцээлт нь ij
ji
ij M)(A +
−= 1 байна.
Тодорхойлолтоос харахад квадрат матрицын дурын элементийн алгебрийн
гүйцээлт нь хэрвээ тухайн элементийн бай
тэгш тоо бол гүйцээгч минортой, харин сондгой тоо бол гүйцээгч минорыг
∑=
=⋅=
n
k
ikik n,i,AaA
1
1 (7)=)Adet(
Эсвэл ∑=
=⋅==
n
k
kjkj n,j,AaA)Adet(
1
1 (8) болно.
Өөрөөр хэлбэл матрицын тодорхойлогчийн утгыг олохдоо түүний аль нэг мөрийн
болон баганын элементүүдийг харгалзах ал гүйцээлтээр нь үржүүлэн нэмсэнтэй
тэнцүү байна.
1.1.3.Тодорхойлогчийн үндсэн чанарууд
рчилнө.
чийн өмнө гаргаж болно. Өөрөөр хэлбэл тодорхойлогчийг тоогоор
үржүүлбэл аль нэг мөрийн эсвэл аль нэг баганын элемент бүрийг уг тоогоор
үржүүлнэ.
гебрийн
Дурын эрэмбийн квадрат матрицын тодорхойлогчийн хувьд биелэх чанаруудыг авч
үзье. Үүнд:
1. Дурын квадрат матрицын тодорхойлогчийн утга нь хөрвөсөн матрицынхаа
тодорхойлогчийн утгатай тэнцүү.
2. Тодорхойлогчийн аль нэг хоёр мөрийн эсвэл баганын байрыг солиход
тодорхойлогчийн утга зөвхөн тэмдгээ өө
3. Тодорхойлогч хоёр ижил мөртэй эсвэл баганатай бол (харгалзах элементүүд нь
тэнцүү), түүний утга тэгтэй тэнцэнэ.
4. Тодорхойлогчийн аль нэг мөрөнд эсвэл багананд байгаа ерөнхий үржигдэхүүнийг
тодорхойлог

5. Пропорциональ хоёр мөртэй эсвэл баганатай тодорхойлогчийн утга тэгтэй
тэнцэнэ.
6. Хэрэв тодорхойлогчийн аль нэг мөр эсвэл баганын элементүүд дан тэг бол
тодорхойлогчийн утга тэгтэй тэнцүү
7. Тодорхойлогчийн аль нэг мөрийн эсвэл баганын бүх элементүүд хоёр тооны нийлбэр
хэлбэртэй байвал уг тодорхойлогч дараахь хоёр тодорхойлогчийн нийлбэртэй
тэнцүү.
8. Тодорхойлогчийн аль нэг мөрийн эсвэл баганын элементүүдийг тоогоор үржүүлж,
өөр нэг мөр юмуу баганын харгалзах элементүүд дээр нэмэхэд тодорхойлогчийн
утга өөрчлөгдөхгүй. Энэ чанар тодорхойлогчийг бодоход их хэрэглэгддэг.
9. Дурын n эрэмбийн квадрат матрицын аль нэг мөрийн эсвэл баганын элементүүдийн
алгебрийн гүйцээлтүүдийг nc,...,c, тоонуудаар харгалзуулан үржүүлж, нэмсэн
нийлбэр тухайн квадрат матрицын тодорхойлогчийг задалсан мөр эсвэл баганын
элементүүдийг дээрх тоогоор солиход гарах матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү.
c 21
10. Тодорхойлогчийн аль нэг мөрийн эсвэл баганын элементүүдийг өөр мөрийн эсвэл
баганын харгалзах элементийн алгебрийн гүйцээлтүүдээр нь үржүүлж нэмэхэд
тэгтэй тэнцэнэ.
Теорем 1. Гурвалжин матрицын тодорхойлогч нь түүний гол диагональ дээрх
элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.

ЛЕКЦ №03
Сэдэв: 3.1. Шугаман тэгшитгэлийн систем,түүний шийдийн чанарууд
Хичээлийн зорилго: Энэхүү хичээлээр шугаман алгебрын онолоос шугаман
тэгшитгэлийн систем болон түүний шийдийг шинжлэх аргуудтай танилцах болно
Хичээлийн зорилт: Хичээлийн зорилгын хүрээнд шугаман тэгшитгэлийн
систем, квадрат болон m×n хэмжээст системийг тодорхойлж тэгшитгэлийн нийцтэй
эсэхийг Крамер болон Гауссын аргаар тодорхойлж шийдийг олох, мөн матрицын ранг
ашиглан шийдийг олох аргуудыг сэдвийн хүрээнд авч судална.
3.1.1.Шугаман тэгшитгэлийн систем, квадрат систм
түүнийг бодох Крамерын дүрэм
Шугаман тэгшитгэл, шугаман тэгшитгэлийн систем, тэдгээрийн шийдийн тухай
ойлголтуудыг авч үзье. Шугаман тэгшитгэл, шугаман тэгшитгэлийн систем шийдтэй эсэхийг
тогтоох, шийдтэй үед шийдийг олох асуудлууд нь матриц, тодорхойлогч зэрэг ойлголтуудыг
буй болгожээ. Тухайлбал хувьсагчийн тоо, системийн тэгшитгэлийн тоо тэнцүү тохиолдолд
тодорхойлогчийн онол хөгжсөн билээ.
Тодорхойлолт. бодит тоонууд болон хувьсагчдын хувьд нэг
зэрэгтэй оролцсон
na,...,a,a 21 nx,...,x,x 21
bxa...xaxa nn =+++ 2211 (9) тэнцэтгэлийг n хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл гэнэ.
Тодорхойлогч. Тус бүртээ n хувьсагчтай, m шугаман тэгшитгэлээс тогтох
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
L
LLLLLLLLLLLLL
L
L
2211
22222121
11212111
m
(10) хэлбэрийн шугаман тэгшитгэлүүдийн бүлийг
хувьсагчтай, шугаман тэгшитгэлийн систем гэнэ.
n
Дараахь матрицуудыг зохион тэмдэглэснээр (10) системийг матрицан хэлбэрт бичиж
болдог.
Тодорхойлолт. (10) системийн хувьсагчдын өмнөх коэффициентуудаар зохиогдсон
хэмжээст тэгш өнцөгт хэлбэрийн
mxn
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
mnmm
n
n
mxn
aaa
aaa
aaa
A
L
MMMM
L
L
21
22221
11211
1nx
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
nx
x
x
x
x
M
2
1
1
матрицыг шугаман тэгшитгэлийн системийн үндсэн матриц гэнэ.
Тодорхойлолт. Шугаман тэгшитгэлийн системийн хувьсагчдаар зохиогдох хэмжээст
багана матрицыг хувьсагчдын матриц гэнэ.

Тодорхойлолт. Шугаман тэгшитгэлийн системийн баруун гар талын сул гишүүдээр
зохиогдох хэмжээст багана матрицыг сул гишүүний матриц гэнэ.1mx
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
m
mx
b
b
b
b
M
2
1
1
Дээрх матрицуудын тусламжтай (10) шугаман тэгшитгэлийн системийг 11 mxnxmxn bxA =⋅ буюу
(11)bAx =
гэж матрицан хэлбэрт бичдэг. Энд матрицуудыг үржүүлэх дүрэм болон матрицууд тэнцүү
байх чанарыг ашигласан болно.
Тодорхойлолт. (10) шугаман тэгшитгэлийн системийн хувьсагчдын оронд орлуулан
тавьж, зохих үйлдлийг гүйцэтгэхэд системийн тэгшитгэл бүрийг адилтгал болгон хувиргах
),...,,( nααα 21 гэсэн ширхэг элементийг тухайн системийн шийд гэнэ.n
Тодорхойлолт. Хэрэв (10) систем ядаж нэг шийдтэй бол түүнийг нийцтэй систем гэнэ.
Нийцтэй систем дотроос зөвхөн ганц шийдтэй системийг тодорхой систем, нэгээс олон
шийдтэй бол тодорхойгүй систем гэнэ. Хэрэв (10) систем бодит тоон талбарт нэг ч шийдгүй
бол нийцгүй систем гэдэг.
Одоо хоёр хувьсагчтай хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзэж, түүнээс
хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг хэрхэн тодорхойлсонтой танилцая.
Хоёр хувьсагчтай, хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг (12)
⎩
⎨
⎧
=+
=+
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
байдлаар авч үзье. Энэ системийг , ,⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
2221
1211
22
aa
aa
A x ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
2
1
12
x
x
x x ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
2
1
12
b
b
b x
матрицуудыг зохион оруулснаар, матрицан хэлбэрт шилжүүлбэл болно.
хувьсагчдын утгыг
bAx = 21 x,x
2221
1211
222
121
1
1
aa
aa
ab
ab
x =
Δ
Δ
= ,
2221
1211
221
111
2
2
aa
aa
ba
ba
x =
Δ
Δ
= (15) гэж илэрхийлж болно.
Ийнхүү хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн үндсэн матрицын
тодорхойлогчийн утга нь тэгээс ялгаатай бол шийдийг нь (15) томьёогоор олж болохыг
тогтоов.
Томьёоноос харахад нэгдүгээр хувьсагчийн утгыг олохдоо системийн үндсэн матрицын
нэгдүгээр баганын элементүүдийг сул гишүүний матрицын харгалзах элементүүдээр сольсон
матрицын тодорхойлогчийн утгыг үндсэн матрицын тодорхойлогчийн утганд харьцуулсан
харьцаагаар тодорхойлж болохоор байна. Харин хоёрдугаар хувьсагчийн утгыг олохдоо
үндсэн матрицын хоёрдугаар баганын элементүүдийг сул гишүүний матрицын харгалзах
элементүүдээр сольсон матрицын тодорхойлогчийн утгыг үндсэн матрицын тодорхойлогчийн
утганд харьцуулан тодорхойлохоор байна. Үүнийг хоёр хувьсагчтай, хоёр шугаман
тэгшитгэлийн системийн шийдийг олох Крамерийн дүрэм гэдэг.

шинжлэх ба шийд олох аргууд
Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй эсэхийг тогтоох болон шийдийг олох
Өгөгдсөн шугаман тэгшитгэлийн систем нийцтэй эсэхийг тогтоохын тулд n хувьсагчтай,
m шугаман тэгшитгэлүүдээс тогтох дараахь системийг авч үзье. Үүнд:
(1)
нэгний нь шийд
эг зэрэг нийцгүй бол тэдгээрийг эквивалент
дорхойлолтоос дараахь гурван чанар шууд мөрдөн гардаг. Үүнд:
нт бол хоёрдугаар систем нь нэгдүгээртэйгээ
эквив
тайгаа эквивалент
б б
,
р тэгшитгэл дээр
лийн элементарь хувиргалт гэнэ.
темд шилжвэл, дээрх төрлийн тэгшитгэлийг
орхих
д шил
3.1.2.Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй эсэхийг
Гауссын арга
⎪⎩ =+++ mnmnmm bxaxaxa L
LLLLLLLLLLL
2211
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=++
=+++
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
LL
L
L
22222121
11212111
+
Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр өөр систем нэгэн зэрэг нийцтэй бөгөөд
нөгөөгийнхөө шийд болдог эсвэл хоёул н
системүүд гэж нэрлэдэг.
Энэ то
1).Систем бүхэн өөрөө өөртэйгээ эквивалент
2).Нэгдүгээр систем хоёрдугаартайгаа эквивале
алент
3).Нэгдүгээр систем хоёрдугаартайгаа, хоёрдугаар нь гуравдугаартайгаа тус, тус эквивалент
бол нэгдүгээр нь гуравдугаар
Тодорхойлолт. Өгөгдсөн шугаман тэгшитгэлийн системийн i ба k -р тэгшитгэлийн
айрыг сольж, усдыг нь хэвээр үлдээж шинэ систем үүсгэхийг нэгдүгээр төрлийн
элементарь хувиргалт гэнэ.
Тодорхойлолт. Өгөгдсөн системийн i -р тэгшитгэлийг тэгээс ялгаатай тоогоор үржүүлж
k - нэмэхэд гарсантай ижил k -р тэгшитгэлтэй, бусад нь хуучин
тэгшитгэлүүдээс тогтох системд шилжихийг хоёрдугаар төр
Тодорхойлолт. Хэрвээ өгөгдсөн систем хоёрдугаар төрлийн элементарь хувиргалтаар
0000 21 =⋅++⋅+⋅ nxxx L тэгшитгэлийг агуулсан сис
ыг гуравдугаар төрлийн элементарь хувиргалт гэнэ.
Теорем. Дээр авч үзсэн гурван төрлийн элементарь хувиргалтаар шугаман тэгшитгэлийн
систем өөртэйгээ эквивалент систем ждэг.
Элементарь хувиргалтуудаар өгөгдсөн системээс арай хялбар системд шилжих нэгэн
аргыг авч үзье. Тус аргыг Гауссын хувьсагчдыг дараалан зайлуулах арга гэнэ. Одоо энэхүү
аргыг тайлбарлая. (1) системийн 011 ≠a гэж үзье. Хэрвээ 011 =a бол өгөгдсөн системийн
нэгдүгээр тэгшитгэлийг 1x хувьсагчийн коэффициент нь тэгээс ялгаатай байх өөр нэг
тэгшитгэлтэй байрыг нь сольж, коэффициентуудыг дахин дугаарлана. Эхлээд (1) системийн
нэгдүгээр тэгшитгэлээс бусад үлдсэн бүх тэгшитгэлээс 1x хувьсагчийг зайлуулья. Үүний тулд
өмнөх
нэгдүгээр тэгшитгэлийн талыгхоёр
11
21a
a
−
хоёр
-ээр үржүүлэн тэгшитгэл дээр нэмсний
дараа мөн нэгдүгээр талыг
, хоёрдугаар
тэгшитгэлийн
11
31a
a
− -ээр равдугаар тэгшитгэл дээр
нэмье. Гэх мэтчилэн нэ хоёр талыг
үржүүлэн гу
гдүгээр тэгшитгэлийн
11
1m
-ээр
a
a
− үржүүлж, m-р тэгшитгэл

дээр нэмбэл эдгээр хувиргалтын үр дүнд (1) систем (2) болно.
Энд
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=+++
mnmnm
nn
nn
'bx'ax'a
'bx'ax'a
bxaxaxa
L
LLLLLLLLLLL
L
L
22
22222
11212111
n,j;m,i;
a
ba
b'b;
a
aa
a'a i
ii
ij
ijij 22
11
11
11
11
==
⋅
−=
⋅
−= байна.
Энд гэж үзье. Хэрвээ022 ≠'a 022 ='a
2x
бол үлдэгдэл хэсгийн эхний тэгшитгэлийг түүний
дараагийн тэгшитгэлүүдээс -ийн өмнөх коэффициент нь тэг биш байх аль нэг тэгшитгэлтэй
байрыг нь солино. Ийм тэгшитгэл эс олдвоос өмнөх коэффициент нь тэгээс ялгаатай байх
хувьсагчуудын нэгтэй хувьсагчийг солино. Үүний дараа тэгшитгэлийн
коэффициентуудыг болон хувьсагчдыг дахин дугаарлан, хувиргалт хийхэд бэлэн болгоно.
2x
nx,...,x,x 43
22
32
'a
'a
−Үлдэгдэл хэсгийн эхний тэгшитгэлийн хоёр талыг -ээр үржүүлж, дараагийн
тэгшитгэл дээр нэмнэ. Энэ үйлдлийг дараалуулан гүйцэтгэсээр үлдэгдэл хэсгийн эхний
тэгшитгэлийг
22
2
'a
'a m
− -ээр үржүүлж, сүүлийн тэгшитгэл дээр нэмбэл (2) систем
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
=+++
mnmnm
nn
nn
nn
"bx"ax"a
"bx"ax"a
'bx'ax'ax'a
bxaxaxa
L
LLLLLLLLLLL
L
L
L
33
33333
22323222
11212111
(3) эквивалент системд хувирна.
Энд n,j;m,i;
'a
'b'a
'b"b;
'a
'a'a
'a"a i
ii
ij
ijij 33
22
22
22
22
==
⋅
−=
⋅
−= байна.
Системийг хувиргах ажиллагааг цааш үргэлжлүүлбэл төгсгөлөг алхмын дараа дараахь
хоёр тохиолдлын аль нэгэнд заавал хүрнэ.
1).Хувирсан системийн үлдэгдэл хэсэг нь 0000 1 ≠=⋅++⋅+⋅ + rrnrr b,bxxx L
тэгшитгэлийг агуулсан системд шилжинэ. Тэгвэл анхны (1) систем ганц ч шийдгүй буюу
нийцгүй болно.
2). Дээрх шиг зүйл тохиолдохгүй үед (1) систем -ээс хэтрэхгүй алхмын дараа доорхи
хялбар эгэл хэлбэрт шилжинэ. Үүнд: (4)
m
+
rrr
nn
x
x"
x
34
3
LL
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=++
=+++
=++
=+++
−−−
r
)r(
nrn
)r()r(
nn
nn
bxaa
"bx"aax"a
'bx'ax'ax'a
baxaxa
111
334333
2223222
11212111
L
LLLLLLLLLLLL
L
L
L
Энд коэффициентууд бүгд тэгээс ялгаатай байна. Хувиргалтуудын
явцад тэгшитгэлийн тоо цөөрч болох тул
rr
)r(
a,...,"a,'a,a 1
332211
−
mr ≤ байна. (4) системийг шугаман тэгшитгэлийн
системийн шаталсан хэлбэр гэдэг. Хэрвээ (1) систем элементарь хувиргалтуудаар (4) системд
шилжиж байвал тэрээр нийцтэй байх ба хэрвээ n< бол систем тодорхойгүй,r r n= бол
тодорхой байна.
Хэрвээ (1) систем тодорхой бол дараахь хялбар эгэл хэлбэрт шилжинэ. Үүнд:

⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=+
=+++
=+++
=+++
−−
−
−
−
−
−−−
−
n
)n(
nnn
)n(
n
)n(
nn,n
)n(
nn,n
)n(
nn
nn
nn
bxa
bxaxa
"bx"ax"ax"a
'bx'ax'ax'a
bxaxaxa
11
1
2
1
2
111
2
33434333
22323222
11212111
LLLLLLLLLLLLLL
L
L
L
nx
(5) (5) системийн сүүлийн тэгшитгэлээс
-ийн утга
nn
)n(
n
)n(
n
a
b
x 1
1
−
−
= гэж олдоно. Энэ утгыг сүүлээсээ хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулбал
-ийн утга олдоно. Энэ мэтчилэн цааш үргэлжлүүлбэл (5) системийн бүх хувьсагчид
тодорхой утгатай болно. Тиймээс (5) систем нь нийцтэй бөгөөд тодорхой байна. Иймд түүнтэй
эквивалент (1) систем мөн тодорхой болно.
1−nx
Хэрэв (4) системийн хувьд nr < бол хувьсагчуудад дурын тоон утга
олгосны дараа (4) системийн тэгшитгэлүүдийг дороос нь дээш өгсөөж (5) системтэй ижил
бодсноор хувьсагчуудын тодорхой утгыг олно. Дурын тоон утгуудыг авч байгаа
хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагч, харин дээрх чөлөөт хувьсагчуудын дурын утгаас,
(4) системийн тэгшитгэлүүдээр дамжин хөөж тодорхой утга нь олддог хувьсагчдыг
суурь хувьсагч гэнэ. Чөлөөт хувьсагчуудын дурын утга, эдгээр утгуудаас хөөгдөж олсон суурь
хувьсагчуудын утга хамтдаа (4) системийг хангах нь илэрхий. Чөлөөт хувьсагчуудын утгыг
тоо томшгүй олон аргаар сонгох бололцоотой тул (4) систем тоо томшгүй олон шийдтэй
байна. Үүнээс үүдээд түүнтэй эквивалент (1) систем ч тоо томшгүй олон шийдтэй байдаг.
nrr x,...,x,x 21 ++
11 x,...,x,x rr −
nxrr ,...,x,x 21 ++
rx,...,x,x 21
Тодорхойлолт. (4) системийг (1) системийн “трапец” шаталсан хэлбэр, харин (5)
системийг “гурвалжин” шаталсан хэлбэр гэдэг.
Практикт шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар хувиргахдаа тухайн системийг
хувиргахын оронд түүний өргөтгөсөн матрицыг хувиргавал зохимжтой байдаг. Өгөгдсөн
шугаман тэгшитгэлийн системийн өргөтгөсөн матриц нь түүний үндсэн матриц, сул
гишүүний матрицуудаар дараахь байдлаар байгуулагддаг. Үүнд:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=+
mmnmm
n
n
mxn
baaa
baaa
baaa
B
L
MMMMM
L
L
21
222221
111211
1
3.1.3. Матрицын ранг, түүнийг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн
системийн нийцтэй эсэхийг тогтоох
Матрицын рангийн тухай ойлголтыг өгөхийн тулд хэмжээст тэгш өнцөгт хэлбэрийнmxn
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
mnmm
n
n
mxn
aaa
aaa
aaa
A
L
MMMM
L
L
21
22221
11211
})n,mmin{r(r ≤≤0матрицыг авч үзье. Өгөгдсөн A матрицаас ширхэг
мөр, баганыг сонгон тэдгээрийн огтлолд байх элементүүдээс тогтох дараахь матрицыг
байгуулья. Үүнд:

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
rrrr
r
r
rxr
'a'a'a
'a'a'a
'a'a'a
'A
L
MMMM
L
L
21
22221
11211
Дээрх матрицын тодорхойлогчийг матрицынrxr'A mxnA r эрэмбийн
минор гэнэ. Тодорхой болгох үүднээс nm ≤ гэж үзье. Тэгвэл өгөгдсөн матрицаас
эрэмбийн миноруудыг зохиож болно. Тухайлбал1221 ,,...,m,m,m −− r эрэмбийн минор
янзаар зохиогдох боломжтой. Энд 1 эрэмбийн минор гэдгийн дор өгөгдсөн матрицын нэг
элементийг ойлгоно. Тиймээс ерөнхий тохиолдолд хэмжээст тэгш өнцөгт матрицаас
нэгдүгээр эрэмбийн минор ширхгийг үүсгэх боломжтой.
r
n
r
m CC ⋅
mxn
nm ⋅
Тодорхойлолт. Өгсөн матрицын элементүүдээс зохиосон 1221 ++−− r,r,...,m,m,m
эрэмбийн бүх минорууд тэгтэй тэнцүү ба харин r эрэмбийн миноруудын дотор ядаж нэг
минор тэгээс ялгаатай утгатай байвал r -ийг уг матрицын ранг гээд эсвэл гэж
тэмдэглэнэ.
)A(rang )A(r
Тодорхойлолтоор өгсөн A матрицын ранг нь түүний элементүүдээс дээрх аргаар
зохиосон тэгээс ялгаатай минорын хамгийн их эрэмбэ болох ба тэрээр тухайн матрицын мөр,
баганын тооны багаас нь хэтрэхгүй. Хэрэв А матрицын бүх элемент тэг бол түүний ранг
тэгтэй тэнцүү буюу , зөвхөн ганц тэгээс ялгаатай элементтэй бол ранг нь нэг буюу
байна. Ер нь матриц нэгээс олон тэгээс ялгаатай элементтэй байсан ч ранг нь тэг
байж болно. Матрицын рангийг олох нэгэн аргыг авч үзье.
0=)A(rang
1=)A(rang
Матрицын рангийг олоход ихэвчлэн хүрээлэх аргыг хэрэглэдэг. Гэвч энэ арга нь олон
хэмжээст матрицын хувьд сонголтын боломж олширдог тул зохистой бус байдаг. Тиймээс
минорын мөр, баганыг сонголтыг хялбарчлах зорилгоор эхлээд өгөгдсөн матрицын рангийг
өөрчлөхгүй элементарь хувиргалтыг хийвэл рангийг олох ажиллагааг хурдасгах боломжтой.
Дурын хэмжээст матрицын хувьд дараахь таван хувиргалтыг элементарь хувиргалт
гэдэг. Эдгээр хувиргалтуудаар матрицын ранг өөрчлөгдөхгүй. Үүнд:
1. Матрицыг хөрвүүлэх
2. Матрицын мөрийн эсвэл баганын элементүүдийг тэгээс ялгаатай тоогоор үржүүлэх.
3. Матрицын аль нэг мөрийн (баганын) элементүүдийг тоогоор үржүүлж, өөр мөрийн
(баганын) харгалзах элемент дээр нэмэх.
4. Хоёр мөрийн (баганын) байрыг солих
5. Дан тэг элементээс тогтох мөрийг (баганыг) орхих
Тодорхойлолт. Эдгээр элементарь хувиргалтаар бие, биедээ шилжиж буй матрицуудыг
төсөөтэй матрицууд гээд хооронд нь )( ≅ тэмдэгээр холбодог.
Матрицын рангийг олохын тулд
а). Матрицын мөрийн тоо нь баганын тооноос хэтрэхгүй байх шаардлагатай. Хэрэв энэ
нөхцөл хангагдахгүй бол өгөгдсөн матрицыг хөрвүүлнэ
б). Дээрх элементарь хувиргалтуудыг ашиглан өгөгдсөн матрицыг гурвалжин эсвэл
трапец хэлбэрт шилжүүлнэ
в). Хувирсан матрицаас сонгож болох гурвалжин хэлбэрийн миноруудын дотроос
хамгийн их эрэмбэтэйг нь сонгож олно. Энэ минорын эрэмбэ нь анхны өгөгдсөн матрицын
ранг болно.
Матрицын ранг нь шугаман тэгшитгэлийн систем нийцтэй эсэхийг тогтооход чухал
үүрэгтэй байдаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг бодохын өмнө түүнийг нийцтэй эсэхийг
тогтоох нь ихээхэн ач холбогдолтой юм. Энэ асуудлыг хэрхэн шийдэхийг дараахь теорем
хариулдаг.
Теорем.(Кронекер-Капеллийн теорем). A ба B матрицууд харгалзан (1) шугаман
тэгшитгэлийн системийн үндсэн ба өргөтгөсөн матрицууд болог. Хэрэв тэдгээрийн рангууд

тэнцүү бол (1) шугаман тэгшитгэлийн систем нийцтэй ба A матрицын ранг нь B матрицын
рангаас бага байвал (1) систем нийцгүй байна. Нийцтэй тохиолдолд үндсэн матрицын ранг
системийн хувьсагчийн тоотой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл n)A(rang = бол уг систем тодорхой,
эсрэг тохиолдолд тодорхойгүй байна.

ЛЕКЦ №04
Сэдэв: 4.1. Урвуу матриц, түүнийг шугаман тэгшитгэлийн систем болон
матрицан тэгшитгэл бодоход ашиглах нь
Хичээлийн зорилго: Энэхүү хичээлээр шугаман тэгшитгэлийн системийн
шийдийг урвуу матриц болон Гаусс-Жорданы хувиргалтаар хэрхэн тодорхойлох талаар
авч үзнэ.
Хичээлийн зорилт: Хичээлийн зорилгын хүрээнд урвуу матриц, түүнийг олох
аргууд болон урвуу матриц ашиглан ШТС-ийг бодох, Гаусс-Жорданы хувиргалтын
тухай, хувиргалтыг ашиглан ШТС-ийн шийдийг хэрхэн тодорхойлох тухай мэдлэгийг
тус тус эзэмшүүлэхэд хичээлийн зорилт оршино
4.1.1. Урвуу матриц, түүнийг шугаман тэгшитгэлийн систем болон
матрицан тэгшитгэл бодоход ашиглах нь
Тодорхойлолт. n эрэмбийн квадрат матрицын хувьд EAAAA =⋅=⋅ −− 11
E
нөхцөлийг хангаж
буй A-1
матрицыг өгсөн A матрицын урвуу матриц гэнэ. Энд нь n эрэмбийн нэгж матриц
болно.
Тодорхойлолт. n эрэмбийн квадрат матриц A өгөгдсөн болог. Энэ матрицын
элементүүдийн харгалзах алгебрийн гүйцээлтүүдээр зохиогдсон матрицыг хөрвүүлэхэд гарах
матрицыг A-ийн уялдсан матриц гээд A* гэж тэмдэглэнэ. Өөрөөр хэлбэл уялдсан матриц нь
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
nnnn
n
n
T
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
AAA
AAA
AAA
*A
L
MMMM
L
L
L
MMMM
L
L
21
22212
12111
21
22221
11211
байна.
Дээр тодорхойлсон уялдсан матрицаар өгсөн матрицын урвуу матриц
)Adet(
*A
A =−1
гэж үүсгэгддэг. Энэхүү матриц нь урвуу матрицын тодорхойлолтыг хангана гэдгийг матриц
үржүүлэх дүрэм, тодорхойлогчийн чанаруудыг ашиглан амархан шалгаж болно. Урвуу матриц
үүсгэгдэж буй дүрмээс харахад матриц урвуутай байх зайлшгүй нөхцөл нь түүний
тодорхойлогч тэгээс ялгаатай 0≠)Adet( байх явдал юм.
Урвуу матрицыг дараахь үйлдлүүдийн дарааллаар олдог. Үүнд:
а).Өгөгдсөн матрицын тодорхойлогчийг бодно. Хэрвээ тодорхойлогч тэгээс ялгаатай
бол дараагийн алхамд шилжинэ. Харин тэгтэй тэнцүү бол урвуу матриц оршин байхгүй тул
бодолтыг зогсооно.
б).Бүх элементийг алгебрийн гүйцээлтийг олно.
в).Уялдсан матрицыг байгуулна.
г).Уялдсан матрицыг өгөгдсөн матрицын тодорхойлогчийн урвуу тоогоор үржүүлж,
шинэ матриц байгуулна. Энэ нь тухайн матрицын урвуу матриц болно.

Урвуу матрицыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн
тэгшитгэлийн
Үүний тулд n хувьсагчтай, n шугаман тэгшитгэлээс тогтох
⎪
= nnnn bx
(6)
системийг авч үзье. ) системийг матр бэрт
системийн болон матрицан
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
LLLLLLLLLLLLL
L
L
22222121
11212111
шийдийг хэрхэн олох асуудлыг сонирхоё.
⎪⎩ +++ nn axaxa L2211
(6 ицан хэл bAx = (7) гэж бичнэ. Энд
, , болно.
⎟
⎟
⎟
⎠⎝ nnnn aaa L
M
21
⎟
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎜
⎝ nx
M
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜ M
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎛
= n
n
aaa
aaa
A
MMM
L
L
22221
11211
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎛
=
x
x
x 2
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
nb
b
b
b 2
1
0≠)Adet( нөхцөлд (7) тэгшитгэлийн хоёр талыг зүүн талаас нь 1−
A -ээр үржүүлбэл, (6)
шугам
гэж олж болдог. Үүнийг шугаман тэгш йг бодох урвуу матрицын арга гэнэ.
4.1.2. Шугаман тэгшитгэл усс-Жорданы хувиргалт
гөөд тодорхойгүй(төгсгөлгүй олон шийдтэй) системийн шийдийг олох ба
эй систем э нөхцөлийг
программчлалын бодлогыг авч үзэхэд Гаусс-
орданы арга нь чухал ач холбогдолтой байдаг. Бидэнд хувьсагчдыг
хувьсагчид болгон хувиргаж байгаа шугаман
буулгалт дараахь байдлаар өгөгдсөн болог. Үүнд:
)
Энэхүү буулгалтанд хар алза үс ти оо и б л .
ан тэгшитгэлийн шийдийг bAxbAExbAAxA ⋅=⇒⋅=⇒⋅=⋅ −−−− 1111
итгэлийн системи
ийн системийг Га
ашиглан олох нь
Бид өмнө шугаман тэгшитгэлийн системийг нийцтэй эсэхийг яаж шинжлэх болон
нийцтэй бөгөөд тодорхой(ганц шийдтэй) үед шийдийг хэрхэн олох тухай авч үзсэн билээ.
Одоо нийцтэй бө
шинжлэхэд ихэвчлэн хэрэглэдэг гол элементийн сонголттой Гаусс-Жорданы аргатай
танилцах болно.
Дараагийн хичээлүүдэд төгсгөлгүй олон шийдт э с тодорхой
хангасан оновчтой шийдийг олох шугаман
Ж nx,...,x,x 21 my,...,y,y 21
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+++++=
+++++=
+++++=
+++++=
nmnlmlmmm
nknlklkkk
nnll
nnll
xaxaxaxay
xaxaxaxay
xaxaxaxay
xaxaxaxay
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
LLLLLLLLLLLLLLLLLL
LL
LL
2211
2211
222221212
112121111
(8
г х х нэг йг д рх айд аар зохиодог
x1 x2 … xl … xn
y 11 a12 … a11 a l … a1n
y2 a21 a22 … a2l … a2n
M M M M M M M
yk ak1 ak2 … akl … akn
M M M M M M M
ym am1 am2 … aml … amn

Э н агуу өри
м агуулсан баганыг багана гэнэ. Эдгээр мөр
баганын огтлолд буй элементийг гол элемент гэдэг. дараа
системийн р тэгшитгэл
Үүнийг (8) системийн Гаусс-Жорданы ердийн хүснэгт гэдэг. Одоо (8) шугаман
буулгалтын хувьд ky -г -ээр солих хувиргалт хийе.
Тодорхойлолт. нэ тохиолдолд дээрх хүснэгтий элементийг лсан м йг
чиглүүлэгч өр, харин lx элементийг
lx
ky
чиглүүлэгч
kla Хувиргалтын (8)
k -
k
kl
n
kl
kn
l
kl
l,k
l
kl
l,k
kl
k
kl
k
l
a
x 1
−= y
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a 1
1
1
1
1
2
2
1 +−−−−−− +
+
−
−
LL буюу ∑
≠
=
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
n
lj
j
k
kl
j
kl
kj
l y
a
x
a
a
x
1
1
(9)
сад тэгшитгэлүүдэд орлуулбал
болно.
(9)-ийг бу ki,m,i,y
a
a
x
a
aaaa
y k
kl
il
j
n
lj
j kl
kjilklij
i ≠=+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
= ∑
≠
=
1
1
(10) болж
увир
Дээрх хувиргалтуудын үр дүнд Гаусс-Жорданы ердийн хүснэгтийн элементүүд дараахь
өөрчлөгддөг. Үүнд:
x … yk …
х на.
байдлаар
x1 2 xn
y1 a’1
1
a’1
2
… a’1l … a’1
n
y 2 a’2 … a’2l … a’22 a’
1 2 n
M M M M M M M
xl a’k1 a’k2 … a’kl … a’kn
M M M M M M M
ym a’m a’m … a’m
1 2 l n
… a’m
Энд шинэ хүснэгтийг бөглөхдөө доорхи дүрмийг баримтлана.
а). Шинэ хүснэгтийн хуучин хүснэгтийн чиглүүлэгч мөрөнд харгалзах мөрний эхний
нүдэнд
г
н хүснэгтийн оршин байсан нүдэнд харгалзах
lx -ийг, харин хуучин хүснэгтийн чиглүүлэгч баганад харгалзах баганын эхний нүдэнд
k тус, тус тавина. Бусад хувьсагчдыг хуучин байранд нь хэвээр үлдэнэ.
б). Шинэ хүснэгтийн хуучи гол элемент
y -
нүдэнд гол элементийн урвуу
kl
kl
a
'a
1
= тоог бичнэ.
в). Ш чин хүснэг
нүднүүдэд элементийг
инэ хүснэгтийн хуу тийн чиглүүлэгч мөрөнд харгалзах мөрний үлдсэн
хуучин хүснэгтийн гол элементэд хувааж, тэмдгийг нь эсрэгээр
өөрчлөн lj,n,j,
a
a
'a
kl
kj
kj ≠=−= 1 бичнэ.
г). Шинэ хүснэгтийн хуучин хүснэгтийн чиглүүлэгч баганад үлдсэнхаргалзах баганын
нүднүүдэд хуучин хүснэгтийн элементийг гол элементэд хувааж ki,m,i,
a
a
'a
kl
il
il ≠== 1 бичнэ.

д). Шинэ хүснэгтийн үлдсэн нүдний элементүүдийг
lj,n,j,ki,m,i,
aaaa
'a
kjilklij
ij ≠=≠=
−
= 11
akl
дүрмээр тооцож олно. Үүнийг тэгш өнцөгтийн дүрэм гэдэг.
Уг дүрмийг илэрхийлж буй томьёог дараахь бүдүүвчид тулгуурлан амархан ойлгож
болно. Үүнд
aij ail
akj akl
Тус тэгш өнцөгтийн хувьд a элементүүдийг агуулсан диагоналийг гол диагональ
гэнэ. Иймээс элементийг олохдоо хуучин хүснэгтэнд дээрх байдлаар байгуулсан тэгш
өнцөгтийн гол диагоналийн элементүүдийн үржвэрээс хажуугийн диагоналийн
элементүүдийн үржвэрийг хасч, гол элементэд хуваадаг.
klij a,
ij'a
Заримдаа Гаусс-Жорданы хялбарчилсан хувиргалт гэж нэрлэгдэх дараахь хувиргалтыг
ашигладаг. Энэ тохиолдолд (8) системийг ∑=
=−⋅−=
n
j
jiji m,i),x()a(y
1
1 хэлбэрээр бичиж,
хувиргалтын хүснэгтийг
-x1 -x2 … -xl … - xn
y1 -
a11
-
a12
… -a1l … -
a1n
y2 -
a21
-
a22
… -a2l … -
a2n
M M M M M M M
yk -ak1 -ak2 … -akl … -akn
M M M M M M M
ym -
am1
-
am2
… -
aml
… -
amn
байдлаар авч үздэг.
Хувиргалтын үр дүн болох шинэ хүснэгтийг дараахь аргаар бөглөдөг. Үүнд:
-x1 -x2 … -yk … -xn
y1 a’1
1
a’1
2
… a’1l … a’1
n
y2 a’2
1
a’2
2
… a’2l … a’2
n
M M M M M M M
xl a’k1 a’k2 … a’kl … a’kn
M M M M M M M
ym a’m
1
a’m
2
… a’m
l
… a’m
n

а). Шинэ хүснэгтийн хуучин хүснэгтийн чиглүүлэгч мөрөнд харгалзах мөрний эхний
нүдэнд -ийг, харин хуучин хүснэгтийн чиглүүлэгч баганад харгалзах баганын эхний нүдэнд
-г тус, тус тавина. Бусад хувьсагчдыг хуучин байранд нь хэвээр үлдэнэ.
lx
ky−
б). Шинэ хүснэгтийн хуучин хүснэгтийн гол элемент оршин байсан нүдэнд харгалзах
нүдэнд гол элементийн урвуу
kl
kl
a
'a
−
=
1
тоог бичнэ.
в). Шинэ хүснэгтийн хуучин хүснэгтийн чиглүүлэгч мөрөнд харгалзах мөрний үлдсэн
нүднүүдэд хуучин хүснэгтийн элементийг гол элементэд хувааж lj,n,j,
a
a
'a
kl
kj
kj ≠=
−
−
= 1 бичнэ.
г). Шинэ хүснэгтийн хуучин хүснэгтийн чиглүүлэгч баганад харгалзах баганын үлдсэн
нүднүүдэд хуучин хүснэгтийн элементийг гол элементэд хувааж, тэмдгийг нь эсрэгээр сольж
ki,m,i,
a
a
'a
kl
il
il ≠=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−= 1 бичнэ.
д). Шинэ хүснэгтийн үлдсэн нүдний элементүүдийг
lj,n,j,ki,m,i,
a
a)(a()a)(a(
'a
kl
)kjilklij
ij ≠=≠=
−
−−−−−
= 11
дүрмээр тооцож олно.
Энэ нь өмнөх тэгш өнцөгтийн дүрэмтэй ижил юм. Мөн хуучин дүрмээс зөвхөн
чиглүүлэгч мөр, баганад харгалзах мөр, баганын элементийг олоход л ялгаа гардаг.
Шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг Гаусс-Жорданы хялбарчилсан хувиргалт ашиглан
хэрхэн олох талаар сонирхоё. Эхлээд (1) системийн тэгшитгэлүүдийг
хэлбэрээр бичнэ.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+++−=
+++−=
+++−=
)(0
)(0
)(0
2211
22221212
12121111
nmnmmm
nn
nn
xaxaxab
xaxaxab
xaxaxab
L
LLLLLLLLLLLLLLLL
L
L
Үүний дараа хувиргалтын хүснэгтийг
с.г -x1 -x2 … -xn
0 b1 a11 a12 … a1n
0 b2 a21 a22 … a2n
M M M M M M
0 bm am1 am2 … amn
гэж зохион, түүн дээр x1,x2,…,xn хувьсагчдыг 0-үүдтэй ээлжлэн солих хувиргалтыг Гаусс-
Жорданы хялбарчилсан дүрмээр хийнэ. Солит бүрийн бараа 0-ээр эхэлсэн баганыг орхих тул
дараагийн хувиргалтанд хүснэгтийн баганын тоо нэгээр цөөрнө. Хувиргалтыг өгөгдсөн
системийн үндсэн матрицын рангийн тоотой тэнцүү удаа гүйцэтгэнэ. Энд с.г гэсэн товчлол нь
сул гишүүн гэсэн үг бөгөөд энэ баганыг 0-тэй мөртэй солихгүй.

Жишээ 4.1. Дараахь ШТС-ийг Гаусс-Жорданы хувиргалтаар олъё.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=−
−=−+
13104
653
152
321
21
321
xxx
xx
xxx
Бодолт: Өгөгдсөн системийг хувиргалтанд бэлтгэн
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++−=
−−=
−+−−=
)104(130
)53(60
)52(10
321
21
321
xxx
xx
xxx
хэлбэртэй бичиж хүснэгтийг зохиовол дараахь хэлбэртэй болно.Өөрөөр хэлбэл:
с.г -х1 -х2 -х3
0 -1 2 5 -1
0 6 3 -5 0
0 13 4 10 1
х1-тэй баганыг чиглүүлэгч баганаар,эхний мөрийг чиглүүлэгч мөрөөр тус тус сонговол
гол элемент нь 2 байна. Эдгээрийг тусгайлан тэмдэглэж хувиргалт хийвэл:
с.г 0 -х2 -х3
х1
2
1
−
2
1
2
5
2
1
−
0
2
15
2
3
−
2
25
−
2
3
0 15 -2 0 3
болно. Одоо өмнөх хүснэгтийн 0-ээр эхэлсэн баганыг орхивол хувиргалтын үр дүн
с.г -х2 -х3
х1
2
1
−
2
5
2
1
−
0
2
15
2
25
−
2
3
0 15 0 3
байна.Чиглүүлэгч мөр баганыг тусгайлан тэмдэглэж зохих хувиргалтуудыг хийн,0-
ээр эхэлсэн баганыг орхивол
с.г -х3
х1
5
1
−1
х2
5
3
−
25
3
−
0 15 3

болно. Дахин чиглүүлэгч мөр,баганаа сонгон хувиргалт хийвэл эцсийн үр дүн нь:
с.г
х1 2
х2 0
х3 5
гэж гарна. үүнээс харахад өгөгдсөн систем нийцтэй бөгөөд тодорхолй байна.
Системийн ганц шийд нь х1=2 , x2=0 , x3=5 болно.

ЛЕКЦ №05
Сэдэв: тухай
түүний практик дахь жишээнүүд
Утас:
5.1. Шугаман програмчлалын бодлогын
99204676 , 96674676 E-mail: aamarsanaa@yahoo.com
Хичээлийн зорилго: Энэ хичээлээр шугаман програмчлалын бодлогын тухай
ойлголт болон эдийн засаг,бизнесийн энгийн жишээнүүдийн хувьд бодлогын математик
загвару
дахь жишээнүүд, шийдийн чанаруудын талаархи мэдлэгийг
эзэмшү
дэвшүүлэх болон харилцан яриа, лекцийн зарчмаар
5.1.1.Шугаман програмчлалын бодлогын тухай
үзүүлэлтүүдийг нарийвчлан илэрхийлж болохоор тусгайлан бүтээсэн
йл явцын тоон болон чанарын хувьслын талыг
усгас
о у
г бодох онол,аргыг боловсруулдаг математикийн
л б
логыг бодох
нол,а
олдог төгс
рга бо
удыг хэрхэн зохиох аргачлалуудтай танилцана.
Хичээлийн зорилт: Дээрхи зорилгын хүрээнд шугаман програмчлалын бодлогын
тухай,түүний практик
үлэхэд оршино.
Лекцийн үйл явц: Асуудал
Математикыг эдийн засгийн ухаанд хэрэглэхийн тулд эдийн засгийн тодорхой
асуудалтай холбоотой бодлогын математик загварыг зохиодог.Аливаа юмс үзэгдэл,үйл явцын
зонхилох шинж,гол
зүйлийг загвар гэнэ.
Загвар нь физик,математик,,тооцон бодох машины гэх мэт маш олон төрөлтэй байх
бөгөөд тэдгээрийн дотроос юмс үзэгдэл,ү
т ан загварыг математик загвар гэнэ.
Судалж буй объёктийн онцлог шинж чанар,тогтвортой тоон харьцааг илэрхийлэн
зохиосон математик загвар нь лон хувьсагчийн ф нкцийн нөхцөлт экстремумын бодлогын
шийдийг олох асуудалд шилжиж байвал математик програмчлалын бодлого
болно.Математик програмчлалын бодлогы
салбарыг математик програмчлал гэнэ.
Математик програмчлалын бод огын тавилд дан шугаман функц ашиглаж айвал
шугаман пролграмчлалын бодлого болно.Шугаман програмчлалын бод
о ргыг боловсруулдаг математикийн салбарыг шугаман програмчлал гэнэ.
Анх шугаман програмчлалын бодлогыг 1930-аад оны үед Оросын эрдэмтэн,Нобелийн
шагналт Л.В.Канторович хавтангаар (фанериар) бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг үйлдвэрийн
эсгэлтийн хаягдлыг хамгийн бага байлгах зорилгыг шийдвэрлэх судалгаа явуулахдаа
“Зохистой эсгүүрийн бодлого” хэлбэрээр томъёолсон бөгөөд бодлогын шийдийг
а лох симплекс аргыг Америкын эрдэмтэн Дж.Данциг боловсруулсан байна.
Шугаман програмчлалын бодлого нь математьик агуулгаараа төгсгөлгүй олон шийдтэй
шугаман тэгшитгэл ба тэнцэтгэл бишүүдийн системийн шийдүүдийн дотроос зорилгын
шугаман функцийг хамгийн их эсвэл хамгийн бага утгатай байлгах тийм оновчтой шийдийг

1
+
+
2 +
2 2
2
...
0, 0,..., 0
m mn n m
n
a x a x a x b
x x x
⎪ + + ≤
⎪
≥ ≥ ≥⎪⎩
олох б п атик загварыг ерөнхий тохиолдолд
n) (1)
увьсагчид сөрөг бус байх
хцөл хэмээн тус ту .
Үүнд:
одлого юм.Шугаман рограмчлалын бодлогын матем
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
,1 1 ,2 2 ,
1,1 1 1,2 2 1, 1
2,1 1 2 ,2 2 2, 2
...
...
.........................................
...
...
...
.......
n n
n n
m m m n n m
m m m n n m
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + +
+ + +
+ + =
+ + =
+ + =
+ + ≥
+ + ≥
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
,1 1 ,2 2 ,
1,1 1 1,2 2 1, 1
2,1 1 2,2 2 2 ,
................................................
...
...
...
........................................
m m m n n m
m m m n n m
m m m n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x
+ + +
+ + +
+ + ≥
+ + ≤
+ + ≤
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
дэлгэрэнгүй бичвэл:
=c1x1+c2x2+…cnxn →max(miZ
Det1: Энэхүү томъёолсон
шугаман програмчлалын
бодлогын хувьд (1)-ийг тухайн
бодлогын зорилгын функц, (2)-
ыг хязгаарлалтын систем,(3)-ыг
х
нө с нэрлэнэ
1 20 ...m m m≤ ≤ ≤ ≤2 2
... ...
mb +
............
(*)
1 1m
1
нөхцөл
(2
хангагдана
(3)
5.1.2.Шугаман програмчлалын бодлогын жишээнүүд
Эдийн засаг,бизнесийн аливаа үйл ажиллагааг явуулахад бидэнтэй өдөр бүр шахуу өөрт
буй төрөл бүрийн нөөцүүдийн хязгаарлалт дээр тодорхой зорилгыг хангасан оновчтой
шийдвэр гаргах асуудал учир байдаг билээ.Энэхүү асуудлыг шийдэхдээ ууд атематик
загвар бичээд айдаггү ч амьдралын туршлага,тухайн үеийн орчны онцлог эрэгт т лгуурлан
оновчтой шийдэнд ойртсон шийдвэрийг хүмүүс гарг
ч ш м
б й з у
адаг.Энд бидний олон талт үйл
ажиллагааны хувьд тохиолдох зарим сонирхолтой жишээнүүдийн хувьд шугаман
програмчлалын бодлого хэрхэн томъёологдохыг авч үзье.
5.1.2.1.Үйлдвэрийн газрын зохистой төлөвлөлтийн бодлого
Зах зээлийн нөхцөлд үйлдвэрийн газрууд буюу пүүсүүд өөрийн эдийн засгийн нөөцөд
улгуу
йн
шиг олдог бол үйлдвэрлэгч өөрт буй нөөцийг ашилан өгөгдсөн технологиор хэдэн
ирээ, загварыг зохио.
Бодолт: Загв хийе. Үүнд:
длын тоо
Загварыг бичихэд тулгуур дохио болгох үүднээс бодлогын нөхцлийг хураангуйлан
илэрх ийг зохиоё.
т рлан ашгаа хамгийн их байлгахын төлөө үйл ажиллагаагаа явуулдгийг микро эдийн
засгийн хичээлээс бид мэднэ.нэхүү үйл хөдлөлийг тусгасан нэгэн жишээ бодлогыг авч үзье.
Бодлого 1: Нэгэн үйлдвэрийн газар 400 м банз ашиглан ирээ ба сандал үйлдвэрлэхээр
болов.тус үйлдвэр 450 хүн цагийн нөөцтэй ба 1 ширээ хийхэд 20 м банз, 15 хүн цаг, харин 1
сандал хийхэд 5м банз, 10 хүн цаг зарцуулна. 1 ширээнээс 8000 төг, 1 сандлаас 4000 төг-и
а
ш сандал үйлдвэрлэвэл хамгийн их ашиг олох вэ? Бодлогын математик
арыг бичихийн тулд дараах тэмдэглэгээг
х1-үйлдвэрлэх ширээний тоо
х2-үйлдвэрлэх сан
ийлсэн хүснэгт

үтээгдэхүүний нэр
Нөөци мжээНөөцийн нэр
Б
йн хэ
Ширээ Сандал
Банз (м) 20 5 400
Хөд ) 15 450өлмөр (хүн цаг 10
Үйлдвэрлэх тоо (ш) x1 x2
Ашиг (төг) 8000 4000
Эндээс тэмдэглэсэн тооны ширээ,сандлын үйлдвэрлэлд зарцуулаг ах банзны хэмжээг
тооцвол өгөгдсөн технологиор 20х1+5х2 болох ба энэхүү хэмжээ нь үйлдвэрийн газарт буй
бэлэн нөөцөөс хэтрэхгүй тул эхний нөөцийн хязгаарлалт нь 20х1+5х2 ≤ 400 байн . Үүнт й
төсөөтэйгээр хөдөлмөрийн нөөцийн хязгаарлалтыг 15х1+10х2
д
а э
≤ 450 гэж бичиж болно.Эдийн
засгий
ойлъё.Бидэнд нэгж бүтээгдэхүүнээс олох ашиг өгөгдсөн
тул үй 00x max
зорилгын функцээр илэрхийлэгдэн
Бодлогод өгөгдсөн нөхцлүүдээр илэрхийлэгдэх математик загварыг бичвэл
Z=8000x1+4000x
болно.
г
н агуулгаараа үйлдвэрлэх ширээ сандлын тоо эерэг бүхэл тоо байх тул х1 ≥ 0 , х2 ≥ 0
хувьсагчид сөрөг бус байх хязгаарлалтыг тавих шаардлагатай.
Одоо бодлогы зорилгоо тодорх
лдвэрийн газрын нийт ашгийг хамгийн их байлгах зорилго нь: Z=8000x1+40 2 →
э.
2 →max
1 2
1 2
20x 5 400
15x 10 450
x
x
+ ≤⎧
⎪
+ ≤⎨
1 20, 0 бүхэл тооx x⎪ ≥ ≥ −⎩
5.1.2.2. Хэрэглэ чийн оновчтой сонголтын бодлого
Микро эдийн засгийн хичээлээр хэрэглэгчийн үйл хөдлөлийг судлах явцдаа
хэрэглэгчийн оновчтой сонголтын бодлого нь ерөнхий тохиолдолд төсвийн хязгаарлалт дээр
тухайн хэрэглэгчийн нийт ханамжийг хамгийн их байлгах нөхцөлт экстремумын бодлого
хэлбэрээр томъёологддог болохыг үзсэн билээ.Хоёр бүтээгдэхүүн сонгож буй хэрэглэгчийн
хувьд оновчтой сонголт нь төсвийн шулуун ялгаагүй муруйн шүргэлтийн цэгт харгалздаг
болохыг бид мэднэ.Гэвч нийт ханамжийн функц нь шугаман функцээр илэрхийлэгдэж бай
,
вал
оёр шулуун шүргэлцэхгүй тул дээрхи ойлголтод тулгуурлан оновчтой сонголтыг
тодорх
г авахаар төсөвлөсөн мөнгө
00 төгрөг бол тухайн хэрэглэгч төсвийнхөө хүрээнди хамгийн их ханамж авахн тулд
ь буй бодлого нь хэрэглэгчийн онолын үндсэн
х
ойлох боломжгүй.Үүнийг хэрхэн тодорхойлохыг дараахи жишээгээр тайлбарлая.
Бодлого 2: Нэгэн хэрэглэгч төгс орлодог 2 төрлийн бүтээгдэхүүн хэрэглэдэг.1-р
бүтээгдэхүүнээс х1-нэгжийг,
2-р бүтээгдэхүүнээс х2- нэгжийг хэрэглэж байгаа нөхцөлд хэрэглэгчийн нийт ханамж
U=5x1+3x2 функцээр илэрхийлэгддэг болог.1-р бүтээгдэхүүнийнэгжийн үнэ 100 төгрөг,2-р
бүтээгдэхүүнийх 150 төг ба хэрэглэгчийн энэ 2 бүтээгдэхүүний
6
сонголтоо хэрхэн хийх вэ? Бодлогын математик загварыг зохио.
Бодолт: Энэ жишээний хув д авч үзэж
бодлого болох тул загварыг нь бичихэд илүү хялбар байх болно.Хэрэглэгчийн төсвийн
хязгаарлалтыг бичвэл: 100х1+150х2 ≤ 600 байна.
Өөрөөр хэлбэл хэрэглэгчийн энэ 2 бүтээгдэхүүнээс х1,х2 хэмжээтэйг худалдан авахад
зарцуулсан зардал хэрэглэгчийн төсөвлөсөн мөнгөнөөс хэтрэхгүй байх хязгаарлалт болно.Мөн
хэрэглэгчийн худалдан авсан бүтээгдэхүүний тоо хэмжээ эерэг байх тул хувьсагчид сөрөг бус
байх хязгаарлалт х1 ≥ 0 , х2 ≥ 0 гэж тавигдана.

функц нь хэрэглэгчийн нийт ханамжийн функцээр илэрхийлэгдэх
өн ийн үйл хөдлөлийн математик загвар нь:
U=5x1+3x max
Бодлогын зорилгын
тул өгс хэрэглэгчбодлогын хувьд
2 →
1 2100 150 600x x+ ≤⎧⎪
⎨ байна.
1 20, 0x x≥ ≥⎪⎩
5.1.2.3. Мэдээллийн хэрэгслийн сонголтын бодлого
Компаниуддын хооронд үнийн бус өрсөлдөөн ихтэй тохиолдолд бүтээгдэхүүнээ
уртачлах явдал өргөн хүрээтэй байдаг.Энэ тохиолдолд компанийн өмнө сурталчилгааны
йн гаргасан шинэ бүтээгдэхүүнийг суртачлах зорилгоор
адог сонгох болов. FM радио бүрийн нэг удаагийн сонсогчдын дундаж
тоо,сонсогчдын зорилто мрагдалтын хувь,тухай алчилгааг сонсох
магадлал да
с
хэрэгслээ сонгох асуудал тулгардаг.Энэхүү асуудлаар оновчтой шийдвэр гаргахад туслах
зорилгоор дараахи санаа авах жишээг авч үзье.
Бодлого 3: Нэгэн компани өөри
хоёр FM р
т зах зээлд ха н урт анхааран
раахь хүснэгтээр өгөгдөв.
Үзүүлэлтүүд FM1 FM2
Нэг удаагийн сонсогчдын дундаж тоо 4 300000000
Сонсогчдын зорилтот зах зээлд хамрагдалтын
60% 80%
хувь
Сурталчилгааг анхааран сонсох магадлал 0.7 0.6
FM тус бүрээр сурталчилгааг нэг удаа дамжуулах төлбөр харгалзан 5000 төг,4000 төг
ба компани сурталчилгаанд 100000 төг төсөвлөсөн.Мөн нэгдүгээр FM радиогоор хамгийн
хдээ 16 удаа ,хоёрдугаараар 20 удаа дамжуулахаар төлөвлөв.Зорилтот зах зээлд хамрагдах
д хоёр FM-д
Бодолт: Загварыг зохиохын тулд дараахи хувьсагчуудыг оруулъя. Үүнд:
хлээд компанийн сурталчилгааны хувьд төсвийн хязгаарлалтыг бичье.Бидэнд нэг
удааги
л компанийн сурталчилгааны төсвийн хязгаарлалт: 5000х1+4000х
и
хүмүүсд давхардсан тоогоор хамгийн олон удаа сурталчилгааг хүргэхийн тул
хэрхэн хуваарилах вэ? Бодлогын математик загварыг зохио.
х1-Нэгдүгээр FM-ээр сурталчилгааг явуулах тоо
х2-Хоёрдугаар FM-ээр сурталчилгааг дамжуулах тоо
Э
йн сурталчилгааны үнэ.,сурталчилгааг хийх тооны тэмдэглэгээ,төсөвлөсөн нийт мөнгө
мэдэгдэж байгаа ту 2 ≤ 100000
болно.
хувьсагчид дээр компанийн зүгээс тавьж
буй хязгаарлалтыг
х
Харин сөрөг бус байх нөхцөл,давталтын тоо
⎩
⎨
⎧
≤≤
≤≤
200
160
2
1
х
х
гэж илэрхийлэх боломжтой.
Зорилгын функцийг тодорхойлохын тулд FM тус бүрийн нэг удаа сурталчилгааг
дамжуулахад анхааралтай сонссон,зорилтот зах зээлд хамрагдах хүмүүсийн тоог олъё.Үүний
тулд нэг удаагийн сонсогчдын дундаж тооноос өгөгдсөн хувиар зорилтот зах зээлд хамрагда

≤≤ 160 1x
үмүүсийн тоог олно.Ө.х 40000-ийн 6 24000 хүн, 30000-ийн 80% буюу 24000 болно.
л:
болно.
Зорилтот сурталчилгааг анхааран сонссон хүмүүсийн давхардсан
оог Z=16800x1 болох ба бодлогын нөхцөлд тохирсон математик
агвар
-Бүхэл тоо
байна.
х 0% буюу
Эдгээрээс сурталчилгааг анхааран сонссон хүмүүсийн тоо зорилтот зах зээлд хамрагдах
хүмүүсийн тоог харгалзах магадлалуудаар үржүүлснээр тодорхойлогдоно. Нэг үгээр хэлбэ
168007.024000 =⋅
144006.024000 =⋅
зах зээлд хамрагдах
+14400x2 гэж илэрхийлжт
з
⎪
⎩ ≤≤ 200 2x
⎪
⎨
⎧ ≤+ 10000040005000 21 xx
→+= max1440016800 21 xxZ
ийм
5.1.2.4. Банкны активыг зохистой байршуулах бодлого
Арилжааны банкууд бусдаас татан төвлөрүүлсэн хөрөнгөө зээл, үнэт цаас,төв
банкинд хадгалуулах зайлшгүй нөөц,касс дахь бэлэн мөнгө гэсэн 4 төрлөөр байршуулах
оломжтой гэе.Арилжааны банкны эцсийн зорилго нь активуудаас олох орлогоо хамгийн их
ч
рүүлсэн хөрөнгийнхөө 40-өөс доошгүй хувийг зээлд олгох шаардлагатай ба харин 30-аас
ээш хувийг үнэт цаас худалдан авахад зарцуулахаар төлөвлөв.Зээлийн сарын хүү 5%,харин
ус ба гийн их орлого
длогын нөхцөлд тохирсон математик загварыг
агварыг бичихийн тулд дараахи тэмдэглэгээг оруулъя.Үүнд:
х1-зээлийн хэмжээ,сая төг
х2-х авсан үнэт цаас, сая төг
банкны хувьд тайлан тэнцэл нь хүснэгтэд өгөгдсөн байдлаар
илэрх
Актив Пассив
б
байлгах явдал юм.Дээр дурьдсанаас сүүлийн 2 төрлийн актив нь орлого өгөхгүй .Тиймээс
активаа зээл, үнэт цаасанд хамгийн онов тойгоор байршуулах шаардлагатай юм.Үүнтэй
холбогдох дараахи жишээг авч үзье:
Бодлого 4: Нэгэн арилжааны банкны татан төвлөрүүлсэн нийт хөрөнгө 300 сая төг,
түүний 10%-ийг төв банкинд зайлшгүй нөөцөд хадгалуулах ёстой.Тухайн банк татан
төвлө
д
т нкны худалдан авах гэж буй үнэт цаасны хүү 6%, бол банк сард хам
олохын тулд активаа хэрхэн байршуулах вэ? Бо
бич.
Бодолт: З
удалдан
Мөн тухайн
ийлэгдэнэ.
1. Зээл
2. Үнэт цаас
3. Төв банкин дахь зайлшгүй
нөөц
4. Касс дахь бэлэн мөнгө
1.Татан төвлөрүүлсэн нийт хөрөнгө

Ediin zasgiin matematic hicheeliin lekts

Ediin zasgiin matematic hicheeliin lekts

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Ediin zasgiin matematic hicheeliin lekts

Similar to Ediin zasgiin matematic hicheeliin lekts (10)

More from E-Gazarchin Online University

More from E-Gazarchin Online University (20)

Ediin zasgiin matematic hicheeliin lekts